第6章 反比例函数（最值以及存在性）复习讲义 2024--2025学年北师大版九年级数学上册

2024--2025学年北师版九年级年级上学期中复习讲义-反比例函数下的基础-中等-难题（最值以及存在性） 一、反比例函数的概念以及性质 1．对于函数，下列说法错误的是（    ） A．点在这个函数图象上 B．这个函数的图象位于第一、三象限 C．这个函数的图象既是轴对称轴图形又是中心对称图形 D．y随x的增大而减小 2．若反比例函数的图象经过点，则它的图象一定还经过点（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象的两支分别位于（　　） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 4．我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（   ） A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数 5．下列函数是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 6．已知反比例函数，则下列描述正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象不可能与坐标轴相交 C．y随x的增大而增大 D．图象必经过点 7．关于反比例函数，下列说法中不正确的是（　　） A．点在它的图象上 B．此函数图象关于直线对称 C．当时， D．此函数图象既是轴对称图形，又是中心对称图形 8．已知点都在反比例函数的图象上，且， （填>或）． 9．已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点(﹣1，2) B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则﹣2＜y＜0 10．已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是 ． 11．已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么k的取值范围为 ． 12．已知函数是反比例函数，则 ． 二、反比例的图象 13．若，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A．  B．  C．  D．   14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，. 则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 15．函数与在同一坐标系内的图像可能是（    ） A．   B．   C．    D．   16．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B．C．D． 17．在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx+k的大致图象是（　　） A．B．C． D． 18．在反比例函数为常数）上有三点，，，，，若，则，，的大小关系为(   ) A． B． C． D． 19．如图，直线与x轴相交于点A，与函数的图象交于点B，C，点B的横坐标是8，点C的横坐标是，则不等式组的解集是（　　） A． B． C． D． 20．如图，直线与双曲线交于两点，则当时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 21．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 22．已知关于的一元二次方程有实数根，且关于的反比例函数图象上有两点，，，，则符合条件的所有整数的和 ． 23．若点，在反比例函数的图象上，，则与的大小关系是 ． 24．已知点在反比例函数的图像上，则 （填“”或“”） 三、|K|的几何意义 25．如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为 ．    26．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且，的面积为，则的值为 ． 27．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，则的面积是 ．    28．如图，点A在反比例函数的图象上，直线交反比例函数另一支图象于点B，过A、B两点分别作轴于M，轴于N，连接，则四边形面积为 ． 29．如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点H，若的面积为5，则k的值为 ． 30．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点是反比例函数图象上的一点， 轴于点，则的面积为 . 31．如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的度数为 ． 32．如图，已知A为反比例函数y＝(x＜0)图像上的一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为1，则k的值为 ． 33．如图，已知A为反比例函数的图像上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为8，则k的值为 ． 34．已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为 ． 35．如图，是反比例函数图象上的一点，点与坐标轴围成的矩形面积为3，则反比例函数的解析式为 ．    四、B填22--偏难 36．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于的点，叫做该函数图象的“阶积点”．例如：点为一次函数图象的“阶积点”．若关于的一次函数图象的“阶积点”恰好有3个，则的值为 ． 37．如图，反比例函数的图象与矩形的边分别相交于点E、F，点C的坐标为，将沿翻折，C点恰好落在上的点D处，则k的值为 ． 38．如图，在平面直角坐标系中，点A在正比例函数的第一象限的上，过点作轴于点，点在点右侧的轴上，且，过点作轴的垂直线，交过点A的反比例函数的图象于点，连接，，若的面积为，那么的值为 ．    39．如图，菱形中，，点坐标为，过点作直线分别交、于点、，交于，点在反比例函数的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积之比为，则值为 ． 40．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图象经过上的点A、F，且，的面积为18，则k的值为 ．    41．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长的值与面积的值相等，则这个点叫做“和谐点”，已知直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，且点P是“和谐点”，则的面积为 ． 42．如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y=(x>0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为 ． 43．如图，在平面直角坐标系中，点、分别在、轴上，轴，点、分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过、两点，为轴正半轴上一点，且，的面积为，则的值为 ． 44． 对于平面内的图形和图形，记平面内一点P到图形上各点的最短距离为d，点P到图形上各点的最短距离为，若，就称点P是图形和图形的一个“等距点”．在平面直角坐标系中，若直线上存在到点和直线的等距点，则实数a的取值范围为 ． 45．如图，直线与反比例函数交于两点，且为中点，过的直线交反比例函数图象的另一点，连接交轴于点，连接，若，则的值为 ．    46．如图，正方形与正方形的边、均在x轴上，点F在边上，反比例函数的图象经过点A、E，且，则 ． 47．如图，直线的图象与轴交于点，直线与轴交于点，与的图象交于点，与的图象交于点．当时， ．    48．如图，在平面直角坐标系中，的面积是3，点A在第二象限，点B，C在第一象限，且B，C的纵坐标之比为．若反比例函数的图象经过点B，C，则k的值为 49．已知正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，则点与点B的最大距离为 ；连接，若的周长为，则的面积为 ． 50．如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），点C，D在反比例函数的图象上，轴，轴，将四边形的面积分成的两部分，则的面积为 ，k的值为 ． 51． 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，C两点(点A在第一象限)，直线与双曲线交于B，D两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的面积为10时，点A的坐标为 ． 52．如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交，的图象于两点，若的面积是，则的值为 ． 53．如图，已知双曲线y=（k≠0）与正比例函数y=mx（m≠0）交于A、C两点，以AC为边作等边三角形ACD，且S△ACD=20，再以AC为斜边作直角三角形ABC，使AB∥y轴，连接BD．若△ABD的周长比△BCD的周长多4，则k的值是 . 54．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，则不等式的解集是 ． 五、实际应用 面积问题（中等） 55．新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min．    (1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？ (2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：min/ml）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于50min/ml时，并且不低于23min/ml，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问：小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明． 56．如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于A，B两点，AC垂直x轴于点C，O为坐标原点，． (1)求反比例函数的解析式和点B的坐标； (2)点D在y轴上，满足的面积和的面积相等，求点D的坐标． 57．如图在平面直角坐标系中，直线AB：与反比例函数的图像交于A、B两点与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)点P为反比例函数图像的任意一点，若，求点P的坐标． 58．如图，在平面直角坐标系中，点，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在反比例函数图象上是否存在点P，使的面积是面积的2倍．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 59．如图，正比例函数与反比例函数交于点，且与反比例函数交于点，且， (1)求的点坐标及的值； (2)点分别为、上两动点，且 ①试说明：在运动过程中，始终存在； ②点为的中点，点为的中点，当的面积为时，求点的坐标． 60．如图1，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于A（2，a），B两点． (1)求反比例函数的表达式及A，B两点的坐标； (2)M是x轴上一点，N是y轴上一点，若以A，B，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点M的坐标； (3)如图2，反比例函数的图象上有P，Q两点，点P的横坐标为，点Q的横坐标与点P的横坐标互为相反数，连接，，，．若的面积是的面积的3倍，求m的值． 六、18专项-中等（新定义、存在性问题） 61．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，与轴交于点，与轴交于点，其中点的坐标为． (1)求双曲线和直线的表达式； (2)将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，请求出直线的解析式； (3)在轴上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 62．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标． 63．如图1，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)_____________； _____________； (2)点是线段上一点（不与重合），过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点，连接，当四边形的面积等于24时，求点的坐标； (3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，是否在此反比例函数图像上存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 64．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)过点A作直线，交反比例函数图象于另一点C，连接，当线段被y轴分成长度比为的两部分时，求的长； (3)已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，A，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点Q的坐标． 65．如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．    (1)求的值并直接写出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)点是直线上一个动点，是否存在点，使得与相似，若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 66．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 67．已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C． (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长； (3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值． 68．如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，反比例函数（）在第一象限内的图象经过点、， (1)点为对角线上一点，满足，点在边上，且，求反比例函数解析式； (2)在（）的条件下，反比例函数上是否存在点，满足，若存在，求点的横坐标； (3)我们把有一个内角为的三角形称为“美好三角形”，这个的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图，若点B的坐标为，则当为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中的值． 69．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与反比例函数的图象交于．    (1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式； (2)若点是第一象限内反比例函数图象上一点．过点作轴的平行线交一次函数图象于点，作直线交轴于点，若，求点的坐标； (3)定义：若矩形的周长是面积的倍，则称该矩形为“倍积矩形”．例如，若一个矩形周长为18，面积为，则称该矩形为“3倍积矩形”．若点是第一象限内反比例函数图象上一点．过作轴于点，作轴于点．若矩形是“倍积矩形”，最小可以取多少？当取最小值时，求出点的坐标． 70．在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为A(0，0)，B(6，0)，C(6，8)，D(0，8)，AC，BD交于点E．    (1)如图①，双曲线过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的表达式； (2)如图②，双曲线与BC，CD分别交于点M，N，点C关于MN的对称点C′在y轴上．求证△CMN∽△CBD，并求点C′的坐标； (3)如图③，将矩形ABCD向右平移m(m＞0)个单位长度，使过点E的双曲线与AD交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值． 71．如图1，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象与一次函数图象交于A，B两点，其中点A横坐标为2，点B横坐标为，且A，B两点的纵坐标之和为1．    (1)求k，b的值； (2)点Q在点A左侧且点Q在第一象限反比例函数的图象上，若的面积为，求点Q坐标； (3)如图2，已知，一次函数和的图象分别与反比例函数的图象交于点C，D，E，F，连接CF，若，求n的值． 72．如图，直线与x轴，y轴分别交于点和点B，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过x轴上的点作平行于y轴的直线l（），分别与直线和双曲线交于P、Q两点，且，求的值； (3)在（2）的条件下，在直线上寻求一点M，使的值最小；在直线上寻求点N，使的值最大，请求出的长度． 73．如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点，与y轴相交于点C． (1)求n，k的值； (2)连接，在位于直线下方的双曲线上找一点D，使得的面积为的面积的3倍，求点D的坐标； (3)点E是y轴上使得的值最大的点，点P在线段上运动，过点P的直线与双曲线相交于M，N两点，其中M为线段的中点，求a的取值范围． 74．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)为反比例函数第四象限上一点，过点作轴于点，使与相似，求满足条件的点坐标； (3)在（）的条件下，点为平面内任意一点，将绕点顺时针旋转得到对应的（点，，的对应点分别为点，，），若恰好有两个点落在上，请直接写出的坐标． 七、B25-函数压轴-存在性问题（相似、三角形、四边形） 75．【阅读思考】 在平面直角坐标系中，点的坐标分别，且，点是平面内一点，连接．定义：在上述条件下，若，则称点是的智慧点，记作． 【初步探究】 （1）如图1，分别在轴、轴的正半轴上． ①若，，，求证：点是的智慧点； ②若，用含的式子表示点的坐标．（直接写出答案） 【理解应用】 （2）若，，且，求的值． 【拓展迁移】 （3）若，，点，且，求点的坐标． 76．在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为，，过点E作直线轴，设直线l上的动点A的坐标为，连接AB，将线段BA绕点B顺时针方向旋转得到线段，在射线上取点C，构造，使得．    (1)当时，求直线的函数表达式； (2)当点C落在坐标轴上时，求长； (3)已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使以A，C，D为顶点的三角形与相似？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 77．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，为坐标原点，连接． (1)求直线的解析式； (2)如图1，线段的中垂线上有一点，设的面积为，菱形的面积为，当时，求点E的坐标； (3)如图2，为轴上一点，连接，动点从点出发，以个单位/秒的速度沿方向运动，1秒后，动点从点出发，以个单位/秒的速度沿折线方向运动，设点P运动时间为t秒()，是否存在实数，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由． 78．如图，在矩形中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在边上，直线的解析式为，直线交于点，交于点．    (1)如图1，连接，求，的坐标； (2)如图1，若以和为邻边作矩形，求过点的反比例函数的表达式； (3)如图2，在第一象限内，直线上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 79．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点，C点坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)平面内存在点F，使得以A，B，D，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标； (3)直线在E点左侧部分上有一点P，y轴右侧有一动直线轴交于M，作直线交l于N，是否存在点P使得无论直线l如何运动始终有与相似，若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 80．图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于点C，且△ABC面积为10． （1）求点C的坐标及直线BC的解析式； （2）如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作长形FGQP，且FG：GQ＝1：2，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标； （3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足S△AMB＝S△AOB，点E为直线AM上一动点，在x轴上是存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不在，请说明理由． 81．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接 (1)求k，b的值. (2)当的面积为3时，求点P的坐标. (3)设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标. 82．在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），点B在线段AO上，且AB＝2BO，若点P在x轴的负半轴上，连接BP，过点P作PQ⊥PB． （1）如图1，点E是射线PQ上一点，过点E作EC⊥x轴，垂足为点C． ①求点B的坐标；②求证：△BOP∽△PCE． （2）在（1）的条件下，如图2，若点C坐标为（﹣4，0）．过点A作DA⊥y轴，且和CE的延长线交于点D，若点C关于直线PQ的对称点C′正好落在线段AD上，连接PC′，求点P的坐标． （3）如图3，若∠BPO＝60°，点E在直线PQ上，EC⊥x轴，垂足为点C，若以点E，P，C为顶点的三角形和△BPE相似，请直接写出点E的坐标． 83．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，点为点关于轴的对称点，连接． (1)求直线的解析式； (2)点为直线上一动点，且满足，求点的坐标； (3)点为直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 84．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴交于点，与交于点，，，直线：交直线于点． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)如图1，为直线上一动点且在第一象限内，为轴上的动点，在右侧且，当时，求最小值； (3)如图2，将沿着射线方向平移，平移后三点分别对应三点．当过点时，在平面内是否存在点，在直线是否存在点，使得以四个点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 85．如图1，直线：与坐标轴分别交于点A，B，与直线：交于点C． (1)求的面积； (2)如图2，若有一条垂直于x轴的直线以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线方向作匀速滑动，分别交直线，及x轴于点M，N和Q．设运动时间为，连接． ①当时，求t的值； ②试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 86．直角三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，的长是方程的两个根（）．将绕原点O顺时针旋转得到，点的对应点为，连接．点E从点D出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点E运动的时间为t秒，过点E作轴于点F，以为斜边向左作等腰直角三角形，连接． (1)求点的坐标； (2)设的面积为，求S与t的关系式； (3)在平面内是否存在点H，使以C，D，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 87．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，AO＝2BO，点C（3，0）（A点在C点的左侧），连接AB，过点A作AB的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知△ABO≌△DAC，直线BD交x轴于点E． (1)求直线AD的解析式； (2)直线AD有一点F，设点F的横坐标为t，若△ACF与△ADE相似，求t的值； (3)如图2，在直线AD上找一点G，直线BD上找一点P，直线CD上找一点Q，使得四边形AQPG是菱形，求出G点的坐标． 八、B卷-25题解答题其他-（最值 新定义） 88．如图，在平面直角坐标系中中，矩形的边在轴上，边在轴上，点坐标为，反比例函数的图像交分别为． (1)当时，求的值； (2)将沿翻折，点对应点记为，问的值是否为定值，若是求出该值、若不是请用表示； (3)连接，作，并使，求过点的反比例函数解析式． 89．如图1，已知点，且a、b满足，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线经过C和D两点    (1)求k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形；试求满足要求的所有点P的位置． (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其范围；若不改变，求出其值并给出你的证明． 90．在平面直角坐标系中，如图1，已知点，点在线段上，且，若点在轴的正半轴上，连接，过点作，点是射线上一点，过点作轴，垂足为点． (1)求证：； (2)如图2，连接，若与相似，请直接写出点的坐标； (3)如图3，若点坐标为．过点作轴，且和的延长线交于点，若点关于直线的对称点正好落在线段上．求点的坐标． 91．已知直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线：与y轴交于点C，与直线交于点D．点P是线段上一动点（不与O，A重合），连接CP． (1)如图1，点D的横坐标为5. ①求直线的函数表达式； ②连接，若，求线段的长； (2)如图2，若，在线段上取点M，将线段绕点P顺时针旋转得到，点N恰好在直线上，且，求线段的长． 92．如图，平面直角坐标系中，点A，D的坐标分别为，以为边作菱形，点B在x轴上，点C在第一象限． (1)求直线的函数解析式； (2)点M为x轴上的动点，将点D绕点M顺时针旋转得到点N，连接，DN． ①当点M与点B重合时，在直线BC上找一点P，使得，求点P的坐标； ②试探究的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 93．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上是否存在一点P，使得与相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)现定义：平面内一点到三角形三边所在的直线距离之和等于该三角形周长的一半时，这个点称为此三角形的和谐点．在直线上是否存在的和谐点，若存在请求出和谐点的坐标；若不存在，请说明理由． 94．我们定义：在内有一点，连结．在所得的中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上．请在图中的格点中，画出的相似心． (2)如图2，在平面直角坐标系中，点与点分别为轴负半轴，轴正半轴上的两个动点，连结，设的外角平分线交于点，延长分别交轴于点，交轴于点，连结． ①的度数是__________． ②求证：点为的相似心． (3)如图3，在（2）的条件下，若点在反比例函数的图象上，，若点为的相似心，连结，直接写出线段的长． 九、B25-函数压轴-面积问题（求值、最值） 95．如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上，如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为交直线于点交轴于点．    (1)当旋转角为多少度时，，请说明理由； (2)如图2，对角线交轴于点，交直线于点，连接．试判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，将与的面积分别记为与．设，，求关于的函数表达式． 96．已知点在反比例函数的图像上，点在轴上，连接，如图1，将绕着点顺时针旋转至点，点正好落在轴上．    (1)求的值和点的坐标； (2)若点在反比例函数图像上，连接并延长至点，使得，连接、， ①如图2，连接并延长交轴于点，当轴时，试说明平分； ②如图3，连接交于点，将沿着翻折，记点的对应点为，若点恰好落在线段上，求与面积之比． 97．在平面直角坐标系中，已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上． (1)求a的值及反比例函数的表达式； (2)如图1，一次函数的图象与的图象交于E，F两点，点M的横坐标与点E横坐标相同且纵坐标是点E的2倍；点N的横坐标与点F横坐标相同且纵坐标是点F的2倍．连接，，判断和的数量关系，并说明理由； (3)如图2，点A是反比例函数的图象上一动点，与的图象交于点B，作轴交的图象于点C，作交的图象于点D，连接，，在点A运动过程中，的值是否发生变化?若不变，求出其值；若变化，说明理由． 十、B25-函数压轴-角度问题（等角、和差倍） 98．已知：平面直角坐标系中，，，，在正半轴有一动点（点在的右侧），连接，，，在轴负半轴取点，使，连接，，设． (1)如图1，当时，求线段的长度． (2)如图2，连接，当时，求的值． (3)如图3，延长交于点，在第四象限有一点，连接，当时，求直线PF的解析式． 99．如图，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．      (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①当的面积为5时，求点的坐标； ②连结，如图2，若，求点的坐标． 100．对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则． (1)如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为、，求直线的解析式； (2)如图2，直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一个动点，点A、C的横坐标分别为m、n（），直线分别与x轴于点D、E； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连接EF，当时，求出线段的值（用含n的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 反比例函数下的基础-中等-难题（最值以及存在性） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、反比例函数的概念以及性质 1．