四川省泸州市天立学校2024-2025学年高二上学期数学第九周周考试题（一）

第九周周考试题（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 1．在复平面内，复数对应的点与对应的点关于虚轴对称，则等于（    ） A． B． C． D． 2．设，，与垂直，则等于（    ） A．6 B．14 C． D． 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（    ） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（    ）      A． B． C． D． 5．袋内有个白球和个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为，“第二次摸得黑球”记为，那么事件与，与间的关系是（    ） A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥 C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立 6．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 7．据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当． 即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（    ） A． B． C． D． 8．在中，内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D．6 评卷人 得分 二、多选题 9．设，为复数，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，其中，，，，且，，则 B．若（）为纯虚数，则 C．若关于的方程，，的一个虚根为，则 D．若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限 10．下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的方差是16 11．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．存在实数使得 评卷人 得分 三、填空题 12．在边长为2的正三角形中，D为BC的中点， ，则 . 13．某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为 . 14．已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是 . 评卷人 得分 四、解答题 15．随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是至，男性的正常范围是至.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图.    (1)求a； (2)如果女性体脂率为至属“偏胖”，体脂率超过属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人？ (3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？ 16．如图，在四棱锥中，底面平面.    (1)证明：平面平面PAB. (2)若，，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值. 17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求C； (2)若且，求的外接圆半径． 18．某校开展定点投篮项目测试，规则如下：共设定两个投篮点位，一个是三分线上的甲处，另一个是罚篮点位乙处，在甲处每投进一球得3分，在乙处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试，否则将进行第三次投篮，每人最多投篮3次，如果最终得分超过3分则通过测试，否则不通过．小明在甲处投篮命中率为，在乙处投篮命中率为，小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投． (1)求小明得3分的概率； (2)试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过率更大． 19．如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C A D B B BD ACD 题号 11 答案 BD 1．A 【详解】解：由， 又复数对应的点与对应的点关于虚轴对称， 则， 故选：A. 2．C 【详解】由题设，， ∴， ∴. 故选：C 3．A 【详解】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错； 对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确； 对于选项C，观察折线图，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C正确； 对于D选项，观察折线图，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确. 故选：A 4．C 【详解】因为:， 所以：.又因为：， 所以：， 所以：. 故C项正确. 故选：C. 5．A 【详解】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故与，与C均相互独立．而与，与均能同时发生，从而不互斥． 方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为， 用古典概型概率计算公式易得．而事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以，所以与相互独立：同理，事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，，所以与相互独立． 故选:A． 6．D 【详解】设四棱台的高度为h，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6， 则， 所以. 故选：D. 7．B 【详解】根据题意可知：一共6根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为一共五类情况； 第一类：，即十位用5根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是5或者9，个位为1，则两位数为51或者91； 第二类：，即十位用4根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是4或者8，个位可能为2或者6，故两位数可能42，46，82，86； 第三类：，即十位用3根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是3或者7，个位可能为3或者7，故两位数可能是33，37，73，77； 第四类：，即十位用2根算筹，个位用4根算筹，那么十位为2或6，个位可能为4或者8，则该两位数为24或者28或者64或者68， 第五类：，即十位用1根算筹，个位用5根算筹，那十位是1，个位为5或者9，则两位数为15或者19； 综上可知：用6根算筹组成的满足题意的所有的两位数有：15，19，24，28，33，37，42，46，51，64，68，73，77，82，86，91共计16个，则不小于50的有：51，64，68，73，77，82，86，91共计8个， 故概率为， 故选：B. 8．B 【详解】因为，由余弦定理可得， 则，则， 又，所以，则的面积， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为． 故选：B． 9．BD 【详解】对于选项A：因为，可知，不可能均为实数，故不能比较大小，故A错误； 对于选项B：若（）为纯虚数， 则，解得，故B正确； 对于选项C：若关于的方程，，的一个虚根为， 则另一个虚根为， 可得，所以，故C错误； 对于选项D：若，，则， 复数在复平面内对应的点为，位于第三象限，故D正确； 故选：BD. 10．ACD 【详解】对于选项，个体被抽到的概率为，故该选项正确； 对于选项，，解得， 则方差为，故该选项错误； 对于选项，数据27，12，14，30，15，17，19，23从小到大排列为，12，14，15，17，19，23，27，30， 由于%，其中第6个数为23，故该选项正确； 对于选项，设数据，，…，的均值为， 则数据，，…，的均值为， 因为数据，，…，的方差为， 所以数据，，…，的方差为 ，故该选项正确； 故选：ACD. 11．BD 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A，，故与不垂直，故A错误； 对于B，， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，由上，所以， 所以即，又， 所以， 因为，又由正方体性质可知平面即平面， 所以，故C错误； 对于D，若存在实数使得， 则， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 12． 【详解】根据题意，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 由题意得， 所以，， ，， 设，则， 可得，所以， 所以， . 故答案为：. 13． 【详解】因为甲获胜的方式有和两种， 所以甲获得冠军的概率. 故答案为：. 14． 【详解】因为正三棱柱的底边长为，如图，设内切圆的半径为， 所以，得到，又正三棱柱的高为2， 所以棱柱的内切球的半径为，与上下底面有两个切点且切点为上下底面的中心， 又是该棱柱内切球的一条直径，如图，取上下底面有两个切点为， 则， 又点是正三棱柱表面上的动点， 当与（或）重合时，的值最小，此时， 由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，的值最大， 连接，并延长交于，则， 此时，得到. 故答案为： 15．(1)； (2)全市女性“偏胖”的人数约为，“过胖”的人数约为； (3)小张的体脂率更低. 【详解】（1）由频率直方图可得，， 所以. （2）由频率分布直方图可得样本中女性“偏胖”的频率为， 样本中女性“过胖”的频率为， 所以全市女性“偏胖”的人数约为， 全市女性 “过胖”的人数约为， （3）调查所得数据的平均数为， 设调查所得数据的中位数为， 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以调查所得数据的中位数约为， 所以小王的体脂率约为，小张的体脂率为， 所以小张的体脂率更低. 16．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）底面，平面，， ，，平面，平面， 平面PAD，平面平面，平面， ，平面， 又平面平面平面PAB. （2），直线PD与直线BC所成的角为， 底面，平面， ，即， 设，则， 以为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，    设平面PCD的法向量为，则 取，则，得， 易知平面PAB的一个法向量为， 则， 故平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为. 17．(1) (2) 【详解】（1）因为，即， 且， 即，则， 且，则，可得， 且，所以. （2）因为且，则，可得， 由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以的外接圆半径. 18．(1) (2)选择都在乙处投篮通过率更大 【详解】（1）设小明在甲处投进为事件A，在乙处投进为事件B， 于是，， 小明得3分的概率． （2）小明选择都在乙处投篮，测试通过的概率 ， 小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投，测试通过的概率 ， ，所以选择都在乙处投篮通过率更大． 19．(1)证明见解析 (2)存在，点是线段的中点 【详解】（1）证明：连接，取线段的中点，连接， 在Rt中，， ， 在中，， 由余弦定理可得：， 在中， ， 又平面， 平面， 又平面 ∴平面平面， 在中，， ∵平面平面平面， 平面. （2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 平面的法向量， 在平面直角坐标系中，直线的方程为， 设的坐标为， 则， 设平面的法向量为， ， 所以， 令，则， 由已知， 解之得：或9（舍去）， 所以点是线段的中点. 学科网（北京）股份有限公司 $$