1.3勾股定理的应用 同步练习2024-2025学年北师大版数学八年级上册

北师大版2024-2025学年八年级数学上册1.3勾股定理的应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．则这根芦苇长为（    ） A．12尺 B．13尺 C．6尺 D．7尺 2．如图，一轮船从港口O出发以32海里/时的速度向北偏西方向航行，另一轮船同时从港口O出发以24海里/时的速度向南偏西方向航行，航行1小时后，两船相距（    ） A．40海里 B．35海里 C．30海里 D．25海里 3．如图是一块长、宽、高分别是和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ）    A． B． C． D． 4．如图所示，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点B爬到上表面的中心A处吃食．若想尽快吃到食物，则它走过的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，一圆柱高8cm，底面周长是12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（　　） A．20cm B．24cm C．14cm D．10cm 6．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（　　） A．18m B．10m C．14m D．24m 7．如图，圆柱形容器的底面周长是30cm，高为17cm，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口出3cm的点F处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（    ） A． B．25cm C． D．30cm 二、填空题 8．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后相距30nmile，且知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号航行的方向是 ． 9．一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为 米． 10．如图．圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点的最短路程是 ． 11．纸质饮料盒是一个长方体，长6cm，宽4cm，高12cm，将一根长20cm的吸管从纸盒一角的小孔插入，为了能吸到纸盒内每一个角落，吸管露在盒外的长度最短为 cm． 12．如图，A，B是一棱长为3cm的正方体的顶点，点C在棱上，且BC＝1cm．若一只蚂蚁每秒爬行2cm，在顶点A处的蚂蚁沿着正方体的前侧面和右侧面爬行到C点，至少爬行 秒？ 三、解答题 13．如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为米，为米，． (1)求梯子的长； (2)当梯子的顶端下滑米时，求梯子的底端向外移动的距离． 14．如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． (1)求这架云梯的顶端距地面的高度； (2)当云梯的顶端A沿墙面下滑到达位置时，用含x的代数式表示云梯的底端水平滑动的距离； (3)若云梯底端离墙的距离不能小于云梯长度的，求云梯的顶端所能达到的最大高度． 15．如图所示，一架长为2.5米的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙的距离为0.7米．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到D，求梯子底部B向外移动的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B A C A D A B 1．B 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】设水池的深度为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得： ， 解得：x=12， 芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺）， 故选B. 【点睛】此题是一道古代问题，属于对勾股定理的应用，熟悉勾股定理是解题的关键． 2．A 【分析】本题考查了方位角以及勾股定理的应用，先得出，再求出，根据勾股定理列式，进行作答即可． 【详解】解：连接，如图： 依题意，得 ∴ 则， ∵，一轮船从港口O出发以32海里/时的速度航行，另一轮船同时从港口O出发以24海里/时的速度航行，航行1小时， ∴， 则（海里）， 故选：A． 3．C 【分析】展成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．本题考查平面展开路径问题、勾股定理，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线． 【详解】解：就是蚂蚁爬的最短路线．    但有三种情况： 当：，． ． 当，． ． 当， ． ∵ ∴第三种情况最短． 故选：C． 4．A 【分析】先展开，再根据“两点之间线段最短”求解即可． 【详解】解：如图， 过点A作， 由题意得：AC=a，BC=a， ∴AB= = = =． 故选A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，平面展开图---最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题． 5．D 【分析】将圆柱展开，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将圆柱展开： ∵圆柱高8cm，底面周长为12cm， ∴BC＝8cm，AC＝6cm， 根据勾股定理得：AB＝＝10（cm）， 即爬行的最短路程是10cm， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度． 6．A 【分析】根据勾股定理可求出AB的长，AB+BC即为树在折断之前的高度. 【详解】解：∵BC=8m，AC=6m，∠C=90º， ∴AB=m， ∴树高10+8=18m. 故选A. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用. 7．B 【分析】画出圆柱侧面展开图，根据两点之间线段最短确定最短路线，结合勾股定理计算出最短路线即可. 【详解】如图，SF＇即为蜘蛛所走最短路径， 由题意得：SA=15cm，AD=17cm，F＇D=3cm， ∴F＇A=17+3=20cm， ∴SF＇==25cm. 故选B. 【点睛】此类问题画侧面展开图的时候需要注意物体在容器内侧与外侧的区别. 8．西北方向 【分析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解． 【详解】解：根据题意，得 PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）． ∵242+182=302， 即PQ2+PR2=QR2， ∴∠QPR=90°． 由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°， 即“海天”号沿西北方向航行 故答案为：西北方向． 【点睛】此题主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形． 9．9 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，顶端落在地面离木杆底端3米处， ∴折断的部分长为（米）， ∴折断前高度为5+4＝9（米）． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了勾股定理应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 10． 【分析】如图所示，根据圆柱的知识可求底面圆的周长，根据圆柱侧面展开图得矩形，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点的最短路程是，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形，圆柱的底面圆的半径，高， ∴底面圆的周长为，则， 蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点的最短路程是， 在中，， ∴最短路程是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆，勾股定理，最短路径知识的综合，掌握圆的基础知识，勾股定理的运算，最短路径的计算方法是解题的关键． 11．6 【分析】由题意得，把吸管的一端放在插入角的对角顶点处，此时吸管露在盒外的长度最短，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】由勾股定理得，吸管露在盒外的长度最短为：20-=6cm． 故答案是：6． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 12．2.5 【分析】把此正方体的点A所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和C点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离，根据蚂蚁爬行的距离，即可求出爬行时间． 【详解】解：将正方体的前侧面和右侧面展开，如图所示： 根据题意可得：， ∴蚂蚁爬行的最短距离为：， ∵蚂蚁每秒爬行2cm， ∴蚂蚁爬行的最短时间为：（秒）． 故答案为：2.5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的拓展应用，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 13．(1)梯子的长为米； (2)梯子的底端向外移动的距离为米． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用； （1）由题意得米，米，根据勾股定理可求出梯子的长； （2）由题意得此时米，米，米，由勾股定理可得出，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：米，米，， 根据勾股定理可得：（米）． 梯子的长为米； （2）解：如图，由题意可知：米． 米， 米 米，米，， 根据勾股定理可得：（米）， （米）， 即梯子的底端向外移动的距离为米． 14．(1)这架云梯的顶端距地面的高度是20米 (2)云梯的底端水平滑动的距离是 (3)云梯的顶端所能达到的最大高度是 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，能灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理即可求出AC的长； （2）先求出的长，再由勾股定理可求出的长，再用即可解决问题； （3）根据“云梯底端离墙的距离不能小于云梯长度的”求出云梯底端离墙的最小距离，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1），，， 在中，由勾股定理得：， 答：这架云梯的顶端距地面的高度AC是20米； （2）由题意得：，，， 在中，， ， 答：云梯的底端水平滑动的距离是； （3）， ， 由勾股定理得：， 答：云梯的顶端所能达到的最大高度是． 15．梯子底部B向外移动的距离为0.8米 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．由勾股定理先求的高度，即可求出的长度．从而可以求得，即可求． 【详解】在中，由勾股定理，得米， （米）. 在中，由勾股定理，得米， （米）， 故梯子底部B向外移动的距离为0.8米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$