江苏省苏州市2024-2025学年上学期八年级数学期中模拟卷（五）

苏州市2024-2025学年第一学期八年级数学期中模拟卷（五） （范围：八上第2-5章+二次根式 时间：120分钟 满分：130分） 一、选择题（8小题） 1．改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣1）关于y轴对称的点Q的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（1，﹣2） 3．2023年苏州全市共有98516名考生参加了“苏州市初中学业水平考试”，将数据98516精确到千位，并用科学记数法可表示为（　　） A．99×103 B．9.8×104 C．9.9×104 D．10.0×104 4．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（　　） A．三条边的比为 B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2 C．三条边的比为4：5：6 D．三个角满足关系∠A＝2∠B＝2∠C 5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠BDC＝（　　） A．30° B．40° C．45° D．60° 第5题 第6题 6．如图，A，B两点的坐标分别为（4，0），（0，2），将线段AB平移到线段A1B1的位置．若A1，B1两点的坐标分别为（b，2），（2，a），则a+b的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则点D到AB的距离（　　） A．3 B．4 C．5 D． 第7题 第8题 8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 二、填空题 9．的算术平方根是　 　；＝　 　． 10．一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是 　 　cm． 11．已知一个正数的两个平方根分别是1﹣6a和3a﹣4，则a的值是　 　，这个正数是　 　． 12．点（﹣5，3）到y轴上的距离是 　 　． 13．如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则点E所表示的数为 　 　． 14．已知a2﹣2021ab+b2＝0（ab≠0），则代数式+的值等于　 　． 15．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（﹣3，0），点C在x轴上，点A在第一象限，且AB＝AC，连接AO，若∠AOC＝60°，AO＝6，则点C的坐标为 　 　． 第15题 第16题 16．如图，正方形ABCD的边长为5，对角线AC，BD交于点E，线段FG的长为2，FG在边BC上移动，连接FE，GE，则EF+EG的最小值是　 　． 三、解答题 17．（1）计算：|﹣3|﹣+×+（﹣2）2． （2）计算：﹣+|﹣|+． 18．求出下列x的值： （1）﹣27x3+8＝0； （2）3（x﹣1）2﹣12＝0． 19．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求2a+b﹣c的平方根． 20．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为A（2，1），图书馆位置坐标为B（﹣1，﹣2），解答下列问题： （1）在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点O； （2）若体育馆位置坐标为C（1，3），请在坐标系中标出体育馆的位置C； （3）点C绕原点顺时针旋转90°得到点D，直接写出点D的坐标； （4）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到△ABC，求△ABC的面积． 21．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为路板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1 尺）．将它往前推进一些（EB⊥OC 于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时路板离地五尺（BD＝CE＝5尺），求秋千绳（OA或OB）的长度． 22．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点M是AC的中点，MN⊥BD于点N，求证：N是BD的中点． 23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AB＝12，AC＝20，求BE的长． 24．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点． （1）求证：BD＝AE． （2）若线段AD＝5，AB＝17，求线段ED的长． 25．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O是坐标原点，AO＝AB＝5，OB＝6． （1）求点A的坐标； （2）将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，求点O的对应点O′的坐标． 26．如图，平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣1，0），点P是线段AB上的一个动点． （1）若OP平分△AOB的面积，求线段OP的长以及点P的坐标； （2）在OB上取一点Q，使得∠OPQ＝45°，当△OPQ是一个等腰三角形时，求出此时点Q的坐标． 27．定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“和谐分割线”． （1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是 　 　（只填写序号）． ①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形． （2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“和谐分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数； （3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l于M，DN⊥l于N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”．求CM+DN的最大值． ∴设三条边分别为4x，5x，6x， ∵（5x）2+（4x）2＝41x2，（6x）2＝36x2， ∴（5x）2+（4x）2≠（6x）2， ∴不能判断是直角三角形， 故C符合题意； D、∵∠A＝2∠B＝2∠C， ∴∠B＝∠C＝∠A， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠A+∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴能判断是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠BDC＝（　　） A．30° B．40° C．45° D．60° 【分析】根据直角三角形斜边上中线定理得出CD＝AD，求出∠DCA＝∠A，根据三角形的外角性质求出即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴BD＝CD＝AD， ∴∠A＝∠DCA＝20°， ∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝20°+20°＝40°． 故选：B． 6．如图，A，B两点的坐标分别为（4，0），（0，2），将线段AB平移到线段A1B1的位置．若A1，B1两点的坐标分别为（b，2），（2，a），则a+b的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】由题意，线段AB，向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到A1B1，求出a，b的值，可得结论． 【解答】解：由题意，线段AB，向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到A1B1， ∴a＝4，b＝6， ∴a+b＝10， ∴ab＝4， ∴大正方形的面积＝4×ab+5＝13， 故选：A． 9．的算术平方根是　2　；＝　　． 【分析】根据开平方的意义，可得平方根、算术平方根；根据去绝对值的运算法则计算即可． 【解答】解：， 则4的算术平方根为2； ． 故答案为：2；． 10．一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是 　17　cm． 【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17（cm）． 故答案为：17． 11．已知一个正数的两个平方根分别是1﹣6a和3a﹣4，则a的值是　﹣1　，这个正数是　49　． 【分析】根据：一个正数的两个平方根的和等于0，可得：（1﹣6a）+（3a﹣4）＝0，据此求出a的值是多少，进而求出这个正数是多少即可． 【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是1﹣6a和3a﹣4， ∴（1﹣6a）+（3a﹣4）＝0， 解得a＝﹣1， ∴这个正数是：[1﹣6×（﹣1）]2＝49． 故答案为：﹣1，49． 12．点（﹣5，3）到y轴上的距离是 　5　． 【分析】确定点到y轴的距离，即为点的横坐标的绝对值． 【解答】解：点P（﹣5，3）到y轴的距离是|﹣5|＝5， 故答案为：5． 13．如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则点E所表示的数为 　1+　． 【分析】根据题意，可得AB＝AE＝，当点A表示的数为1时，则点E所表示的数为：1+． 【解答】解：∵面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，AB＝AE， ∴AB＝AE＝， ∵点A表示的数为1， ∴点E所表示的数为：1+， 故答案为：（9，0）． 16．如图，正方形ABCD的边长为5，对角线AC，BD交于点E，线段FG的长为2，FG在边BC上移动，连接FE，GE，则EF+EG的最小值是　　． 【分析】过E作EH∥BC，过G点作GH∥EF，作E点关于CB的对称点E'，连接E'G，当H、G、E'三点共线时，EF+EG的值最小；分别求出EH＝2，EE'＝5，再由勾股定理可求E'H即为所求． 【解答】解：过E作EH∥BC，过G点作GH∥EF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∴EH＝FG，EF＝GH， ∴EF+EG＝GH+EG， 作E点关于CB的对称点E'，连接E'G， ∴EG＝E'G， ∴当H、G、E'三点共线时，EF+EG的值最小， 此时EF+EG＝GH+GE'＝HE'， ∵EE'⊥BC，AB＝5， ∴EE'＝5， ∵FG＝2， ∴EH＝2， ∴E'H＝＝＝， ∴EF+EG的最小值为， 故答案为：． 17．（1）计算：|﹣3|﹣+×+（﹣2）2． （2）计算：﹣+|﹣|+． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：（1）|﹣3|﹣+×+（﹣2）2 ＝3﹣4+×（﹣2）+4 ＝3﹣4﹣1+4＝2； （2）﹣+|﹣|+ ＝4﹣++（﹣3）＝1． 18．求出下列x的值： （1）﹣27x3+8＝0； （2）3（x﹣1）2﹣12＝0． 【分析】（1）先移项，再两边都除以﹣27，继而两边开立方即可得； （2）先移项，再两边都除以3，继而两边开平方，最后解方程即可得． 【解答】解：（1）∵﹣27x3+8＝0， ∴﹣27x3＝﹣8， 则x3＝， 解得：x＝； （2）∵3（x﹣1）2﹣12＝0， ∴3（x﹣1）2＝12， ∴（x﹣1）2＝4， 则x﹣1＝±2 解得：x＝3或x＝﹣1． 19．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求2a+b﹣c的平方根． 【分析】根据立方根，平方根的定义及无理数的估算确定a，b，c的值后代入2a+b﹣c中计算，然后求得它的平方根即可． 【解答】解：∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4， ∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16， 解得：a＝5，b＝2， ∵9＜11＜16， ∴3＜＜4， ∵c是的整数部分， ∴c＝3， ∴2a+b﹣c＝2×5+2﹣3＝9， 则2a+b﹣c的平方根是±3． 20．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为A（2，1），图书馆位置坐标为B（﹣1，﹣2），解答下列问题： （1）在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点O； （2）若体育馆位置坐标为C（1，3），请在坐标系中标出体育馆的位置C； （3）点C绕原点顺时针旋转90°得到点D，直接写出点D的坐标； （4）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到△ABC，求△ABC的面积． 【分析】（1）根据A，B两点坐标确定平面直角坐标系即可． （2）根据点C的坐标，作出图形即可； （3）利用旋转变换的性质作出点C的对应点D即可； （4）把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可． 【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示； （2）如图，点C即为所求； （3）如图，点D即为所求，D（3，﹣1）； （4）S△ABC＝3×5﹣×2×5﹣×3×3﹣×1×2＝4.5． 21．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为路板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1 尺）．将它往前推进一些（EB⊥OC 于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时路板离地五尺（BD＝CE＝5尺），求秋千绳（OA或OB）的长度． 【分析】设OB＝OA＝x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：设OB＝OA＝x（尺）， ∵四边形BECD是矩形， ∴BD＝EC＝5（尺）， 在Rt△OBE中，OB＝x，OE＝x﹣4，BE＝10， ∴x2＝102+（x﹣4）2， ∴x＝． ∴OA的长度为（尺）． 22．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点M是AC的中点，MN⊥BD于点N，求证：N是BD的中点． ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠DAB＝∠DAC，AE＝AF， ∴AD平分∠BAC． （2）解：∵AE＝AF， ∴AB+BE＝AF， ∴AB+2BE＝AF+BE， ∵BE＝CF， ∴AB+2BE＝AF+CF＝AC， ∵AB＝12，AC＝20， ∴12+2BE＝20， ∴BE＝4． 24．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点． （1）求证：BD＝AE． （2）若线段AD＝5，AB＝17，求线段ED的长． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，证明△ACE≌△BCD，即可解答； （2）由AD＝5，AB＝17，求得BD＝17﹣5＝12，根据△ABC是等腰直角三角形，得到∠B＝45°，由（1）可知△ACE≌△BCD，得到∠EAC＝∠B＝45°，AE＝BD＝7， 进而∠EAD＝90°，根据勾股定理即可解答． 【解答】解：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACE+∠ACD＝∠BCD+∠ACD， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴BD＝AE． （2）∵AD＝5，AB＝17， ∴BD＝17﹣5＝12， 由（1）得AE＝BD＝12， ∵∠EAD＝90°， ∴ED＝． 25．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O是坐标原点，AO＝AB＝5，OB＝6． （1）求点A的坐标； （2）将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，求点O的对应点O′的坐标． 【分析】（1）如图，过点A作AC⊥OB于点C，则∠ACO＝90°，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求出OC，AC，可得结论； （2）由旋转的性质可知，△AOB≌△A′O′B，推出A′B＝AB＝5，O′B＝OB＝6，过点O′作O′D⊥A′B于点D，利用面积法求出O′D，再利用勾股定理求出BD，OD，可得结论． 【解答】解：（1）如图，过点A作AC⊥OB于点C，则∠ACO＝90°， ∵AO＝AB，AC⊥OB， ∴OC＝BC＝3， 在Rt△ACO中，∠ACO＝90°， ∴AC＝＝＝4， ∴点A的坐标为（3，4）； （2）由旋转的性质可知，△AOB≌△A′O′B， ∴A′B＝AB＝5，O′B＝OB＝6， 过点O′作O′D⊥A′B于点D， ∵S△AOB＝S△A′O′B， ∴•AC•OB＝•A′B•O′D， ∴×4×6＝×5×O′D， ∴O′D＝， ∵O′D⊥A′B， ∴∠O′DA′＝90°， 在Rt△O′BD中，BD＝＝＝， ∴OD＝OB+BD＝6+＝， ∴O′（，）． 26．如图，平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣1，0），点P是线段AB上的一个动点． （1）若OP平分△AOB的面积，求线段OP的长以及点P的坐标； （2）在OB上取一点Q，使得∠OPQ＝45°，当△OPQ是一个等腰三角形时，求出此时点Q的坐标． 【分析】（1）根据中点坐标公式可得点P的坐标，从而得出OP的长； （2）分OP＝OQ或OP＝QP或QP＝QO三种情形，当OP＝QP时，证明△AOP≌△BPQ（AAS），得OA＝BP＝1，AP＝BQ＝﹣1． 【解答】解：（1）∵OP平分△AOB的面积， ∴点P为AB的中点， ∵A（0，1），B（﹣1，0）， ∴P（﹣，）， ∴OP＝； （2）当OP＝OQ时， ∴∠OPQ＝∠OQP＝45°， ∴点Q与B重合， ∴Q（﹣1，0）， 当QP＝QO时， ∴∠QPO＝∠QOP＝45°， ∴∠PQO＝90°，OP平分∠AOB， ∴△OPB是等腰直角三角形， ∵PQ⊥OB， ∴Q（﹣，0）， 当OP＝QP时， ∵∠OPB＝∠BAO+∠AOP＝∠BPQ+∠OPQ， ∴∠BPQ＝∠AOP， 又∵∠OAB＝∠OBA， ∴△AOP≌△BPQ（AAS）， ∴OA＝BP＝1，AP＝BQ＝﹣1， ∴Q（﹣2，0）， 综上：Q（﹣1，0）或（﹣，0）或（﹣2，0）． 27．定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“和谐分割线”． （1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是 　①　（只填写序号）． ①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形． （2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“和谐分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数； （3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l于M，DN⊥l于N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”．求CM+DN的最大值． 【分析】（1）根据“和谐分割线”的定义判断即可； （2）分三种情形：当“和谐分割线”经过点C，当“和谐分割线”经过点A，当“和谐分割线”经过点B，分别画出图形求解即可； （3）证明△DNE≌△AGE（AAS），推出DN＝AG．在Rt△AGF和Rt△CMF中，∠CMF＝∠AGF＝90°推出CM≤CF，AG≤AF，推出CM+AG≤CF+AF，即CM+AG≤AC，由此可得结论． 【解答】解：（1）根据“和谐分割线”的定义可知，等腰直角三角形，顶角为150°的等腰三角形存在“和谐分割线”．等边三角形不存在“和谐分割线”； 故答案为：①； （2）如图3﹣1中，当EC＝EA时，∠AEC＝60°， 当FC＝FB时，∠BFC＝100°， 当BC＝BG时，∠B＝40°． 如图3﹣2中，当AC＝AR时，∠CAR＝20°， 当CA＝CW时，∠C＝80°， 如图3﹣3中，BC＝BQ时，∠CBQ＝20°， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$