（决胜中考）不等式与不等式组小专题训练-2025年九年级中考数学一轮复习

（决胜中考）不等式与不等式组小专题训练-2025年中考数学一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•端州区校级期中）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．3a＞b+1 B．a+1＞b+1 C．﹣2a＞﹣2b D．|a|＞|b| 2．（2024•望城区模拟）下列判断不正确的是（　　） A．若a＞b，则﹣4a＜﹣4b B．若2a＞3a，则a＜0 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b 3．（2024春•遵义期末）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•纳溪区期末）如果关于x的方程ax﹣x+6＝0的解为正整数，且关于x的不等式组的解集为x＜9，那么符合条件的所有整数a的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2024•台湾）小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．依据图（九）的信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为20公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（　　） 每人使用各种交通工具 每移动1公里产生的碳排放量 ●自行车：0公斤 ●公交车：0.04公斤 ●机车：0.05公斤 ●汽车：0.17公斤 A．310天 B．309天 C．308天 D．307天 6．（2024•浙江模拟）不等式组的整数解的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．（2024春•大渡口区校级期中）若一艘轮船沿江水顺流航行120km用时少于3小时，它沿江水逆流航行60km也用时少于3小时，设这艘轮船在静水中的航速为x km/h，江水的流速为y km/h，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 8．（2024•大渡口区校级开学）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2，后则显示|x1﹣x2|的结果，比如依次输入1，2，则输出结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是1； ②若将2，3，6这3个整数任意的一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k，若k的最大值为2021，那么k的最小值为2019． 以上说法正确的个数有（　　）个． A．3 B．2 C．1 D．0 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•慈溪市校级月考）将“3x与9的差是负数”用不等式表示为“　 　”． 10．（2024秋•道里区校级月考）解不等式组的解集是 　 　． 11．（2024秋•江北区校级月考）若关于x的不等式组的解集为x＞﹣3，且点（2m+7，4）关于y轴对称的点在第二象限，则所有满足条件的整数m的值之和为 　 　． 12．（2024春•交口县期末） 2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能至少获利20%，设这批“国潮”年货礼盒每盒的标价是x元，则可列不等式 　 　． 13．（2024秋•保定月考）如图按下面的程序运算： 当x＝7时，输出结果为　 　．若运行到“判断结果是否大于20”为一次运算，进行了两次运算就输出停止，则x的取值范围是　 　． 14．（2024秋•洪山区校级月考）高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]示不超过x的最大整数．例如：[2.3]＝2；[﹣1.5]＝﹣2．则下列论： ①[﹣2.1]+[1]＝﹣2； ②[x]+[﹣x]＝0； ③若[x+1]＝3，则x的取值范围是2＜x＜3； ④当﹣1≤x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为0、1、2． 其中正确的结论有 　 　（写出所有正确结论的序号）． 15．（2023秋•九龙坡区校级期末）如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是 　 　． 16．（2024秋•泗县月考）对于两个互不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题： （1）方程max{1，﹣1}＝x2+2x+2的解为x＝　 　； （2）方程max{x，0}＝x2﹣2的解为x＝　 　． 三．解答题（共6小题） 17．（2024秋•青秀区校级月考）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 18．（2024秋•慈溪市校级月考）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3 （2） 19．（2024秋•岳麓区校级月考）为迎接培圣校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元． （1）求甲、乙两种模型的单价各是多少元？ （2）现计划用1220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案． 20．（2024秋•九龙坡区校级月考）某水果批发商八月份销售了苹果270箱、梨子250箱．