（23-24九年级上·四川成都·期中）对于函数，下列说法错误的是（    ） A．点在这个函数图象上 B．这个函数的图象位于第一、三象限 C．这个函数的图象既是轴对称轴图形又是中心对称图形 D．y随x的增大而减小 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 根据反比例函数的性质逐项判断，即可得答案． 【详解】解：A、，点在函数图象上，原说法正确，故此选项不符合题意； B、中，，函数图象位于第一、三象限，原说法正确，故此选项不符合题意； C、反比例函数的图象既是轴对称轴图形又是中心对称图形，原说法正确，故此选项不符合题意； D、∵，函数的图象在一、三象限内，在每个象限内，随的增大而减小；原说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，则它的图象一定还经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】把代入求出即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴反比例函数一定还经过点， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记知识点是关键． 3．（22-23九年级上·天津津南·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象的两支分别位于（　　） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】根据时，反比例函数的图象的两支分别位于二、四象限解答即可. 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象的两支分别位于第二、第四象限； 故选：D. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟知时，反比例函数的图象的两支分别位于一、三象限，时，反比例函数的图象的两支分别位于二、四象限是解题的关键. 4．（2023·广东·中考真题）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（   ） A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割比可进行求解． 【详解】解：0.618为黄金分割比，所以优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数； 故选A． 【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键． 5．（23-24九年级上·四川成都·期中）下列函数是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的判断．根据“形如的函数关系，称为y关于x的反比例函数”，即可求解． 【详解】解：A、不是反比例函数，故本选项不符合题意； B、不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、是反比例函数，故本选项符合题意； D、不是反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：C 6．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知反比例函数，则下列描述正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象不可能与坐标轴相交 C．y随x的增大而增大 D．图象必经过点 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求反比例函数值、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与比例系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特点，根据小于0判断出反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，且图象不可能与坐标轴相交可判断A、B、C，求出当时，，即可判断D． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，且图象不可能与坐标轴相交，故A、C错误，B正确， 当时，， ∴图象不经过点，故D错误； 故选B． 7．（23-24九年级上·四川成都·期中）关于反比例函数，下列说法中不正确的是（　　） A．点在它的图象上 B．此函数图象关于直线对称 C．当时， D．此函数图象既是轴对称图形，又是中心对称图形 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断（画）反比例函数图象、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故不符合题意； 、此函数图象关于直线对称，故不符合题意; 、当时，或，故符合题意； 、此函数图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意； 故选:. 8．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知点都在反比例函数的图象上，且， （填>或）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查的是反比例函数性质，先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小． ∵， ∴都在第三象限， ∴． 故答案为：． 9．（19-20八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点(﹣1，2) B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则﹣2＜y＜0 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】根据反比例函数的性质，k=＜0，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，反比例函数的图象是中心对称图形解答． 【详解】解： A、把点（-1，2）代入反比例函数y=，得2=2成立，故说法正确，不符合题意； B、∵k=＜0，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，故选项错误，，符合题意； C、∵k=-2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故说法正确，不符合题意； D、当x=1时，y=-2，故当x＞1时，-2＜y＜0说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大． 10．（11-12八年级下·江苏苏州·期末）已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 11．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么k的取值范围为 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．由于与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①，，的图象在一、二、三象限； ②，，的图象在一、三、四象限； ③，，的图象在一、二、四象限； ④，，的图象在二、三、四象限； ⑤，，的图象在一、三象限； ⑥，，的图象在二、四象限． 根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，说明常数项小于0，即，即可确定k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ， 解得， 故答案为：． 12．（20-21九年级上·四川·阶段练习）已知函数是反比例函数，则 ． 【答案】． 【难度】0.85 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数定义，得到相关参数取值即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴ 解得： 的值为． 故答案为：． 【点睛】本意主要考查反比例函数定义，掌握反比例函数解析式中相关参数的取值是解题关键． 二、反比例的图象 13．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】根据一次函数的图象与反比例函数的图象特征逐项判断即可得． 【详解】解：A、由一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，则此项不符合题意； B、由一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，则此项不符合题意； C、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，则，不满足，则此项不符合题意； D、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，满足，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象和反比例函数的图象特征是解题关键． 14．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，. 则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】利用数形结合思想，直接得出关于x的不等式的解集． 本题考查了用数形结合思想解决函数与不等式解集的方法，综合性比较强． 【详解】解：根据图象可知， 关于x的不等式的解集为或． 故答案为：C． 15．（18-19八年级下·江苏无锡·期末）函数与在同一坐标系内的图像可能是（    ） A．   B．   C．    D．   【答案】B 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与一次函数的综合 【分析】分k>0与k<0两种情况分别进行讨论即可得. 【详解】当k>0时，y=kx-1的图象过一、三、四象限，的图象位于第一、三象限，观察可知选项B符合题意； 当k<0时，y=kx-1的图象过二、三、四象限，的图象位于第二、四象限，观察可知没有选项符合题意， 故选B. 【点睛】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的结合，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及一次函数的图象与性质是解题的关键. 16．（2019·宁夏·中考真题）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 17．（2018·黑龙江牡丹江·三模）在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx+k的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行分析． 【详解】①当k＞0时， 一次函数y=kx-k经过一、二、三象限， 反比例函数的y=（k≠0）的图象经过一、三象限， 故D选项的图象符合要求； ②当k＜0时， 一次函数y=kx-k经过二、三、四象限， 反比例函数的y=（k≠0）的图象经过二、四象限， 没有符合该条件的选项． 故选D． 【点睛】考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关． 18．（23-24九年级上·四川成都·期中）在反比例函数为常数）上有三点，，，，，若，则，，的大小关系为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查反比例函数图象的特点，熟练掌握反比例函数的图象的特点是解决本题的关键．根据偶次方的非负性，得，再根据反比例函数的图象的特点解决此题． 【详解】解：， ． 反比例函数为常数）的函数图象在第一、第三象限；在第一象限内，随着的增大而减小；在第三象限内，随着的增大而减小． ， ，，即． 故选：A 19．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，直线与x轴相交于点A，与函数的图象交于点B，C，点B的横坐标是8，点C的横坐标是，则不等式组的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】利用数形结合的思想，直接得出关于的不等式的解集． 【详解】解：观察图象可得， 当时，直线位于轴的上方、函数图象的下方， 不等式组的解是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题关键． 20．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，直线与双曲线交于两点，则当时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，当时，x的取值范围就是当的图象落在图象的下方时对应的x的取值范围．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想． 【详解】根据图象可得当时，的取值范围是：或． 故选C． 21．（【北师大版课时练习】九年级数学上册第五章反比例函数复习题）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】先根据一次函数的性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案． 【详解】解：A、函数y=ax﹣a的图象应该交于y轴的负半轴，故不符合题意； B、由函数y=ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y（a≠0）的图象可知a＞0，故不符合题意； C．由函数y=ax﹣a的图象可知a＞0，由函数y（a≠0）的图象可知a＜0，故不符合题意； D．由函数y=ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y（a≠0）的图象可知a＜0，故符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 22．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，且关于的反比例函数图象上有两点，，，，则符合条件的所有整数的和 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质，利用二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，由反比例函数的性质得 ，可求出的取值范围，即可得出答案，利用一元二次方程根的判别式及反比例函数图象的性质求出整数的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程 有实数根， ∴且， 解得且， ∵关于的反比例函数图象上有两点，，，， ∴， ∴， ∴且， ∴整数可以为，， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 23．（23-24九年级上·四川成都·期中）若点，在反比例函数的图象上，，则与的大小关系是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数的性质求解更简便． 根据反比例函数的性质判断出、的正负情况，然后比较大小即可． 【详解】解：反比例函数的， 反比例函数图象位于第一、三象限， ， ，， ． 故答案为：． 24．（2023·海南三亚·一模）已知点在反比例函数的图像上，则 （填“”或“”） 【答案】＜ 【难度】0.85 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】 根据反比例函数的增减性即可解答． 【详解】 解：∵，， ∴反比例函数的图像在二、四象限， ∴在每一个象限内y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握反比例函数的增减性只指在同一象限内是解答本题的关键． 三、|K|的几何意义 25．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为 ．    【答案】16 【难度】0.85 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】 根据反比例函数系数的几何意义可得 再利用矩形的面积减去和的面积即可. 【详解】 ∵两点在反比例函数的图象上， ∵, ∴四边形的面积为, ∴四边形的面积为, 故选:. 【点睛】 此题主要考查了反比例函数的几何意义，关键是掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 且保持不变. 26．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且，的面积为，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，利用三角形面积得出的值． 【详解】解：∵的面积为， ∴ ∵反比例函数图象在第二象限， 则 ∴ 故答案为：． 27．（22-23九年级上·山西阳泉·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，则的面积是 ．    【答案】3 【难度】0.85 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】设交y轴于C；利用反比例函数比例系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，设交y轴于C； ∵轴， ∴轴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴； 故答案为：3．    【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，掌握这个几何意义是关键． 28．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，直线交反比例函数另一支图象于点B，过A、B两点分别作轴于M，轴于N，连接，则四边形面积为 ． 【答案】9 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，设点，根据反比例函数的对称性质，求得点，则可得到，利用三角形面积公式，即可解答，利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：设点，根据反比例函数的对称性质，求得点， 可得到， 四边形面积为， 故答案为：9． 29．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点H，若的面积为5，则k的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】此题主要考查反比例函数的图像和性质，直接根据反比例函数的对称性和k的几何意义即可求解. 【详解】解：根据反比例函数的对称性可知， ∵是面积为5， ∴的面积是2.5， ∴， ∵双曲线位于二、四象限， ∴k＝． 故答案为：. 30．（2018·湖南娄底·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点是反比例函数图象上的一点， 轴于点，则的面积为 . 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】反比例函数系数k的几何意义 【详解】【分析】设P点坐标为（m，n），根据三角形的面积公式以及点P在反比例函数图象上即可得. 【详解】设P点坐标为（m，n），则有mn=2，OA=|m|，PA=|n|， S△POA=OA•PA=|m|•|n|=1， 故答案为1. 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，用到的知识为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数． 31．（22-23九年级上·山东烟台·期中）如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的度数为 ． 【答案】/度 【难度】0.65 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合、正切的概念辨析、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】过作轴于点，过作轴于，根据的几何意义得出，，证明，根据面积比得出相似比，根据正切的定义以及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于， 则， 顶点，分别在反比例函数与的图象上， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，已知特殊角的三角函数值求角度，一次函数与反比例函数综合，综合运用以上知识是解题的关键． 32．（21-22九年级上·云南玉溪·期末）如图，已知A为反比例函数y＝(x＜0)图像上的一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为1，则k的值为 ． 【答案】-2 【难度】0.85 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|＝1，然后根据反比例函数的性质确定k的值． 【详解】解：∵AB⊥y轴， ∴S△OAB＝|k|＝1， 而k＜0， ∴k＝−2． 故答案为−2． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 33．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知A为反比例函数的图像上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为8，则k的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查反比例系数的几何意义，根据三角形面积求值，设设点A的坐标为，，，则点，得出，，然后代入三角形面积公式，即可求出值． 【详解】解：设点A的坐标为，，，则点， 则，， ∵的面积为8， ∴ 即， 解得：． 故答案为：． 34．（2016·广东深圳·二模）已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】反比例函数与几何综合、求角的正切值 【详解】解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°， ∴∠AOC+∠OAC=90°， ∵OA⊥OB， ∴∠AOC+∠BOD=90°， ∴∠OAC=∠BOD， ∴△AOC∽△OBD， ∵点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上， ∴S△AOC=1，S△OBD=4， ∴S△AOC：S△OBD=1：4，即OA：OB=1：2， 则在Rt△AOB中，tan∠ABO=． 【点睛】本题考查反比例函数及锐角三角函数综合题，正确添加辅助线，数形结合解题是关键． 35．（2022·广东湛江·二模）如图，是反比例函数图象上的一点，点与坐标轴围成的矩形面积为3，则反比例函数的解析式为 ．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】求反比例函数解析式、已知反比例函数的图象，判断其解析式、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据反比例函数的几何意义，结合反比例函数的图象与性质求解即可得到答案． 【详解】解：是反比例函数图象上的一点，点与坐标轴围成的矩形面积为3，如图所示：    ， 反比例函数图象在第二、四象限， ，即， 反比例函数的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，涉及反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 四、B填22--偏难 36．（23-24九年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于的点，叫做该函数图象的“阶积点”．例如：点为一次函数图象的“阶积点”．若关于的一次函数图象的“阶积点”恰好有3个，则的值为 ． 【答案】1或5 【难度】0.4 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】由关于的一次函数图象的“阶积点”恰好有3个，可得出关于的一元二次方程有三个实数根，分，同号及，异号两种情况考虑，当，同号时，原方程可整理得，由根的判别式，可得出此时原方程有两个不相等的实数根；当，异号时，原方程可整理得，由该方程有两个相等的实数根，可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值． 【详解】解：根据题意得：关于的一元二次方程有三个实数根． 当，同号时，， 整理得：， ， ， ，， ， 此时原方程有两个不相等的实数根； 当，异号时，， 整理得：， 当，同号时，有两个不相等的实数根， ∴该方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：，， 的值为1或5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，分两种情况考虑是解题的关键． 37．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，反比例函数的图象与矩形的边分别相交于点E、F，点C的坐标为，将沿翻折，C点恰好落在上的点D处，则k的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特点，折叠的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识，过点E作于点M，根据折叠的性质得，，易证；而，得到，即可得的比值；故可得出，而，从而求出，然后在中利用勾股定理得到关于k的方程，解方程，即可求出k的值． 【详解】解：过点E作于点M，    ∵将沿翻折，C点恰好落在上的点D处， ， ，而， ， ， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∴，而， ， 在中，，即， 解得：， 故答案为：． 38．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在正比例函数的第一象限的上，过点作轴于点，点在点右侧的轴上，且，过点作轴的垂直线，交过点A的反比例函数的图象于点，连接，，若的面积为，那么的值为 ．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】设点A的坐标是，则，把代入得到，求出，，求出，得到，证明，则，求出k即可．此题考查了反比例函数系数k的几何意义，数形结合是解题的关键． 【详解】解：设点A的坐标是，则， 把代入得到， ∵， ∴， ∴， 当时，，即， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∵， 即， ∴， ∴， 解得， 故答案为： 39．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，菱形中，，点坐标为，过点作直线分别交、于点、，交于，点在反比例函数的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积之比为，则值为 ． 【答案】/ 【难度】0.15 【知识点】反比例函数与几何综合、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、由平行判断成比例的线段 【分析】设 ， 表示出 和 的面积（用 表示），构建方程求出 即可解决问题． 【详解】解：设 由题意，， 四边形是菱形，， ∴是等边三角形． ， ， ， 和的面积之比为， 解得：或(舍去)， 点在反比例函数图象上， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 40．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图象经过上的点A、F，且，的面积为18，则k的值为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、根据平行线判定与性质证明、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质和判定、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是通过平行线的判定和性质得到和的面积相等． 连接，先由平分得，由矩形的性质得到，从而得到，故而，再由平行线的性质得到和的面积相等，然后设点的坐标，结合得到点和点的坐标，最后结合的面积求出的取值． 【详解】解：连接，则，   ， 平分， ， ， ， ， 设， ， ，， ， ， 故答案为：． 41．（23-24九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长的值与面积的值相等，则这个点叫做“和谐点”，已知直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，且点P是“和谐点”，则的面积为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，先根据“和谐点”的定义求出m的值，进而可求出点A的坐标，根据三角形的面积可求出的面积，读懂题意，明确和谐点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵点是“和谐点”， ∴， 解得， 当时，， 把点P的坐标代入一次函数和反比例的解析式得： ∴，， ∴， ∴． 当时，， ∴，， ∴， ． 故答案为：或． 42．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y=(x>0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，设OC=x，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得点B(x，x)，点A(15-2x，2x-5)，再利用反比例函数的性质列方程，解方程即可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图： ∵△OMN是边长为10的等边三角形， ∴OM=MN=ON=10，∠MON=∠MNO=∠M=60°， ∴∠OBC=∠MAB=∠NAD=30°， 设OC=x，则OB=2x，BC=x，MB=10-2x，MA=2MB=20-4x， ∴NA=10-MA=4x-10，DN=NA=2x-5，AD=DN=(2x-5)= 2x-5， ∴OD=ON-DN=15-2x， ∴点B(x，x)，点A(15-2x，2x-5)， ∵反比例函数y=(x>0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B， ∴x•x=(15-2x)( 2x-5)， 解得x=5(舍去)或x=3， ∴点B(3，)， ∴k= 9． 故答案为：9． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 43．