精品解析：陕西省西安市第二十六中学2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

2024~2025学年九年级第一学期期中质量检测 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 将一元一次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3，-6 B. 3，6 C. 3，-1 D. 3x2，-6x 【答案】A 【解析】 【分析】方程移项变形为一般形式，找出二次项系数和一次项系数即可． 【详解】方程整理得：3x2−6x−1=0， 则二次项系数和一次项系数分别为3，−6， 故答案选A. 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的一般式形式. 2. 下列四组线段中，不成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的概念，四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴成比例； 、∵， ∴成比例； 、∵， ∴不成比例； 、∵， ∴成比例； 故选：． 3. 在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．解题关键是利用白球的概率公式列方程求解得到白球的个数．利用频率估计概率得到摸到白球的概率为，然后根据概率公式计算得到白球的个数即可得到黄球的个数． 【详解】设布袋中可能装有个白球， 布袋中装有个球，且白球的频率稳定在左右， ， 解得， 即布袋中可能装有个白球， ， 布袋中黄球可能有个黄球． 故选：A． 4. 如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质，轴对称的性质是解题的关键．由在正方形中可求出，从而得到，由折叠可得，再根据正方形中，求得． 【详解】解：∵在正方形中，，， ∴， ∴， 由折叠可得， ∵在正方形中，， ∴． 故选：C． 5. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可． 【详解】∵AD∥BE∥CF， ∴，， 故A、D、C错误，B正确， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键． 6. 已知关于x的一元二次方程的两实数根为，若，则m的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系:是一元二次方程的两根时,.据此即可求解. 【详解】解：因为一元二次方程的两实数根为， 所以， 所以m的值为2或， 当m的值为2时，原方程为， ，原方程无实数根， 故m的值为 故选：A. 7. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 8. 如图，菱形中，，垂足为点H，分别交，及的延长线于点E，M，F，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，连接，如图，利用菱形的性质得，，，再证明，接着判断四边形为平行四边形得到，设，，所以，然后证明得到，最后利用比例的性质得到的值． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， 而， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由，设，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，根据一元二次方程的定义，得到，将代入方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：（舍去）或； 故答案为：． 10. 若，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】设＝m，则有x＝3m，y＝4m，z＝5m，代入原式即可得出答案． 【详解】解：设＝m， ∴x＝3m，y＝4m，z＝5m， 代入原式得：． 故答案为． 【点睛】本题考查了代数式求值和等比例的性质，掌握并灵活运用等比例性质是解答本题的关键. 11. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_________． AI 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，设，则，由黄金分割的定义可得，解方程即可． 【详解】解：设，则， 为的黄金分割点（）， ， ， ， 解得，（不舍题意舍去）， 的长度为． 故答案为：． 12. 已知：如图，正方形的顶点A在矩形的边上，矩形的顶点G在正方形的边上，正方形的边长为4，的长为5，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，涉及了正方形和矩形的性质．首先根据矩形和正方形的性质可得，，，可判断，然后根据相似三角形的性质得出，代入数据即可求出的长度． 【详解】解：在正方形和矩形中， ，， ， ， ， 则有， ，， ． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查线段的最小值问题，考查了勾股定理，平行四边形性质和相似三角形求线段长度．利用勾股定理得到边的长度，根据平行四边形的性质，得知最短即为最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵最短也就是最短， ∴过O作的垂线， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴则PQ的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用配方法变形为，再直接开平方即可求． 【详解】解： ， ， ， 所以，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的几种方法是解题的关键． 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程移项后分解因式，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解： 移项得， 分解因式得， 整理得， 或 ． 16. 已知中，．你能画一条直线把它分割成两个相似三角形吗？如果可以，请用尺规作出这条分割线，保留作图痕迹，并说明两个三角形相似的理由． 【答案】 如图，作AB的垂线，垂足为P，直线CP就是所求直线； 证明：∵CP⊥AB， ∴∠CPA=∠BPC=90°， ∵， ∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACP=90°， ∴∠ACP =∠B， ∴△CPA∽△BPC． 【解析】 【分析】作AB的垂线即可；利用两个角对应相等的两个三角形相似即可判定． 【详解】略 【点睛】本题考查了尺规作图和相似三角形的判定，解题关键是熟悉尺规作图的方法，根据相似确定如何作图． 17. 已知和中，有．且和的周长之差为15厘米，求和的周长． 【答案】和的周长分别是厘米和厘米． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，解二元一次方程组，设和的周长分别是厘米和厘米，根据，则，通过性质可得，由，然后解方程组即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设和的周长分别是厘米和厘米， ∵， ∴， ∴ 由题意可得： 由式得 将式代入式得：， ∴， 将代入式得：， 答：和的周长分别是厘米和厘米． 18. 已知关于的方程，求证：无论取何值，该方程都有实数根． 【答案】 证明：由题意得， ， ∵， ∴， 无论取何值，该方程都有实数根 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此只需要证明即可． 【详解】略 19. 如图，在矩形中，对角线交于点O，点E、F、G分别为的中点．求证：四边形为菱形． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵点E、F、G分别为的中点， ∴，且， 同理，， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的判定等知识，根据矩形的性质求出，根据三角形的中位线性质得出，且，求出，根据菱形的判定推出即可． 【详解】略 20. （Electronic Toll Collection）不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式．安装有的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用．某高速路口收费站有A，B，C，D四个通道，车辆可任意选择一个通道通过，且通过每个通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有的汽车经过此收费站， （1）小李通过A通道的概率为__________； （2）请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式即可得到结论； （2）画出树状图，共有16种等可能的结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，再由概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：小李通过A通道的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 由树状图可知：共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种， （小李和小赵经过相同通道）． 【点睛】本题考查了列表法和树状图法，概率公式，正确的画出数状图是解题的关键． 21. 陕西历史悠久，是中华文明的重要发祥地之一．秦始皇兵马俑、西岳华山、华清池、黄帝陵、西安城墙、金丝峡景区、大雁塔、大唐芙蓉园景区、延安革命纪念地景区等，这些都是人们节假日休闲的好去处．我省某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为2000元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低40元，但人均旅游费用不得低于1700元．某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少名员工去旅游? 【答案】该单位这次共有30名员工去旅游 【解析】 【分析】设该单位这次共有个员工去旅游，根据“如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低40元，且共支付给该旅行社旅游费用54000元”，可以列出方程求解，根据人均旅游费用不得低于1700元，判断解是否合理． 【详解】解：， 去的人一定超过25人， 设该单位这次共有个员工去旅游， 根据题意，得， 解之得：，， 当时，人均费用为1200元．因为低于1700元，这种情况舍去． 当时，人均费用为1800元．符合题意． 答：该单位这次共有30名员工去旅游． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系列出方程． 22. 如图，在▱ABCD中，E是BC上一点，连接AE，在AE上取点F，使得∠DFE＝∠C．求证：AD•AB＝AE•DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，AB//CD， ∴∠AEB＝∠DAF，∠B+∠C＝180°， ∵∠AFD+∠DFE＝180°，∠DFE＝∠C， ∴∠B＝∠AFD， ∴△ABE∽△DFA， ∴， ∴AD•AB＝AE•DF． 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是平行四边形、∠DFE＝∠C证明△ABE∽△DFA，可得，即可证得AD•AB＝AE•DF． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 23. 如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度，在河对岸有一棵高4.8米的树，树在河里的倒影为，，小斌在岸边调整自己的位置，当恰好站在点处时看到岸边点和倒影顶点在一条直线上，点到水面的距离米，米，米，，，，，，视线与水面的交点为，请你根据以上测量方法及数据求河的宽度． 【答案】河的宽度为8.4米． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形．解决此问题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 推出，，利用相似三角形对应边成比例求得线段米，米，则米． 【详解】解：， ． ． ． 即． ． ， ． ， ． ． 即． ． ． 答：河的宽度为8.4米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，△的顶点均在网格格点上． （1）以点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为； （2）在（1）的条件下，若每个小正方形的面积为1，请直接写出的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）12 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似图形，熟练掌握位似图形的性质，是解题的关键： （1）根据为位似图形的性质，画出即可； （2）分割法求出的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵每个小正方形的面积为1， ∴每个小正方形的边长为1， ∴的面积为：． 25. 如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒2厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒3厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间是多少？ 【答案】运动时间是秒 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质．首先设运动了秒，根据题意得：，，然后分别从当与当时去分析得出t的值，再由“其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动”可得t的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：设运动了秒． 根据题意得：，，则， 当时，， 即， 解得：， 当时，， 即， 解得：， ∵其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动， ∴点运动时长最多为秒，点运动时长最多为秒， ， ∵，， ， 故当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间是秒． 26. 【问题提出】 （1）如图①，在中，，点D为上一点，且，过点D作于点E，若，则的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，点D是边上一点，连接，过点D作交于点E，过点B作于点F，交于点G，试判断与是否相似，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，是一块菜园平面示意图，，，是边上的中线，于点F，交于点G，交于点E，经测量，米，现欲沿修一条灌溉水渠，请你求出灌溉水渠的长度． 【答案】（1）2；（2）与相似，理由如下： 与相似，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）米 【解析】 【分析】（1）证明，得出，即，得出； （2）证明，，得出； （3）过点E作于点H，证明为等腰直角三角形，得出（米），证明，得出米，根据，得出米，求出米，根据勾股定理得出米，即可求出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 故答案为：2． （2）略； （3）过点E作于点H，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴（米）， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， ∴米， ∵米， ∴（米）． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年九年级第一学期期中质量检测 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 将一元一次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3，-6 B. 3，6 C. 3，-1 D. 3x2，-6x 2. 下列四组线段中，不成比例的是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一元二次方程的两实数根为，若，则m的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 7. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，，垂足为点H，分别交，及的延长线于点E，M，F，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为___________． 10. 若，则＝_____． 11. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_________． AI 12. 已知：如图，正方形的顶点A在矩形的边上，矩形的顶点G在正方形的边上，正方形的边长为4，的长为5，则的长为_______． 13. 如图，在中，，，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 解方程：． 15. 解方程：． 16. 已知中，．你能画一条直线把它分割成两个相似三角形吗？如果可以，请用尺规作出这条分割线，保留作图痕迹，并说明两个三角形相似的理由． 17. 已知和中，有．且和的周长之差为15厘米，求和的周长． 18. 已知关于的方程，求证：无论取何值，该方程都有实数根． 19. 如图，在矩形中，对角线交于点O，点E、F、G分别为的中点．求证：四边形为菱形． 20. （Electronic Toll Collection）不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式．安装有的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用．某高速路口收费站有A，B，C，D四个通道，车辆可任意选择一个通道通过，且通过每个通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有的汽车经过此收费站， （1）小李通过A通道的概率为__________； （2）请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概率． 21. 陕西历史悠久，是中华文明的重要发祥地之一．秦始皇兵马俑、西岳华山、华清池、黄帝陵、西安城墙、金丝峡景区、大雁塔、大唐芙蓉园景区、延安革命纪念地景区等，这些都是人们节假日休闲的好去处．我省某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为2000元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低40元，但人均旅游费用不得低于1700元．某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少名员工去旅游? 22. 如图，在▱ABCD中，E是BC上一点，连接AE，在AE上取点F，使得∠DFE＝∠C．求证：AD•AB＝AE•DF． 23. 如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度，在河对岸有一棵高4.8米的树，树在河里的倒影为，，小斌在岸边调整自己的位置，当恰好站在点处时看到岸边点和倒影顶点在一条直线上，点到水面的距离米，米，米，，，，，，视线与水面的交点为，请你根据以上测量方法及数据求河的宽度． 24. 如图，在平面直角坐标系中，△的顶点均在网格格点上． （1）以点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为； （2）在（1）的条件下，若每个小正方形的面积为1，请直接写出的面积． 25. 如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒2厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒3厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间是多少？ 26. 【问题提出】 （1）如图①，在中，，点D为上一点，且，过点D作于点E，若，则的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，点D是边上一点，连接，过点D作交于点E，过点B作于点F，交于点G，试判断与是否相似，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，是一块菜园平面示意图，，，是边上的中线，于点F，交于点G，交于点E，经测量，米，现欲沿修一条灌溉水渠，请你求出灌溉水渠的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $