专题5.7 一元函数的导数及其应用全章十一大压轴题型归纳（拔尖篇）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.7 一元函数的导数及其应用全章十一大压轴题型归纳（拔尖篇） 【人教A版（2019）】 题型1 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程 1．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据导数的几何意义，即可求解. 【解答过程】由函数，得， 则，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：D. 2．（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线. 【解答过程】设过点的曲线的切线为： ， 有, 解得或, 代入可得或. 故选：C. 3．（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）已知函数（），且． (1)求的解析式； (2)求函数的图象在点处的切线方程． 【解题思路】（1）将代入的表达式即可解出，从而得到的解析式； （2）由导数的定义可知所求直线为经过点且斜率为的直线，然后将点斜式方程化为一般式即可. 【解答过程】（1）由，得， 又，所以，解得，即． （2）由（1），得，， 所以，即切点为， 又切线的斜率为， 所以函数的图象在点处的切线方程为， 即． 4．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【解题思路】（1）求导结合曲线在点处的切线方程为，可得，结合，可求； （2）设曲线与过点的切线相切于点，求得切线方程为，利用点在切线上，可得，求解即可求切线方程. 【解答过程】（1），，由曲线在点处的切线方程为， 可得，即，且切点为， 所以，解得，即有，； （2）曲线即为，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，所以切线方程为， 即，因为点在切线上，所以， 解得或，故所求的切线方程为或． 题型2 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 1．（23-24高三·江西·阶段练习）若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据垂直性质可得，再求导根据导数的几何意义可得切线的方程为，再设函数与直线切于点，列式求解即可 【解答过程】由题知，，令，又，解得，因为，所以切线的方程为.， 设函数与直线切于点， 所以，故， 即，，解得或. 故选：D. 2．（23-24高三上·辽宁铁岭·期末）已知函数，其反函数为，若直线为与的图象的公切线，则（    ） A． B． C．或 D．这样的不存在 【解题思路】易得，分别设出切点为，，根据导数的几何意义求出切线方程，结合为公切线可得关于的方程组，解出即可. 【解答过程】因为反函数为，所以， 设是曲线的切点， 设是曲线的切点， 因为，， 所以的切线方程为：， 即， 所以的切线方程为：， 即， 又因为直线为与的图象的公切线， 所以，解得， 故选：C. 3．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 【解题思路】（1）求导函数，求得，，得出的图象在处的切线方程，由此求得答案； （2）设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求得在点处切线方程，在点在切线方程.建立方程组，求解即可. 【解答过程】（1）解：因为，所以的图象在处切线的斜率为. 又，所以的图象在处的切线方程为， 则，故的面积为. （2）解：设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，则 由点在切线上，得； 由点在切线上，得. 故，解得. 故. 4．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）当时，，，故，再根据点斜式方程求解即可； （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则根据切点在切线上，也在曲线上得，整理得，再分当时和时两种情况求解即可. 【解答过程】（1）当时，，， 曲线在点处的切线方程为：， 代入整理得：. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，， 曲线在点处的切线为： 与曲线相切于点，则 由①得：，则 将、代入②得：， 整理得： 当时，，即 当时，，，因此，即 存在这样的直线，直线为或. 题型3 函数单调性的应用 1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，，利用导数证明，可得，再根据三角函数定义可得，得解. 【解答过程】，， 令，，则， 所以函数在上单调递减， ，即，则， ，， 又，，即， . 故选：C. 2．（24-25高三上·重庆·期中）设是定义在上的连续函数的导函数，(为自然对数的底数)，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，利用导数研究函数的单调性，然后利用函数单调性即得. 【解答过程】设，则， ∵，∴，， 函数在上单调递增，又，∴, 由，可得，即， 又函数在上单调递增，所以，即不等式的解集为. 故选：A． 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当时，判断与的大小，并说明理由. 【解题思路】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数求出函数的单调区间. （3）构造函数，利用导数探讨函数单调性即可判断得解. 【解答过程】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，且， 当时，，当或时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为和. （3）当时，，证明如下： 令，求导得， 令，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 函数在上为增函数，当时，， 所以. 4．（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）已知函数与其导函数的定义域均为，且为奇函数，当时，. (1)判断的奇偶性； (2)解不等式. 【解题思路】（1）对两边同时求导即可证明； （2）构造函数，求导得到其单调性即可得到在上大于零，在上小于零，再根据其为奇函数即可得到答案. 【解答过程】（1）因为为奇函数，定义域为， 所以， 两边同时求导可得，即， 所以为偶函数. （2）因为当时，，所以. 构造函数，则， 所以当时，在上单调递增， 又因为，所以在上大于零，在上小于零， 又因为，所以在上大于零，在上小于零， 因为是定义域为的奇函数， 所以在上小于零，在上大于零， 综上所述，的解集为. 题型4 根据极值（点）求参数 1．（23-24高二下·四川成都·期中）已知在处的极大值为5，则（    ） A． B．6 C．2 D． 【解题思路】求出函数的导数，利用极大值及极大值点求出,并验证即得. 【解答过程】函数，求导得， 依题意，，即，解得或， 当时，， 当或时，，当时，，因此在处取得极小值，不符题意； 当时，， 当时，，当或时，，因此在处取得极大值，符合题意， 所以，所以. 故选：B. 2．（23-24高三下·山东·开学考试）已知函数存在极小值点，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用导数结合零点存在性定理探讨极小值点，并求出极小值，利用导数求出的解集，再利用导数求出的范围. 【解答过程】函数的定义域为，求导得， 当时，函数在上单调递减，， ，则存在，使得， 当时，，递增，当时，，递减， 函数在取得极大值，无极小值，不符合题意； 当时，令，求导得，显然在上单调递增， 当时，，函数递减，当时，，函数递增， 于是， 当，即时，，函数在上单调递增，函数无极值， 当时，，而， 存在，使得，当时，，函数递增， 当时，，函数递减，函数在取得极大值， 又，令，求导得， 函数在上单调递减，，则， 存在，使得，当时，，函数递减， 当时，，函数递增，函数在取得极小值，因此， 由，得，， 即有，令，求导得， 函数在上单调递减，而，即有，于是， 显然，令，求导得，即函数在上单调递减 因此，即，又，则， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 3．（24-25高三上·河北·期中）已知函数. (1)当时，判断的单调性； (2)若只有在处取得极小值，且无极大值，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意，求导可得，由函数在上单调递增，，即可判断的单调性； （2）由题可知，在上单调递增, 令，则恒成立，讨论即可. 【解答过程】（1）由题意，， 因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由题意，， 可得， 由题可知，在上单调递增. 令，则恒成立， 所以时，，符合题意. 当时，令，解得. 当时，，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 4．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值大于，求的取值范围. 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出斜率，结合切点，得到切线方程即可. （2）利用导数含参讨论单调性即可. （3）结合题意转化为不等式恒成立问题，利用导数判断函数单调性，再解不等式即可. 【解答过程】（1）， 当时，. 所以曲线在点处的切线方程，即. （2）由（1）知，， ①当时，在上单调递增，无递减区间， ②当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 综上：当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）因为有极大值，且极大值大于， 故，且在处取极大值， ，即， 令， 恒成立，在上单调递增， 又，当且仅当时成立， 故，当且仅当时成立， 因此的取值范围是. 题型5 已知函数最值求参数 1．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求得，得出函数的单调性，结合题意，得到，即可求解. 【解答过程】由函数，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 要使得函数在区间上有最小值， 则满足，即， 因为，可得，即，解得， 所以，即实数的取值为. 故选：D. 2．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数在区间上存在最大值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求导得，即可求出函数的极大值点与极大值，再令，得，解得，，在区间上存在最大值，则有，解之即可. 【解答过程】由题意得，令，得， 令，是，或， 所以在上单调递减，在和上单调递增， 故. 令，得，解得，， 所以，所以要使在上存在最大值， 则有,解得. 故选：B. 3．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知实数，函数． (1)若存在零点，求实数a的取值范围； (2)当函数和有相同的最小值时，求a． 【解题思路】（1）先求导函数再根据导函数正负得出函数的单调性再根据存在零点列出不等式求解； （2）分别求出函数的最小值，再列出方程化简构造新函数，根据函数单调性求值. 【解答过程】（1）因为，所以． 