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在、轴上，轴，点、分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过、两点，为轴正半轴上一点，且，的面积为，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作轴于点，过作轴于点，交于点，设，，，，又因为，，则，，，，利用相似得到方程组解出、关于、、的代数式，利用面积关系建立方程得到即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过作轴于点，交于点， 设，，，， ，， ，，，， ，，，， 轴，轴，轴轴， ， 又， ， ， ， ，， ， 解得， ， ， 的面积为， ， ， ， 将点，代入得： ， 整理可得：， 将其代入得，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质与判定、反比例函数图像上点的坐标特征，解题关键是用含字母的式子表示相关点的坐标． 44．（23-24九年级上·四川成都·期中）对于平面内的图形和图形，记平面内一点P到图形上各点的最短距离为d，点P到图形上各点的最短距离为，若，就称点P是图形和图形的一个“等距点”．在平面直角坐标系中，若直线上存在到点和直线的等距点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、坐标与图形 【分析】本题考查两点间的距离公式、一元二次方程根的判别式，根据题意利用点间的距离公式建立一元二次方程，利用根的判别式即可解决． 【详解】解：如图：设直线上的点Q为到点和到的等距点， 连接，过点Q作直线的垂线，垂足为C，则， ， ∵Q在直线上， ∴设， ， 整理得：， ， ， 故答案为：． 45．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，直线与反比例函数交于两点，且为中点，过的直线交反比例函数图象的另一点，连接交轴于点，连接，若，则的值为 ．    【答案】 【难度】0.4 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，设，则，，求出直线解析式为，则，求出直线解析式为，则，由此得到，再由，，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， ∵为中点， ∴点C的坐标为， 由反比例函数的对称性可得点E的坐标为， 设直线解析式为， ∴， ∴ ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 46．（2021·四川成都·二模）如图，正方形与正方形的边、均在x轴上，点F在边上，反比例函数的图象经过点A、E，且，则 ． 【答案】10 【难度】0.4 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】设A（a，a），E（a+b，b），由S梯形ACDE＝S△AOE+S△EOD﹣S△AOC＝S△AOE可知S梯形ACDE＝（a+b）•b＝5，根据反比例函数系数k的几何意义，S△EOD＝（a+b）•b＝|k|，即可得出10＝|k|，从而求得k的值． 【详解】解：设A（a，a），E（a+b，b）， ∵反比例函数y＝的图象经过点A、E，且正方形ABOC与正方形EFCD的边OC、CD均在x轴上， ∴S△EOD＝S△AOC＝|k|， ∴S梯形ACDE＝S△AOE+S△EOD﹣S△AOC＝S△AOE＝5， ∴（a+b）b＝5， ∵S△EOD＝（a+b）•b＝|k|， ∴5＝|k|， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴k＝10， 故答案为10． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，根据题意设出点的坐标，表示出图形的面积是解题的关键． 47．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，直线的图象与轴交于点，直线与轴交于点，与的图象交于点，与的图象交于点．当时， ．    【答案】或 【难度】0.4 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】如图所示，过点作于点，可求出，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，根据两直线的交点，直线与反比例函数的交点，分别列方程组，用含的式子表示出点的坐标，可得的值，由即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∴，， ∵， ∴，即，则， 如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，    ∴， ∴， ∴， ∵直线与轴交于点，与的图象交于点， ∴，解得，， ∴， ∵直线与轴交于点，与的图象交于点，且， ∴，解得，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴，， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数，几何图形的面积，相似三角形等知识的综合，掌握求交点坐标的方法，根据图形面积求出线段的比值是解题的关键． 48．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的面积是3，点A在第二象限，点B，C在第一象限，且B，C的纵坐标之比为．若反比例函数的图象经过点B，C，则k的值为 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质．作轴于点E，作轴于点E，连接，设点B的坐标为，则点C的坐标为，根据反比例函数比例系数的几何意义，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点E，作轴于点E，连接， ∵点B，C在第一象限，且B，C的纵坐标之比为． ∴可设点B的坐标为，则点C的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点B，C， ∴， ∵的面积是3， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2 49．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，则点与点B的最大距离为 ；连接，若的周长为，则的面积为 ． 【答案】 /0.5 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查了位似，正确作出位似图形，理解位似相似性质是解题的关键， ①根据对角线最长，当位似中心P与点C重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的，根据勾股定理计算即可． ②根据正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，得到正方形得边长为2，得到，设，则，根据，列式计算即可． 【详解】如图，位似中心P与点C重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的， ∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为， ∴正方形的边长为2， ∴， ∴， 故答案为：． ∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为， ∴正方形的边长为2， ∴， 设，则， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的面积为． 故答案为：． 50．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），点C，D在反比例函数的图象上，轴，轴，将四边形的面积分成的两部分，则的面积为 ，k的值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，三角形的面积，首先根据题意设出，，则，，，然后表示出，，然后利用将四边形的面积分成的两部分列方程求出，延长，交于点E，根据代入可求出k的值． 【详解】解：∵经过原点O的直线与反比例函数的图像交于A，B两点， ∴设，， ∵点C，D在反比例函数的图像上，轴，轴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∵将四边形的面积分成的两部分， ∴，即， ∴解得， 如图所示，延长，交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴解得， 经检验，时原方程的解， 故答案为：，． 51．（23-24九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，C两点(点A在第一象限)，直线与双曲线交于B，D两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的面积为10时，点A的坐标为 ． 【答案】或 【难度】0.4 【知识点】利用菱形的性质求面积、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．利用菱形在性质和面积公式得到，两次联立方程组得到，解出m值代入，求出坐标即可． 【详解】解：∵，，， ∴四边形是菱形， ∵四边形的面积为10， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， 联立， 解得：，， ∴， ， ∵直线与双曲线交于B，D两点， (令B点在第二象限)， 在直线上取点，作轴于点M，则， 在直线上取点，作轴于点N，则， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ∴，即， 直线表达式为， 联立，， 解得：，， ∴， ∴， ∴， 整理得：或（不合题意，舍去）， 解得：或， ∴或． 故答案为：或． 52．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交，的图象于两点，若的面积是，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数的几何意义即可求出的值． 【详解】解：如图所示：连接、， ∵轴， ∴， ∴， 又∵的面积是， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义常考的几种类型是解题的关键． 53．（16-17九年级下·浙江温州·阶段练习）如图，已知双曲线y=（k≠0）与正比例函数y=mx（m≠0）交于A、C两点，以AC为边作等边三角形ACD，且S△ACD=20，再以AC为斜边作直角三角形ABC，使AB∥y轴，连接BD．若△ABD的周长比△BCD的周长多4，则k的值是 . 【答案】8 【难度】0.15 【知识点】反比例函数与几何综合、反比例函数系数k的几何意义 【详解】如图所示：记AB与x轴的交点为E. ∵以AC为边作等边三角形ACD，且S△ACD=， ∴设AC的长为x，则AC边上的高为:, ∴ ，解得: （负数舍去），即， ∵△ABD的周长比△BCD的周长多4，AD=DC，BD是公共边， ∴AB-BC=4. 设BC=y，则AB=4+y，故 ，解得：y1=4，y2=-8（不合题意舍去）， ∴BC=4，AB=8. 由反比例函数的性质可得：AO=CO， ∵OE∥BC， ∴OE是△ABC的中位线， ∴EO=2，AE=4， ∴k=2×4=8. 【点睛】本题主要应用了反比例函数的性质、正比例函数的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键, 解题方法与技巧:应用类综合题：能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识；数形结合类综合题：利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 54．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是一次函数和反比例函数综合题，利用数形结合的思想求解是解题的关键．只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数交于、两点， ∴由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 五、实际应用 面积问题（中等） 55．（2022·浙江金华·二模）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min．    (1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？ (2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：min/ml）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于50min/ml时，并且不低于23min/ml，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问：小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明． 【答案】(1)生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min； (2)小明应在打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到第27天内． 【难度】0.65 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)、实际问题与反比例函数 【分析】（1）直接利用药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min，得出二元一次方程组求出答案； （2）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，分别求解y=50，y=23时x的值，从而可得答案． 【详解】（1）解：设生产1支单针疫苗需要amin，生产1支双针疫苗需要bmin． 根据题意得： ， 解得：， 答：生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min； （2）当x＞0.7时，设函数解析式为， 将（0.7，910）代入， 解得m=637， 故， 当y=50时，则， 当y=23时，则， 所以小明应在打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到27天内． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，反比例函数的应用以及正比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 56．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于A，B两点，AC垂直x轴于点C，O为坐标原点，． (1)求反比例函数的解析式和点B的坐标； (2)点D在y轴上，满足的面积和的面积相等，求点D的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题， （1）根据，设，求出点坐标，即可得到反比例函数的解析式，再联立方程，即可得到点B的坐标； （2）根据题意的面积和的面积相等，可得点到直线的距离和点到直线的距离相等，求得的长度，即可知道将直线向上或向下平移的长度的距离，此时与轴的交点，即可点的坐标， 利用数形结合的思想，求得点的坐标，是解题的关键． 【详解】（1）解：设，则， ， 将代入，可得， 解得， ， 将代入反比例函数，可得， 反比例函数的解析式为， 列方程， 解得， 经检验，是原方程的解， ； （2）解：根据（1）可得， 的面积和的面积相等， 点到直线的距离和点到直线的距离相等， 将直线向上或向下平移5个单位长度，此时直线与轴的交点，即可点的坐标， 当向上平移5个单位长度时，此时， 当时，， 当向下平移5个单位长度时，此时， 当时，， 点的坐标为或． 57．