精品解析：贵州省遵义市绥阳县实验中学2024--2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

2024—2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 （本卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上． 2．必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 2. 二次函数开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 若抛物线经过点，则a等于（ ） A. 3 B. C. D. 5. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 无实数根 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 7. 点是二次函数的图象上两点，则与的大小系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A. B. C. D. 9. 某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. 144（1﹣x）2=100 B. 100（1﹣x）2=144 C. 144（1+x）2=100 D. 100（1+x）2=144 10. 若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为( ) A. -1或3 B. -1 C. 3 D. -3或1 11. 二次函数在范围内的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 12. 如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 方程化成一元二次方程的一般形式是____． 14. 在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，则矩形花园的最大面积为____． 15. 某次商品交易会上，所有参加会议的商家每两家之间都签订了一份合同，共签订合同36份．共有___________家商家参加了交易会． 16. 如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____． 三、解答题：本大题共9小题，共计98分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程过程如下： ① ② ③ ④ ⑤ （1）小明解方程过程中，从　　步开始出现错误；（填序号） （2）请利用配方法正确解方程． 19. 已知二次函数． （1）求它的顶点坐标和对称轴； （2）求它与x轴的交点坐标． 20. 请从①，②，③中选取两个式子相乘并化简，再从，1，2中选择合适的数代入求值． 21. 已知关于的一元二次方程. （1）当取什么值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，求方程的解. 22. 如图，为绿化环境，某小区在宽为，长为的矩形地面上，修建同样宽，相互垂直的三条道路（图中阴影部分），把地面分成大小不等的六块绿化带，要使六块绿化带的面积和为． （1）求道路应为多宽？ （2）如果修建道路每平方米造价80元，绿化地面每平方米造价100元，求小区花的总费用为多少元？ 23. 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 40 60 80 日销售量y（件） 80 60 40 （1）求y与x之间的解析式； （2）若公司销售该商品获得的日利润（日利润=每件利润×日销售量）为w（元），求w与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围，然后求出w的最大值． 24. 如图，抛物线交x轴于和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求出点B的坐标，然后根据图象，直接写出函数值时，自变量x的取值范围； （3）若点P在抛物线上，当时，求点P的坐标； 25. 阅读材料： 材料1 若一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2 已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　　　　，　　　　． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值； （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 （本卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上． 2．必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是要理解和掌握一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是（a、b、c是常数，且），其中a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项．由一元二次方程一般式即可求解． 【详解】解：的一次项系数， 故选：C． 2. 二次函数开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据即可判断． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向上， 故选：A． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出，然后再判断实数根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 4. 若抛物线经过点，则a等于（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数性质求解． 把点代入解析即可求解． 【详解】解：由题意得将代入得：， 故选：B． 5. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 无实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 7. 点是二次函数的图象上两点，则与的大小系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先得到该抛物线开口向上，且对称轴为直线，再由开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线． ∵点是二次函数的图象上两点，且， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出答案． 【详解】由抛物线向右平移2个单位，得：；再向上平移2个单位，得：，所以A、C、D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键． 9. 某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. 144（1﹣x）2=100 B. 100（1﹣x）2=144 C. 144（1+x）2=100 D. 100（1+x）2=144 【答案】D 【解析】 【分析】2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：2012年的产量为100（1+x）， 2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2， 即所列的方程为100（1+x）2=144， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键． 10. 若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为( ) A. -1或3 B. -1 C. 3 D. -3或1 【答案】C 【解析】 【分析】由图像经过原点可知m2-2m-3=0，同时注意m＋1≠0. 【详解】解：由图像过原点可得，m2-2m-3=0，解得m=-1或3；再由二次函数定义可知m＋1≠0，即m≠-1，故m=3. 【点睛】本题考查了二次函数的定义，很容易遗漏m＋1≠0. 11. 二次函数在范围内的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题， 先将解析式化为顶点式，再利用顶点式求解即可，掌握顶点式是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴是直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，函数y取最大值，最大值为， 故选B． 12. 如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 方程化成一元二次方程的一般形式是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握基本概念是解题的关键．