精品解析：甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳实验学校2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

北师大庆阳实验学校2024-2025学年度第一学期期中考试 九年级 数学 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 2. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根，把一元二次方程的根代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴， 解得， 故选：C． 3. 关于二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，根据的顶点坐标为直接解答． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是； 故选：C． 4. 已知点与点是关于原点O的对称点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：∵点与点是关于原点O的对称点， ∴，， ∴， 故选：C． 5. 要得到抛物线，可以将抛物线（ ） A. 向右平移个单位，再向下平移个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移个单位 C. 向左平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向上平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解：与相比较横坐标减， 是向右平移个单位， 与相比较函数值减， 是向下平移个单位， 故抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 故选：A． 6. 如图，将绕点C顺时针旋转，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D，当旋转角为，A，D，E三点在同一直线上时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据旋转的性质可知，，即可得出答案． 【详解】解：由旋转可知，， ∴． 故选：C． 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式且，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故选：B． 8. 如图，，，是上的三个点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及圆的基本性质，由得，再根据等边对等角得，由三角形内角和定理得，可得结论．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【详解】解：∵在中，和所对的弧是，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B。 9. 函数和（a是常数，且），在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项错误； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项正确． 故选：D． 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac＜b2； ②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3； ③3a+c＞0 ④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3，其中结论正确的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得时，；结合二次函数对称轴的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得和的值；根据求解一元二次方程，即可得到抛物线与轴的交点，再根据二次函数图像的性质分析，即可完成求解． 【详解】根据题意，时， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1 ∴，即 ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0） ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴4ac＜b2成立， ∴①正确； ∵ ∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3， ∴②正确； ∵ ∴③不正确； ∵方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，且 ∴当y＞0时，x的取值范围是 ∴④不正确； ∴结论正确的个数是2个 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像、一元二次方程的性质，从而完成求解． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，设每月增长率为x，根据题意可得方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每月增长率为x，则10月份借阅图书本，则11月份借阅图书本，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 12. 已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是________ （填“<”、“>”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．分别求出，的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键． 利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标可得当在两交点之间时，据此可得的取值范围． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为， ∴使成立的的取值范围正好在两交点之间，即， 故答案为：． 14. 已知是的弦，半径与相交于点于点D，若，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要查了垂径定理，勾股定理．根据垂径定理，可得，在中，根据勾股定理，可求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，为半径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2 15. 已知a、b是方程的两个实数根，则的值是_______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．先将a代入原方程，再根据根与系数的关系得到a、b的关系，进而求解即可． 【详解】解：∵a、b是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：0． 16. 如图，在正方形中，，是上一点，，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．利用证明，得，再说明，得，，求出的长，再利用三角形三边关系可得答案． 【详解】解：连接，将绕点逆时针旋转得，连接，，作于， 由旋转可得：，，， ，， ，， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， 的最小值为2， 故答案为：2． 三、解答题（共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 分别计算零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值和二次根式，再进行相加减即可． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关解是掌握一元二次方程常用的方法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法． （1）利用解一元二次方程-直接开平方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 直接开平方得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 配方得：， 即， 即或， 解得：，． 19. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】，1． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）将绕原点O顺时针旋转，作出旋转后的； （2）作出关于原点成中心对称的图形． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换，中心对称图形的特征；旋转的性质包括①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等． （1）根据网络结构以及旋转性质，，先找出点A、B、C旋转后所对应的点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网络结构以及中心对称图形的性质，先找出点、、点成中心对称后所对应的点、、的位置，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 21. 如图，已知，交于点B，． （1）求的度数； （2）求弧的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答． （1）连接，由，则，于是，而，得，由，根据，即可得到的度数． （2）由（1）得，由平角的定义得的度数，从而可求出弧的度数． 【小问1详解】 解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 而，得， ∴， 而， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得，， 又， ∴ ∴弧的度数为． 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，熟知相关公式是解题的关键． （1）根据两个实数根，，利用根的判别式即可解答； （2）提取公因式可得，最后利用根与系数的关系式，列出方程即可解答． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根，， ， 解得； 【小问2详解】 解：可得， 根据一元二次方程可得， 可得， 解得． 23. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求抛物线的函数解析式及顶点坐标； （2）求当时，的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，综合性较强，难度适中． （1）将点，两点代入求出、即可； （2）根据函数的增减性，结合，写出函数值取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵，顶点坐标为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，函数值最小， 当时， 当时，，当时，， ∴当时，． 24. 如图，在以为直径的中，弦于点H，与弦交于点F，连接，已知，． （1）求的半径； （2）若，求的长． 【答案】（1）5 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，设半径，由垂径定理可得，从而得到，由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由（1）得：直径，，，证明出，从而得到，最后由勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 设半径， ，，，是的直径， ，， ， 解得， 的半径为； 【小问2详解】 解：由（1）得：直径，，， ∵ ∴， ， ， ． 25. 如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方2m的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足二次函数关系式，当与点的水平距离为时，达到最高点，已知球网与点的水平距离为9m，高度为，球场的边界距点的水平距离为． （1）求y与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． 【答案】（1） （2） 球能越过球网；球会出界； 理由如下： 当时，， 而， ∴球能越过球网； 令， 解得：（舍去）； ∵， ∴， ∴球会出界． 【解析】 【分析】本题是二次函数的应用，考查了求函数解析式，图象与x轴的交点坐标，求函数值等知识；把实际问题抽象为数学模型、求出函数解析式是解题的关键． （1）由题意知，函数图象经过点及点，利用待定系数法即可求解； （2）求出当时的函数值，与球网高度比较即可判断球能否越过球网；求出时的自变量值，根据正自变量的值即可判断球是否出界． 【小问1详解】 解：由题意知，，抛物线最高点坐标为， 由抛物线知，； 把A点坐标代入中，得， 解得：， ∴； 【小问2详解】 略 26. 定义：①如果关于的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． ②如果关于的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． （1）请你判断：方程是 （填“倍根方程”或“方根方程”）； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； （3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】（1）“倍根方程” （2） （3）这个方程的根是2，4或， 【解析】 【分析】本题主要考查了阅读理解类题目，一元二次方程根与系数的关系的应用， （1）根据方程的解，判断是否是倍根方程； （2）设方程的两个根是，根据定义可知，再根据根与系数的关系求出答案； （3）设方程的两个根是，根据题意可知或，列出方程求出解即可． 【小问1详解】 解：， ， ． ∵， ∴方程是“倍根方程”， 故答案为：“倍根方程”； 【小问2详解】 解：设是“倍根方程”的两个根，且． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设一元二次方程的两个实数根分别是． ∵这个方程即是“倍根方程”又是“方根方程”， 当，即， 解得或（舍）， ∴； 当， 即， 解得或（舍）， ∴． ∴这个方程的根是2，4或，． 27. 如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标； （3）若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）四边形面积有最大值32，此时 （3）存在，M点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的几何综合，二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于点Q，设，则，所以四边形面积，可得当时，四边形面积有最大值32，此时； （3）先求出，设，分别求出，再由勾股定理分类讨论求出M点坐标即可． 【小问1详解】 解：将点、代入， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设直线的解析式为， 把代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交于点Q， 设，则， ， ， ， ∴四边形面积， ∵点P在直线上方， ， ∴当时，四边形面积有最大值32，此时； 【小问3详解】 存在点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： 当时，， ， 设， ， ①当为斜边时，， 解得， （舍）； ②当为斜边时，， 解得， ； ③当为斜边时，， 解得或， 或（舍）； 综上所述：M点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大庆阳实验学校2024-2025学年度第一学期期中考试 九年级 数学 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 3. 关于二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点与点是关于原点O的对称点，则（ ） A. B. C. D. 5. 要得到抛物线，可以将抛物线（ ） A. 向右平移个单位，再向下平移个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移个单位 C. 向左平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向上平移个单位 6. 如图，将绕点C顺时针旋转，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D，当旋转角为，A，D，E三点在同一直线上时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 如图，，，是上的三个点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 函数和（a是常数，且），在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac＜b2； ②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3； ③3a+c＞0 ④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3，其中结论正确的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，设每月增长率为x，根据题意可得方程为_____． 12. 已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是________ （填“<”、“>”或“=”）． 13. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是________． 14. 已知是的弦，半径与相交于点于点D，若，，则的长为______． 15. 已知a、b是方程的两个实数根，则的值是_______． 16. 如图，在正方形中，，是上一点，，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为______． 三、解答题（共72分） 17. 计算： 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求代数式的值，其中． 20. 如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）将绕原点O顺时针旋转，作出旋转后的； （2）作出关于原点成中心对称的图形． 21. 如图，已知，交于点B，． （1）求的度数； （2）求弧的度数． 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 23. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求抛物线的函数解析式及顶点坐标； （2）求当时，的取值范围． 24. 如图，在以为直径的中，弦于点H，与弦交于点F，连接，已知，． （1）求的半径； （2）若，求的长． 25. 如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方2m的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足二次函数关系式，当与点的水平距离为时，达到最高点，已知球网与点的水平距离为9m，高度为，球场的边界距点的水平距离为． （1）求y与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． 26. 定义：①如果关于的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． ②如果关于的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． （1）请你判断：方程是 （填“倍根方程”或“方根方程”）； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； （3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 27. 如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标； （3）若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $