结业测试卷（范围：第一～五章）（基础篇）（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

结业测试卷（范围：第一、二、三、四、五章）（基础篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·辽宁·期中）已知空间向量，.若，则（    ） A．12 B．10 C． D． 2．（5分）（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知数列满足，则（   ） A． B．2 C．3 D． 3．（5分）（24-25高二上·吉林长春·期中）已知两直线，若，则与间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二上·吉林·期中）如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的另两边则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（23-24高三上·广西桂林·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 7．（5分）（24-25高三上·广东清远·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（    ）      A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 10．（6分）（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数为的导函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．的极小值为 D．在上单调递增 11．（6分）（24-25高二上·江苏南京·期中）设抛物线的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（   ） A． B．点的坐标为 C． D．直线的方程为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·广东汕头·期中）已知直线l的方程为，则直线l过定点 . 13．（5分）（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）若直线与曲线和都相切，则直线的方程为 ． 14．（5分）（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）在长方体中，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知直角的直角顶点，且在轴上． (1)求点的坐标； (2)求斜边中线的方程． 16．（15分）（24-25高二上·河北保定·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点．设，，. (1)用，，表示向量，； (2)若求的值． 17．（15分）（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 18．（17分）（2024·湖北·一模）在公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项. (1)求的通项公式； (2)若，，求数列的前项和. 19．（17分）（24-25高三上·河北·期中）已知函数. (1)当时，判断的单调性； (2)若只有在处取得极小值，且无极大值，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 结业测试卷（范围：第一、二、三、四、五章）（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·辽宁·期中）已知空间向量，.若，则（    ） A．12 B．10 C． D． 【解题思路】通过两向量的平行关系即可确定、值，即可求解. 【解答过程】因为，所以有：， 解得，，所以. 故选：A. 2．（5分）（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知数列满足，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【解题思路】根据递推关系求出前几项可得出数列为周期数列即可得解. 【解答过程】因为数列满足， 所以， 所以， 所以是周期为3的周期数列， 又，所以． 故选：A． 3．（5分）（24-25高二上·吉林长春·期中）已知两直线，若，则与间的距离为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线平行求得参数，再根据平行线之间的距离公式求解即可得结论. 【解答过程】因为，所以，解得， 所以， 由平行线之间的距离公式可得：. 故选：D. 4．（5分）（24-25高二上·吉林·期中）如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的另两边则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据等边三角形的性质和椭圆的定义，即可求解. 【解答过程】如图，与椭圆交于点，连结， 由题意可知，的边长为，点是的中点， 所以，，    ，所以. 故选：B. 5．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出极值点及区间端点处的函数值，再比较大小即得函数的最大值和最小值. 【解答过程】的定义域为，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以的最大值为， 又， 所以的最大值为，最小值为． 故选：A. 6．（5分）（23-24高三上·广西桂林·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【解题思路】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标. 【解答过程】由题意并结合双曲线的定义可得 ， 当且仅当，，三点共线时等号成立. 而直线的方程为，由可得，所以， 所以点的坐标为. 所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为. 故选：D. 7．（5分）（24-25高三上·广东清远·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，化简得到，构造函数，利用导数求得在上单调递减，得到，再由，得到，即可求解. 【解答过程】由指数幂与对数的运算法则，可得， 构造函数，则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以，故，即， 又由，而， 其中且，所以，即， 因为，所以，所以，所以. 故选：C. 8．（5分）（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（    ）      A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，通过表示出点坐标，利用数量积求出夹角余弦值的范围，进而得出答案. 【解答过程】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    设正方体的棱长为2，    则， ，， 设得：， 所以， ， 由， 所以，当时，等号成立， 则，即异面直线与MN所成角的正弦值的最小值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 【解题思路】对A，根据投影向量的定义列式运算得解；对B，当，同向共线时也成立可判断；对C，由空间向量共面的推论判断；对D，由可判断. 【解答过程】对于A，在上的投影向量为，故A正确； 对于B，当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，故B错误； 对于C，在中，故四点共面，故C正确； 对于D，由，即，故，故D正确. 故选：ACD. 10．（6分）（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数为的导函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．的极小值为 D．在上单调递增 【解题思路】根据导数求值判断A，根据奇偶性的定义判断B，利用导数的正负判断CD. 【解答过程】因为，所以，故A错误； 因为且，所以函数为奇函数，故B正确； 由，解得或， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极小值为，故C错误； 由C知，函数在上单调递增，故D正确. 故选：BD. 11．（6分）（24-25高二上·江苏南京·期中）设抛物线的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（   ） A． B．点的坐标为 C． D．直线的方程为 【解题思路】焦点为，准线为，由中点坐标公式可得，，由抛物线定义可列方程解得，即可依次求得、，即可求解. 【解答过程】由题意得，焦点为，准线为， 设的坐标为，由为的中点得，，即 由点到抛物线准线的距离为，得，解得，故A正确； 则抛物线为，，则，故， 所以的坐标为或，故B错误； 的面积为，故C正确； 由、M或知，直线的方程为 ，即，故D错误. 故选：AC.    第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·广东汕头·期中）已知直线l的方程为，则直线l过定点 . 【解题思路】利用直线过定点的求法即可得解. 【解答过程】直线，可化为， 令，解得，所以直线恒过定点. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）若直线与曲线和都相切，则直线的方程为 或 ． 【解题思路】设直线与曲线相切于，求导确定斜率，求得切线方程，再结合此直线与圆也相切，即可求解. 【解答过程】设直线与曲线相切于， 当时，，则由可知，曲线在点处的切线方程为， 即，该方程即为直线的方程， 因为直线与圆相切，所以，解得或（舍去）， 所以直线的方程为， 当时，，同理可求得直线的方程为， 故直线的方程为或． 故答案为：或. 14．（5分）（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）在长方体中，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为 . 【解题思路】建立为空间直角坐标系设，根据异面直线与，与所成角求出，再应用空间向量公式计算点到平面距离即可. 【解答过程】如图建立以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为x轴，所在直线为z轴的空间直角坐标系， 且设， 则，则， 因为异面直线与所成角为，所以 因为异面直线与所成角为，所以 计算可得， 设平面法向量为，则， 令，则 因为， 则点到平面的距离. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知直角的直角顶点，且在轴上． (1)求点的坐标； (2)求斜边中线的方程． 【解题思路】（1）设顶点的坐标为，利用两直线垂直，直线斜率的乘积等于建立关于的方程，解方程即可得解； （2）先用中点坐标公式求出的中点坐标，然后利用两点坐标求出中线的斜率，再写出中线的点斜式方程，最后化为一般式方程即可得解. 【解答过程】（1）设顶点的坐标为， 由题可得，解得，故点的坐标为． （2）由（1）可知斜边的中点为， 则斜边的中线的斜率为，代入点斜式方程得． 即. 16．（15分）（24-25高二上·河北保定·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点．设，，. (1)用，，表示向量，； (2)若求的值． 【解题思路】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量； （2）利用转化法可得向量数量积. 【解答过程】（1）， ； （2）由题意易知， 则，， 则 ． 17．（15分）（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【解题思路】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程. 【解答过程】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为． （2）设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 18．（17分）（2024·湖北·一模）在公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项. (1)求的通项公式； (2)若，，求数列的前项和. 【解题思路】（1）根据等差数列通项公式把、、都用与表示，结合已知解出，即可得出的通项公式； （2）先表示出，再表示出，用错位相减法即可求解. 【解答过程】（1）设的公差为，因为是与的等比中项， 所以，即， 整理得. 又，，所以， 则. （2）由（1）可得，， 则①， ②， ①-②得 则. 19．（17分）（24-25高三上·河北·期中）已知函数. (1)当时，判断的单调性； (2)若只有在处取得极小值，且无极大值，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意，求导可得，由函数在上单调递增，，即可判断的单调性； （2）由题可知，在上单调递增, 令，则恒成立，讨论即可. 【解答过程】（1）由题意，， 因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由题意，， 可得， 由题可知，在上单调递增. 令，则恒成立， 所以时，，符合题意. 当时，令，解得. 当时，，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$