2.5直线与圆的位置关系 课时训练-2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2.5直线与圆的位置关系课时训练-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．已知半径为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为（   ） A． B． C． D．3 2．如图，两个同心圆的半径分别为和，弦与小圆相切于点，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，与的相切，与的延长线相交于点C，若，则∠A的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 6．如图，是的直径，是切线，交于点，，则（    ）    A． B． C． D． 7．如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 8．如图，在中，是弦，是切线，过点作于，交于点，若平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在矩形中，是边的中点，与，都相切，则的半径是 ． 10．如图，P是圆O的直径上一点，与圆O相切于点M，连接，，若，则的长为 ． 11．如图，等边三角形内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是 ． 12．已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 13．《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形的容圆（内切圆）直径是多少？”答：直径是 步． 14．如图，为外一点，分别切于点，切于点，分别交于点，若，则的周长为 ． 15．如图，是⊙的直径，、、、是上的点，过点作为切线交延长线于点，若，，则半径是 ． 16．如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ． 三、解答题 17．如图，与相切于点C， ，的直径为，，求长． 18．如图，P为外一点，，是的切线，A，B为切点，点C在上，连接，，． (1)求证：； (2)连接，若，的半径为5，，求的长． 19．在中，为直径，为上一点．    (1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小； (2)如图②，为上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小． 20．如图所示，是的内接三角形，过点作的切线，与的直径所在的直线相交于点，连接，其中，． (1)求的大小； (2)点在圆上移动时，当与恰巧全等，求的长． 21．如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结． (1)求证：平分． (2)如图2，延长相交于点E， ①求证：． ②若，，求的半径． 22．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B D B C C A 1．B 【分析】该题主要考查了切线的性质，梯形中位线，解题的关键是正确做出图形． 根据题意作出图形，可得，取中点，作，根据梯形中位线即可求解． 【详解】解：如图，， 取中点，作． ∴． 解得：． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．根据切线的性质得出，由垂径定理可得，然后由勾股定理求得的长，继而可求得的长． 【详解】解：∵弦与小圆相切于点， ∴， ∴， ∵两个同心圆的半径分别为和， ∴， ∴， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查圆的切线，三角形内角和定理和外角的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟知圆的切线的性质． 连接，根据切线的性质可得，再根据三角形内角和定理求得，最后利用三角形外角的性质求得答案． 【详解】连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了切线长定理，三角形的内心以及全等三角形综合，由切线长定理即可判断①；证即可判断②；取的中点，连接，可得，即可判断③；连接，根据可得，结合可得，即可判断④． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴关于对称， ∴，故②正确； 取的中点，连接，如图所示： 则， 即：， ∴以为圆心，为半径，则四点共圆，故③正确； 连接，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：平分； 同理可得：平分； ∴M是的内心．故④正确； 故选：D． 5．B 【分析】本题考查的是切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，再根据切线长定理、三角形的周长公式、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， 同理，， 的周长， ， ． 故选：B 6．C 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．由圆周角定理得出，根据切线的性质得出，由余角的性质可得出答案． 【详解】解：是的直径， ， ， 是切线， ， ， ． 故选：C 7．C 【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．利用切线长定理，可以得到：，再根据的周长为16，即可求解． 【详解】解：∵是的切线，． ∴， 同理，， 三角形的周长． ， 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了弦切角定理，角平分线的性质及垂直的定义，难度适中． 连接，并延长交于点F，连接，根据弦切角的性质，得，再由已知条件可得，从而求出． 【详解】解：连接，并延长交于点F，连接，如图所示： ∴， ∴， 是切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 平分， ， ， ， ． 故选：A． 9．4 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，延长交于点P．连接圆心O与三个切点（上的切点分别为），易得为正方形，设的半径为r，则，可证，从而得到．由勾股定理可得．又，可得，进而可得到的半径． 【详解】解：延长交于点P．连接圆心O与三个切点（上的切点分别为）， ∵为切点， ∴， ∵， ∴四边形正方形， 设的半径为r，则， 在和中 ∴， ． ， ． 在和中 ∴， ， ∵， 即 整理得：， 解得：． 故答案为：4． 10． 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径；连接，根据切线性质得，再根据直角三角形的锐角互余得，根据圆周角定理进而求得，然后根据等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：连接， 与圆O相切于点M， ； ， ； ， ， ， ； ， ； 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了等边三角形、三角形的内切圆、勾股定理等知识，解题关键是求出圆的半径． 先作，作于点E，和交于点O，设等边的边长为，求出，即可求出，，，即可求出答案． 【详解】解：作于点D，作于点E，和交于点O，如图所示： 设等边的边长为， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据太极图的对称性，黑色部分的面积占内切圆面积的一半， ∴ ∵， ∴圆中的黑色部分的面积与的面积之比是：． 故答案为： 12．或/或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 13． 【分析】本题考查了内切圆和勾股定理，连接，设半径为步，由勾股定理得步，再由即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，为内切圆，切点分别为，连接，设半径为步， ∴，，， ∵步，步， ∴由勾股定理得：（步） ∵为内切圆， ∴，， ∴ ∴，解得：， ∴的直径是步， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，关键是把的周长转化为已知切线相关的线段计算． 根据切线长定理得到，，，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵分别切于点，切于点，， ∴，，， ∴的周长， ， ， ， ． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查切线的性质，连接，设的半径为，证明和都是等边三角形，得，继而得到，根据切线的性质得，，根据角所对的直角边等于斜边的一半得，即可得解．解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． 【详解】解：连接，设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径是是． 故答案为：． 16． 【分析】连接、、、，作于，于，于，于，由圆周角定理得出，由勾股定理得出，由等面积法得出，由勾股定理得出，由角平分线的性质定理得出，结合，求出，由题意得出，证明四边形为矩形，得出，推出，再由得出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、、、，作于，于，于，于， ， ∵为直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分，平分， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、角平分线的性质定理、三角形内心、矩形的判定与性质、等面积法等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 17． 【分析】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，勾股定理知识．连接，根据切线的性质得，由于，则根据等腰三角形的性质可得的长，然后在中利用勾股定理计算出的值即可． 【详解】解：连接， ∵切于C， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，，， ∴． 18．(1)见解析； (2)10． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，切线的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过O作于H，得到，根据切线的性质得到，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接，延长交于E，根据切线的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：过O作于H，如图： ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，延长交于E，如图： ∵，是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 19．(1) (2) 【分析】（1）连接，首先根据切线的性质得到，根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）根据垂径定理可得，根据直角三角形两锐角互余求得，根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵与相切于点， ∴，即， ∵， ∴， 在中，， ∴． （2）解：∵为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，三角形的外角性质等．解题的关键是能够利用圆的切线垂直于经过切点的半径得到直角三角形． 20．(1)； (2)的长为或3． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得，根据圆周角定理即可求得； （2）分两种情况讨论，当时，根据切线的性质得出，证得，进而证得，得出，进一步证得，根据圆周角定理得出，通过解直角三角形即可求得．当时，同理可解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：连接， 是的切线， ， ， 当时，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 在中，，则， ， ， ； 当时，同理证得，， 综上，的长为或3． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 21．(1)见详解 (2)①见详解；②的半径为5 【分析】（1）由点C为的中点，得，所以，由垂径定理得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明平分； （2）由是的直径，得，由，得； （3）连接，则，由，，由平行线的性质得，则，所以，而，则，所以，设的半径为r，则，，由勾股定理得，求出符合题意的r值即可． 【详解】（1）证明：点C为的中点， ， ， 平分； （2）①证明：是的直径， ， ， ， ； ②如图2，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设的半径为r，则， ， ， ， ， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， 的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定、平行线的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、一元二次方程的解法等知识，此题综合性强，难度较大． 22．(1)，； (2) (3)或或5 【分析】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分三种情况：①当时，②当时，③当时分类讨论即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； （2）连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式 （3）解：设， ，， 解得：，， ， ①当时，连接 ，， ， ， ， ， ， ， 点E和点P横坐标相同, ， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， ③当时，如图： ， 即， ， ， 综上所述：得长度为或或5． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$