专题5.6 一元函数的导数及其应用全章十大基础题型归纳（基础篇）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.6 一元函数的导数及其应用全章十大基础题型归纳（基础篇） 【人教A版（2019）】 题型1 瞬时速度、平均速度 1．（23-24高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建厦门·期中）如果质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二·全国·课后作业）一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是（位移：m，时间：s）. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在时的瞬时速度； (3)求到时的平均速度. 4．（23-24高二上·上海·课后作业）自由落体运动中，物体下落的距离d（单位：m）与时间t（单位：s）近似满足函数关系． (1)求物体在时间段内的平均速度； (2)求物体在时的瞬时速度； (3)求物体在时的瞬时速度． 题型2 利用导数的定义解题 1．（23-24高二下·四川凉山·期中）设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 2．（23-24高二下·江西赣州·期中）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，求． 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数f(x)＝求的值． 题型3 函数图象与导函数的关系 1．（23-24高二下·广东茂名·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 4．（23-24高二下·河南南阳·期中）函数的图象如图所示，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型4 导数的运算 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，，则（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）求下列函数的导函数. (1)； (2)； (3)； (4). 4．（23-24高二下·青海西宁·期中）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（，且）； 题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角） 1．（23-24高二下·河北保定·期中）曲线在处的切线倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（   ） A．6 B．2 C．3 D． 3．（23-24高二·全国·随堂练习）求函数在处切线的斜率． 4．（23-24高二下·陕西汉中·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，，求曲线在处的切线的斜率． 题型6 利用导数判断单调性、求单调区间 1．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且． (1)求的值； (2)求的单调区间； 4．（2024·辽宁鞍山·二模）已知函数，． (1)若曲线在处的切线与轴垂直，求实数的值； (2)讨论函数的单调性． 题型7 由函数的单调性求参数 1．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)在上是增函数，求a的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 4．（23-24高二下·四川自贡·期末）已知函数． (1)若的单调递减区间为，求实数的值； (2)若函数在单调递减，求实数的取值范围． 题型8 利用导数求函数的极值 1．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·重庆·期末）若函数，在时有极大值，则的极小值为（    ） A．0 B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 4．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知函数为上的奇函数． (1)求； (2)若函数，讨论的极值． 题型9 利用导数求函数的最值 1．（24-25高三上·江西·阶段练习）函数的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 2．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若是函数的一个极值点，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 4．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的最大值和最小值． 题型10 导数在实际问题中的应用 1．（23-24高二下·甘肃·期中）某厂家生产某种产品，最大年产量是10万件．已知年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）满足，若年产量是2万件，则年利润是万元（生产的均可售完）．要使生产厂家获得最大年利润，年产量为（    ） A．7万件 B．8万件 C．9万件 D．10万件 2．（23-24高二下·重庆沙坪坝·期中）不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为海里每小时时，燃料费是元每小时，而其他与速度无关的费用是元每小时，问当轮船的速度是多少时，航行海里所需的费用总和最小？（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 3．（23-24高二下·江西新余·阶段练习）将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.    (1)试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数； (2)多大时，盒子的容积最大？并求出最大值. 4．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：）是利用原有墙壁长度（单位：）的函数． (1)写出关于的函数解析式，并确定的取值范围； (2)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.6 一元函数的导数及其应用全章十大基础题型归纳（基础篇） 【人教A版（2019）】 题型1 瞬时速度、平均速度 1．（23-24高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案. 【解答过程】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为， 则该质点在这段时间内的平均速度为（）. 故选：A. 2．（23-24高二下·福建厦门·期中）如果质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据瞬时变化率的定义求解即可. 【解答过程】， 所以. 故选：D. 3．（23-24高二·全国·课后作业）一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是（位移：m，时间：s）. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在时的瞬时速度； (3)求到时的平均速度. 【解题思路】（1）根据初速度的定义求解即可， （2）根据瞬时速度的定义求解即可， （3）根据平均速度的定义求解即可. 【解答过程】（1）初速度 （2） ， 所以此物体在时的瞬时速度为，方向与初速度方向相反， （3）， 所以到时的平均速度为. 4．（23-24高二上·上海·课后作业）自由落体运动中，物体下落的距离d（单位：m）与时间t（单位：s）近似满足函数关系． (1)求物体在时间段内的平均速度； (2)求物体在时的瞬时速度； (3)求物体在时的瞬时速度． 【解题思路】（1）由平均速度计算公式即可知物体在时间段内的平均速度为m/s； （2）根据导函数定义可知物体在时的瞬时速度为m/s； （3）根据（2）中的结论可知将代入计算即可求得结果. 【解答过程】（1）由可知，第4s时的距离为； 第2s时的距离为； 所以平均速度为m/s （2）根据导数的定义可知 ； 所以物体在时的瞬时速度为m/s； （3）由（2）的结论可知，物体在时的瞬时速度m/s. 题型2 利用导数的定义解题 1．（23-24高二下·四川凉山·期中）设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【解题思路】由导数的概念求解即可得. 【解答过程】. 故选：B. 2．（23-24高二下·江西赣州·期中）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】由导数的定义及几何意义即可求解. 【解答过程】解：因为存在导函数且满足， 所以，即曲线上的点处的切线的斜率为， 故选：A. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，求． 【解题思路】先求得，故可求题设的极限. 【解答过程】因为，所以: ， 故． 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数f(x)＝求的值． 【解题思路】根据导数的定义 ,分别求出，，即可得到答案. 【解答过程】当 时， 当 时， 由导数的定义，得， . 题型3 函数图象与导函数的关系 1．（23-24高二下·广东茂名·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图象可得解. 【解答过程】，和分别为函数在，和处切线的斜率， 即图中直线的斜率， 结合图象可得. 故选：D. 2．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据导数的几何意义判断即可. 【解答过程】因为函数在上单调递增，所以，故排除B、D； 又函数增长趋势越来越快，在处切线的斜率为， 在处切线的斜率为，在处切线的斜率为， 由图可知. 故选：C. 3．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【解题思路】借助导数的几何意义计算即可得. 【解答过程】由题意可得，， 故. 故选：B. 4．（23-24高二下·河南南阳·期中）函数的图象如图所示，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，分析和的几何意义，结合图象分析可得答案． 【解答过程】根据题意的几何意义为在点B处切线的斜率， 的几何意义为在点A处切线的斜率， ，其几何意义为割线AB的斜率， 则有． 故选：C. 题型4 导数的运算 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【解题思路】先令，代入求出方程；再求导,再令,即可求出结果. 【解答过程】因为，令，则， 则，再令，代入上式可得， 所以. 故选：C. 2．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接基本初等函数求导法则计算即可. 【解答过程】因为，，，. 故选：C. 3．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）求下列函数的导函数. (1)； (2)； (3)； (4). 【解题思路】（1）（2）（3）（4）利用求导公式、导数的运算法则逐一求出给定函数的导数. 【解答过程】（1），则. （2）. （3） （4）. 4．（23-24高二下·青海西宁·期中）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（，且）； 【解题思路】直接根据导数的运算法则计算即可． 【解答过程】（1），. （2），. （3），. （4），. （5），. 题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角） 1．（23-24高二下·河北保定·期中）曲线在处的切线倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由导数的意义求出切线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的大小即可. 【解答过程】设曲线在处的切线倾斜角为， 因为，则. 所以曲线在处的切线倾斜角是， 故选：D. 2．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（   ） A．6 B．2 C．3 D． 【解题思路】根据导数的定义，结合导数的几何意义求解即可. 【解答过程】由题意，， 即，故，即曲线在点处的切线的斜率是6. 故选：A. 3．（23-24高二·全国·随堂练习）求函数在处切线的斜率． 【解题思路】利用导数的几何意义即可求得在处的斜率. 【解答过程】因为， 所以，则， 所以在处的斜率为. 4．（23-24高二下·陕西汉中·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，，求曲线在处的切线的斜率． 