2.7弧长及扇形的面积课时训练-2024—2025学年苏科版数学九年级上册

2.7弧长及扇形的面积课时训练-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．如图，边长为2的菱形绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形的弧上时，弧的长度等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，．若将绕点旋转后，点落在延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，已知A，B，C为上的三点，且．点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接与弦相交于点D，当为直角三角形时，弧的长为（    ） A． B． C．或 D．或 4．如图，是半圆的直径，，是弧上两点．若，，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 5．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（    ） A． B． C． D． 6．如图，菱形中，与交于点，，以为圆心为半径作弧，再以为圆心，为半径作弧分别交于点，于点，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知在中，现将绕点逆时针旋转后得到，那么在旋转的过程中，点所走过的路径长为（    ）．    A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，，，分别以、为圆心，、为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分图形的周长之和为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，，是以为直径的半圆的三等分点，，则阴影部分的面积是 ． 10．如图，在菱形中，，，连接，以的长为直径画弧，分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不保留小数） 11．如图，以为直径画半，弦，半径，过点作，垂足为，则图中阴影部分的面积为 ． 12．如图，在菱形中，连接，以点为圆心，为半径的圆交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点，如果，，那么图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 13．如图所示，用若干个正方形拼成一个大矩形，然后在每个正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”，若图中最大的矩形面积为，则这段“斐波那契螺旋线”的长度为 ．    14．如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点，连接，．若，则阴影部分图形周长的最小值为 （结果保留）． 15．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形门，如图.已知矩形的宽为2m，对角线为4m，则改建后门洞的圆弧长是 m． 16．刘徵是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆（半径为r）的内接正八边形的面积来估计这个圆的面积，则估计值比圆的实际面积少 （用含r的代数式表示） 三、解答题 17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出，其顶点A，B，C均为网格线的交点． (1)将沿水平方向向右平移5个单位，再向下平移3个单位，得到，画出； (2)将以点A为中心，逆时针旋转90°，得到，画出； (3)求弧长．（结果用π表示）． 18．将一个半径为cm的圆分成3个扇形，其圆心角的比1∶2∶3，求： ①各个扇形的圆心角的度数． ②其中最小一个扇形的面积． 19．如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，交于点，交于点，连接，．    (1)试判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，，，求图中阴影部分的面积． 20．如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，连接，使．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长（结果保留）． 21．如图，是的直径，点和点是上的两点，延长到点，连接，，，且．    (1)求证：为的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 22．是的直径，，，与相交于点． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，连接，过点作分别交，于点，，交于点，若，求图中阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D B A A C C 1．C 【分析】本题主要考查了求弧长，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，先由菱形的性质得到，再证明，得到是等边三角形，则，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是边长为2的菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为， 故选C． 2．C 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题． 用扇形面积减去的面积来求得正确答案． 【详解】解：由题意可知，，， ，， 所以图中阴影部分的面积是． 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，求弧长，等边三角形的性质与判定，当时，连接，，先证明三点共线，再证明是等边三角形，得到，则，再利用弧长公式求解即可；当时，则，则为直径，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，当时，连接，， ∵， ∴，点D为的中点， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴弧的长为； 如图所示，当时，则， ∴为直径， ∴弧的长为； 综上所述，弧的长为或， 故选D． 4．B 【分析】由圆周角定理求出，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接 ， ， ， ， ， 的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理，掌握等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理是正确解答的关键． 5．A 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的直径是， 滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、扇形的面积公式、等边三角形的判定及性质，根据菱形的性质得出，，， ，求出和的长，再求出扇形的面积和的面积，即可求出答案．理解阴影部分的面积为是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了勾股定理，旋转性质，弧长公式，根据弧长公式计算即可． 【详解】根据题意，得， 故， 又， 故， 故选C． 8．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，弧长公式的应用，熟练掌握平行四边形的性质，弧长公式是解答本题的关键． 根据题意，设，由平行四边形的性质得到，，再由弧长公式得到阴影部分图形的周长之和的长的长，由此得到答案． 【详解】解：根据题意，设， 四边形是平行四边形， ，， 由题意得，，， 图中阴影部分图形的周长之和的长的长， 故选：． 