四川省泸州市天立学校2024-2025学年高二上学期数学第九周周考试题（二）

泸州天立高2023级高二上数学周练 考试时间：100分钟；总分：120分 一、单选题 1. 如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A. B. C.D. 2. 已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（ ） A. B. C. D. 3.为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则 A. 58或64 B. 59或64 C. 58 D. 59 4. 如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 现有一段底面周长为厘米和高为12厘米的圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到达点，另一只从沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到达点，则此时线段长（单位：厘米）为（ ）A. B. C. 6 D. 12 7.在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ）A. 1 B. C. D. 8.由空间一点出发不共面的三条射线，，及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为．其中叫做三面角的顶点，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三个面角，分别记为，，，二面角、、叫做三面角的二面角，设二面角的平面角大小为，则一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2、 多选题 9.小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（ ） A. 娱乐开支比通信开支多5元 B. 日常开支比食品中的肉类开支多100元 C. 娱乐开支金额为100元 D. 肉类开支占储蓄开支的 10. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 11.阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列说法正确的是（    ） A．四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等 B．若，则四棱柱在顶点处的离散曲率为 C．若四面体在点处的离散曲率为，则平面 D．若四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面的夹角为 三、填空题 12. 设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是______. 13.泸州天立学校运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个扇形.类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形AOB，其中，，点F在弧AB上，且，点E在弧CD上运动的最大值是__________ 14.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），若平面，则点的轨迹的长度为__________. 选择题答题处 姓名 班级 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 填空题答题处 12 13 14 四、解答题（47分） 15（本小题满分15分）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知，． （1）求的面积；（2）若，求． 16（本小题满分15分）甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛,第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利,比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛,丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为,乙、丙比赛乙胜概率为,丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局. (1) 比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率； (2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率. 17（本小题满分17分）19. 如图，四面体中，． （1）求证：平面平面； （2）若， ①若直线与平面所成角为30°，求的值； ②若平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C A D A A C A BCD AD BC 1.【答案】C【详解】如果事件与互斥，则，所以. 如果事件与相互独立，则事件与也相互独立， 所以， ，即.故选：C. 2.【答案】C【详解】如果事件与互斥，则，所以. 如果事件与相互独立，则事件与也相互独立， 所以， ，即.故选：C. 3.【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79． 若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件； 若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件； 若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61（或61和x），则，解得或故选：A 4.【详解】取的中点，连接， 四边形为菱形，， 所以， 由于平面平面，且两平面交线为，，平面， 故平面，又四边形为正方形， 故以为坐标原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方形的边长为2， 则， 故， 则， 故直线，所成角的余弦值．故选：D． 5.【详解】样本空间{（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑），（小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑）， （芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）}，共有15个样本点.其中任取2个节气，这2个节气不在同一个月的样本点有12个. 所以这2个节气不在同一个月的概率为.故选：． 6.【详解】应用圆柱的特征取上下底面的圆心为轴，再过作的垂线为轴，如图建系，过向圆作垂线垂足为，，设圆半径为，所以，所以圆弧的长度为：，，则， 同理，过向圆O作垂线垂足为，则， 所以.故选：A. 7.【详解】由，，共线，可设， 由,,三点共线，故可设， 则有，解得：，故， 由题意，，，三点共线，故可设， 则，整理得， 故， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为；故选：C 8.【答案】A【解析】如图，，，   在上取一点，过在平面内作，交于，过在平面内作，交于，连接， 则是二面角的平面角，即. 设，在直角三角形中， ， 在直角三角形中，， ， 在中，， 在中，， 即为 ，所以.故选：A. 9.【详解】对于C，由图2可知食品的开支为元， 由图1可知食品开支为，所以总开支为元， 则娱乐开支为元，故C正确； 对于A，通信开支为元，娱乐开支比通信开支多元，故A错误； 对于B，日常开支为元，肉类为元， 日常开支比肉类开支多元，故B正确； 对于D，储蓄开支为元，肉类开支占储蓄开支的，故D正确. 故选：BCD. 10.【详解】因为，则，所以， 则，故A正确； 当时，，当时，，故B错误； 因为，则，故C错误； 因为，则，故D正确； 故选：AD 11.【答案】BC 【解析】A：当直四棱柱的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等， 当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故A错误； B：若，则菱形为正方形， 因为平面，平面，所以，， 所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为，故B正确； C：在四面体中，，，所以， 所以四面体在点处的离散曲率为，解得， 易知，所以，所以， 所以直四棱柱为正方体， 因为平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面，所以，同理， 又平面，所以平面，故C正确， D：直四棱柱在顶点处的离散曲率为, 则,即是等边三角形, 设,则即为与平面的所成角,,故D错误;故选：BC. 12.【详解】由题意得， 所以数据的方差 .故答案为：. 13.解：依题意，以O为坐标原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，如图所示： 因为，，，所以， 设， ，因为， 所以， 当，即时，取得最大值为， 所以的最大值是 14.【详解】由题知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 记的中点为，连接， 因为为正方形，为中点，所以，且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 记点的轨迹与交于点，由题知平面， 因为是平面内的相交直线，所以平面平面， 所以即为点的轨迹， 因为， 所以， 设， 则， 设为平面的法向量， 则，令得， 因为，所以， 解得，则，又 所以， 所以.故答案为： 15.【解析】（1），， ，， 解得：，，，即， ，，解得：，． 的面积为． （2）由正弦定理得：，，， 由（1）得，已知，，， 解得：． 16.【详解】（1）由题可知，甲、乙、丙各旁观1局只需讨论前两局的胜负情况，可分为： 甲胜乙、丙胜甲；乙胜甲，丙胜乙. 设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件，，，则，，相互独立， 设比赛完3局时，甲、乙、丙各旁观1局为事件，则， 则， 所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为. （2）设甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件，，，， 设比赛完5局甲获得最终胜利为事件，则 ， ， ， ， ， ， 所以. 所以，已知比赛进行5局后结束，甲获得最终胜利的概率为 . 17.（1）取的中点，连接， 因为，则， 所以，所以，所以， 又因为所以， 则，又因为， 所以，又因为， 平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）①因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 设，因为， 所以由可得：， 所以，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为直线与平面所成角为30°， 所以 则，化简可得：， 解得：或（舍去）. ②由（1）知，平面，又平面所以，在上， 因为，所以，，所以，即，所以， 所以， 三棱锥体积为： ， 因为，当时，三棱锥体积最大为， 此时分别为，的中点，所以， 设，设，因为， 所以，所以， 因为在平面上，所以设， 所以， 所以，解得：，所以，所以 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$