精品解析：海南省海南华侨中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段考试数学试卷

2024—2025学年海南省海口市华侨中学高一（上） 第一次段考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义求解． 【详解】集合， 则． 故选：D． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】“”的否定是“”. 故选：C． 3. 若，则p的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分不必要条件的定义，结合集合包含关系判断即得. 【详解】依题意，， 显然，与互不包含， 所以所求的一个充分不必要条件为. 故选：B 4. 集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校举办秋季运动会，已知某班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有15人，既参加田赛又径赛的学生有6人，那么该班参加运动会的学生人数为（ ） A. 29人 B. 23人 C. 36人 D. 25人 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的容斥原理求解即可. 【详解】设参加田赛的学生组成集合，则， 设参加径赛的学生组成集合，则， 由题意，知， 所以， 所以该班参加运动会的学生人数为23人． 故选：B． 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用1的代换法，结合基本不等式即可求解． 【详解】因为，且， 则， 当且仅当，即时取等号． 故选：B． 6. 已知集合，则如图所示的韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据描述法表示集合，求出集合，再求阴影部分表示的集合． 【详解】， 阴影部分表示集合为 故选：C． 7. 设集合，则（ ） A. B. C. ⫋ D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义求，再根据集合关系判断选项A，C；求根据集合 相等定义判断D，根据与集合的关系，结合集合并集定义判断B. 【详解】由题意可得， ⫋，故A，C均错误； ，D正确； ，B错误. 故选：D. 8. 命题恒成立，命题成立，若是真命题，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据含有量词的命题真假关系分别求出真假时的范围，即可求解． 【详解】因为恒成立为真命题， 所以在时恒成立， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即， 因为命题成立为假命题， 所以为真命题，则，即， 若是真命题，是假命题，则． 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若，下列说法中错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合不等式性质判断选项A，B，C，举出反例判断选项D． 【详解】若，则，， 所以，故，A错误； 因为，， 由不等式性质可得，，B正确； 若，， 所以，又， 所以， 故，又， 所以，C错误； 当时，此时，D错误． 故选：ACD． 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. B. 的解集是 C. D. 的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解集和韦达定理，可得，且，，然后代入选项，即可判断选项正误. 【详解】由不等式的解集为或，得是方程的两个根，且， 则，即，， 对于A，，A正确； 对于B，由，得，即，解得，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，由，得，即，解得，D正确. 故选：AD 11. 下列叙述中，正确的是（ ） A. 若，则的最小值为 B. 若，则的最小值为10 C. 若，且，则 D. 若，且，则的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断：选项AB中注意凑配出定值，C中利用基本不等式后解不等式可得，D中直接应用基本不等式可得． 【详解】，则， 当且仅当，即时取等号，A正确； ，则， 当且仅当，即时取等号，B正确； ，且， 当且仅当，即时取等号，所以，C正确； 因为，， 所以当且仅当，即时取等号， 显然等号无法取得，D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】将所解分式不等式转化为一元二次不等式，再根据一元二次不等式解法求结论. 【详解】由可得， 解得，或． 所以不等式的解集为或， 所以不等式的解集是或. 故答案为:或． 13. 1.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾和周公讨论过“勾三股四弦五”的勾股定理特例．已知一个直角三角形的斜边长等于，则这个直角三角形面积的最大值为____________这个直角三角形周长最大值为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】由已知结合勾股定理及基本不等式即可分别求解， 【详解】解：设两直角边分别为， 则，当且仅当时取等号， 所以，即面积的最大值为2： 因为三角形的周长为， 当且仅当时取等号，故周长的最大值为． 故答案为：2， 14. 已知集合，集合．若中只有四个整数，则实数的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，根据中只有四个整数，分类讨论列出不等式组，即可求出的取值范围． 【详解】集合，集合， 若中的四个整数是，则，解得； 若中的四个整数是，则，无解； 若中的四个整数是，则，无解， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2）或，或 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再求两个集合的并集，交集； （2）由（1）可得，求出集合的补集，再求． 【小问1详解】 ∵， ∴. 【小问2详解】 由（1）可得或， ∵， ∴或， ∴或． 