9． 【分析】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形的面积，难度一般．连接、，根据，是以为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接、． ∵，是以为直径的半圆的三等分点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查菱形的性质，扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积．设的中点为，连接，，，，得出过点，是等边三角形，是等边三角形，再将转化为计算即可． 【详解】解：如图，设的中点为，连接，，，， ∵在菱形中，，， ∴，，， ∵以的长为直径画弧，分别交、于点、， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴，，是等边三角形， ∵过点，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查勾股定理，不规则图形的面积，先由勾股定理求出的长，再利用半圆的面积减去的面积即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得，， 由勾股定理可得，，， ∴， 解得， ∴， 阴影部分的面积为 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了扇形面积公式，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的性质和扇形面积公式是解题的关键．根据菱形的性质，四条边相等，对角线平分对角，可得两个扇形的半径和圆心角都相同，利用扇形面积公式可求出两个扇形的面积，过点作于点，根据，可求出，即可求出菱形的面积，利用菱形面积减去两个扇形的面积即得到阴影部分的面积． 【详解】解： 四边形为菱形，，， ，， 图中两个扇形的半径都是5，圆心角都是， 两个扇形面积和为：， 过点作于点，如图， ， ， 菱形的面积， 图中阴影部分的面积为：． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了弧长，正方形的性质等知识，确定扇形半径是解题的关键 如图，设，则，，，，，则，可求满足要求的解，根据这段“斐波那契螺旋线”的长度为，求解作答即可． 【详解】解：如图，    设，则，，，，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴这段“斐波那契螺旋线”的长度为， 故答案为：． 14．/ 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称的性质，求弧长，等边三角形的判定和性质，在上取，连接，，则与交于点F，连接，证明点与点E关于对称，得出，得出，求出，得出最小时，最小时，阴影部分周长最小，根据两点之间线段最短，得出当B、D、E三点共线时，最小，即阴影部分周长最小，求出最小值即可． 【详解】解：在上取，连接，，则与交于点F，连接，如图所示： ∵平分交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点与点E关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，阴影部分周长最小， ∵， ∴最小时，最小时，阴影部分周长最小， ∵两点之间线段最短， ∴当B、D、E三点共线时，最小，即阴影部分周长最小， ∴当点D在点F处时，最小，且最小值为， ∵， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴阴影部分周长最小值为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了弧长公式、矩形的性质、等边三角形的判定和性质，求得弧所对的圆心角和圆的半径是解答本题的关键．连接、相交于O，根据矩形的性质可得，，，即得到是等边三角形，的半径是2，由此可得，改建后门洞的圆弧所对的圆心角为，根据弧长公式即可求． 【详解】解：如图：连接、相交于O， 由题意得，四边形为矩形，，， ， 是等边三角形，的半径是2， ， 改建后门洞的圆弧所对的圆心角为， 改建后门洞的圆弧长是（）． 故答案为． 16． 【分析】本题考查正多边形和圆．根据正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，由题意可知正八边形内接于， 正八边形内接于， ， 在中，，， ， ， 这个估计值比圆的实际面积少． 故答案为：． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）分别作出平移后的，再依次连接，即可作答． （2）分别作出旋转后的，再依次连接，即可作答． （3）先求出半径，再根据弧长公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示，为所求作的图形； （2）解：如图所示，为所求作的图形； （3）解： ∵ ∴弧长为：， 【点睛】本题考查了勾股定理与网格、求弧长公式、平移作图，旋转作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．①这三个扇形的圆心角分别是：、、；② 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，认识平面图形，掌握周角的定义和扇形的面积即可解答该题，属于基础题． ①三个圆心角的度数之和为，据此进行解答； ②根据扇形的面积公式进行解答． 【详解】解：①设三个圆心角的度数分别是、、，则， 解得． 故这三个扇形的圆心角分别是：、、； ②圆心角为的扇形最小，其面积为：． 19．(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明，三角形内角和，组合图形面积的计算； （1）设，则，根据，得到，故可得到，从而证得结论； （2）根据勾股定理，可求出的长度，再根据三角形面积公式可求出的长度，阴影部分面积，可转化成三角形面积减去圆的面积，据此来求解即可． 【详解】（1）解：是的切线，理由： 证明：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，即可； （2）根据，得到，进而得到，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，求出半径的长，根据弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，则：，    ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，弧长公式，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关知识点，灵活运用，是解题的关键． 21．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，求扇形中不规则图形的阴影部分面积； （1）连接，由圆的基本性质得，结合等腰三角形的性质得，由直径所对的圆周角是直角得，即可求解； （2）由勾股定理得，由即可求解； 掌握切线的判定方法“连半径，证垂直”，能将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接，   ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ； 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理、垂径定理以及扇形面积； （1）根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出，再根据切线的判定方法进行解答即可； （2）根据垂径定理，平行线的性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 即， 是的直径， 是的切线； （2）解：如图，连接， 是的直径， ， 即， ， ， ， ， ，， ， ， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$