根据一元二次方程的一般式，计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，则矩形花园的最大面积为____． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．设，则，，再求面积最大值即可． 【详解】解：设，则， ， 此函数的对称轴为：， ，故函数有最大值， 当时，函数取得最大值， 则：， 故答案为：100． 15. 某次商品交易会上，所有参加会议的商家每两家之间都签订了一份合同，共签订合同36份．共有___________家商家参加了交易会． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设有家商家参加交易会，根据题意列出方程并求解即可． 【详解】解：设有家商家参加交易会，根据题意列出方程得， ， 解得或（舍去） 则， 答：共有9家商家参加了交易会． 16. 如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC,与对称轴交于点P, 此时DE+DF最小，求解即可. 【详解】连接AC,与对称轴交于点P, 此时DE+DF最小， 点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点， 在二次函数y=x2+2x﹣3中，当时， 当时，或 即 点P是抛物线对称轴上任意一点， 则PA=PB, PA+PC=AC, PB+PC= DE+DF的最小值为： 故答案为 【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P的位置是解题的关键. 三、解答题：本大题共9小题，共计98分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．分别化简绝对值、二次根式和负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解： ． 18. 小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程过程如下： ① ② ③ ④ ⑤ （1）小明解方程过程中，从　　步开始出现错误；（填序号） （2）请利用配方法正确解方程． 【答案】（1）② （2） ． 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． （1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：小明解方程过程中，从②步开始出现错误， 故答案为：②； 【小问2详解】 略 19. 已知二次函数． （1）求它的顶点坐标和对称轴； （2）求它与x轴的交点坐标． 【答案】（1）顶点为，对称轴为直线 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质以及一元二次方程的求解，掌握二次函数的图像和性质是解题关键． （1）将二次函数解析式转化为顶点式，得出顶点坐标和对称轴即可； （2）令，解方程，即可得出二次函数与x轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：， ∴顶点为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：， ∴与x轴的交点坐标为． 20. 请从①，②，③中选取两个式子相乘并化简，再从，1，2中选择合适的数代入求值． 【答案】 选①，②， ；取，原式； 选①，③ 则，取，原式，取，原式； 选②，③ ，取，原式 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，先求出所选式子的乘积的化简结果，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可． 【详解】解：选①，②， 当或时分式无意义， ∴取， 原式， 选①，③ 则 当时分式无意义， ∴取， 原式， 取， 原式， 选②，③ ∵当或时分式无意义， ∴取， 原式 21. 已知关于的一元二次方程. （1）当取什么值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，求方程的解. 【答案】（1）当且时，方程有两个不相等的实数根；（2），. 【解析】 【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，，代入求m取值范围即可，注意二次项系数≠0； （2）将代入原方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得： =，解得. 因为，即当且时，方程有两个不相等的实数根. （2）把带入得，解得，. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键. 22. 如图，为绿化环境，某小区在宽为，长为的矩形地面上，修建同样宽，相互垂直的三条道路（图中阴影部分），把地面分成大小不等的六块绿化带，要使六块绿化带的面积和为． （1）求道路应为多宽？ （2）如果修建道路每平方米造价80元，绿化地面每平方米造价100元，求小区花的总费用为多少元？ 【答案】（1）道路宽为 （2）总费用为62600元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设道路宽为，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． （2）根据计费方式列式计算即可． 【小问1详解】 解：设道路宽为， 根据题意得： ， 解得：，． ∵， ∴舍去． 答：道路宽为． 【小问2详解】 解：元． 答：总费用为62600元． 23. 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 40 60 80 日销售量y（件） 80 60 40 （1）求y与x之间的解析式； （2）若公司销售该商品获得的日利润（日利润=每件利润×日销售量）为w（元），求w与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围，然后求出w的最大值． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目． （1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式； （2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值． 【小问1详解】 设解析式为， 将和代入， 可得， 解得：， 所以与的关系式为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ，， ， ， 抛物线开口向下，函数有最大值． 当时，． 答：公司销售该商品获得的最大日利润是2025元． 24. 如图，抛物线交x轴于和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求出点B的坐标，然后根据图象，直接写出函数值时，自变量x的取值范围； （3）若点P在抛物线上，当时，求点P的坐标； 【答案】（1） （2），当时， （3）、，或 【解析】 【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的函数表达式； （2）先求出点B的坐标，然后结合图象即可求解； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设点P的纵坐标为m，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ∴， ∴当时，； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ． 设点的纵坐标为，则， ， ， ． 当时，， 解得：， 点的坐标为； 当时，， 解得：，， 点的坐标为或． 综上所述：点的坐标为、，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解含绝对值符号的一元一次方程、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解答本题的关键． 25. 阅读材料： 材料1 若一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2 已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　　　　，　　　　． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值； （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． 【小问1详解】 解：由题意可得：，； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：，，且， 、可看作方程， ，， ； 【小问3详解】 解：把变形为， 实数和可看作方程的两根， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $