6.3 特殊的平行四边形2024-2025学年九年级中考数学第一轮复习

6.3 特殊的平行四边形2024-2025学年九年级数学第一轮复习 绝 招 课 堂 【例题】如图①，在正方形ABCD和正方形BEFG 中，点 A，B，E在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接 PG,PC。 (1)探究 PG与PC 的位置关系及 的值(写出结论，不需要证明)； (2)如图②,将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG,且∠ABC=∠BEF=60度。探究 PG 与PC的位置关系及 的值，写出你的猜想并加以证明： (3)如图③,将图②中的菱形 BEFG绕点 B 顺时针旋转,使菱形 BEFG 的边BG 恰好与菱形ABCD的边AB 在同一条直线上，问题(2)中的其他条件不变。你在(2)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明。 课 后 练 习 一、选择题(共6 小题) 1.如图4.把含30°的直角三角板 PMN放置在正方形ABCD 中,∠PMN=30°,直角顶点 P 在正方形ABCD 的对角线BD 上.点M. N分别在AB 和CD边上. MN与BD 交于点O,且点O为MN 的中点.则∠AMP的度数为 ( )。 A.60° B.65° C.75° D.80° 2.如图5.在菱形 ABCD中.∠A=60°.点E,F 分别在边AB,BC上,AE=BF=2.△DEF 的周长为 .则AD的长为 ( )。 A. B.2 3.如图6是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD.相邻纸片之间互不重叠也无缝隙.其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S₁，另两张直角三角形纸片的面积都为S₂，中间一张矩形纸片 EFGH的面积为S₃,FH 与GE 相交于点O。当△AEO,△BFO,△CGO,△DHO的面积相等时,下列结论一定成立的是 ( )。 C. AB=AD D. EH=GH 4.如图7.矩形 ABCD的对角线AC、BD交于点O、AB=6、BC=8,过点O作OE⊥AC,交 AD于点E,过点 E 作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为 ( )。 A. B.3 C. D. 5.如图8.在正方形ABCD中.点E,F将对角线AC 三等分,且 AC=12,点 P在正方形的边上,则满足 PE+PF=9的点 P 的个数是 ( )。 A.0 B.4 C.6 D.8 6.如图9.菱形ABCD的顶点B、C在x轴上(B在C的左侧),顶点 A、D在x轴上方,对角线BD的长是 点 E(-2.0)为 BC 的中点,点 P 在菱形ABCD 的边上运动。当点 F(0,6)到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB 的中点处，则菱形 ABCD 的边长等于 ( )。 A. C. D.3 二、填空题(共6小题) 7.如图 10,在矩形ABCD 中,连接BD,过点C作∠DBC平分线BE 的垂线,垂足为点 E,且交 BD于点 F：过点C作∠BDC平分线DH的垂线.垂足为点 H.且交 BD于点G，连接HE.若 ，则线段 HE 的长度为 。 8.如图 11.在平面直角坐标系中，OA=1.以OA为一边.在第一象限作菱形OAA₁B，并使∠AOB=60°.再以对角线OA₁为一边，在如图 11 所示的一侧作相同形状的菱形OA₁A₂B₁，再依次作菱形OA₂A₃B₂,OA₃A₄B₃,…,则过点B₂₀₁₅. B₂₀₁₅. A₂₀₁₅的圆的圆心坐标为 。 9.如图 12中的图①是邻边长为2和6的矩形.它由三个小正方形组成.将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形(如图②)，则图①中所标注的d的值为 ；记图①中小正方形的中心为点 A，B，C，图②中的对应点为点 A'，B'，C'。以大正方形的中心()为圆心作圆，则当点 A'，B'，C'在圆内或圆上时，圆的最小面积为 。 10.如图13.在△ABC中,AB=AC=5. BC=4 ，D为边AB 上一动点(B点除外)，以CD 为一边作正方形CDEF.连接BE，则△BDE 面积的最大值为 。 11.如图14,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB 边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN.连接A'C.则 A'C 长度的最小值是 。 12.如图15.在正方形 ABCD中,点 E、F 分别在边BC、CD 上,且∠EAF=45°,AE 交 BD于M点. AF交BD于 N 点。 (1)若正方形的边长为2.则△CEF的周长是 ； (2)下列结论： ②若 F 是CD 的中点,则 tan∠AEF=2;③连接MF,则△AMF为等腰直角三角形。其中正确结论的序号是 (把你认为所有正确的都填上)。 三、解答题(共4 小题) 13.如图16,已知四边形 ABCD是矩形,点 E 在对角线AC 上,点 F 在边CD 上(点 F 与点C、D不重合),BE⊥EF,且∠ABE+∠CEF=45°。 (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)连接BD,交EF于点Q,求证:DQ·BC=CE·DF。 14.如图17中的图①,BD 是矩形ABCD 的对角线,∠ABD=30°,AD=1。将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置.使 B'为BD 中点·连接AB',C'D,AD',BC',如图②。 (1)求证:四边形 AB'C'D 是菱形; (2)四边形 ABC'D'的周长为 ; (3)将四边形 ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长。 15.如图18，已知在正方形ABCD中，点 M、N为对角线AC上的两个动点，且 过点M、N分别作AB、BC的垂线相交于点 E.垂足分别为 F、G.设 的面积为 的面积为 的面积为S₃。 (1)如图①.当四边形 EFBG为正方形时， ①求证:△AFM≌△CGN; ②求证： (2)如图②,当四边形 EFBG 为矩形时,写出: 三者之间的数量关系，并说明理由； (3)在②的条件下,若BG:GC=m:n(m>n),请直接写出 AF:FB的值。 16.如图19.正方形 ABCD 中,点 E 在边AD 上(不与端点 A,D重合),点 A 关于直线BE 的对称点为点 F,连接CF,设∠ABE=α。 (1)求∠BCF的大小(用含α的式子表示)； (2)过点 C作CG⊥AF,垂足为G,连接DG。判断 DG与CF 的位置关系，并说明理由； (3)将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH,点 E的对应点为点H,连接 BF. HF。当△BFH为等腰三角形时,求 sinα的值。 学科网（北京）股份有限公司 $$