第24章解直角三角形单元复习题2024-2025学年华东师大版九年级数学上册

华东师大版九年级数学上册第24章解直角三角形单元复习题 一、单选题(共10题；共40分) 1．（4分）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，1，2 B．1，，2 C．4，5，6 D．2，， 2．（4分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，3，4 C．2，3，4 D．2，2，5 3．（4分）已知锐角的取值范围是，下列选项可能是近似值的是（　　） A．0.35 B．0.67 C．0.85 D．1.41 4．（4分）若α是锐角，tanα＝1，则cosα的值是（　　） A． B． C． D．1 5．（4分）如图，在中，，，，等于（　　） A． B． C． D． 6．（4分）如图，在RtABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB+BC＝9cm，则AB的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 7．（4分）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，．长6米，坡度为，的坡度为，则长为（　　） 米 A． B． C． D． 8．（4分）如图所示，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处.点E到地面的高度ED=3.5 m，点F到地面的高度FC=1.5 m，灯泡到木板的水平距离AC=5.4 m，墙到木板的水平距离为CD=4 m.已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（　　） A．1.2 m B．1.3 m C．1.4 m D．1.5 m 9．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交边AC于点D，E为BD的中点，若BC＝2，则CE的长为（　　） A． B．2 C． D．3 10．（4分）如图，已知，点是的平分线上的一点，点，分别是射线和射线上的动点，且，，下列结论中正确的是（　　） A．是一个定值 B．四边形的面积是一个定值 C．当时，的周长最小 D．当时， 二、填空题(共4题；共20分) 11．（5分）如图，平行四边形的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接．若则的长为　 　． 12．（5分）如图，在中，，，点在上，，，　 　． 13．（5分）如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，．则的长为　 　． 14．（5分）如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：①AM＝PN；②DM+DN＝DF；③若P是BC中点，AB＝3，则EM＝2；④BF•NF＝AF•BP；⑤若PM∥BD，则CE＝BC．其中正确的结论是 　 　． 三、解答题(共4题；共32分) 15．（8分） 如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=16，BC=12. （1）（4分）求AC的长； （2）（4分）若D是AC的中点，则BD长为　 　. 16．（8分） 如图，为了测量某建筑物的高度，先在地面上用测角仪自处测得建筑物顶部的仰角，然后在水平地面上向建筑物走到B点处，此时自处测得建筑物顶部的仰角．已知测角仪的高度是． （1）（4分）若，， ，计算出该建筑物的高度． （2）（4分）若，，，计算出该建筑物的高度（用含 的代数式表示） 17．（8分）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：． 18．（8分） 新冠肺炎疫情期间，我国各地采取了多种方式进行预防．其中。某地运用无人机规劝居民回家，如图，无人机于空中A处测得某建筑部B处的仰角为45°．测符该建筑底部C处的俯角为17°，若无人机的飞行高度AD为10m，求该建筑BC的高度(结果取整数)． 参考数据：sin 17°≈0.29， cos17°≈0.96，tan17°≈0.31． 四、综合题(共5题；共58分) 19．（10分）如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连结BE． （1）（5分）求证：四边形BCFD是平行四边形； （2）（5分）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长． 20．（10分）小明同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，如图，他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从点C出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡的坡度（点E，C，B在同一水平线上） （1）（5分）求小明同学从C到D的过程中上升的高度__________米；水平移动的距离__________米； （2）（5分）求大树AB的高度（结果保留根号）． 21．（12分）春暖花开，小明和家人一起去放风筝，小明将风筝放在与地面夹角为的山坡处，并站在处，视线恰好与地面平行，起风后小明从处沿坡面开始往下跑10米至坡底处（米），并继续沿平地向前跑20米到达处（米）后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是，此时风筝恰好升高到起飞时点的正上方处．已知小明视线距地面高度米，图中所有点均在同一平面，点在上，均与地面垂直，求风筝上升的垂直距离．（结果保留根号） 22．（12分）如图，一居民楼底部与山脚位于同一水平线上，小李在处测得居民楼顶的仰角为，然后他从处沿坡角为的山坡向上走到处，这时，点与点在同一水平线上，、、、在同一平面内． （1）（6分）求居民楼的高度； （2）（6分）求点、之间的距离．结果保留根号 23．（14分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF. （1）（6分）求证：四边形ABEF是矩形； （2）（8分）连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：A、，不能构成三角形，故选项A错误； B、，能构成直角三角形，故选项B正确； C、，不能构成直角三角形，故选项C错误； D、，不能构成直角三角形，故选项D错误. 故答案为：B． 【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系，逐项判断即可． 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】B 【解析】【解答】解： α是锐角，tanα＝1 得α=45°，故cos α=cos45°= 故答案为：B. 【分析】直接由α是锐角，tanα＝1 得α=45°即可得结果. 5．【答案】D 【解析】【解答】 在中，，，， ∴ AC==8 ∴ 故答案为：D 【分析】本题考查锐角三角函数正弦和勾股定理。根据勾股定理，计算出AC值，根据正弦函数表示，可得sin∠B的值。 6．【答案】D 7．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过点D作于点E，过点于点F， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵长6米，坡度为， ∴米， ∴米， ∵的坡度为， ∴米， ∴米， 故答案为：A． 【分析】过点D作于点E，过点于点F，利用解直角三角形的方法可得，，再利用勾股定理求出AD的长即可。 8．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可得：， ∴ ∴，即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ，即， 解得：， 故答案为：A 【分析】先根据相似三角形的判定与性质证明，进而即可得到，即，从而即可得到CB，再结合题意即可求出AB，再结合题意应用相似三角形的判定与性质证明即可求解。 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】 12．【答案】6 【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠C=30°， ∴∠C=∠B=30°， ∴∠BAC=180°-30°-30°=120°， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD=90°， ∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°， ∴AD=CD， ∵AD=2， ∴BD=2AD=4，CDF=AD=2， ∴BC=BD+CD=4+2=6. 故答案为：6. 【分析】由等边对等角可得∠C=∠B，由三角形内角和定理可求得∠BAc的度数，结合角的构成"∠CAD=∠BAC-∠BAD"可求得∠CAD的度数，根据等角对等边可得AD=CD，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2AD，然后根据线段的构成“BC=BD+CD”可求解. 13．【答案】 【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=，BC=h， ∴AB==， 故答案为：. 【分析】利用解直角三角形的方法求出AB==即可. 14．【答案】①②③⑤ 【解析】【解答】解：如图，过点P作PG⊥AD，则ABPG为矩形，∠PGD=90°， ∴AB=PG，∠GNP+∠GPN=90°， 在正方形ABCD中，∠ADM=90°，AD=AB， ∴PG=AD， ∵NP⊥AE， ∴∠ANF+∠NAF=90°， ∴∠NAF=∠GPN， ∴△PGN≌△ADM， ∴AM=PN，故①正确； 如图，过点F作FH⊥BD，连接CF， 在正方形ABCD中，∠ADF=∠ABF=∠CBF=45°，FH⊥BD，AB=BC， ∴△HFD为等腰直角三角形， ∴DH=DF，FD=FH， ∵BF=BF， ∴△ABF≌△CBF（SAS） ∴AF=CF，∠BAF=∠BCF， 在四边形ABPF中，∠ABP=∠AFP=90°， ∴∠BAF+∠BPF=90°， ∵∠FPC+∠BPF=90°， ∴∠BAF=∠FPC=∠BCF， ∴PF=CF=AF， 由①知：AM=PN，即AM-AF=PN-PF， ∴FN=FM， ∵∠HFD=∠NFM=90°， ∴∠NFH=∠DFM ∴△NFH≌△MFD（SAS） ∴NH=DM， ∴DM+DN=NH+DN=DH=DF，故②正确； 连接AP，如图，由P是BC中点 ，则BP=PC=1.5， ∴AP==， 由②知：AP=PF， ∴PF=AP=， 设CE=x，则PE=1.5+x，BE=3+x， ∴AE=， sinE=，即， 解得x=6或-4（舍） ∴CE=6，AE=，BE=9， ∵cosE=， ∴， ∴ME=，故③正确； 由题意知：∠AFN=90°，∠BPF＞90°， ∴△AFE与△APF不相似，则BF•NF≠AF•BP，故④错误； ∵PM∥BD， ∴∠MPC=∠DBC=45°=∠CMP=∠CDB=45°， ∴PC=CM， 可设PC=CM=a，BCCD=AD=AB=b，CE=c， 则PM=a，DM=b-a，BE=b+c，PE=a+c， ∵AF=PF，∠AFN=∠PFM=90°，FN=FM， ∴△AFN≌△PFM（SAS）， ∴AN=PM=a， ∵AD∥CE， ∴△ADM∽△ECM， ∴，即，解得a= ∵AN∥PE， ∴△AFN∽△EFP， ∴，即， ∵AB∥DM ， ∴△DMF ∽△BAF， ∴，即， ∴ 把a=代入中，并整理得b+c=2b+c， 解得， ∴CE=BC，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤. 【分析】过点P作PG⊥AD，证明△PGN≌△ADM，可得AM=PN，故①正确；如图，过点F作FH⊥BD，连接CF，易得△HFD为等腰直角三角形，可得DH=DF，FD=FH，证明△ABF≌△CBF（SAS），可得AF=CF，∠BAF=∠BCF，利用四边形内角和及补角的性质可推∠BAF=∠FPC=∠BCF，可得PF=CF=AF，再证△NFH≌△MFD（SAS），可得NH=DM，从而得出 DM+DN=NH+DN=DH=DF，故②正确；连接AP，由勾股定理求出AP，利用AP=PF可求出PF，设CE=x，则PE=1.5+x，BE=3+x，由勾股定理求出AE的长，利用sinE=建立关于x方程并解之，可得CE=6，AE=，BE=9，再利用cosE=，可求出CM，即可判断③；由题意知：∠AFN=90°，∠BPF＞90°，则△AFE与△APF不相似，故BF•NF≠AF•BP，故④错误； 可设PC=CM=a，BCCD=AD=AB=b，CE=c，则PM=a，DM=b-a，BE=b+c，PE=a+c，证明 △AFN≌△PFM（SAS），可得AN=PM=a，证明△ADM∽△ECM可得，据此求出a=，同理可证△AFN∽△EFP，△DMF ∽△BAF，分别得出，，即得，把a=代入中，并整理得b+c=2b+c，则CE=BC，故⑤正确. 15．【答案】（1）解：∵∠ABC=90°， ∴AC2=AB2+BC2=162+122=400， ∴AC=20； （2）10 【解析】【解答】解：（2）∵∠B=90°，点D是AC的中点， 由（1）知：AC=20， ∴BD=AC=×20=10. 故答案为：10. 【分析】（1）用勾股定理“a2+b2=c2”计算即可求解； （2）结合（1）的结论，根据直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求解. 16．【答案】（1）解：设，则由题意可知，． 在中，， 即， ， ， 解得， （2）解：设 则 ∴ ∴ ∴ ∴ 答：该建筑物的高度为． 【解析】【分析】（1）设，表示出BE，AE，再根据角的正切列出等式，求出CE，进而求得CD即可. （2）设，可知，进而化简求出，得到，最后求出CD即可. 17．【答案】解：由三边关系定理，得3+5＞c，5-3＜c，即8＞c＞2， ∴原式＝- ＝|c-2|-|c-8| ＝c-2-（8-c） ＝c-6． 【解析】【分析】利用三角形三边的关系可得8＞c＞2，再利用二次根式的性质将原式变形为|c-2|-|c-8|，最后求解即可。 18．【答案】解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形 ∴EC=AD=10 在Rt△AEC中，，则 在Rt△AEB中， ∴BC=10+31=42 则该建筑的高度为42m. 【解析】【分析】作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，根据矩形性质可得EC=AD，再在直角三角形，根据锐角函数定义可得AE长，再根据等腰直角三角形性质可得BE=AE，即可求出答案. 19．【答案】（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC中位线， ∴DE∥BC， 即DF∥BC， ∵CF∥AB， ∴四边形BCFD是平行四边形； （2）解：∵AB＝BC，E是AC的中点 ∴BE⊥AC，即∠AEB=90°， ∵点D是边AB的中点， ∴AB=2BD=4， 在Rt△ABE中，， ∴AC=2AE= . 【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥BC，结合CF∥AB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论； （2）根据等腰三角形的三线合一可得BE⊥AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2BD=4，进而在Rt△ABE中，利用勾股定理算出AE，最后根据AC=2AE可得答案. 20．【答案】（1）1；3 （2）米 21．【答案】 22．【答案】（1）居民楼的高度约为； （2）、之间的距离为 23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AB∥CD. ∵DF=CE， ∴DF+DE=CE+ED， 即：FE=CD. ∵点F、E在直线CD上 ∴AB=FE，AB∥FE. ∴四边形ABEF是平行四边形 又∵BE⊥CD，垂足是E， ∴∠BEF=90°. ∴四边形ABEF是矩形. （2）解：∵四边形ABEF是矩形O， ∴∠AFC=90°，AB=FE. ∵AB=6，DE=2， ∴FD=4. ∵FD=CE， ∴CE=4. ∴FC=10. 在Rt△AFD中，∠AFD=90°. ∵∠ADF=45°， ∴AF=FD=4. 在Rt△AFC中，∠AFC=90°. ∴ . ∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点， ∴O为AC中点 在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点. ∴OF= AC= . 【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形斜边中线可得：OF= AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$