北师大版九年级上学期期中真题必刷易错60题（22个考点专练）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

期中真题必刷易错60题（22个考点专练） 一．一元二次方程的定义（共3小题） 1．（2023秋•即墨区校级期中）若方程是关于的一元二次方程，则　　 A． B． C． D．的一切实数 2．（2023秋•凌海市期中）下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023秋•大石桥市期中）关于的方程是一元二次方程，则的值是 　　． 二．一元二次方程的一般形式（共4小题） 4．（2023秋•长寿区校级期中）一元二次方程的一次项系数是　　 A． B． C．3 D． 5．（2023秋•古冶区期中）一元二次方程化为一般形式是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•鄄城县期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于　　 A．1 B．2 C．1或2 D．0 7．（2023秋•青山区期中）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和常数项分别是　　 A．2，3 B．2， C．， D．2， 三．一元二次方程的解（共3小题） 8．（2023秋•河东区期中）是关于的一元二次方程的解，则　　 A． B． C．4 D． 9．（2023秋•兴文县期中）若是一元二次方程的一个根，则的值为　　 A． B．5 C．2 D．4 10．（2023秋•广州期中）已知是一元二次方程的一个根，则的最小值为 　　． 四．解一元二次方程-配方法（共3小题） 11．（2023秋•密云区期中）用配方法解方程，变形后结果正确的是　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•龙华区校级期中）把方程转化成的形式，则、的值是　　 A．3，8 B．3，10 C．，10 D．，8 13．（2023秋•锦江区校级期中）若一元二次方程可以配成的形式，则　　．　　． 五．解一元二次方程-公式法（共2小题） 14．（2023秋•霞浦县期中）一元二次方程，用求根公式求解时，，，的值是　　 A．2，，1 B．2，3， C．2，， D．2，3，1 15．（2023秋•高安市期中）是下列哪个一元二次方程的根　　 A． B． C． D． 六．解一元二次方程-因式分解法（共5小题） 16．（2023秋•邹城市校级期中）方程的一个实数根为，则的值是　　 A．2023 B．2021 C．2027 D．2029 17．（2023秋•台江区校级期中）方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 18．（2023秋•德化县期中）解方程：． 19．（2023秋•天府新区校级期中）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 20．（2023秋•兖州区校级期中）用适当的方法解下列方程：． 七．根与系数的关系（共4小题） 21．（2023秋•青山区校级期中）若关于的一元二次方程的两个不相等的实数根、，满足，则的值是　　 A．2或0 B．0 C．2 D．1 22．（2024秋•凉州区期中）若方程的两根分别为，，则点关于原点对称的点的坐标是 　　． 23．（2023秋•新邵县期中）若一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，则的值是 　　． 24．（2023秋•东宝区校级期中）关于的方程的有实根． （1）求实数的取值范围． （2）若方程两实根，是一矩形的两邻边的长，且矩形的对角线长为，试求的值． 八．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 25．（2023秋•东莞市校级期中）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏长，若养鸡场面积为，设 ，则列方程得 　　． 九．一元二次方程的应用（共1小题） 26．（2023秋•西城区校级期中）2023年9月23日，第十九届亚洲运动会开幕式在浙江杭州举行．本届亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和时代活力的机器人，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，它们共同组成“江南忆”组合．经统计4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． 求该款吉祥物4月份到6月份销售量的平均增长率； 一十．直角三角形斜边上的中线（共3小题） 27．（2023秋•新民市期中）如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 28．（2023秋•明溪县期中）如图，在中，，点是的中点，，则　　． 29．（2023春•河北区校级期中）如图，在和中，，，是的中点，连接，，，若，则的面积 　　． 一十一．菱形的性质（共3小题） 30．（2023秋•成都期中）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为　　 A． B．10 C．5 D． 31．（2023秋•锦江区校级期中）如图，菱形中，，边，为边的中点，为边上的一点，连接、，当时，线段的长为 　　． 32．（2023秋•英德市期中）如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点、、在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为 　　． 一十二．矩形的性质（共4小题） 33．（2023春•鼓楼区校级期中）两个矩形的位置如图所示，若，则　　 A． B． C． D． 34．（2023秋•台儿庄区期中）如图，矩形中，，，且有一点从点沿着往点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为多少　　 A． B． C．5 D．7 35．（2024秋•义乌市期中）如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使△△，则 　　秒． 36．（2023秋•南岗区校级期中）矩形中，对角线交于点，点在对角线上，若，，，则的长度为 　　． 一十三．矩形的判定与性质（共1小题） 37．（2023春•盱眙县期中）在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． （1）若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形、相遇时除外）？ 答：　　；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值； （3）在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 一十四．正方形的性质（共3小题） 38．（2023春•莒南县期中）已知：如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，，下列结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是　　 A．①②③④ B．①④⑤ C．①②④ D．③④⑤ 39．（2023秋•埇桥区期中）如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为　　 A． B． C． D． 40．（2023秋•清新区期中）如图，四边形是正方形，以为边作等边三角形，与相交于点，则的度数是　　 A． B． C． D． 一十五．比例的性质（共3小题） 41．（2023秋•龙华区校级期中）已知，则下面结论成立的是　　 A． B． C． D．， 42．（2023秋•锦江区校级期中）已知，，那么的值是 　　． 43．（2023秋•城关区校级期中）已知，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 一十六．平行线分线段成比例（共1小题） 44．（2023秋•长安区期中）如图，直线，直线分别交，，于点、、，直线分别交，，于点、、，已知，若，则的长是　　 A． B． C．9 D．6 一十七．相似多边形的性质（共2小题） 45．（2023秋•余姚市校级期中）如图，，、，分别是矩形四边上的点，连结，相交于点，且，，设矩形、矩形、矩形、矩形的面积分别为、、，，矩形矩形，连接交，于点，．下列一定能求出△面积的条件是　　 A． B． C． D． 46．（2023秋•和平区期中）如图，将一个矩形纸片沿、的中点、的连线对折，要使对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为　　 A． B． C． D． 一十八．相似三角形的判定（共1小题） 47．（2023秋•临渭区期中）如图，在矩形中，，，动点以的速度从点出发，沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿向点运动，设运动的时间为秒． （1）当为何值时，的面积等于矩形面积的？ （2）是否存在某一时刻，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 一十九．相似三角形的判定与性质（共5小题） 48．（2023秋•光明区校级期中）如图，正方形由四个全等的直角三角形拼接而成，连结交于点．若，则的值为　　 A． B． C． D． 49．（2023秋•龙泉驿区期中）如图，在中，，分别是边，上的点，连接，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 50．（2023秋•宿松县期中）已知：如图，在中，、的平分线相交于点，过点的直线，分别交、于点、． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 51．（2023秋•商河县期中）如图，中，，，，是的中点．动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． （1）当为多少秒时，以点、、为顶点的三角形与相似？ （2）若为钝角三角形，请直接写出的取值范围． 52．（2023秋•青白江区校级期中）如图，已知直线的函数表达式为，且与轴、轴分别交于、两点，动点从点开始在线段上以每秒2个单位的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒1个单位的速度向点移动，设点、移动时间为秒． （1）求点、的坐标． （2）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ （3）求出（2）中当以点、、为顶点的三角形与相似时，线段的长度． 二十．相似三角形的应用（共3小题） 53．（2023秋•银海区期中）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图2中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为1，为0.5，实地测得为2.5．则井深为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 54．（2023秋•晋州市期中）如图，一壁厚均匀的容器外径为，用一个交叉卡错（两条尺长和相等）可测量容器的内部直径．如果，且量得，则零件的厚度为　　 A． B． C． D． 55．（2023秋•锦江区校级期中）成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度，测量方法如下：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点处恰好看到瞭望塔的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中，，三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度约为，测得，，请你帮助他求出该瞭望塔的高度． 二十一．列表法与树状图法（共3小题） 56．（2023秋•化州市期中）掷一枚质地均匀的骰子．小明掷了3次，其中2次点数为5，1次点数为2．若他再掷1次，则点数为5的概率是　　 A．0 B． C． D． 57．（2023秋•吉安期中）有三张外观一样的正面分别是红色、黄色、蓝色的卡片，将其背面朝上并洗匀．从中随机抽取一张，记下卡片的颜色后放回，再从中随机抽取一张记下其颜色．则抽取的两张卡片的颜色就能配成紫色的概率是 　　．（红色和蓝色可以配成紫色） 58．（2023秋•蒲城县校级期中）阅读对学生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随机抽取若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图表．请根据图表中的信息，解答下列问题： 组别 时间小时 频数（人数） 频率 6 0.15 0.3 10 0.25 8 4 0.1 合计 1 （1）表中的　　，　　，并将频数分布直方图补全； （2）估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间不足0.5小时的学生大约有多少名？ （3）组的4人中，有1名男生和3名女生，该校计划在组学生中随机选出2人向全校同学读书心得报告，请用画树状图或列表法求抽取的2名学生刚好是1名男生和1名女生的概率． 二十二．利用频率估计概率（共2小题） 59．（2023秋•竞秀区校级期中）关于频率和概率的关系，下列说法正确的是　　 A．频率等于概率 B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近 D．实验得到的频率与概率不可能相等 60．（2023秋•西山区校级期中）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 2048 4040 10000 12000 24000 摸到白球的次数 1061 2048 4979 6019 12012 摸到白球的频率 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 　　；（精确到 （2）试估算口袋中白球有多少个？ （3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷易错60题（22个考点专练） 一．一元二次方程的定义（共3小题） 1．（2023秋•即墨区校级期中）若方程是关于的一元二次方程，则　　 A． B． C． D．的一切实数 【分析】根据一元二次方程的定义得出：且，进而得出答案． 【解答】解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2．（2023秋•凌海市期中）下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：①，是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程． 所以是一元二次方程的有2个． 故选：． 【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，特别要注意的条件． 3．（2023秋•大石桥市期中）关于的方程是一元二次方程，则的值是 　　． 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：是一元二次方程， ，， 解得，， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 二．一元二次方程的一般形式（共4小题） 4．（2023秋•长寿区校级期中）一元二次方程的一次项系数是　　 A． B． C．3 D． 【分析】根据一元二次方程的一般形式找出一次项系数即可． 【解答】解：一元二次方程的一次项系数为． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式，其中、、为常数，是解此题的关键． 5．（2023秋•古冶区期中）一元二次方程化为一般形式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则化简，再通过移项，合并同类项即可． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键． 6．（2023秋•鄄城县期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于　　 A．1 B．2 C．1或2 D．0 【分析】根据一元二次方程的定义解答． 【解答】解：一元二次方程程的常数项为0， ， ， 解得， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 7．（2023秋•青山区期中）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和常数项分别是　　 A．2，3 B．2， C．， D．2， 【分析】把原方程根据移项法则化为一般形式，根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：， 移项得，， 则二次项系数、常数项分别为2、， 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式：，，是常数且，在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 三．一元二次方程的解（共3小题） 8．（2023秋•河东区期中）是关于的一元二次方程的解，则　　 A． B． C．4 D． 【分析】根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：把代入方程中得： ， 解得：， ， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键． 9．（2023秋•兴文县期中）若是一元二次方程的一个根，则的值为　　 A． B．5 C．2 D．4 【分析】根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：把代入方程中得：， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10．（2023秋•广州期中）已知是一元二次方程的一个根，则的最小值为 　　． 【分析】根据是一元二次方程的一个根，可以用含的式子表示，然后即可计算出的式子，整理即可求得的最小值． 【解答】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 四．解一元二次方程-配方法（共3小题） 11．（2023秋•密云区期中）用配方法解方程，变形后结果正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据解一元二次方程配方法进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键． 12．（2023秋•龙华区校级期中）把方程转化成的形式，则、的值是　　 A．3，8 B．3，10 C．，10 D．，8 【分析】根据解一元二次方程配方法进行计算，即可解答． 【解答】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 方程转化成的形式， ，． 故选：． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解本题的关键． 13．（2023秋•锦江区校级期中）若一元二次方程可以配成的形式，则　3　．　　． 【分析】利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， ，， 故答案为：3，2． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 五．解一元二次方程-公式法（共2小题） 14．（2023秋•霞浦县期中）一元二次方程，用求根公式求解时，，，的值是　　 A．2，，1 B．2，3， C．2，， D．2，3，1 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，即可解答． 【解答】解：， 整理得：， 用求根公式求解时，，，， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握解一元二次方程公式法是解题的关键． 15．（2023秋•高安市期中）是下列哪个一元二次方程的根　　 A． B． C． D． 【分析】根据求根公式确定、、的值即可判断． 【解答】解：， ，，， 是一元二次方程的根． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，熟记求根公式是解题的关键． 六．解一元二次方程-因式分解法（共5小题） 16．（2023秋•邹城市校级期中）方程的一个实数根为，则的值是　　 A．2023 B．2021 C．2027 D．2029 【分析】本题由方程的解可得，再代入求值即可． 【解答】解：方程的一个实数根为， ，即， ， 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解，求解代数式的值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．（2023秋•台江区校级期中）方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：， 或， ，， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18．（2023秋•德化县期中）解方程：． 【分析】整理方程，然后直接提取公因，利用因式分解法解出的值即可． 【解答】解：， 整理得， 因式分解得：， 或， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 19．（2023秋•天府新区校级期中）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）根据解一元二次方程配方法进行计算，即可解答； （2）根据解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ，； （2）， ， ， ， 或， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 20．（2023秋•兖州区校级期中）用适当的方法解下列方程：． 【分析】利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， 或， 解得，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可，掌握因式分解法，直接开平方法，配方法，公式法等解一元二次方程常用的方法是解题关键． 七．根与系数的关系（共4小题） 21．（2023秋•青山区校级期中）若关于的一元二次方程的两个不相等的实数根、，满足，则的值是　　 A．2或0 B．0 C．2 D．1 【分析】依据题意，由一元二次方程有两个不相等的实数根、，从而，，且△，故，再结合，可得，求出后可以判断得解． 【解答】解：由题意，一元二次方程有两个不相等的实数根、， ，，且△． ． 又， ． 或． 又， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟练掌握一元二次方程的根的判别式的运用是关键． 22．（2024秋•凉州区期中）若方程的两根分别为，，则点关于原点对称的点的坐标是 　　． 【分析】依据题意，由方程的两根分别为，，从而可以求出，的值，即可得的坐标，再由关于原点对称的点的坐标的特征可以判断得解． 【解答】解：由题意，方程的两根分别为，， ，． ，． ． 点关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系、关于原点对称的点的坐标，解题时要能熟练掌握并能灵活运用根与系数的关系是关键． 23．（2023秋•新邵县期中）若一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，则的值是 　3　． 【分析】由根与系数的关系，可得，，又由，结合根的判别式即可求得的值． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △， ， ，， 又， ， 解得：或， ， ， 故选：． 故答案为：3． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系与判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果，是一元二次方程的两根，那么有，的应用． 24．（2023秋•东宝区校级期中）关于的方程的有实根． （1）求实数的取值范围． （2）若方程两实根，是一矩形的两邻边的长，且矩形的对角线长为，试求的值． 【分析】（1）依据题意，由方程有实数根，可得到其判别式是非负数，这样就可以确定的取值范围； （2）依据题意，方程两实根，满足，又根据根与系数的关系可以得到，，而，这样利用这些等式变形即可求解． 【解答】解：（1）依题意△， ． （2）由题意，，是一矩形的两邻边的长，且矩形的对角线长为， ． ，， ． ． 或． 当时，，舍去， ． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，首先利用判别式是非负数确定的取值范围，然后利用各与系数的关系确定的值． 八．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 25．（2023秋•东莞市校级期中）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏长，若养鸡场面积为，设 ，则列方程得 　　． 【分析】依据题意，由的长为 ，平行于墙的边长为，根据面积为，进而可以列方程得解． 【解答】解：由题意，的长为 ， 平行于墙的边长为． ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程． 九．一元二次方程的应用（共1小题） 26．（2023秋•西城区校级期中）2023年9月23日，第十九届亚洲运动会开幕式在浙江杭州举行．本届亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和时代活力的机器人，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，它们共同组成“江南忆”组合．经统计4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． 求该款吉祥物4月份到6月份销售量的平均增长率； 【分析】依据题意，设该款吉祥物4月份到6月份销售量的平均增长率为，从而，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，设该款吉祥物4月份到6月份销售量的平均增长率为， ． ，（不合题意，舍去）． 