结业测试卷（范围：第一～五章）（提高篇）（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

结业测试卷（范围：第一、二、三、四、五章）（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·广西百色·阶段练习）如图在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则（  ）    A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量的加法运算可得结果. 【解答过程】连接，如下图所示：    因为为的中点， 则， 因为为的中点， 同理可得， 故选：D. 2．（5分）（24-25高三上·河北·期中）等差数列与的前项和分别为，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】利用等差数列求和公式和等差数列的性质得到，从而得到. 【解答过程】因为数列与均为等差数列， 则， 所以. 故选：C. 3．（5分）（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知、分别是中心在原点的双曲线C的左、右焦点，斜率为的直线过点，交C的右支于点B，交y轴于点A，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【解题思路】先根据双曲线的定义，确定的长，再构造三角形相似，利用对应边成比例求出离心率的值. 【解答过程】如图：    设双曲线C的标准方程为（，），由题可知.又因为，所以. 因为直线的斜率为，所以，. 设M为的中点，连接，易知，所以. 则，解得，所以双曲线C的离心率为. 故选：C. 4．（5分）（24-25高二上·河南南阳·期中）已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D．6 【解题思路】将切线长问题，转化为圆心到直线的距离问题，当圆心与点的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PQ最小. 【解答过程】记圆心到直线的距离为，则． 因为， 所以当直线与垂直，即时，的值最小， 故． 故选：B. 5．（5分）（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据可变形为，构造函数， 判断其奇偶性、单调性，结合函数性质解不等式即可. 【解答过程】当时，， 所以当时，， 令，则当时，， 故在时，单调递减， 又因为在上为偶函数，所以在上为奇函数， 故在上单调递减，因为，所以， 当时，可变形为，即， 因为在上单调递减，所以且，得； 当时，可变形为，即， 因为在上单调递减，所以且，得； 综上：不等式的解集为. 故选：A. 6．（5分）（2024·河南信阳·三模）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】由题意可得四边形为平行四边形，设，，，根据与的中点相同得，再由两点间的距离公式，结合椭圆的性质即可求解. 【解答过程】设过点P分别与直线平行的直线为，如图： 设，，，则，， 显然四边形为平行四边形，故与的中点重合， 则，即， 又因P为椭圆上任意一点，所以，即， 即， 而，即，所以当时，. 故选：C. 7．（5分）（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数求的取值范围，利用二次函数的性质求的取值范围，依题意有，解不等式得实数a的范围. 【解答过程】函数，因为，，所以， 故在上单调递增，所以. 又，所以在上也是单调递增，所以. 因为对任意的，总存在，使成立，等价于， 所以，解得，故实数a的范围是. 故选：D. 8．（5分）（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．直线与所成的角不可能是 B．当时，点到平面的距离为 C．当时， D．若,则二面角的平面角的正弦值为 【解题思路】建立如图的空间直角坐标系，利用反证法可判断A的正误，利用空间中的距离公式计算BC后可判断它们的正误，利用向量法可求面面角的余弦值后结合同角的三角函数基本关系式计算后可判断D的正误. 【解答过程】 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 对于A，设，故， 故，而， 设直线与所成的角为，则， 若直线与所成的角是，则， 整理得到：，此方程在上无实数解， 故直线与所成的角不可能是，故A正确. 对于B，当时，结合A中分析可得，故， 故，而，设平面的法向量为， 则即，取，则，， 故， 又，故到平面的距离为， 故B正确. 对于C，当时，又B的分析可得，故， 故，故C正确. 对于D，当时，结合的分析可得，此时， 故，而，设此时平面的法向量为， 则即，取，则，， 故， 又，， 设平面的法向量为， 则即，取，则，， 故， 故，故二面角的平面角的正弦值为， 故D错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（    ） A．若，则 B．若，则的面积为4 C． D．的最小值为4 【解题思路】根据已知，结合四边形的形状判断AB；将转化成直线斜率，借助渐近线斜率判断C；由双曲线定义，结合与之间的关系求最值判断D. 【解答过程】设双曲线右焦点为，由题意可知，四边形为平行四边形， 由双曲线可知：， 对于A，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，故A正确； 对于B，据双曲线定义可知：， 若，则四边形为矩形， 则，所以， 即 所以，所以， 所以，故B不正确； 对于C，由双曲线的方程可知， 在中，， 又因为双曲线渐近线方程为：，所以， 所以，即，故C错误； 对于D， 当且仅当时，取到最小值为4，故D正确． 故选：AD． 10．（6分）（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【解题思路】对于A，利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于B，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于CD，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出平面与平面所成角的余弦值和直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断. 