（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，直线AB：与反比例函数的图像交于A、B两点与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)点P为反比例函数图像的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】（1）把点A代入直线得：，求出点A的坐标，再代入反比例函数关系即可作答； （2）先求出B点坐标，再根据A、B的坐标，数形结合即可作答； （3）先求出点C的坐标为：，即，可得，即，再根据，可得，即有，问题随之得解． 【详解】（1）把点A代入直线得：， 解得：， ∴点A的坐标为：， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 即反比例函数的解析式为， （2）把点B代入直线得：， 解得：， ∴点B的坐标为：， 结合点A的坐标为：， 数形结合，不等式的解集为：或； （3）把代入得：， 解得：， 即点C的坐标为：，即， 结合点A的坐标为：， ∴， ∵， 即：， ∵，即， ∴， 当点P的纵坐标为3时，则，解得， 当点P的纵坐标为时，则，解得， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题得关键． 58．（22-23九年级下·四川成都·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在反比例函数图象上是否存在点P，使的面积是面积的2倍．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，，，， 【难度】0.65 【知识点】公式法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）把把，代入得出即可求出反比例函数的表达式 （2）把代入得，确定点B的坐标，再根据待定系数法得出直线的表达式，求出与轴的交点，再根据即可 （3）设点为，根据列出方程解之即可 【详解】（1）解：把，代入得：， ∴反比例函数的表达式为， （2）把代入得， ∴为； 设直线的表达式为：， 把点，点代入得：， 解得： ∴， ∴与轴的交点， ∴； （3）设点为， ∴， ∵， ∴或， ∴，，， ∴为，，，． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何，反比例函数与一次函数，根据列出方程是解题的关键 59．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，正比例函数与反比例函数交于点，且与反比例函数交于点，且， (1)求的点坐标及的值； (2)点分别为、上两动点，且 ①试说明：在运动过程中，始终存在； ②点为的中点，点为的中点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)①证明见解析；②或． 【难度】0.15 【知识点】求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）设，，由勾股定理可求得的值，从而即可求得点的坐标，利用待定系数法可以求得的值； （2）①分别过、作轴，轴于点、，设，证，得，进而求得第四象限内的反比例函数为，设，利用勾股定理求得，，得，利用相似三角形得判定即可证明；②由点为的中点，，，得，设点的纵坐标为，利用面积构造方程得或，进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数交于点， ∴设，， ∵ ∴ 解得， ∴， ∴， 把代入得； （2）解：分别过、作轴，轴于点、， ∵， ∴第一象限内的反比例函数， 设， ∵，， ∴，， ∵轴，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴第四象限内的反比例函数为 设， ∵设， ∴即 ∴（负值舍去）； ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②∵点为的中点，，， ∴， 设点的纵坐标为，则 ， 解得，或， 当时， ∵，，点为的中点， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， 当时，同理可得， 综上可得或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，反比例函数的图像及性质，相似三角形的判定及性质，坐标与图形，同角的余角相等等，熟练掌握勾股定理，反比例函数的图像及性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 60．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图1，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于A（2，a），B两点． (1)求反比例函数的表达式及A，B两点的坐标； (2)M是x轴上一点，N是y轴上一点，若以A，B，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点M的坐标； (3)如图2，反比例函数的图象上有P，Q两点，点P的横坐标为，点Q的横坐标与点P的横坐标互为相反数，连接，，，．若的面积是的面积的3倍，求m的值． 【答案】(1)，A（2，1）， (2)或 (3) 【难度】0.15 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）将A（2，a），代入一次函数解析式，求出值，再求出反比例函数的解析式，联立两个解析式，求出点坐标； （2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，利用平移思想进行求解即可； （3）分别用含的式子表示出，的面积，再利用的面积是的面积的3倍，列式计算即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象相交于A（2，a），B两点， 将A（2，a），代入，得：， ∴A（2，1）， ∴， ∴， 联立，得：，整理，得：， 解得：， 当时，， ∴； （2）解：设，， ∵A（2，1），， ∴点是由点先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到的； ∵以A，B，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形， ①将点先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到， 则：，即：，， ∴； ②将点先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到， 则：，，即：， ∴； 综上：当点坐标为或时，以A，B，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形； （3）如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， 由题意，可知：， 设直线的解析式为， 将，代入，则： 解得： 则直线的解析式为 当时，，则； ∵ ∴， ∴ ； 设直线的解析式为 将， 代入得： 解得： 则直线的解析式为 当时，则：， ∵， ∴， ； ∵， ∴， 解得：，， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 六、18专项-中等（新定义、存在性问题） 61．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，与轴交于点，与轴交于点，其中点的坐标为． (1)求双曲线和直线的表达式； (2)将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，请求出直线的解析式； (3)在轴上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或 【难度】0.65 【知识点】一次函数图象平移问题、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）把的坐标代入函数解析式，即可利用待定系数法求得反比例函数与一次函数的解析式； （2）由于将直线向下平移个单位长度得直线解析式为，则直线与反比例函数有只有一交点，即方程只有一组解，再根据判别式的意义得到关于的方程，最后解方程求出的值即可求得答案； （3）过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，与轴交于点，根据圆周角定理即可得，求出交点的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得， 则双曲线的表达式是， 把代入得， 解得， 则直线的表达式是； （2）解：将直线向下平移个单位长度得直线解析式为， ∵直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象只有一个交点， ∴， 整理得， ， 解得或， ∴直线的解析式为或； （3）解：存在， 过点作轴于点， ∵点的坐标为， ， ∵直线的表达式是， 令，则， 解得， ， ， 是等腰直角三角形， 以为圆心，为半径作，与轴交于点，连接， ， 设， ， ， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象与几何变换，圆周角定理等，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中． 62．（2023·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)8 (3)点P坐标为 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先求出一次函数的解析式，然后可得点B坐标，进而问题可求解； （2）设点M坐标为，则点N坐标为，过点B作于点H，然后可得，进而问题可求解； （3）取中点C，过点C作交x轴于点D，连接，则与反比例函数图象交点即为点P，过点B作轴于点H，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：将代入，得， 把点代入一次函数得：， ， ； （2）解：设点M坐标为，则点N坐标为， 过点B作于点H， ， ， 由（1）可知， ， 解得：，（舍）， ； （3）解：取中点C，过点C作交x轴于点D 连接，则与反比例函数图象交点即为点P 过点B作轴于点H ， ∵，，且点C为的中点 ∴，， 直线的函数表达式为 联立，解得或（舍） 点P坐标为． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 63．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)_____________； _____________； (2)点是线段上一点（不与重合），过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点，连接，当四边形的面积等于24时，求点的坐标； (3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，是否在此反比例函数图像上存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)的坐标为或 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将点分别代入和得：，，求出、的值即可； （2）设，则，则，利用可得，解方程即可得出答案； （3）分两种情况：当点位于内部时，作于，延长交反比例函数于；当点位于外部时，作于，连接，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和得：，， 解得：，， 故答案为：，； （2）解：设，则， ， ， ， 整理得：， 解得：，， 经检验：，是原方程的解， ， ，此时， ； （3）解：由平移可得：， 直线的解析式为：， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， 由（2）可得：， ， ，， ， 如图，当点位于内部时，作于，延长交反比例函数于， ， ，， ，， 为的中点， ，即， 设直线的解析式为：， 将，代入可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ； 如图，当点位于外部时，作于，连接， ， ， ， ，， ，、关于对称，， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， 设，则、的中点在直线上， 在直线上， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，， 或， 经检验，当时，直线不垂直，故不符合题意， ， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、平移的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考常考题型． 64．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)过点A作直线，交反比例函数图象于另一点C，连接，当线段被y轴分成长度比为的两部分时，求的长； (3)已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，A，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【难度】0.15 【知识点】反比例函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）利用一次函数，求出点的坐标，再用待定系数法求出反比例函数的表达式； （2）设与轴的交点为，分别过点作轴，轴，垂足为，易得，分和，两种情况，讨论求解即可； （3）分为菱形的边和为菱形的对角线，两种情况讨论，根据菱形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：联立一次函数和反比例函数解析式： ，解得：或， ∴； 设与轴的交点为，分别过点作轴，轴，垂足为，连接， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴； ①当时，， ∴， ∵， ∴， ∴点的横坐标为：， ∵点在双曲线上， ∴点的纵坐标为：， ∴， ∵ ∴； ②当时，同理可得：， ∴； 综上：的长为或； （3）解：∵， ∴，又点P在x轴的正半轴， ①当、为菱形的边时：，轴， 设， 则：，解得：， ∴； ②当为菱形的对角线、为边时， 轴，， 设：， 则：， ∴， ∴， ∴； ②当为边、为对角线时，则，且A、Q关于x轴对称， ∵， ∴， 综上：当点坐标为：或或时，以点O，A，P和Q为顶点的四边形为菱形． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，菱形的性质．正确的求出反比例函数的解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 65．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．    (1)求的值并直接写出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)点是直线上一个动点，是否存在点，使得与相似，若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或者 【难度】0.15 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、已知两点坐标求两点距离、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）将 代入直线解析式，可求出m，即可得，再联立，即可求出答案； （2）作轴于点E，轴于点F，则，，利用相似三角形性质即可求得，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值，运用勾股定理即可求得答案； （3）根据点是直线：的上一个动点，则设点，在（2）中有：， 即有，即，即可得，当时，可得，即有，利用两点间的距离公式即可求解；当时，可得，即可得，进而可得，解方程即可求解． 