已知苹果每箱售价是梨子每箱售价的，且这两种水果八月份的销售额共为7740元． （1）求该水果商八月份苹果和梨子的每箱售价分别为多少元； （2）随着市场的变化，该水果批发商九月份对苹果和梨子的售价进行了调整．每箱苹果的售价在八月份的基础上下调了，每箱梨子的售价在八月份的基础上上涨了，九月份这两种水果的销量在八月份的基础上都上涨了a%，要使得这两种水果九月份的总销售额不低于八月份的总销售额的，求a的最小值． 21．（2024春•殷都区期末）北京时间2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种型号运载火箭模型进行销售，据了解，2件A种型号运载火箭模型和4件B种型号运载飞船模型的进价共计140元；3件A种型号运载火箭模型和2件B种型号运载火箭模型的进价共计130元． （1）求A，B两种型号运载火箭模型每件的进价分别为多少元？ （2）若该超市计划用不超过800元的资金购进这两种型号运载火箭模型共30件，求A种型号运载火箭模型最多能购买多少件？ 22．（2024秋•霍邱县月考）阅读下列材料：，即当x＞0时，，当x＜0时，，运用以上结论解决下面问题： （1）当时，若b＜0，|a|＜|b|，则a+b 　 　0； （2）当abc＞0时，若，则b 　 　0； （3）已知a，b，c是非零有理数，则＝ 　 　； （4）当a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，求a+b的值．（写出分类讨论的过程） （决胜中考）不等式与不等式组小专题训练-2025年中考数学一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•端州区校级期中）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．3a＞b+1 B．a+1＞b+1 C．﹣2a＞﹣2b D．|a|＞|b| 【解答】解：a＞b，不妨设a＝0.2，b＝0.1，则3a＜b+1，故选项A不符合题意； a＞b，不妨设a＝1，b＝﹣2，则|a|＜|b|，故选项D不符合题意； ∵a＞b， ∴a+1＞b+1，﹣2a＜﹣2b， 故选项B符合题意，选项C不符合题意． 故选：B． 2．（2024•望城区模拟）下列判断不正确的是（　　） A．若a＞b，则﹣4a＜﹣4b B．若2a＞3a，则a＜0 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b 【解答】解：A、若a＞b，则﹣4a＜﹣4b，此选项正确； B、若2a＞3a，则a＜0，此选项正确； C、若a＞b，则ac2＞bc2，没有注明c≠0，此选项错误； D、若ac2＞bc2，则a＞b，此选项正确． 故选：C． 3．（2024春•遵义期末）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：依题意， 由x+2＞0，解得x＞﹣2， 由x﹣1≤0，解得x≤1， ∴不等式组的解集﹣2＜x≤1， 数轴如下： 故选：C． 4．（2024春•纳溪区期末）如果关于x的方程ax﹣x+6＝0的解为正整数，且关于x的不等式组的解集为x＜9，那么符合条件的所有整数a的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：解关于x的方程ax﹣x+6＝0得x＝﹣ ∵关于x的方程ax﹣x+6＝0的解为正整数， ∴a﹣1＜0，且a﹣1＝﹣1、﹣2，﹣3，﹣6， 于是a＝0、，﹣1、﹣2、﹣5； 又∵不等式组整理得， 而不等式组的解集为x＜9， ∴6﹣3a≥9， 解得a≤﹣1 于是符合条件的整数a的值为：﹣1、﹣2、﹣5， 故选：B． 5．（2024•台湾）小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．依据图（九）的信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为20公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（　　） 每人使用各种交通工具 每移动1公里产生的碳排放量 ●自行车：0公斤 ●公交车：0.04公斤 ●机车：0.05公斤 ●汽车：0.17公斤 A．310天 B．309天 C．308天 D．307天 【解答】解：设改搭公交车上下班x天， 根据题意得：（0.17﹣0.04）×20x＞800， 解得：x＞， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为308， ∴至少要改搭公交车上下班308天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量． 故选：C． 6．（2024•浙江模拟）不等式组的整数解的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解答】解： 解不等式①得，x≥1， 解不等式②得，x≤4.5， 故不等式组的解集是1≤x≤4.5， 其整数解有1，2，3，4共4个， 故答案为：B． 7．（2024春•大渡口区校级期中）若一艘轮船沿江水顺流航行120km用时少于3小时，它沿江水逆流航行60km也用时少于3小时，设这艘轮船在静水中的航速为x km/h，江水的流速为y km/h，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，得， 故选：B． 8．（2024•大渡口区校级开学）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2，后则显示|x1﹣x2|的结果，比如依次输入1，2，则输出结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是1； ②若将2，3，6这3个整数任意的一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k，若k的最大值为2021，那么k的最小值为2019． 以上说法正确的个数有（　　）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【解答】解：①由题意得：|1﹣2|＝|﹣1|＝1，|1﹣3|＝|﹣2|＝2，|2﹣4|＝|﹣2|＝2， ∴输出的结果是2． 故①是错误的； ②对于2，3，6，按如下次序输入2、3、6， ∴|2﹣3|＝1，|1﹣6|＝5，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5． 故②是错误的； ③∵随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为2021， 故可设b为较大数字， ∴当a＝1时，|b﹣|a﹣2||＝|b﹣1|＝2021． ∴b＝2022． ∴此时任意输入后得到的最小数为：|2﹣|2022﹣1||＝2019． 又设b为较大数字， ∴当b＞a＞2时，|b﹣|a﹣2||＝|b﹣a+2|＝2021． ∴b﹣a+2＝2021，即b﹣a＝2019，则a﹣b＝﹣2019． ∴此时最小数为：|a﹣|b﹣2||＝|a﹣b+2|＝2017． ∴此时k的最小值为2017． 故③是错误的； 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•慈溪市校级月考）将“3x与9的差是负数”用不等式表示为“　3x﹣9＜0　”． 【解答】解：根据题意得：3x﹣9＜0． 故答案为：3x﹣9＜0． 10．（2024秋•道里区校级月考）解不等式组的解集是 　2≤x＜6　． 【解答】解：解不等式x﹣2≥0，得x≥2， 解不等式x﹣3＜3，得x＜6， 解集是2≤x＜6， 故答案为：2≤x＜6． 11．（2024秋•江北区校级月考）若关于x的不等式组的解集为x＞﹣3，且点（2m+7，4）关于y轴对称的点在第二象限，则所有满足条件的整数m的值之和为 　﹣6　． 【解答】解：由题意，， ∴由①得，x≥m﹣2；由②得，x＞﹣3． 又不等式组的解集为x＞﹣3， ∴m﹣2≤﹣3． ∴m≤﹣1． 又∵点（2m+7，4）关于y轴对称的点为（﹣2m﹣7，4），且对称点在第二象限， ∴﹣2m﹣7＜0． ∴m＞﹣． ∴﹣＜m≤﹣1． ∴满足题意的整数m为：﹣3，﹣2，﹣1． ∴所有满足条件的整数m的值之和为：﹣3﹣2﹣1＝﹣6． 故答案为：﹣6． 12．（2024春•交口县期末） 2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能至少获利20%，设这批“国潮”年货礼盒每盒的标价是x元，则可列不等式 　0.8x﹣200≥200×20%　． 【解答】解：根据题意得：0.8x﹣200≥200×20%． 故答案为：0.8x﹣200≥200×20%． 13．（2024秋•保定月考）如图按下面的程序运算： 当x＝7时，输出结果为　33　．若运行到“判断结果是否大于20”为一次运算，进行了两次运算就输出停止，则x的取值范围是　　． 【解答】解：当x＝7时，7×5﹣2＝35﹣2＝33＞20， ∴输出结果为33， 由题意可列不等式组， 解不等式组得：． 故答案为：． 14．（2024秋•洪山区校级月考）高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]示不超过x的最大整数．例如：[2.3]＝2；[﹣1.5]＝﹣2．则下列论： ①[﹣2.1]+[1]＝﹣2； ②[x]+[﹣x]＝0； ③若[x+1]＝3，则x的取值范围是2＜x＜3； ④当﹣1≤x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为0、1、2． 其中正确的结论有 　①　（写出所有正确结论的序号）． 【解答】解：①由题意可知[﹣2.1]＝﹣3，[1]＝1，﹣3+1＝﹣2，故①正确； ②当x取小数时，显然不成立，故②错误； ③若[x+1]＝3，则x+1要满足x+1≥3，且x+1＜4，解得x≥2，且x＜3，即2≤x＜3，故③错误； ④当﹣1≤x＜1时，0≤x+1＜2，0＜﹣x+1≤2， ∴[x+1]＝0或1，[﹣x+1]＝0或1或2， 当[x+1]＝0时，[﹣x+1]＝1或2；当[x+1]＝1时，[﹣x+1]＝1或0； 所以[x+1]+[﹣x+1]的值为1、2，故④错误． 故答案为：①． 15．（2023秋•九龙坡区校级期末）如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是 　15　． 【解答】解：原不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴， 解得2≤m＜7． 原分式方程的解为， ∵分式方程有非负数解， ∴， 解得m＞1，且m≠5， ∵m＝5时y＝2是原分式方程的增根． ∴符合条件的所有整数m的和是2+3+4+6＝15． 故答案为：15． 16．（2024秋•泗县月考）对于两个互不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题： （1）方程max{1，﹣1}＝x2+2x+2的解为x＝　﹣1　； （2）方程max{x，0}＝x2﹣2的解为x＝　或2　． 【解答】解：（1）由题意可知：x2+2x+2＝1， ∴x2+2x+1＝0， ∴（x+1）2＝0， 解得x1＝x2＝﹣1， 故答案为：﹣1． （2）当x≥0时， 由题意可知：x2﹣2＝x， ∴x2﹣x﹣2＝0， ∴（x﹣2）（x+1）＝0， ∴x+1＝0或x﹣2＝0， 解得x＝2或x＝﹣1（舍去）； 当x＜0时， 由题意可知：x2﹣2＝0， ∴x2＝2， 解得或（舍去）； 综上所述，x＝2或； 故答案为：或2． 三．解答题（共6小题） 17．（2024秋•青秀区校级月考）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【解答】解：由①得x＜1； 由②得x＞﹣3； 故不等式组的解集为﹣3＜x＜1； 在数轴上表示如下： ． 18．（2024秋•慈溪市校级月考）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3 （2） 【解答】解：（1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3， 2x﹣11≥4x﹣12+3， 2x﹣4x≥﹣12+3+11， ﹣2x≥2， x≤﹣1． 数轴如下： （2）， 2（2x﹣1）＜3（3x﹣2）﹣6， 4x﹣2＜9x﹣6﹣6， 4x﹣9x＜﹣6﹣6+2， ﹣5x＜﹣10， x＞2． 数轴如下： 19．（2024秋•岳麓区校级月考）为迎接培圣校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元． （1）求甲、乙两种模型的单价各是多少元？ （2）现计划用1220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案． 【解答】解：（1）设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价y元， 由题意得，， 解得， 答：甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价30元； （2）设购买甲种模型m套，则购买乙种模型（50﹣m）套， 由题意得，， 解得28≤m≤30， ∵m为正整数， ∴m的值可以为28或29或30， 当m＝28时，50﹣m＝22， 当m＝29时，50﹣m＝21， 当m＝30时，50﹣m＝20， ∴一共有3种方案：购买甲种模型28套，购买乙种模型22套；购买甲种模型29套，购买乙种模型21套；购买甲种模型30套，购买乙种模型20套． 答：一共有3种方案：购买甲种模型28套，购买乙种模型22套；购买甲种模型29套，购买乙种模型21套；购买甲种模型30套，购买乙种模型20套． 20．（2024秋•九龙坡区校级月考）某水果批发商八月份销售了苹果270箱、梨子250箱．已知苹果每箱售价是梨子每箱售价的，且这两种水果八月份的销售额共为7740元． （1）求该水果商八月份苹果和梨子的每箱售价分别为多少元； （2）随着市场的变化，该水果批发商九月份对苹果和梨子的售价进行了调整．每箱苹果的售价在八月份的基础上下调了，每箱梨子的售价在八月份的基础上上涨了，九月份这两种水果的销量在八月份的基础上都上涨了a%，要使得这两种水果九月份的总销售额不低于八月份的总销售额的，求a的最小值． 【解答】解：（1）因为苹果每箱售价是梨子每箱售价的， 故设该水果商八月份梨子每箱的售价为3x元，则苹果每箱的售价为2x元， 因为这两种水果八月份的销售额共为7740元， 所以270×2x+250×3x＝7740， 解得x＝6， ∴2x＝12，3x＝18， 答：该水果商八月份苹果每箱的售价为12元，梨子每箱的售价为18元； （2）由题意得，， ∴（270+2.7a）（12﹣0.1a）+（250+2.5a）（18+0.108a）≥11610， ∴3240+32.4a﹣27a﹣0.27a2+4500+45a+27a+0.27a2≥11610， 解得a≥50， ∴a的最小值为50． 21．（2024春•殷都区期末）北京时间2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种型号运载火箭模型进行销售，据了解，2件A种型号运载火箭模型和4件B种型号运载飞船模型的进价共计140元；3件A种型号运载火箭模型和2件B种型号运载火箭模型的进价共计130元． （1）求A，B两种型号运载火箭模型每件的进价分别为多少元？ （2）若该超市计划用不超过800元的资金购进这两种型号运载火箭模型共30件，求A种型号运载火箭模型最多能购买多少件？ 【解答】解：（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元， 根据题意，得：， 解得：， 答：A种飞船模型每件进价30元，B种飞船模型每件进价20元； （2）设购进a件A型飞船模型， 根据题意，得30a+20（30﹣a）≤800， 解得：a≤20， ∴a的最大整数解为20， 答：A种型号运载火箭模型最多能购买20件． 22．（2024秋•霍邱县月考）阅读下列材料：，即当x＞0时，，当x＜0时，，运用以上结论解决下面问题： （1）当时，若b＜0，|a|＜|b|，则a+b 　＜　0； （2）当abc＞0时，若，则b 　＞　0； （3）已知a，b，c是非零有理数，则＝ 　±3或±1　； （4）当a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，求a+b的值．（写出分类讨论的过程） 【解答】（1）解：∵，b＜0， ∴a＞0， 又∵|a|＜|b|， ∴a+b＜0， 故答案为：＜； （2）解：∵， ∴a，c同号， ∴ac＞0， ∵abc＞0， ∴b＞0， 故答案为：＞； （3）解：分以下四种情况： 当a、b、c均为正数时， ∴； 当a、b、c均为负数时， ∴； 当a、b、c中有两个正数一个负数时， 设a＞0，b＞0，c＜0， ∴； 当a、b、c中有一个正数两个负数时， 设a＞0，b＜0，c＜0， ∴； 综上所述，的值为±3或±1， 故答案为：±3或±1； （4）解：∵a与b都是整数，且|a|+|b|＝1， ∴分以下四种情况， 当a＝1，b＝0时，有a+b＝1+0＝1； 当a＝0，b＝1时，有a+b＝0+1＝1； 当a＝﹣1，b＝0时，有a+b＝﹣1+0＝﹣1； 当a＝0，b＝﹣1时，有a+b＝0+（﹣1）＝﹣1， 综上所述，a+b的值为±1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$