【解题思路】（1）求出导数，计算和，由点斜式得切线方程并整理； （2）求出导函数，计算即得． 【解答过程】（1），则， 又， 曲线在点处的切线方程为，即． （2）函数， ， 则， ，即曲线在处的切线的斜率为． 题型6 利用导数判断单调性、求单调区间 1．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出导数，解不等式可得解. 【解答过程】， 令，则， 所以在区间上单调递减． 故选：A. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 【解题思路】求得，求得函数的单调区间，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】由函数，可得的定义域为， 且， 令，可得；令，可得或， 所以在区间内单调递减，在和内单调递增， 由，所以A错误；由，所以B正确； 由，所以C错误；由，所以D错误． 故选：B. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且． (1)求的值； (2)求的单调区间； 【解题思路】（1）根据已知条件列方程组，从而求得. （2）求出的导数，由和，求得单调区间. 【解答过程】（1）依题意，，解得. （2）由（1）得，， 当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为. 4．（2024·辽宁鞍山·二模）已知函数，． (1)若曲线在处的切线与轴垂直，求实数的值； (2)讨论函数的单调性． 【解题思路】1）求导函数，根据导数的几何意义及切线与y轴垂直建立方程求解即可； （2）求导函数，按照和分类讨论，求出函数的单调性. 【解答过程】（1）依题意，， 则， 因为在处的切线与轴垂直，所以，解得； （2）由（1）知， 当时，由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间， 当时，分以下三种情况： 若，则在定义域内恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令得或，令得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 若，令得或，令得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 综上所述，当时，在区间单调递增，在区间单调递减； 当时，在区间单调递增，无递减区间； 当时，在区间单调递增，在区间单调递减； 当时，在区间单调递增，在区间单调递减. 题型7 由函数的单调性求参数 1．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据的单调递减区间为，而的定义域为，的一个极值点为1，利用即可得解，然后再代入验证是否满足题意即可. 【解答过程】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上，， 故选：B． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，转化为在上恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】由函数，可得， 因为函数在上单调递减，可得在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，； 当时，由，所以， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：C. 3．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)在上是增函数，求a的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 【解题思路】（1）利用导数与函数的关系得到在上恒成立，从而得解； （2）首先求出定义域，再求出导函数，分和两种情况，求出函数的单调区间. 【解答过程】（1）因为，所以的定义域为， 则， 因为在上是增函数，即在上恒成立， 则在上恒成立， 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即， 因为，所以，则， 所以，则. （2）由（1）得， 当时，，则在上是增函数； 当时，， 所以； 或； ， 所以在上是减函数，在和上是增函数. 4．（23-24高二下·四川自贡·期末）已知函数． (1)若的单调递减区间为，求实数的值； (2)若函数在单调递减，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）求出函数的导数，根据的单调递减区间为，可得是的两根，即可求得答案； （2）由函数在单调递减，可得在上恒成立，即可推出在上恒成立，从而求得答案. 【解答过程】（1）由题意得， 因为的单调递减区间为，即的解集为， 故是的两根，即， 当时，，由，解得， 等号仅在时取得，即的单调递减区间为，符合题意， 故. （2）函数在单调递减，即在上恒成立， 即在上恒成立，此时， 即在上恒成立，而，故, 经验证当时, 即， 等号仅在时取得，此时函数在单调递减，符合题意， 故. 题型8 利用导数求函数的极值 1．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值. 【解答过程】函数的定义域为， 又， 令，则或，所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为． 故选：D． 2．（23-24高二下·重庆·期末）若函数，在时有极大值，则的极小值为（    ） A．0 B． C． D． 【解题思路】根据题意可知，，求解，再利用导数判断函数的单调性，求解函数的极小值. 【解答过程】， 由题意可知，，， 即，解得：， 当时，，令， 得或， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极小值为. 故选：D. 3．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【解题思路】（1）对求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解； （2），对分，和讨论单调性即可. 【解答过程】（1）. 所以或时，，时，， 则在上递减，在递增， 所以的极小值为，极大值为. （2）， 当时，，所以在上递增， 当时，或时，；时，， 所以在上递增，在上递减， 当时，或时，；时，， 所以在上递增；在上递减． 4．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知函数为上的奇函数． (1)求； (2)若函数，讨论的极值． 【解题思路】（1）由，解得，再代入检验即可； （2）利用导数求解即可. 【解答过程】（1）因为函数为上的奇函数， 由， 此时， 则， 所以为奇函数． 所以； （2）由（1）得：定义域为， ， 由，得；由，得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 极大值；无极小值. 题型9 利用导数求函数的最值 1．（24-25高三上·江西·阶段练习）函数的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【解题思路】先利用导数求出函数的单调性，进而求解即可. 【解答过程】由，得， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为． 故选：B. 2．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若是函数的一个极值点，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的极值点，借助于求导求得的值，继而得到函数解析式，利用函数的单调性即可求得函数的最小值. 【解答过程】由求导得，， 依题意，，解得， 此时，，则，因， 故当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减，即是的极大值点. 又因，故得函数在上递增，在上递减. 因显然， 故的最小值为. 故选：D. 3．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）求导得函数的单调区间，进一步得最值； （2）在区间上恒成立，分离参数即可求解. 【解答过程】（1）当时，， 且，                                              ；即； ，，                                                 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数的最小值为． （2）因为函数在区间上是减函数， 所以在区间上恒成立．      当且仅当在上恒成立， 则在上恒成立，                                 令，， 显然在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，                                         所以，实数的取值范围为. 4．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的最大值和最小值． 【解题思路】（1）根据导数的几何意义计算即可求解； （2）利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值. 【解答过程】（1）由题意知，，则， 又，所以切点为， 所以曲线在点处的切线方程为 ，即. （2）， 令或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故在上的极大值为，极小值为， 又， 所以在上的最大值为6，最小值为. 题型10 导数在实际问题中的应用 1．（23-24高二下·甘肃·期中）某厂家生产某种产品，最大年产量是10万件．已知年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）满足，若年产量是2万件，则年利润是万元（生产的均可售完）．要使生产厂家获得最大年利润，年产量为（    ） A．7万件 B．8万件 C．9万件 D．10万件 【解题思路】根据题意，得到，利用导数求得函数单调性，得出函数的额最大值点，即可求解. 【解答过程】由年利润与年产量满足， 因为年产量是万件，则年利润是万元，所以，解得， 所以，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，当时，取得最大值， 即年产量为万件时，厂家获得的年利润最大. 故选：B. 2．（23-24高二下·重庆沙坪坝·期中）不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为海里每小时时，燃料费是元每小时，而其他与速度无关的费用是元每小时，问当轮船的速度是多少时，航行海里所需的费用总和最小？（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【解题思路】本题可设速度为海里每小时的燃料费是元每小时，然后根据题意得出，再然后设航行海里所需的总费用为元，则，最后通过导函数的性质即可得出结果. 【解答过程】设速度为海里每小时的燃料费是元每小时， 因为每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，所以可设，其中为比例系数， 因为当速度为海里每小时时燃料费是元每小时，所以，， 设船的速度为海里每小时，航行海里所需的总费用为元， 则每小时所需的总费用是元，航行海里所需的时间为， 航行海里所需的总费用， ， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故当时，取得最小值， 故选：B. 3．（23-24高二下·江西新余·阶段练习）将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.    (1)试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数； (2)多大时，盒子的容积最大？并求出最大值. 【解题思路】（1）求出盒子的高、盒子的底面积，得盒子的容积； （2）由（1）可得，利用导数求出的最大值即可. 【解答过程】（1）如图，， 则盒子的高， 所以盒子的底面积， 所以盒子的容积，    （2）由（1）可得， 所以， 令，解得（舍去）， 所以当时，则单调递增， 当时，则单调递减， 所以当时取得极大值，即最大值， 所以当米时，盒子的容积最大为立方米. 4．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：）是利用原有墙壁长度（单位：）的函数． (1)写出关于的函数解析式，并确定的取值范围； (2)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决） 【解题思路】（1）利用矩形堆料场的面积可整理得到函数关系式，结合实际意义可得的范围； （2）利用导数可求得函数的单调性，得到函数的最值点，进而得到长宽比. 【解答过程】（1）由题意知：与原有墙壁垂直的新墙长度为，的取值范围为， 则，整理可得：， 关于的函数解析式为. （2）由（1）可得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，此时， 当堆料场的长、宽比为时，需要砌起的新墙用的材料最省. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$