由，得，， 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，且，， 若存在零点，则只需要即可，所以， 故实数的取值范围是． （2）由（1）知，，且． 函数的定义域为，， 当时，，故在上为减函数; 当时，，故在上为增函数，故． 因为和有相同的最小值， 所以，整理得到，其中， 设，，则 故为上的减函数，而，故的唯一解为， 故的解为． 综上，． 4．（23-24高二下·北京·期中）设函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论：的单调性； (3)当有最大值，且最大值大于时，求a的取值范围． 【解题思路】（1）将代入的解析式，求导，并分别计算,的值，再由点斜式写出切线方程，即可； （2）求导得，分和两种情况，讨论与0的大小关系，即可得解； （3）结合（2）中所得，可知，且，再构造函数，由在上恒成立，即可得解． 【解答过程】（1）当时，， 所以， 所以， 故曲线在处的切线方程为，即为， （2）由，知，定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，则，在上单调递增；令，则，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知，若有最大值，则，且， 因为的最大值大于， 所以，即在上恒成立， 设，问题转化为在上恒成立， 因为恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，所以， 故的取值范围为. 题型6 函数单调性、极值与最值的综合应用 1．（23-24高二下·山东济宁·期中）若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【解题思路】求出函数的导数，根据题意列式求出a的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【解答过程】由，得， 由于函数在处取得极值， 故，则， 故， 则当或时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极大值，即适合题意， 由此可知在上单调递减，在上单调递增， 故函数在区间上的最小值为， 故选：B. 2．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若函数，则根据下列说法选出正确答案是（    ） ① 当时，在上单调递增； ② 当时，有两个极值点； ③ 当时，没有最小值． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【解题思路】求出导函数，结合导数与函数的单调性的关系，极值与导数的关系验证各命题. 【解答过程】， 设，， 当时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 当时，，即， 所以函数在上单调递增，则没有最小值，① ③正确； 当时，，即， 设，由上面的研究可知， 当时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 且当时，，且，时，， 所以此时方程有两个解，即有两个零点， 所以有两个极值点，②正确， 所以正确答案是①②③. 故选：D. 3．（2024·全国·模拟预测）已知是函数的极小值点． (1)求的单调性； (2)讨论在区间的最大值． 【解题思路】（1）根据极值点求出，再求导，根据导数正负得出单调性即可； （2）根据（1）的结论，用m对区间进行分类讨论，再根据再结合单调性得到最值. 【解答过程】（1）的定义域为R，． 当时，，不是的极值点． 当时，令，得，． 在小于0，在区间大于0，在小于0， 故在单调递减，在区间单调递增，在单调递减，此时是的极小值点，符合题意． 综上，在单调递减，在区间单调递增，在单调递减． （2）由（1）可知：在单调递减，在区间单调递增，在单调递减．分类讨论. 当,即时，在区间单调递减，故最大值为； 当时，在单调递减，在单调递增，故最大值为； 当时，在区间单调递增，故最大值为； 当时，在单调递增，在单调递减，故最大值为； 当时，在区间单调递减，故最大值为． 4．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若在处取得极值，求的极值. (3)若在上的最小值为，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）根据在处取得极值，求出a的值，从而判断函数的单调性，求得极值； （3）分类讨论，讨论a与区间的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a的取值范围. 【解答过程】（1）若，则，则， 故， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）定义域为， 则， 由于在处取得极值，故， 则， 令，则或，函数在上均单调递增， 令，则，函数在上单调递减， 故当时，取到极大值， 当时，取到极小值； （3）由于， 当时，，仅在时等号取得，在上单调递增， 则，符合题意； 当时，则时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 故，不符合题意； 当时，，在上单调递减， 故，不符合题意； 综上，可知的取值范围为. 题型7 利用导数研究函数零点（方程根） 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数.若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数画出的图象，结合的零点个数求得的取值范围. 【解答过程】当时，， 所以在区间上，当且仅当时， 所以函数在上单调递减，. 当时，，令解得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，当时，，当时，， 由此画出、的大致图象如下图所示， 函数有三个零点，等价于与图象有三个交点， 所以的取值范围是. 故选：C.    2．（2024·四川·模拟预测）已知函数，若关于的方程的不同实数根的个数为4，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先利用导数判断函数的单调性，最值，以及函数的趋势，画出函数的图象，利用图象，解决函数图象的交点问题. 【解答过程】当时，，由此可知在单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时，， 在单调递增，在上单调递减，， 如图所示作出函数的大致图象，则有四个零点，则与的图象有四个交点， 因此，得， 故选：C. 3．（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数. (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若关于x的方程恰有两个不同的实数解，求a的取值范围. 【解题思路】（1）利用导数的几何意义先求斜率，即可得切线方程； （2）分，和三种情况，利用导数研究函数的图象最值，数形结合求解问题. 【解答过程】（1）由，得，则. 因为，， 所以的图象在点处的切线方程为. （2）显然不符合题意， 又， 当时，可知当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则， 且当时，， 当时，， 所以，化简可得， 因为在上单调递减，且， 所以不等式的解集为. 当时，可知当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则， 且当时，， 当时，， 所以关于x的方程不可能有两个不同的实数解. 综上，a的取值范围为. 4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求的极值； (2)若函数有2个不同的零点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解题思路】（1）将代入函数解析式，求导，判断其单调性，进而得出极值； （2）（i）化简函数的解析式，令，问题可转化为在有2个零点，，再利用导数研究函数的性质即可得出答案； （ii）等价于证明，再利用极值点偏移法即可得证． 【解答过程】（1）时，， ， 令， ，；，， 在单调递减，单调递增， 时，，，则， ，，时，， 时，；，， 在单调递减，在单调递增， 的极小值为，无极大值. （2）（i），， 令，， ，在单调递增， 令，即在有2个零点，，且，， ， 时，，在单调递增，不存在2个零点， ， 时，；时，， 在单调递减，在单调递增， 时，；时，， ，. （ii）设，，， 由（i）知，，即证：，即证：， ，，在单调递增， 即证：， ，， 令，， 即证：，， 令，， ，在单调递减，， ，在单调递增，. 题型8 利用导数证明不等式 1．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若，求证：． 【解题思路】（1）求出函数的导数，再分类讨论和求出函数的单调区间即得. （2）不等式可化为：，通过平方，构造函数，通过求导确定其单调性，求得最值，即可求证. 【解答过程】（1）， 当时，在上单调递增 当时，， 当，在单调递减， 当，在单调递增． （2）由， 要证， 即证， 即证， 令，则， 易知在上单调递减，在上单调递增，即， ，得证． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)证明：当时，； (2)若函数有两个极值点，证明：． 【解题思路】（1）要证等价转化为最大值小于0即可； （2）函数有两个极值点，等价为与的图象有两个交点，利用单调性求解即可. 【解答过程】（1）易知函数的定义域为， 由于，则， 令，则， 令，则；令，则， 所以在区间上单调递增，在区间内单调递减，所以， 所以，故． （2），令，则，因为函数有两个极值点， 所以与的图象有两个交点，且， 由于，令，则，令，则， 所以在区间上单调递减，在区间内单调递增， 所以， 又时，时，， 故当时，函数有两个极值点，且不妨令， 则在区间和区间单调递减， 在区间单调递增，所以， 所以， 令，则，所以在区间上单调递减， 所以，故． 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数在的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 【解题思路】（1）当时, ，，求出，，即可写出点处的切线方程. （2）求出导函数后，对参数与进行讨论，分别求出对应情况下的单调区间. （3）要证，即证，求出，再构造新函数求证即可. 【解答过程】（1）当时, ，所以. 得，点处的切线斜率为， 所以函数的图像在点处的切线方程为：， 即：. （2）由得， 当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，令得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增. 综上所述， 当时， 在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知，当时， 的最小值. 要证， 只需证 只需证 设. 则，令得. 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增. 所以在处取最小值，且， 所以得证， 即得证. 4．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若有两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解题思路】（1）首先求函数的导数，化简后求的解集； （2）（ⅰ）首先求函数的导数，令，换元后转化为方程有两个正根，利用判别式以及韦达定理，求参数的取值范围； （ⅱ）首先求，根据（1）的换元结果，以及韦达定理，转化为关于的函数，并构造函数，利用导数判断函数的单调性，转化为函数的最大值，即证明不等式. 【解答过程】（1）当时，， ， 当，即时，， 故单调递增区间为； （2），令，即， 令，，则、是方程的两个正根， 则，即， 有，，即， （ii） ， 要证，即证， 令， 则， 令，则， 则在上单调递减， 又，， 故存在，使，即，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又，则，故， 即，即. 题型9 利用导数研究不等式恒成立、存在性问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】条件可转化为，，，，再分别求列不等式可求的取值范围. 【解答过程】因为对于存在，存在，使， 所以，，， 又，， 显然在上单调递减，则， 当时，，即在上单调递增， 则， 由解得：， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 2．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数求的取值范围，利用二次函数的性质求的取值范围，依题意有，解不等式得实数a的范围. 【解答过程】函数，因为，，所以， 故在上单调递增，所以. 又，所以在上也是单调递增，所以. 因为对任意的，总存在，使成立，等价于， 所以，解得，故实数a的范围是. 故选：D. 3．（24-25高三上·重庆·期中）已知函数. (1)当时，函数的极值为10，求和的值； (2)设，若，对于任意的，都有恒成立，求的最小值． 【解题思路】（1）利用求出即可； （2）转化为对于任意的，恒成立，令，求出的最大值可得答案. 【解答过程】（1）， 因为当时，函数的极值为10， 所以，解得， 即，； （2）， 若，对于任意的，都有恒成立， 即对于任意的，恒成立， 令，则， 对于在上单调递减， 所以在上的最小值为， 可得，所以在上单调递增， 所以在上的最大值为， 所以的最小值为． 4．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数． (1)求的极值； (2)设，若关于的不等式在区间内有解，求的取值范围． 【解题思路】（1）利用导数分类讨论函数的单调区间，可求极值； （2）问题等价于在区间内有解，令，利用导数求函数最小值即可得的取值范围. 【解答过程】（1），令，得． 当时，由，得，由，得， 故在区间内单调递减，在区间内单调递增， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值； 当时，由，得，由，得， 故在区间内单调递增，在区间内单调递减， 所以在处取得极大值，且极大值为，无极小值． 综上，当时，的极小值为，无极大值； 当时，的极大值为，无极小值． （2）时，等价于，则在区间内有解． 令，则， 令，则在上单调递增，有， 所以在区间内单调递增，即， 所以在区间内恒成立， 所以在区间内单调递增，即，即， 故的取值范围是． 题型10 利用导数研究双变量问题 1．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】的两个极值点是的两个根，根据韦达定理，确定的关系，用表示出，用表示出，求该函数的最小值即可. 【解答过程】解：的定义域， ，令，则必有两根， ，所以， ， ， ， 当时，，递减， 所以 的最小值为 故选：A. 2．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．有极小值点 【解题思路】求得函数的导数，得到函数的单调区间，确定函数的极小值，根据极小值小于0，判断A；根据方程，指对互化，判断B；根据极值点的位置，结合，即可判断C；根据A的判断，即可判断D. 【解答过程】由题意，函数，则， 当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有两个零点且， 对A，则，且， 所以，解得，所以A正确； 对B，，且，，故，， 所以，所以B正确； 对C，由，且由A可知，，，则，但不能确定， 所以C不正确； 对D，由函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值点为，所以D正确； 故选：C. 3．（23-24高二上·江苏盐城·期末）设函数, (1)讨论函数的单调性； (2)若，是函数的两个零点，且，求的最小值. 【解题思路】（1）求导，然后分和两种情况讨论函数的单调性； （2）由已知先得到，两式相加相减可得和，令，代入，然后求导求其最小值. 【解答过程】（1）由已知， 当时，恒成立，函数在上单调递减； 当时，令，得，函数单调递减； 令，得，函数单调递增； 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）得若，是函数的两个零点，则必有， 令，得， 令，则， 可得函数在上单调递增，在上单调递减， 若有且仅有2个零点，则必有一个小于，一个大于， 所以，且， 两式相减可得，所以， 两式相加可得 设， 则，令， 则，令， 则，令， 则，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 即的最小值为. 4．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数. (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若恰有两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解题思路】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）（i）求导后结合二次函数的性质与极值点定义计算即可得；（ii）结合韦达定理可将证明转化为证明函数在上恒成立，借助导数结合零点的存在性定理可得存在，使，即，即可得，再利用对勾函数性质计算即可得. 【解答过程】（1）当时，，， ，则， 则的图象在处的切线方程为，即； （2）（i）， 令，由恰有两个极值点，， 则有两个不同实数根，，且， 则有，即； （ii）由（i）知，，且，， 则 ， 则要证，即证， 即， 令， ， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 又，， 故存在，使，即， 则当时，，时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 由，则， 即，即， 即可得证：. 题型11 导数中的新定义问题 1．（23-24高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，即可根据拐点定义求解. 【解答过程】由，得，进而， 令，故， 所以，故对称中心为 故选：B. 2．（23-24高二下·广东江门·阶段练习）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记.若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据凸函数的定义，分别对各选项求二阶导，然后判断是否小于0，从而得到符合题意选项． 【解答过程】对于A， 当时，恒成立，故A为凸函数； 对于B，对于，，， 当时，恒成立，故B为凸函数； 对于C，对于，，， 当时，恒成立，故C不是凸函数. 对于D，由，得，所以， 因为，所以恒成立，故D为凸函数； 故选：C. 3．（23-24高三下·重庆·期中）若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 【解题思路】（1）假设存在两个不同的数满足条件，通过求出即可得证； （2）（ⅰ）利用“切合函数”的定义得出关系式，通过构造新函数，通过新函数的单调性得出证明. （ⅱ）利用与的关系，把待证不等式转化为关于的不等式，构造函数，利用单调性证明即可. 【解答过程】（1）假设存在两个不同的数，满足题意， 易知，由题意可得 ， 即， ，，， ， 又， 所以. 因为，即， 化简可得，又， 所以， 代入， 可得或， 所以为“切合函数”. （2）由题意知， 因为为“切合函数”， 故存在不同的数(不妨设)使得 ， 即， 整理得， （ⅰ）先证， 即， ， 令，则由，知， 要证，只需证， 即， 设 ， 易知， 故在单调递减，所以， 故有， 由上面的式知, 所以.                                           （ⅱ）由上面的得， ， 又， 所以且， 故要证，                   只需证， 即 ， 设， 则即证 ， 设， 则， 即也就是在单调递增， ， 所以在单调递增， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 所以原不等式成立. 4．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“好点”． (1)判断函数与是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由； (2)若函数与存在“好点”，求实数的值； (3)已知函数，，若存在实数，使函数与在区间内存在“好点”，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）假设存在“好点”，解方程组可得； （2）设“好点”为，解方程组得结论． （3）设“好点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得的范围， 【解答过程】（1），， 假设存在满足，代入得，解得； 所以存在存在“好点”，且“好点”为1； （2），， 设“好点”为，满足，代入得，； （3）由已知，， 依题意可得：存在满足，代入得， 解得， 由，又，故解得， 令 ，则，在上增函数， ，时，，且当时，，所以， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.7 一元函数的导数及其应用全章十一大压轴题型归纳（拔尖篇） 【人教A版（2019）】 题型1 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程 1．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）已知函数（），且． (1)求的解析式； (2)求函数的图象在点处的切线方程． 4．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 题型2 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 1．（23-24高三·江西·阶段练习）若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高三上·辽宁铁岭·期末）已知函数，其反函数为，若直线为与的图象的公切线，则（    ） A． B． C．或 D．这样的不存在 3．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 4．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由． 题型3 函数单调性的应用 1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·期中）设是定义在上的连续函数的导函数，(为自然对数的底数)，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当时，判断与的大小，并说明理由. 4．（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）已知函数与其导函数的定义域均为，且为奇函数，当时，. (1)判断的奇偶性； (2)解不等式. 题型4 根据极值（点）求参数 1．（23-24高二下·四川成都·期中）已知在处的极大值为5，则（    ） A． B．6 C．2 D． 2．（23-24高三下·山东·开学考试）已知函数存在极小值点，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北·期中）已知函数. (1)当时，判断的单调性； (2)若只有在处取得极小值，且无极大值，求实数的取值范围. 4．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值大于，求的取值范围. 题型5 已知函数最值求参数 1．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数在区间上存在最大值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知实数，函数． (1)若存在零点，求实数a的取值范围； (2)当函数和有相同的最小值时，求a． 4．（23-24高二下·北京·期中）设函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论：的单调性； (3)当有最大值，且最大值大于时，求a的取值范围． 题型6 函数单调性、极值与最值的综合应用 1．（23-24高二下·山东济宁·期中）若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 2．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若函数，则根据下列说法选出正确答案是（    ） ① 当时，在上单调递增； ② 当时，有两个极值点； ③ 当时，没有最小值． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3．（2024·全国·模拟预测）已知是函数的极小值点． (1)求的单调性； (2)讨论在区间的最大值． 4．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若在处取得极值，求的极值. (3)若在上的最小值为，求的取值范围. 题型7 利用导数研究函数零点（方程根） 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数.若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川·模拟预测）已知函数，若关于的方程的不同实数根的个数为4，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数. (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若关于x的方程恰有两个不同的实数解，求a的取值范围. 4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求的极值； (2)若函数有2个不同的零点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 题型8 利用导数证明不等式 1．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若，求证：． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)证明：当时，； (2)若函数有两个极值点，证明：． 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数在的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 4．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若有两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 题型9 利用导数研究不等式恒成立、存在性问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·重庆·期中）已知函数. (1)当时，函数的极值为10，求和的值； (2)设，若，对于任意的，都有恒成立，求的最小值． 4．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数． (1)求的极值； (2)设，若关于的不等式在区间内有解，求的取值范围． 题型10 利用导数研究双变量问题 1．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．有极小值点 3．（23-24高二上·江苏盐城·期末）设函数, (1)讨论函数的单调性； (2)若，是函数的两个零点，且，求的最小值. 4．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数. (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若恰有两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 题型11 导数中的新定义问题 1．（23-24高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东江门·阶段练习）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记.若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·重庆·期中）若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 4．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“好点”． (1)判断函数与是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由； (2)若函数与存在“好点”，求实数的值； (3)已知函数，，若存在实数，使函数与在区间内存在“好点”，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$