16. （1）已知，求证：； （2）已知，求证：是的充要条件． 【答案】 （1）， ∵， ∴， ∴，即. （2）充分性：若，则，. 必要性：若，则有或 解可得，无解， ∴， ∴是的充要条件． 【解析】 【分析】（1）利用作差法证明可得结论； （2）由集合相等的定义分析“”和“”的关系，从充分性和必要性两个方面证明即可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 17. 已知． （1）若，求实数的取值范围： （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，再根据集合的包含关系求解； （2）由，分和进行分类讨论，即可求得结论. 【小问1详解】 由，可得， 又， 则有，解得， 即实数的取值范围是； 【小问2详解】 当，即时，，满足； 当，即时，由， 可得或，解得或， 综上，实数的取值范围是． 18. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若，关于的不等式有实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为或； 时，不等式的解集为或. （2） 【解析】 【分析】（1）不等式化为，讨论和，从而求出不等式的解集； （2）不等式化为，讨论和，从而求出的取值范围即可. 【小问1详解】 不等式即为，可化为， 由，得； 若，则不等式为，解得； 若，则，解不等式得或； 若，则，解不等式得或； 综上，时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为或； 时，不等式的解集为或. 【小问2详解】 不等式可化为； 时，不等式为，不成立； 时，不等式必有实数解； 时，应满足，解得或，即； 综上，实数的取值范围是． 19. 某中学举行“美丽数学”徽章设计大赛，王同学设计的几何花朵”进入了最后角逐，评委组要对它的制作成本进行预估，“几何花朵”设计灵感来自三个全等的矩形（如图一）的折叠拼凑，其中徽章的六个直角（阴影部分如图二）要用镀金工艺上色．造价是2元，徽章中间六边形部分造价是1元，已知一块矩形材料（如图一）所示，矩形周长为，其中长边为，将沿向折叠，折过去后交于点． （1）用表示图一中面积，并标出的取值范围． （2）试求一个徽章的镀金部分面积的最大值，并求出此时该徽章的总造价． 【答案】（1），； （2）一个徽章的镀金部分面积的最大值为，总造价为元. 【解析】 【分析】（1）设设cm，则cm，由等腰三角形得到cm，由勾股定理求出，求出，并根据得到的取值范围； （2）在（1）的基础上，由基本不等式得到镀金部分面积的最大值，并求出中间六边形部分面积，求出此时该徽章的总造价. 【小问1详解】 矩形周长为，其中长边为， 故cm， 设cm，则cm， 因为，所以， 又，故， 所以cm， 在Rt中，由勾股定理得， 即，解得，cm， 故， 其中，解得； 【小问2详解】 由（1）知，， 故一个徽章的镀金部分面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时cm， 则， 由勾股定理得cm， 设中间六边形部分面积为， 则， 此时该徽章的总造价为元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年海南省海口市华侨中学高一（上） 第一次段考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则p的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 4. 集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校举办秋季运动会，已知某班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有15人，既参加田赛又径赛的学生有6人，那么该班参加运动会的学生人数为（ ） A. 29人 B. 23人 C. 36人 D. 25人 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，则如图所示的韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 7. 设集合，则（ ） A. B. C. ⫋ D. 8. 命题恒成立，命题成立，若是真命题，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若，下列说法中错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. B. 的解集是 C. D. 的解集为 11. 下列叙述中，正确的是（ ） A. 若，则的最小值为 B. 若，则的最小值为10 C. 若，且，则 D. 若，且，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是______． 13. 1.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾和周公讨论过“勾三股四弦五”的勾股定理特例．已知一个直角三角形的斜边长等于，则这个直角三角形面积的最大值为____________这个直角三角形周长最大值为______． 14. 已知集合，集合．若中只有四个整数，则实数的取值范围______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）求； （2）求. 16. （1）已知，求证：； （2）已知，求证：是的充要条件． 17. 已知． （1）若，求实数的取值范围： （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若，关于的不等式有实数解，求实数的取值范围． 19. 某中学举行“美丽数学”徽章设计大赛，王同学设计的几何花朵”进入了最后角逐，评委组要对它的制作成本进行预估，“几何花朵”设计灵感来自三个全等的矩形（如图一）的折叠拼凑，其中徽章的六个直角（阴影部分如图二）要用镀金工艺上色．造价是2元，徽章中间六边形部分造价是1元，已知一块矩形材料（如图一）所示，矩形周长为，其中长边为，将沿向折叠，折过去后交于点． （1）用表示图一中面积，并标出的取值范围． （2）试求一个徽章的镀金部分面积的最大值，并求出此时该徽章的总造价． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $