17.1等腰三角形 同步练习题 2024-—2025学年冀教版八年级数学上册

2024-2025学年冀教版八年级数学上册《17.1等腰三角形》同步练习题（附答案） 一．选择题 1．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是（　　） A．40° B．55° C．65° D．60° 2．若实数m、n满足等式|m﹣2|+＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．8或10 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线m∥n，顶点C在直线n上，直线m交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝150°，则∠2的度数是（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 4．如图，在△ABC中AB＝AC，D是BC的中点，∠B＝35°，则∠BAD＝（　　） A．110° B．70° C．55° D．35° 5．在下列各图中，可以由题目条件得出∠1＝∠2的图形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（　　） A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40° 7．如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（　　） A．+1 B．+3 C．+1 D．4 8．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB，其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题 9．用一根长18cm的细绳围成一个边长为4cm的等腰三角形，则腰长是 　 　cm． 10．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有　 　个． 11．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝6，DC＝8，DE＝20，则FG＝　 　． 12．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有　 　个． 13．如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D是AB边上任意一点DE∥BC，DF∥AC，AC＝5cm，则四边形DECF的周长是　 　． 14．如图，已知∠MON，在边ON 上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM 上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5… （1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是　 　； （2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON 的度数α 的取值范围是　 　． 三．解答题 15．已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：BE+CF＝EF． 16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．问t为何值时，△BCP为等腰三角形？ 17．（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，请直接写出EF、BE、CF之间的关系　 　． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts． （1）用含t的式子表示线段AM、AN的长； （2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？ （3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长． 19．如图①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F． （1）图中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由． （2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？ （3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由． 20．猜想与证明：小强想证明下面的问题：“有两个角（图中的∠B和∠C）相等的三角形是等腰三角形”．但他不小心将图弄脏了，只能看见图中的∠C和边BC． （1）请问：他能够把图恢复成原来的样子吗？若能，请你帮他写出至少两种以上恢复的方法，并在备用图上恢复原来的样子． （2）你能够证明这样的三角形是等腰三角形吗？（至少用两种方法证明） 参考答案 一．选择题 1．解：∵AB＝AC，∠B＝70°， ∴∠C＝∠B＝70°， ∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 故选：A． 2．解：∵|m﹣2|+＝0， ∴m﹣2＝0，n﹣4＝0， 解得m＝2，n＝4， 当m＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理； 当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4＝10． 故选：C． 3．解：∵AB＝AC，且∠A＝30°， ∴∠ACB＝75°， 在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝150°， ∴∠AED＝150°﹣30°＝120°， ∵m∥n， ∴∠AED＝∠2+∠ACB， ∴∠2＝120°﹣75°＝45°， 故选：A． 4．解：∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵∠B＝35°， ∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°． 故选：C． 5．解：在第一个图中，∵AB＝AC， ∴∠1＝∠2； 在第二个图中，∠1＝∠2； 在第三个图中， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3， 而∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2； 在第四个图中，∠1＞∠2． 故选：C． 6．解：分情况讨论： （1）若等腰三角形的顶角为70°时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°； （2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°． 故选：D． 7．解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线， ∵AB＝BC， ∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1， ∴∠BEC＝90°， ∴BC＝＝＝， ∵点F为BC的中点， ∴EF＝BC＝BF＝CF， ∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1， 故选：C． 8．解：如图，AE交GF于M， ①∵AD⊥BC，FG⊥AE， ∴∠ADE＝∠AMF＝90°， ∵∠AED＝∠MEF， ∴∠DAE＝∠F；故①正确； ②∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴∠EAC＝， ∠DAE＝90°﹣∠AED， ＝90°﹣（∠ACE+∠EAC）， ＝90°﹣（∠ACE+）， ＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC）， ＝（∠ABD﹣∠ACE）， 故②正确； ③∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴点E到AB和AC的距离相等， ∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确， ④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°， ∴∠AGH＝∠MEF， ∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确； 故选：D． 二．填空题 9．解：当4cm为腰长时，腰长为4cm， ∵18﹣4﹣4＝10，4+4＜10， ∴三角形不存在； 当4cm为底边长时，腰长为＝7cm， ∵4+7＞7， ∴三角形存在． ∴等腰三角形的腰长为7cm， 故答案为：7． 10．解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个； ②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个． 所以符合条件的点C共有9个． 11．解：∵ED∥BC， ∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB， ∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD， ∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC， ∴BE＝EG，CD＝DF， ∵BE＝6，DC＝8，DE＝20， ∴FG＝DE﹣EG﹣DF＝DE﹣BE﹣CD＝20﹣6﹣8＝6， 故答案为6． 12．解：如图，△ABC是等腰三角形，这样的格点C有8个． 故答案为8． 13．解：∵∠A＝∠B， ∴BC＝AC＝5cm， ∵DF∥AC， ∴∠A＝∠BDF， ∵∠A＝∠B， ∴∠B＝∠BDF， ∴DF＝BF， 同理AE＝DE， ∴四边形DECF的周长为：CF+DF+DE+CE＝CF+BF+AE+CE＝BC+AC＝5cm+5cm＝10cm， 故答案为：10cm． 14．解：（1）∵OP1＝P1P2＝P2P3， ∴∠OP2P1＝∠O＝30°， ∠P2P1P3＝∠P2P3P1＝60°， ∴∠OP2P3＝90°， ∴△P2P3P4不存在， ∴得到的最后一个等腰三角形是△P1P2P3． 故答案为△P1P2P3． （2）由题意要使得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5， 需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°， ∴18°≤α＜22.5°， 故答案为18°≤α＜22.5° 三．解答题 15．证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠DBC， ∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴DE＝BE， 同理CF＝DF， ∴EF＝DE+DF＝BE+CF， 即BE+CF＝EF． 16．解：∵∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm， ∴AC＝＝4cm， 当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在CA上，t＝3（s）； 若点P在AB上，CP＝CB＝3，作CH⊥AB于H，如图，CH＝，在Rt△BCH中，BH＝， 则PB＝2BH＝， ∴CA+AP＝4+5﹣＝5.4，此时t＝5.4s； 当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，如图， 则BD＝CD， ∴PD为△ABC的中位线， ∴AP＝BP，即AP＝AB＝， ∴t＝4+＝（s）； 当BP＝BC时，△BCP为等腰三角形，即BP＝BC＝3， ∴AP＝AB﹣BP＝2， ∴t＝4+2＝6（s）， 综上所述，t为3s或5.4s或6s或s时，△BCP为等腰三角形． 17．解：（1）EF＝BE+CF， 理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO， ∴BE＝OE，CF＝OF， ∴EF＝OE+OF＝BE+CF； （2）结论：EF＝BE﹣CF． 理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD， ∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCD， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCD， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO， ∴BE＝OE，CF＝OF， ∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF． 故答案为EF＝BE﹣CF． 18．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝30°， ∵AB＝10cm， ∴AM＝AB﹣BM＝10﹣2t，AN＝t； （2）∵△AMN是以MN为底的等腰三角形， ∴AM＝AN，即10﹣2t＝t， ∴当t＝时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形； （3）当MN⊥AC时，MN∥BC． ∵∠C＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝30° ∵MN∥BC， ∴∠NMA＝30° ∴AN＝AM， ∴t＝（10﹣2t），解得t＝， ∴当t＝时，MN∥BC， CN＝5﹣×1＝． 19．解：（1）图中有5个等腰三角形， EF＝BE+CF， ∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形， 可得EF＝EO+FO＝BE+CF； （2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO， 如下图所示：∵EF∥BC， ∴∠2＝∠3， 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证． ∴EF＝BE+CF存在． （3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF＝BE﹣CF， ∵如下图所示：OE∥BC，∴∠5＝∠6， 又∠4＝∠5，∴∠4＝∠6， ∴△BEO是等腰三角形， 在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形， ∵BE＝EO，OF＝FC， ∴BE＝EF+FO＝EF+CF， ∴EF＝BE﹣CF 20．（1）解：方法一：如图1中，在线段BC的上方，作∠EBC＝∠C，延长CF交BE于A，△ABC即为所求． 方法二：如图2中，作线段BC的垂直平分线交CF的延长线于A，△ABC即为所求． 方法三：将纸片折叠使得点B与点C重合，∠C的另一边与折痕交于点A，连接AB，△ABC即为所求． （2）证明：方法一：如图4中，作AD⊥BC于D． ∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝AD， ∴△ADB≌△ADC（AAS）， ∴AB＝AC． 方法二：如图5中，作AT平分∠BAC交BC于T． ∵∠B＝∠C．∠TAB＝∠TAC，AT＝AT， ∴△ATB≌△ATC（AAS）， ∴AB＝AC． 学科网（北京）股份有限公司 $$