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的平均增长率为0.25． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键． 一十．直角三角形斜边上的中线（共3小题） 27．（2023秋•新民市期中）如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：，为对角线的中点， ，， ，， ， ， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 28．（2023秋•明溪县期中）如图，在中，，点是的中点，，则　4　． 【分析】利用直角三角形斜边上的中线性质，即可解答． 【解答】解：，点是的中点，， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 29．（2023春•河北区校级期中）如图，在和中，，，是的中点，连接，，，若，则的面积 　12　． 【分析】过点作，垂足为，先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为， ，，是的中点， ， ， 在中，， 的面积， 故答案为：12． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 一十一．菱形的性质（共3小题） 30．（2023秋•成都期中）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为　　 A． B．10 C．5 D． 【分析】根据菱形的性质可得，由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，可计算出的长度，再根据直角三角形的性质可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案． 【解答】解：四边形是菱形， ， 又， ， ， 在中，点是的中点， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了菱形及直角三角形的性质，合理应用性质进行计算是解决本题的关键． 31．（2023秋•锦江区校级期中）如图，菱形中，，边，为边的中点，为边上的一点，连接、，当时，线段的长为 　　． 【分析】由菱形的性质可得，且，可证是等边三角形，利用等边三角形的性质求出即可解答． 【解答】解：连接， 四边形是菱形， ，且， 是等边三角形，且点是的中点， ，且， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 32．（2023秋•英德市期中）如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点、、在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为 　　． 【分析】根据直角三角形的性质得出，的长，进而利用菱形的性质得出点的坐标即可． 【解答】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形四条边相等且对边平行的性质． 一十二．矩形的性质（共4小题） 33．（2023春•鼓楼区校级期中）两个矩形的位置如图所示，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据矩形的性质可得，利用三角形的外角可得，然后再利用，进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 四边形，四边形都是矩形， ， 是的一个外角， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 34．（2023秋•台儿庄区期中）如图，矩形中，，，且有一点从点沿着往点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为多少　　 A． B． C．5 D．7 【分析】连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解． 【解答】解：如图，连接、， ，， ． 四边形是矩形， ． 四边形为矩形． ． 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 下面求此时的值， 在中， ，，， ． ， ． 的长度最小为：． 故本题选． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用． 35．（2024秋•义乌市期中）如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使△△，则 　2　秒． 【分析】依据题意，先设经秒后，△△，应用相似三角形的对应边成比例可得，再将相应的数据代入比例式，即可求出的值． 【解答】解：由题意，设经秒后，△△， 由于， ， ． ． 故经过2秒时，△△． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及矩形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用相似三角形的性质是关键． 36．（2023秋•南岗区校级期中）矩形中，对角线交于点，点在对角线上，若，，，则的长度为 　或　． 【分析】根据题意画出图形，连接，交于点，过点作于点，先根据勾股定理求出，进而判定为等边三角形，然后根据等边三角形的性质计算，再分点在和上两种情况进行分类讨论． 【解答】解：如图，连接，交于点，过点作于点， 四边形是矩形， ，，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， 当点在上时，， ， ； 当点在上，， ， ． 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线并进行分类讨论． 一十三．矩形的判定与性质（共1小题） 37．（2023春•盱眙县期中）在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． （1）若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形、相遇时除外）？ 