【解答过程】对于A， ，平面，平面， 平面，点在线段上运动， 点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B， ，异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点时，与所成的角为， 当点位于的中点时， 平面，， ，此时，与所成的角为，异面直线与所成角的取值范围是，故B错误； 对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，， 则，，设平面的法向量， 设平面的法向量， ， 则，即， 令，则，则得， 面与平面所成夹角为， 所以， 因为，，所以，， 所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C正确； 对于D，则，，，，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： ， 当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值， 最大值为，故D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数，则（    ） A． B．若，则的极大值点为 C．若至少有两个零点，则 D．在区间上单调递增 【解题思路】对于A：根据函数解析式运算求解即可；对于B：求导，利用导数分析函数单调性和极值；对于CD：分和两种情况，结合导数分析单调性和零点. 【解答过程】对于选项A：因为，则， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，且， 令，解得或；令，解得； 可知在，内单调递增，在内单调递减， 所以的极大值点为，故B错误； 对于选项C：若至少有两个零点， 当时，则， 可知在内单调递增，至多有一个零点，不合题意； 当时，结合选项B可知：， 即，解得； 综上所述：，故C正确； 对于选项D：因为， 当， 可知在内单调递增，符合题意； 当，则， 对于，可得， 此时，则， 所以在区间上单调递增； 综上所述：在区间上单调递增，故D正确； 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列满足：，．若数列为严格增数列，则的取值范围是 . 【解题思路】结合以及列出不等式,由此求得的取值范围. 【解答过程】由于数列是递增数列,所以, 即,解得. 则. 由于,即,即, 即, 所以,解得或. 综上所述，首项的取值范围是. 故答案为:. 13．（5分）（24-25高二上·天津·开学考试）如图，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，点P在对角线上运动，则的面积的最小值为 . 【解题思路】将问题转化为动点到直线的距离最小时，确定点的位置，建立空间直角坐标系，取的中点，通过坐标运算可知，即是动点到直线的距离，再由空间两点间的距离公式求出后，利用二次函数配方可解决问题. 【解答过程】正方体的棱长为1，以A为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，的中点， ，，则， 设，， 由与共线，可得，所以，所以，其中， 因为 ， ， 所以，所以，即是动点到直线的距离， 由空间两点间的距离公式可得 ， 所以当时，取得最小值，此时为线段的中点， 由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点.此时. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高三上·山西·阶段练习）若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 . 【解题思路】恰有两个零点，等价于有两个实数根，设，利用导数研究函数单调性，作出函数图象，数形结合求解. 【解答过程】令，得，即， 令， 所以函数恰有2个零点等价于函数的图象与的图象有两个交点. ，令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以的图象如图所示， 设是的图象的切线，切点为，则切线斜率为， 所以的方程为，又经过点， 所以，即，解得或， 或， 所以由图可知，当或，即或时， 函数的图象与的图象有两个交点， 即函数恰有2个零点， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. (1)求直线的方程； (2)求直线的方程. 【解题思路】（1）根据垂直的位置关系，算出直线的斜率为，利用直线方程的点斜式列式，化简整理即可得到直线的方程； （2）由边的高所在直线方程和，解出，从而得出直线的方程．由直线、关于直线对称，算出方程. 【解答过程】（1）由于所在直线的方程为，故的斜率为， 与互相垂直，直线的斜率为， 结合，可得的点斜式方程：， 化简整理，得，即为所求的直线方程． （2）由和联解，得, 由此可得直线方程为：，即.. ,关于平分线x轴对称，则倾斜角互补，斜率和y轴截距都互为相反数. 直线的方程为：. 16．（15分）（24-25高二上·上海·期中）如图，在等腰梯形中，，，，为中点，点，分别为，的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）通过证明，，可证明相关结论； （2）如图建立空间直角坐标系，求出平面法向量，后由空间向量知识可得答案； （3）由题目信息可表示出平面的法向量，后由可解决问题. 【解答过程】（1）证明：因，且，则四边形是平行四边形.， 则，又四边形为等腰梯形，则， 结合可得是等边三角形.又为中点，则； 如图连接，注意到，，则四边形是平行四边形. 结合是等边三角形，可得四边形是菱形， 则是等边三角形，又为中点，则. 因为平面，，所以； （2）因平面平面，平面平面， 平面，，则平面. 又由（1）可得，则如图建立以为原点的空间直角坐标系. 则. 则. 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则； （3）假设存在满足条件的点，设，则. 又，得，则. 又由题可得，结合， 为的中点，可得. 则， 设平面的法向量为， 则， 取，则，， 所以为平面的一个法向量. 要使平面，则，又， 则.故在侧棱上存在点，使得平面，且.    17．（15分）（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：； 【解题思路】（1）构造新函数，利用新函数的单调性和值域去求实数a的取值范围； （2）构造新函数并利用极值点偏移去证明； 【解答过程】（1） 又因为函数单调递增，且， 在上单调递减，在上单调递增， 当，即时， ， ， 在上各有一个零点， 当时，的最小值为，且， 在内至多只有一个零点， 综上，实数的取值范围是. （2）设， 则 当时，， ， ， 在上单调递增， 当时，， 即当时， 又因为函数有两个零点， 由（1）知，， ， 又在单调上递减，， 即. 18．（17分）（24-25高二上·河北沧州·期中）已知椭圆经过点与点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于异于的，两点，且. ①证明：直线过定点； ②求的面积的最大值. 