精品解析： 2024-2025学年人教版九年级上册数学期中全真模拟试题

九年级上册数学期中全真模拟试题 考试范围：第21章--第24.1章 考试时间：100分钟；总分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 2. 一元二次方程的解为（　　） A. B. C. 或 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 移项得：， 分解因式得：， 解得：或， 故选：C． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 3. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义“形如的函数叫做二次函数”进行判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，故本选项符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 5. 如图，在宽10米、长22米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为160平方米．设道路的宽为x米，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设道路的宽为x米，根据草坪的面积为160平方米，列出方程即可． 【详解】解：设道路的宽为x米，根据题意得： ， 故选：A． 6. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的解析式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线平移后的形状不变，即a不变；然后求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移的性质即可求出平移后的抛物线的顶点坐标即可确定解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为：， ∴抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的顶点坐标为：， ∴所得新抛物线的解析式为：． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． 7. 如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ， ， 故选：B． 8. 若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，由直角三角形的圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半即可得出结果． 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形，10是斜边长， 直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点， 三角形外接圆的半径斜边的一半， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，熟记直角三角形的圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半是解决问题的关键． 9. 如图，是的弦，半径于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理，得出，再根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据平行线的判定，得出，再根据中位线的判定，得出为的中位线，再根据中位线的性质，得出，再根据勾股定理，得出，解出得到，根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， 在中， ∵， ∴可得：， 解得：， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定、中位线的判定与性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并充分利用数形结合思想． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；；；；其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线开口向下，与轴交于正半轴，可确定，．再根据对称轴是直线，即，可确定，从而可判断①④；根据当时，即可判断②；根据当时，，即可判断③；由，，即可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，． 对称轴是直线， ， ， ，故①④错误； 当时，． ，故②错误； 当时，， ，故③正确； ， ． ，故⑤错误． 综上可知正确结论的个数是1个． 故选A． 【点睛】本题考查二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入，解得，即得出原一元二次方程为，再根据因式分解法解方程即得出方程的另一个根． 【详解】将代入，得：， 解得：， ∴原一元二次方程为， ， 解得：， ∴方程的另一个根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键． 12. 已知抛物线与 轴交于两点，若点 的坐标为，抛物线的对称轴为直线 ，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线对称轴是直线及两点关于对称轴直线对称求出点B的坐标即可. 【详解】解：∵抛物线与 轴交于两点，且点 的坐标为，抛物线的对称轴为直线 ∴点B的横坐标为 即点B的坐标为 【点睛】本题考查抛物线的对称性，利用数形结合思想确定关于直线对称的点的坐标是本题的解题关键. 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______． 【答案】（2，1） 【解析】 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，1）． 故答案为（2，1）． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，抛物线的顶点在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为、，且．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意得出当P与A点重合时，取得最小值，即是该抛物线的顶点，且经过点，求得该抛物线的解析式的对称轴与的长度，同理得出当P与B点重合时，取得最大值，利用二次函数与x轴的交点及对称性，即可求解． 【详解】解：当抛物线的顶点与A点重合时，的最小值是， 根据题意知是该抛物线的顶点，且经过点， 此时，设抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线， ∴此时， ∴， 当抛物线的顶点与B点重合时，取得最大值， 根据题意知是该抛物线的顶点， ∴此时抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的最值，利用抛物线的对称性解题是关键． 15. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 _____． 【答案】25 【解析】 【分析】过A作于D，根据旋转的性质得出，，利用含30度角的直角三角形的性质得出，结合图形得出即可求解． 【详解】解：过A作于D，如图： 在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴， ∴， 又∵，且， ∴， 故答案为：25． 【点睛】题目主要考查旋转的性质及含30度角的直角三角形的性质，结合图形，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）利用提取公因式求解即可； （2）利用因式分解求解即可； （3）利用公式法求解即可； 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 ， ， 或， 解得，； 【小问3详解】 ， ∴，，， ∴， 则， 那么，，． 17. 已知：是的直径，是上一点，，垂足为，，交于点，延长交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等角对等边，掌握圆周角定理是解题的关键． 由是的直径可得，进而由余角性质可得，又由得，进而可得，可得，最后再利用余角性质得到，即可证得，可得结论． 【详解】证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，正方形网格中，在平面直角坐标系中，的三个顶点为、、． （1）将向下平移5个单位长度得到，请画出； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）连接，，，求的面积． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析，点的坐标为 （3）2 【解析】 【分析】本题考查平移作图、旋转作图、利用网格求三角形面积： （1）将三个顶点分别下平移5个单位长度，得到对应点，顺次连接即可； （2）将和分别绕点逆时针旋转，得到对应点，顺次连接即可； （3）利用三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，点坐标为； 【小问3详解】 解：如图， ， 即的面积为2． 19. 如图，在中，，点D，E在上，．过A，D，E三点作，连接并延长，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2）的半径长为5 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）连接，，由等边对等角可得出， ，由全等三角形的性质，连接，，再证明，由全等三角形得出，由等腰三角形三线合一即可得出． （2）由等腰三角形三线合一得出，由勾股定理求出，设，再利用勾股定理得出，即可求出的半径． 【小问1详解】 证明：连接，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 连接，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 在，， ∴， ∴， ∴的半径长为5． 20. 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【小问1详解】 设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，则6月份的销售量为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 21. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据，求出点F坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为 ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 解：， 点的纵坐标为0.5， ∴ 解得： ∵ ∴ 当时，随的增大而减小， 当时，要使， 则 当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 22. 一副三角板按如图1方式放置（有一条边重合），如图2把含角的直角三角板绕点C逆时针旋转，得到，其中． （1） 求的长度； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据旋转的性质得出，，根据含的直角三角形的性质得出，然后根据勾股定理求解即可； （2）过点B作于E，根据含的直角三角形的性质求出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵旋转， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点B作于E， ∵， ∴， ∴． 23. 综合探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为． （1）求点C的坐标； （2）若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； （3）在对称轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，M的坐标为或或）或 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入求解即可； （2）过P作于点E，过点P作轴交于点H，，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，则， 求得，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入得，， 解得， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 令，解得：或， ∴； 过P作于点E，过点P作轴交于点H，如图1： ∵，， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大为， ∴， ∴此时最大为，点P到直线的距离值最大， 即点P到直线距离的最大值为； 【小问3详解】 解：存在， 设点M的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ①当时，如图，设对称轴l与交于点E， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴M点的坐标为， ②当时，过点M作于H， ∴， ∴， ∴5，5， ∴或； ③当时，如图， ∵， ∴点M在的垂直平分线上， ∴， 综上所述，在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，M的坐标为或或）或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上册数学期中全真模拟试题 考试范围：第21章--第24.1章 考试时间：100分钟；总分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解为（　　） A. B. C. 或 D. 且 3. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 5. 如图，在宽10米、长22米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为160平方米．设道路的宽为x米，可列方程（ ） A. B. C D. 6. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的解析式（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，则的长为（　　） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，是弦，半径于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；；；；其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______． 12. 已知抛物线与 轴交于两点，若点 的坐标为，抛物线的对称轴为直线 ，则点的坐标为__________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，抛物线的顶点在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为、，且．若的最小值是，则的最大值是______． 15. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 _____． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16 解方程 （1）； （2）； （3）． 17. 已知：是的直径，是上一点，，垂足为，，交于点，延长交于点．求证：． 18. 如图，正方形网格中，在平面直角坐标系中，的三个顶点为、、． （1）将向下平移5个单位长度得到，请画出； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）连接，，，求的面积． 19. 如图，在中，，点D，E在上，．过A，D，E三点作，连接并延长，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的半径长． 20. 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 21. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 22. 一副三角板按如图1方式放置（有一条边重合），如图2把含角的直角三角板绕点C逆时针旋转，得到，其中． （1） 求的长度； （2）求的面积． 23. 综合探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为． （1）求点C的坐标； （2）若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； （3）在对称轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$