精品解析：2024-2025学年北师大版九年级数学上册期中检测题

2024-2025年北师大版九年级数学上册期中检测题 一．选择题（共10小题，满分30分） 1. 如图，直线经过正方形的中心，分别与和相交于点和点，并与的延长线相交于点若，，则的长为(　　) A. 1 B. C. D. 2 2. 如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 3. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】 A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2 7. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在格点上，连接交于点，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二．填空题（共6小题，满分18分） 11. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________． 12. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为______． 13. 如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则______． 14. 边长分别为10，6，4三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______． 15. 如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为_______． 16. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为___________． 三．解答题（共8小题） 17. 解方程： （1） （2）； （3）； （4）． 18. 为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团，美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 （1）参加问卷调查的学生共有______人； （2）条形统计图中m值为______，扇形统计图中的度数为_______； （3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人； （4）现从“文学社团”里表现优秀甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）用没有刻度的直尺作出关于点A的同向位似图形，且位似比为； （2）画出绕点顺时针旋转得到的． 21. 如图，在中，点分别在边上，与交于点，且垂直平分，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求四边形的面积． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B. （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的长. 23. 如图，在中，，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？ （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？ （3）几秒钟后，与相似？ 24. 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且 （1）观察猜想：小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时，其： ①的值； ②与的夹角为多少度； （2）类比探究：如图（3），小芳在小华基础上，继续旋转，连接，，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由． （3）拓展延伸：若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年北师大版九年级数学上册期中检测题 一．选择题（共10小题，满分30分） 1. 如图，直线经过正方形的中心，分别与和相交于点和点，并与的延长线相交于点若，，则的长为(　　) A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；根据正方形的性质，结合三角形全等，得到，证明，得到，从而得到结果． 【详解】解：连接， 是正方形的中心， 在上，且，, , ，， ， 在和中， ， ， 四边形是正方形对边平行，则， ， ， 解得：， 故选：D． 2. 如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求的最小值转化为其相等线段的最小值．连接，根据矩形的性质可知：，当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，再根据三角形的面积为定值即可求出的长． 【详解】解：中，，，， ， 连接，如图所示： ∵于点，于点，， ∴， 四边形是矩形， ， 当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小， ∴此时． 故选：B． 3. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 4. 已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ， ， ∴ ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 5. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的判定方法有：“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，“三边对应成比例，两三角形相似”，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法依次判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故A能判定； B、根据不能证明，故B不能判定； C、∵， ∴，故C能判定； D、∵． ∴，故D能判定； 故选：B． 6. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】 A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF∶S△ABF=4∶25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE∶AB的值，由AB=CD即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD ∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE ∴△DEF∽△BAF ∴ ∵， ∴DE：AB=2：5 ∵AB=CD， ∴DE：EC=2：3 故选B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 7. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 8. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在格点上，连接交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 9. 如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，交于点，根据平行线分线段成比例可得点是的中点，从而可得，然后再利用平行线分线段成比例可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：过点作，交于点， ，点是的中点， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 故选：A 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 二．填空题（共6小题，满分18分） 11. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 12. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点作于，于，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解，得出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：过点作于，于，则， ∵两张纸条的对边平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 13. 如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，CO＝3（舍去）． ∵AE⊥BC，， ∴． 故答案为：． 14. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为15． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15. 如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为_______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算． 【详解】解：以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，， 当在第一象限时，点的坐标为，即； 当在第三象限时，点的坐标为，即； 综上可知，点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查图标与图形、位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算． 16. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解． 【详解】解：的周长为32， ． 为DE的中点， ． ， ， ， ， ． 四边形是正方形， ，O为BD的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17. 解方程： （1） （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4） 【解析】 【分析】（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：∵， ∴， 即， ∴． 18. 为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团，美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 （1）参加问卷调查学生共有______人； （2）条形统计图中m的值为______，扇形统计图中的度数为_______； （3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人； （4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）60 （2）11，90° （3）100 （4） 【解析】 【分析】（1）根据B：体育社团的人数和人数占比即可求出参与调查的总人数； （2）根据（1）所求总人数即可求出m；用360度乘以C：文学社团的人数占比即可求出的度数； （3）用600乘以样本中最喜欢“音乐社团”的人数占比即可得到答案； （4）画树状图或列表先得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴参加问卷调查的学生共有60人， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：由题意得：，， 故答案为：11；90°； 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有100人， 故答案为：100； 【小问4详解】 解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用A，B，C，D表示，根据题意可画树状图或列表如下： 第2人 第1人 A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 由上图或上表可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，故恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率等等，正确读懂统计图是解题的关键． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）的值为1或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等实数根． 【小问2详解】 解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）用没有刻度的直尺作出关于点A的同向位似图形，且位似比为； （2）画出绕点顺时针旋转得到的． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查了画位似图形和旋转图形，熟练掌握位似图形和旋转图形的画法是解题关键． （1）找到位似中心点，把的三边作关于位似中心对应的放大2倍即可得； （2）先根据旋转的性质分别画出点，再顺次连接即可得． 【小问1详解】 解：如图，即为所作． ． 【小问2详解】 解：如图，即为所作． ． 21. 如图，在中，点分别在边上，与交于点，且垂直平分，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）利用平行四边形和线段垂直平分线的性质可证，即得，即可得四边形是平行四边形，进而由线段垂直平分线的性质即可求证； （）由，可得，进而可得为等边三角形，得到，再根据菱形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质求出对角线的长即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴ ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B. （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的长. 【答案】（1）见解析 （2）3或8 【解析】 【分析】（1）由AB=AC，可证得△ABD∽△DCE； （2）由（1）根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长． 【小问1详解】 ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∠ADC=∠B+∠BAD ∠ADC=∠ADE+∠CDE ∵∠ADE=∠B ∴∠BAD=∠CDE ∴△ABD∽△CDE 【小问2详解】 ∵AB=AC，AC=12 ∴AB=12 由（1）知，△ABD∽△CDE ∴= 即= ∴BD=3或8 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等，两三角形相似的判定定理证明即可． 23. 如图，在中，，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？ （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？ （3）几秒钟后，与相似？ 【答案】（1）1秒 （2）2秒 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，勾股定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）设x秒后，的面积为，表示出，，，根据三角形面积公式表示出的面积，令其等于即可求解； （2）由勾股定理得：，即可求解； （3）根据相似三角形的性质列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设经过秒以后，面积为（） 此时，，， 由，得， 整理得：， 解得：，（舍）． 【小问2详解】 解：设经过秒后，的长度等于， 由，得， 解得：（舍去），． 答：2秒后，的长度为． 【小问3详解】 解：当时， 即，解得 当时， ， 即， 解得， 或． 24. 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且 （1）观察猜想：小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时，其： ①的值； ②与的夹角为多少度； （2）类比探究：如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转，连接，，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由． （3）拓展延伸：若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 【答案】（1）①；②45 （2）（1）中结论仍然成立，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）①如图（2）中，设交于点．证明，推出；②由相似三角形的性质得到，再证明，可得结论． （2）如图（3）中，设交于点．证明，可得结论． （3）分两种情形：如图（4）中，当于时，如图（4）中，当时，延长交于．分别求出，可得结论． 【小问1详解】 解：①如图（2）中，设交于点． ，都是等腰直角三角形， ，，， ，， ， ， 故答案为：； ②∵ ∴， ， ， ∴与的夹角为45度， 故答案为： 45． 【小问2详解】 解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图（3）中，设交于点． ，都等腰直角三角形， ，，， ，， ， ，， ， ， ，， ∴，与的夹角为45度； 【小问3详解】 解：如图（4）-1中，当于时， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 如图（4）-2中，当时，延长交于． 同法可得，，， ， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$