答：　四边形是平行四边形　；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值； （3）在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 【分析】（1）利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， 四边形是矩形， ，， ， ，分别是，中点， ，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 故答案为：四边形是平行四边形； （2）如图1，连接， 由（1）得，，， 四边形是矩形， ， ①如图1，当四边形是矩形时， ， ， ， ； ②如图2，当四边形是矩形时， ，， ， ； 综上，四边形为矩形时或； （3）如图3，和分别是和的中点，连接，，，与交于， 四边形为菱形， ，，， ，， 四边形为菱形， ， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ，即， 当时，四边形为菱形． 【点评】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用． 一十四．正方形的性质（共3小题） 38．（2023春•莒南县期中）已知：如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，，下列结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是　　 A．①②③④ B．①④⑤ C．①②④ D．③④⑤ 【分析】①利用即可证明，进而可以判断①正确；②根据和等腰直角三角形的性质得出，得出，进而可以判断②正确；③根据勾股定理计算可得的长，进而可以判断③；④连接，可得，即可判断④；⑤根据，进而可以判断⑤． 【解答】解：①在正方形，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ；故①成立； ②，， ，， ， ，故②成立； ③， ， 在中，，， ，故③不成立； ④如图，连接， 由②得：，， ， ．故④成立； ， ， ， ， ， ， ，故⑤不成立． 综上所述，正确结论的序号是①②④， 故选：． 【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键． 39．（2023秋•埇桥区期中）如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为　　 A． B． C． D． 【分析】连接、，根据正方形的性质得到，根据勾股定理求出的长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可． 【解答】解：连接、，如图： 四边形和四边形是正方形， ，， ， ，， ，， 由勾股定理得，， 是的中点，， ， 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 40．（2023秋•清新区期中）如图，四边形是正方形，以为边作等边三角形，与相交于点，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据，为正方形的两条对角线可知为的垂直平分线，所以，要求，求即可． 【解答】解：如图，连接， ，， ， ， 是线段的垂直平分线，在上， 故选：． 【点评】本题考查的正方形的对角垂直平分的性质，根据垂直平分线的性质可以求得，确定和垂直平分是解题的关键． 一十五．比例的性质（共3小题） 41．（2023秋•龙华区校级期中）已知，则下面结论成立的是　　 A． B． C． D．， 【分析】利用比例的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：、， ， 故不符合题意； 、， ， 故不符合题意； 、， ， 故符合题意； 、， ， 设，， 故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 42．（2023秋•锦江区校级期中）已知，，那么的值是 　　． 【分析】利用等比的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键． 43．（2023秋•城关区校级期中）已知，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 【分析】（1）利用等比性质，进行计算即可解答； （2）利用等比性质，进行计算即可解答． 【解答】解：（1），且， ， 的值为2； （2）， ， ， ， ， 的值为10． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键． 一十六．平行线分线段成比例（共1小题） 44．（2023秋•长安区期中）如图，直线，直线分别交，，于点、、，直线分别交，，于点、、，已知，若，则的长是　　 A． B． C．9 D．6 【分析】根据证得，进而根据求出即可． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练应用三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 一十七．相似多边形的性质（共2小题） 45．（2023秋•余姚市校级期中）如图，，、，分别是矩形四边上的点，连结，相交于点，且，，设矩形、矩形、矩形、矩形的面积分别为、、，，矩形矩形，连接交，于点，．下列一定能求出△面积的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似矩形设相似比，再运用相似三角形得出关键线段长，运用三角形面积公式即可求解． 【解答】解：矩形矩形， 设矩形与矩形的相似比为，即， 设，， 则在矩形、矩形中，，， 矩形、矩形、矩形的对边互相平行，，， ，， △△，△△， ， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了矩形的性质、相似矩形、相似三角形的性质及判定，找到关键线段的长运用三角形面积公式是解题的关键． 46．（2023秋•和平区期中）如图，将一个矩形纸片沿、的中点、的连线对折，要使对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为　　 A． B． C． D． 【分析】根据矩形的性质可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用相似多边形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 一十八．相似三角形的判定（共1小题） 47．（2023秋•临渭区期中）如图，在矩形中，，，动点以的速度从点出发，沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿向点运动，设运动的时间为秒． （1）当为何值时，的面积等于矩形面积的？ （2）是否存在某一时刻，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据矩形的性质求出，求出、，根据三角形的面积公式，利用建立方程，解之即可； （2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的值即可说明存在，反之则不存在． 【解答】解：（1）四边形是矩形， ，， ，， ， 依题意得：， ， ，． 答：经过1秒或2秒时，的面积等于矩形面积的； （2）设运动时间为秒， 由题意得，，， 若， 则有，即， 解得， 若 则有，即， 解得， 答：当运动时间为1.5秒或2.4秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 一十九．相似三角形的判定与性质（共5小题） 48．（2023秋•光明区校级期中）如图，正方形由四个全等的直角三角形拼接而成，连结交于点．若，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】延长，，交于点，设，，依据，即可得出；再根据，即可得到的值． 【解答】解：如图所示，延长，，交于点，设，， 正方形由四个全等的直角三角形拼接而成， ，， ， ， ，即， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是延长，，构造两对“8”字模型相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行计算． 49．（2023秋•龙泉驿区期中）如图，在中，，分别是边，上的点，连接，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证． （2）设，则，，根据相似三角形的性质可知，从而列出方程解出的值． 【解答】（1）证明：，， ； （2）解：由（1）可知：， ， 设，则，， ，， ， 解得：（负值舍去）， 的长是． 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型． 50．（2023秋•宿松县期中）已知：如图，在中，、的平分线相交于点，过点的直线，分别交、于点、． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再利用平行线的性质可得，，从而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：和分别平分 和， ，， ， ，， ，， ，， ， ； （2）解：，， ，， ， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，与等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 51．（2023秋•商河县期中）如图，中，，，，是的中点．动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． （1）当为多少秒时，以点、、为顶点的三角形与相似？ （2）若为钝角三角形，请直接写出的取值范围． 【分析】（1）根据题意得，分两种情况讨论：当时，当时，对应边成比例列式计算即可得出结果； （2）结合（1），求出和时的的值，进而求得结果． 【解答】解：（1），，， ， 是的中点， ， 根据题意可知：，则， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ， 综上所述：当为2秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似； （2）如图2， 当时， 由（1）可知：， ， 当时，是钝角三角形， 当， 由（1）可知：， 当时，是钝角三角形， 综上所述：或． 【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是正确分类，画出图形． 52．（2023秋•青白江区校级期中）如图，已知直线的函数表达式为，且与轴、轴分别交于、两点，动点从点开始在线段上以每秒2个单位的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒1个单位的速度向点移动，设点、移动时间为秒． （1）求点、的坐标． （2）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ （3）求出（2）中当以点、、为顶点的三角形与相似时，线段的长度． 【分析】（1）小题利用轴轴的坐标特点代入，即可求出点、的坐标； （2）（3）小题由已知相似得到比例式，代入即可求出和的长度，注意（2）（3）都有两种情况． 【解答】解：（1）， 当时，， 当时，， 答案为：点的坐标为：，点的坐标为：． （2）此题有两种情况： 在中，，，由勾股定理得：， ，，，， 第一种情况： 时，， 即， 解得：， 第二种情况： 当时， 即， 解得：． 答案为：当为或时，以点、、为顶点的三角形与相似． （3）以点、、为顶点的三角形与相似， 当时， ， 解得： 当时， ， 解得， 答案为：当以点、、为顶点的三角形与相似时，线段的长度是或． 【点评】解此题的关键是利用相似三角形的性质得到正确的比例式，难点是正确进行分类讨论．此题题型较好，难度适中． 二十．相似三角形的应用（共3小题） 53．（2023秋•银海区期中）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图2中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为1，为0.5，实地测得为2.5．则井深为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据正方形的性质可得，再根据矩形的性质可得，，从而可得，然后证明8字模型相似三角形△△，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：四边形是正方形， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， △△， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键． 54．（2023秋•晋州市期中）如图，一壁厚均匀的容器外径为，用一个交叉卡错（两条尺长和相等）可测量容器的内部直径．如果，且量得，则零件的厚度为　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得的值． 【解答】解：，， ， ， ， ， 某零件的外径为， 零件的厚度为：． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是利用三角形相似求出的值． 55．（2023秋•锦江区校级期中）成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度，测量方法如下：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点处恰好看到瞭望塔的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中，，三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度约为，测得，，请你帮助他求出该瞭望塔的高度． 【分析】根据题意可得：，，，从而可得，然后证明△△，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：，，， ， △△， ， ， ， 该瞭望塔的高度为． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 二十一．列表法与树状图法（共3小题） 56．（2023秋•化州市期中）掷一枚质地均匀的骰子．小明掷了3次，其中2次点数为5，1次点数为2．若他再掷1次，则点数为5的概率是　　 A．0 B． C． D． 【分析】根据概率的意义求出即可． 【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，出现1，2，3，4，5，6点的可能性相同， 再掷1次，则点数为5的概率为：． 故选：． 【点评】本题考查概率的定义和等可能事件概率的求法，准确理解概率的意义是解题的关键． 57．（2023秋•吉安期中）有三张外观一样的正面分别是红色、黄色、蓝色的卡片，将其背面朝上并洗匀．从中随机抽取一张，记下卡片的颜色后放回，再从中随机抽取一张记下其颜色．则抽取的两张卡片的颜色就能配成紫色的概率是 　　．（红色和蓝色可以配成紫色） 【分析】画树状图表示出所有等可能的结果数和抽取的两张卡片是红色和蓝色的结果数，再根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：根据题意画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片的颜色就能配成紫色的结果有2种， 抽取的两张卡片的颜色就能配成紫色的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．注意：概率． 58．（2023秋•蒲城县校级期中）阅读对学生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随机抽取若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图表．请根据图表中的信息，解答下列问题： 组别 时间小时 频数（人数） 频率 6 0.15 0.3 10 0.25 8 4 0.1 合计 1 （1）表中的　12　，　　，并将频数分布直方图补全； （2）估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间不足0.5小时的学生大约有多少名？ （3）组的4人中，有1名男生和3名女生，该校计划在组学生中随机选出2人向全校同学读书心得报告，请用画树状图或列表法求抽取的2名学生刚好是1名男生和1名女生的概率． 【分析】（1）先求得抽取的学生数，再根据频率计算频数，根据频数计算频率； （2）根据每周课余阅读时间不足0.5小时的学生的频率，估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间不足0.5小时的学生数即可； （3）通过画树状图，根据概率的计算公式，即可得到抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率． 【解答】解：（1）抽取的学生数为（人， （人，， 频数分布直方图如下： 故答案为：12，0.2； （2）（人， 答：估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间不足0.5小时的学生大约有300名； （3）画树状图如图所示： 共有12种等可能的结果，其中刚好是1名男生和1名女生的结果有6种， 抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率为． 【点评】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，以及频数分布直方图的运用，解题时注意：当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 二十二．利用频率估计概率（共2小题） 59．（2023秋•竞秀区校级期中）关于频率和概率的关系，下列说法正确的是　　 A．频率等于概率 B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近 D．实验得到的频率与概率不可能相等 【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果． 【解答】解：、频率只能估计概率； 、正确； 、概率是定值； 、可以相同，如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同． 故选：． 【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 60．（2023秋•西山区校级期中）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 2048 4040 10000 12000 24000 摸到白球的次数 1061 2048 4979 6019 12012 摸到白球的频率 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 　0.5　；（精确到 （2）试估算口袋中白球有多少个？ （3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率． 【分析】（1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近0.5； （2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.5，然后利用概率公式计算白球的个数； （3）先利用列表法展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）由题可得，当很大时，摸到白球的频率接近0.5； 故答案为：0.5； （2）由（1）摸到白球的概率为0.5， 所以可估计口袋中白种颜色的球的个数（个； （3）列表得： 第二次 第一次 白1 白2 黑1 黑2 白1 （白1，白 （白1，白 （白1，黑 （白1，黑 白2 （白2，白 （白2，白 （白2，黑 （白2，黑 黑1 （黑1，白 （黑1，白 （黑1，黑 （黑1，黑 黑2 （黑2，白 （黑2，白 （黑2，黑 （黑2，黑 由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有8种可能． （颜色相同）． 【点评】本题考查了列表法与树状图法以及利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$