【解题思路】（1）利用待定系数法直接求解即可； （2）①设直线方程，联立方程组，利用条件，结合韦达定理，表示出直线方程即可得到结果；②由①的结论，设直线方程为，联立方程组，结合韦达定理，表示出的面积，结合基本不等式即可求解. 【解答过程】（1）设椭圆为， 因为椭圆经过点与点， 所以，解得，所以椭圆的方程为. （2）①由（1）知，椭圆的方程为， 设，不妨令在轴上方， 则， 假设直线斜率不存在，设直线方程为， 联立方程，可得， 所以解得或（舍去）， 所以直线方程为； 假设斜率存在，设直线方程为， 联立方程，得， 所以，， 由， 可得， 解得或， 所以直线方程为或， 所以直线恒过或（舍去）， 综上，直线恒过定点. ②由上述可知，当直线斜率不存在时，， 设定点为点，则， 所以； 当直线斜率存在时，，则设方程为， 联立得， 则，， 所以， 设，则， 所以， 由函数在上单调递增知， 所以，当且仅当，即时取等， 故的面积的最大值为.    19．（17分）（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知表示数列，，，…，中最大的项，按照以下方法：，，，…，得到新数列，则称新数列为数列的“数列”． (1)已知数列仅有5项，各项互不相等，，且，请写出所有的“数列”； (2)若满足，，且数列为等差数列，的“数列”为． （ⅰ）求； （ⅱ）求的前n项和． 【解题思路】（1）结合题意可得，，进而分类结合“数列”求解即可； （2）（ⅰ）结合等差数列的性质先求得，进而分n为奇数和n为偶数两种情况结合“数列”求解即可. （ⅱ）当n为偶数时，结合错位相减法求和即可；当n为奇数时，为偶数，可得，进而求解即可. 【解答过程】（1）因为数列仅有5项，各项均为互不相等的正整数，且，， 所以，， 若，此时“数列”为5，5，5，5，1； 若，此时“数列”为5，5，5，5，2； 若，此时“数列”为5，5，5，5，3； 若，此时“数列”为5，5，5，5，4， 所以根据“数列”的定义可知有4个， 分别为5，5，5，5，1或5，5，5，5，2或5，5，5，5，3或5，5，5，5，4． （2）（ⅰ）因为为等差数列，设数列的公差为d， 且，， 所以，，， 所以等差数列的首项为1，公差为2， 所以，则． 当n为奇数时，，当n为偶数时，， 当且n为偶数时，， 所以，数列单调递减， 由“数列”的定义，可知，， 当且为奇数时，， 当且为偶数时，，且单调递减， 故， 所以． （ⅱ）由（ⅰ）可知，当n为偶数时， ，，， ，① ，② 由，得 ， 所以； 当n为奇数时，为偶数， 则， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 结业测试卷（范围：第一、二、三、四、五章）（提高篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·广西百色·阶段练习）如图在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则（  ）    A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高三上·河北·期中）等差数列与的前项和分别为，且，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（5分）（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知、分别是中心在原点的双曲线C的左、右焦点，斜率为的直线过点，交C的右支于点B，交y轴于点A，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 4．（5分）（24-25高二上·河南南阳·期中）已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D．6 5．（5分）（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（2024·河南信阳·三模）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（5分）（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．直线与所成的角不可能是 B．当时，点到平面的距离为 C．当时， D．若,则二面角的平面角的正弦值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（    ） A．若，则 B．若，则的面积为4 C． D．的最小值为4 10．（6分）（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 11．（6分）（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数，则（    ） A． B．若，则的极大值点为 C．若至少有两个零点，则 D．在区间上单调递增 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列满足：，．若数列为严格增数列，则的取值范围是 . 13．（5分）（24-25高二上·天津·开学考试）如图，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，点P在对角线上运动，则的面积的最小值为 . 14．（5分）（24-25高三上·山西·阶段练习）若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. (1)求直线的方程； (2)求直线的方程. 16．（15分）（24-25高二上·上海·期中）如图，在等腰梯形中，，，，为中点，点，分别为，的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 17．（15分）（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：； 18．（17分）（24-25高二上·河北沧州·期中）已知椭圆经过点与点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于异于的，两点，且. ①证明：直线过定点； ②求的面积的最大值. 19．（17分）（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知表示数列，，，…，中最大的项，按照以下方法：，，，…，得到新数列，则称新数列为数列的“数列”． (1)已知数列仅有5项，各项互不相等，，且，请写出所有的“数列”； (2)若满足，，且数列为等差数列，的“数列”为． （ⅰ）求； （ⅱ）求的前n项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$