【详解】（1）将代入直线中， 得， 解得：， ， ， ∴反比例函数解析式为， 由， 解得 或， ∴点B的坐标为； （2）如图，作轴于点E，轴于点F，则， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ∵点C在反比例函数图象上， ， 作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值， ，， ， 的最小值为； （3）根据点是直线：的上一个动点，则设点， ∵，， ∴，，， 在（2）中有：， ∴，即， ，， ，， ∴， ∴，即， ∴， 当时，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，结合图象有， ∴， ∴，解得：， 此时点； 当时，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：，， 当时，点P在点B右侧，此时是钝角三角形，不可能与相似， 故舍去； 当时，点； 综上：满足条件的点P的坐标为：或者． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法，轴对称性质，线段和的最小值问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，能用分类讨论的思想解决问题． 66．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为； (2)点C的坐标为或 (3)点P的坐标为；m的值为3 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、求两个位似图形的相似比、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解； （2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解； （3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得． 【详解】（1）解：令，则 ∴点A的坐标为， 将点代入得： 解得： ∴ 将点代入得： 解得： ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，    令解得： ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴ 又∵直线l是的垂线即，， ∴， ∴ 设直线l的解析式是：， 将点，点代入得： 解得： ∴直线l的解析式是：， 设点C的坐标是 ∵，(分别代表点B与点C的横坐标) 解得： 或6， 当时，； 当时，， ∴点C的坐标为或 （3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线， ∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D， ∴点E是直线l与双曲线的另一个交点， 将直线l与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 画出图形如下：    又∵ ∴ ∴ ∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等， 设直线的解析式是： 将点代入得： 解得： ∴直线的解析式是： ∵点D也在双曲线上， ∴点D是直线与双曲线的另一个交点， 将直线与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 设直线的解析式是： 将点，代入得： 解得： ∴直线的解析式是：， 又将直线的解析式与直线l的解析式联立得： 解得： ∴点P的坐标为 ∴ ∴ 【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键． 67．（2023·四川成都·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C． (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长； (3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】解分式方程、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）由一次函数解析式求得点，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，两解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标； （2）设直线的解析式为设，由，整理得，，根据题意得到，求得，即可得到直线的解析式，从而即可求得点的坐标，然后利用勾股定理即可求得； （3）通过证得，得出，，即可得出点的坐标，进而表示出点的坐标，代入，解方程即可求得点的横坐标． 【详解】（1）∵过， ∴， ∴，则， 又∵过， ∴， ∴反比例函数的表达式为． ∴，解得：或， ∴． （2）令，则，∴． 设直线的解析式为设，∴，即：， ∵直线与反比例函数图象只有一个交点， ∴， ∴， ∴，令，则， ∴， ∴． （3）由图可知在第一象限、不可能相等， 如图，当，时，点作轴于，轴于，与的交点为，， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设（）， ∴， ∵点在一次函数图象上， ∴，整理得， 解得（负数舍去）， ∴点的横坐标的值为． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 68．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，反比例函数（）在第一象限内的图象经过点、， (1)点为对角线上一点，满足，点在边上，且，求反比例函数解析式； (2)在（）的条件下，反比例函数上是否存在点，满足，若存在，求点的横坐标； (3)我们把有一个内角为的三角形称为“美好三角形”，这个的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图，若点B的坐标为，则当为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中的值． 【答案】(1)； (2)存在，点Q的横坐标为或，理由见解析； (3)或． 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】（）过作轴于，由矩形的性质得，根据相似三角形的判定和性质得，根据三角函数的定义得到，求得，代入即可； （）分情况当在下方时，当在上方时讨论即可得解； （）分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可． 【详解】（1）如图，过作轴于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）存在，理由： 当在下方时， 满足，则需平行且过中点的直线， 找中点，过交反比例函数图象于点，    由（1）得：， ∴直线解析式为：， ∵， ∴，则点， ∴设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 联立，解得或（舍去） ∴点的横坐标为； 当在上方时， 满足，则需平行且过中点的直线， 找中点，过交反比例函数图象于点， 同（）理：直线解析式为：， ∵， ∴， ∴点， ∴， 则直线为， 联立，解得或（舍去） ∴点的横坐标为， 综上可知：点Q的横坐标为或； （3）∵，，， 如图，当时，作，交延长线于点，作，交延长线于    ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 解得：或（负值舍去）， 当，作，交延长线于点，过点作轴于点，    同理可证：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：或（不合题意，舍去） 综上，符合条件的的值为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键. 69．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与反比例函数的图象交于．    (1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式； (2)若点是第一象限内反比例函数图象上一点．过点作轴的平行线交一次函数图象于点，作直线交轴于点，若，求点的坐标； (3)定义：若矩形的周长是面积的倍，则称该矩形为“倍积矩形”．例如，若一个矩形周长为18，面积为，则称该矩形为“3倍积矩形”．若点是第一象限内反比例函数图象上一点．过作轴于点，作轴于点．若矩形是“倍积矩形”，最小可以取多少？当取最小值时，求出点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数解析式为 (2)或 (3)， 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求面积 【分析】（1）先求出一次函数解析式，再求出反比例函数解析式即可； （2）分两种情况：当点P在点A的下方时，如图，过点A作轴于点H，交于点G，则，根据，可得的长，继而求得点P坐标；当点P在点A的上方时，同理可求解； （3）设点D的坐标为，则，根据矩形是“倍积矩形”，可得，则当，时， n的值最小，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 当时，，解得：， ∴点， 把点代入得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当点P在点A的下方时，如图，过点A作轴于点H，交于点G，则， 根据题意得：轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P的纵坐标为或 ， 把代入得：， ∴点P的坐标为； 当点P在点A的上方时， 同理：点P的纵坐标为， 把代入得：， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：如图， 设点D的坐标为，则， ∴矩形的周长为，面积为12， ∵矩形是“倍积矩形”， ∴， ∴， 当，即（负值舍去）时，n取得最小值，最小值为， 此时点D的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质以及新定义，一元二次方程的应用．熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 70．（21-22九年级上·甘肃兰州·期末）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为A(0，0)，B(6，0)，C(6，8)，D(0，8)，AC，BD交于点E．    (1)如图①，双曲线过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的表达式； (2)如图②，双曲线与BC，CD分别交于点M，N，点C关于MN的对称点C′在y轴上．求证△CMN∽△CBD，并求点C′的坐标； (3)如图③，将矩形ABCD向右平移m(m＞0)个单位长度，使过点E的双曲线与AD交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值． 【答案】(1)E(3，4)， (2)证明见解析；C′(0，) (3)m的值为3或12 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、矩形性质理解、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先根据矩形的性质求出E点坐标，然后代入到反比例函数解析式求解即可； （2）由反比例函数图像上点的坐标特征得到DN·AD＝BM·AB，由BC＝AD，AB＝CD，即可推出＝，即可证明△CMN∽△CBD．得到∠CMN=∠CBD，则MN∥CD，求出直线BD的表达式为y＝－x＋8，由C，C′关于MN对称，得到CC′⊥BD，则可设直线CC′的解析式为，由此求解即可； （3）分当AP＝AE时，当EP＝AE时，点P与点D重合，当PA＝PE时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴DE＝EB， ∵B(6，0)，D(0，8)， ∴E(3，4)， ∵双曲线过点E， ∴k1＝12， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点M，N在反比例函数的图象上， ∴DN·AD＝BM·AB， ∵BC＝AD，AB＝CD， ∴DN·BC＝BM·CD， ∴＝， ∵∠MCN=∠BCD， ∴△CMN∽△CBD． ∴∠CMN=∠CBD， ∴MN∥CD， ∵B(6，0)，D(0，8)， ∴直线BD的表达式为y＝－x＋8， ∵C，C′关于MN对称， ∴CC′⊥MN， ∵MN∥BD， ∴CC′⊥BD， ∴可设直线CC′的解析式为， ∵C(6，8)， ∴， ∴， ∴直线CC′的表达式为y＝x＋， ∴C′(0，)； （3）解：①当AP＝AE时， ∵A(0，0)，B(6，0)，C(6，8)，D(0，8)， ∴AB=6，BC=8， ∴， ∵E是AC与BD的交点， ∴AE=AP=5， ∴平移后P的坐标为(m，5)，E的坐标为(m＋3，4)，P，E在反比例函数图象上， ∴5m＝4(m＋3)， ∴m＝12； ②当EP＝AE时，点P与点D重合， ∵P(m，8)，E(m＋3，4)在反比例函数图象上， ∴8m＝4(m＋3)， ∴m＝3； ③当PA＝PE时， ∵P(m，n)，E(m＋3，4)，A(m，0)， ∴n＝， 解得n＝， ∵P，E在反比例函数图象上， ∴m＝4(m＋3)， 解得m＝－(舍)， 综上所述，满足条件的m的值为3或12． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，等腰三角形的性质，两点距离公式等等，熟知相关知识是解题的关键． 71．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象与一次函数图象交于A，B两点，其中点A横坐标为2，点B横坐标为，且A，B两点的纵坐标之和为1．    (1)求k，b的值； (2)点Q在点A左侧且点Q在第一象限反比例函数的图象上，若的面积为，求点Q坐标； (3)如图2，已知，一次函数和的图象分别与反比例函数的图象交于点C，D，E，F，连接CF，若，求n的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【难度】0.4 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题． （1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）由，即可求解； （3）由函数知，其和x轴负半轴的夹角为，求出则，同理可得，，即可求解． 【详解】（1）解：设点，则点， 将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：， 则点A、B的坐标分别为：、， 将点A的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， 故； （2）：由（1）知，一次函数的表达式为：， 设点，则点，      则 ， 解得：或（舍去）， 则点； （3）解：联立和并解得：， 由函数知，其和x轴负半轴的夹角为， 则， 同理可得，， 由得：， 解得：（不合题意的值已舍去）． 72．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点和点B，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过x轴上的点作平行于y轴的直线l（），分别与直线和双曲线交于P、Q两点，且，求的值； (3)在（2）的条件下，在直线上寻求一点M，使的值最小；在直线上寻求点N，使的值最大，请求出的长度． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）根据待定系数法先确定一次函数解析式，然后得出，再代入反比例函数解析式求解即可； （2）根据题意得出，，确定．，再由正弦函数的定义及勾股定理确定，，利用正切函数的定义求解即可； （3）根据题意先确定出点M和点N的位置，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式，得出交点，求解即可． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴一次函数解析式为； 把代入得， ∴， 把代入得， ∴反比例函数解析式为； （2）过点Q作于点E ∵轴，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    （3）如图所示，连接交直线于点M，此时的值最小； 作点A关于直线的对称点为，连接并延长交于点N，此时的值最大；    设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴， 联立，解得， ∴， 同理得：， ∴． 【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，正弦及正切的定义，一元二次方程的应用等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 73．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点，与y轴相交于点C． (1)求n，k的值； (2)连接，在位于直线下方的双曲线上找一点D，使得的面积为的面积的3倍，求点D的坐标； (3)点E是y轴上使得的值最大的点，点P在线段上运动，过点P的直线与双曲线相交于M，N两点，其中M为线段的中点，求a的取值范围． 【答案】(1)2，2 (2)D的坐标为)或 (3) 【难度】0.4 【知识点】因式分解法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案； （2）过点D作轴，交直线于E，设，则，根据，建立方程求解即可得出答案； （3）作点A关于y轴的对称点，连接，延长交y轴于点E，此时的值最大，可得直线的解析式为，，设，则，可得，求得，，再利用不等式性质即可求得答案． 【详解】（1）解：把代入，得， ∵双曲线经过点， ∴； （2）如图1，过点D作轴，交直线于E，    设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为)或； （3）联立方程组得， 解得：，， ∴， 如图2中，作点A关于y轴的对称点，连接，延长交y轴于点E，此时的值最大．    ∵，， ∴直线的解析式为， ∴， ∵点P在线段上运动，过点P的直线与双曲线相交于M，N两点，且M为线段的中点， ∴，且， 设，则， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象和性质，三角形面积，解方程组，不等式性质等．注意点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式． 74．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)为反比例函数第四象限上一点，过点作轴于点，使与相似，求满足条件的点坐标； (3)在（）的条件下，点为平面内任意一点，将绕点顺时针旋转得到对应的（点，，的对应点分别为点，，），若恰好有两个点落在上，请直接写出的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)或； (3)或． 【难度】0.4 【知识点】根据旋转的性质求解、利用相似三角形的性质求解、解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】()由待定系数法即可求解； ()当与相似，或，即或，即可求解； ()若恰好有两个点落在 上，只能是点落在 函数上，设点，得到点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数表达式得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵点的坐标为， 设一次函数的表达式为 ， 将点代入得： ， ∴， 即一次函数的表达式为：； （2）由一次函数的表达式知，点， 在中， ， 则与相似， 或， 即或， 设点， 则或， 解得：或(负值已舍去)， ∴点的坐标为：或； （3）当点的坐标为时， 则，， 若恰好有两个点落在上，只能是点落在函数上， 设点， 则点的坐标分别为、， 将上式两个点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得： (不合题意的值已舍去)， ∴点的坐标为； 当点的坐标为，同理可得：， 解得：(不合题意的值已舍去)， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数综合应用，三角形相似、解直角三角形、图象的旋转，利用分类讨论思想求解是解题的关键． 七、B25-函数压轴-存在性问题（相似、三角形、四边形） 75．（23-24九年级上·四川成都·期中）【阅读思考】 在平面直角坐标系中，点的坐标分别，且，点是平面内一点，连接．定义：在上述条件下，若，则称点是的智慧点，记作． 【初步探究】 （1）如图1，分别在轴、轴的正半轴上． ①若，，，求证：点是的智慧点； ②若，用含的式子表示点的坐标．（直接写出答案） 【理解应用】 （2）若，，且，求的值． 【拓展迁移】 （3）若，，点，且，求点的坐标． 【答案】（1）①见解析；②或；（2）的值为或；（3） 【难度】0.15 【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①由，，得出点的坐标分别，，结合，得出，从而得出，即可得证；②由题意得，，，从而得到，，，由推出当点在内部时，点在第一象限的角平分线，当点在外部时，点在第一象限的角平分线的反向延长线上，进而得出点的横纵坐标相同，可设点的坐标为，得到，求解即可； （2）由题意得，，由点是的智慧点，得出，从而得到,，进一步得出当点在内部时，点在第二象限的角平分线，当点在外部时，点在第二象限的角平分线的反向延长线上，，进而点的横纵坐标互为相反数，在分两种情况，当点在内部时，点在第二象限的角平分线；当点在外部时，点在第二象限的角平分线的反向延长线上，分别求解即可； （3）由题意得，，，由可得，，，从而得出，由等腰直角三角形的性质可得，从而得到当点在内部时，，点在外部时，，由三角形内角和判断出，从而得出，即可得到，，过点作轴，交轴于，作于，则四边形是矩形，得到，，设，，证明出，得到，，从而得到，求出的值即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴点的坐标分别，， ∵， ∴轴，， ∴， ∴， ∴点是的智慧点； ②点的坐标分别，，分别在轴、轴的正半轴上， ，， ∵点是的智慧点， ∴， ∴，， ， ， ∴当点在内部时，点在第一象限的角平分线，当点在外部时，点在第一象限的角平分线的反向延长线上， ∴点的横纵坐标相同， ∴可设点的坐标为， ∴， 解得：， ∴点的坐标为或； （2）解：点的坐标分别，，， ，， ∵点是的智慧点， ∴， ∴,， 当点在内部时，点在第二象限的角平分线，当点在外部时，点在第二象限的角平分线的反向延长线上，， ∴点的横纵坐标互为相反数， 如图，当点在内部时，点在第二象限的角平分线， ∴可设点的坐标为， 则， 解得：， ， ， （负值舍去）； 当点在外部时，点在第二象限的角平分线的反向延长线上时， 设点的坐标为， 同理可得：， ， 作于，则， ，， ， ， ，， ， ， ， ， （负值舍去）， 综上所述，的值为或； （3）解：，， ，， ， ，，， ， ，，， ，， ， ， ， 当点在内部时，，点在外部时，， ， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作轴，交轴于，作于， ， 则， 四边形是矩形， ，， 设，， ，， ， ， ， ，， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想，是解此题的关键． 76．（23-24九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为，，过点E作直线轴，设直线l上的动点A的坐标为，连接AB，将线段BA绕点B顺时针方向旋转得到线段，在射线上取点C，构造，使得．    (1)当时，求直线的函数表达式； (2)当点C落在坐标轴上时，求长； (3)已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使以A，C，D为顶点的三角形与相似？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或或 【难度】0.15 【知识点】求一次函数解析式、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）设直线的函数表达式为，然后把、两点的坐标代入即可求解； （2）分点在轴及轴上两种情况进行讨论，结合三角形相似，建立等量关系，分别求出两种情况时的长即可； （3）存在，分五种情况进行分类讨论，灵活运用相似三角形的判定和性质进行求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，则有： ， 解得：， 直线的解析式为：； （2）当点在轴上时，设点的坐标为；    过作于点，则，，， ， ， ， ， ， 解得：，， ，； 当点在轴上时，    同理可求：， ，， 长为或； （3）①过点、作直线的垂线，与过点、作轴的平行线分别交于点、、，则四边形为矩形， ， ，， 由题意可得（相似比为．    ，，，， ， ， ， 同理， 又， （相似比为， ， 解得：，， ，， 即， 解得： 点的坐标为； ②当点在上时，则， 的坐标为，点的坐标为， 在中，， ， ， 轴，即， ， ， ， 符合题意；    ③当点在上时，作于点，于点，    同①可得： 点的坐标为，， 直线的解析式为：， 把点，代入解析式为， 可求得， 点，，， 由两点间的距离公式求得：，，， ， ， 点符合题意； ④当轴时，作于点，于点， 同②可求点的坐标为；    ⑤当点在线段上时，作于点，于点， 同③可求点的坐标为；    点的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，含有角的直角三角形的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，正确分类是解决问题的关键． 77．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，为坐标原点，连接． (1)求直线的解析式； (2)如图1，线段的中垂线上有一点，设的面积为，菱形的面积为，当时，求点E的坐标； (3)如图2，为轴上一点，连接，动点从点出发，以个单位/秒的速度沿方向运动，1秒后，动点从点出发，以个单位/秒的速度沿折线方向运动，设点P运动时间为t秒()，是否存在实数，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，或， (3)或 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、几何问题(一次函数的实际应用)、利用菱形的性质求线段长、相似三角形——动点问题 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）首先求得菱形的面积，即可求得的值，进而求解； （3）分当时和时两种情况进行讨论，依据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求解． 【详解】（1）解： 点坐标为，四边形是菱形， ， 则点的坐标为， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （2）解：设与轴相交于点，则， 又所在直线的解析式是，， 当时，则，的边上的高是． 如图1，设平行于的直线为，则它与轴的交点为，与的中垂线交于点，． 过点作，点为垂足，若，由，得， ， 由， 解得：， 即的坐标是，． 与平行且到的距离是的直线有两条． 由对称性可得另一条直线的解析式是：． 则的坐标是，． 综上，点的坐标为：，或，； （3）解：存在，理由： 如图2，动点、按题意运动时， 当时， ，，， 连接，当时，有， ， 若，则有， 又， ， 此时，，即， 即， ； 当时，，连接． 若， 则有， 又， ， 此时，， 即， (不合题意，舍去)． 若，则， 此时，， 即， 解得：． 则的值为2或． 【点睛】本题考查的是一次函数的综合应用，其中涉及到面积的计算、三角形相似等，解题的关键是求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果． 78．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在边上，直线的解析式为，直线交于点，交于点．    (1)如图1，连接，求，的坐标； (2)如图1，若以和为邻边作矩形，求过点的反比例函数的表达式； (3)如图2，在第一象限内，直线上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点坐标为或或 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据点在直线上，当时解出的值即可求出点的坐标，根据、的纵坐标相等，再代入直线上，即可求出点的坐标； （2）设的坐标为，根据矩形性质以及等腰直角三角形性质，当时，在外边，故不成立；当时，利用勾股定理求出点坐标，设点，结合矩形对边相等即可求出点坐标，再设反函数解析式，代入求解即可； （3）分三种情况：①当时，在上方与在下方时，通过三角形全等得到对应边相等，进行求解；②当时，在上方，同样的方法进行求解，得到不在边上，不符合题意；当时，且在第一象限，以同样的方法结合全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：为矩形，点的坐标为，点的坐标为， ，， 直线的解析式为， 当，， ， ， ， ， ，解得：， ； （2）设的坐标为， 四边形为矩形， 为直角三角形， 当时，在外边，故不成立； 当时， ， ， ， ， ， 解得：， ， 设点， ， ， ， ， 设过点的反比例函数为， ，解得：， 过点的反比例函数为； （3）使是等腰直角三角形， 设，， ①当时，如下图，在上方，过点作交轴于，交与延长线于，   是等腰直角三角形， ，， ， ， 又， ， ，， ，解得：， ； 在下方，如下图，过点作交轴于，交与延长线于，   是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， ， 当时，的坐标为或； ②当时，如下图，在上方，过点作轴于，   是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， 此时不在边上，不符合题意； ③当时，且在第一象限，如下图，过点作交轴于，与交于点，   是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， ， 综上所述点坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，矩形的性质，等腰三角性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角坐标系中两点间的距离，反比例函数解析式得求解，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键． 79．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点，C点坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)平面内存在点F，使得以A，B，D，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标； (3)直线在E点左侧部分上有一点P，y轴右侧有一动直线轴交于M，作直线交l于N，是否存在点P使得无论直线l如何运动始终有与相似，若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)点F的坐标为或或 (3)存在点P， 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、几何问题(一次函数的实际应用)、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）求出，用待定系数法得直线的函数表达式为； （2）求出设，由可得，分三种情况：①若为对角线，则的中点重合，有，②为对角线，则，③为对角线，则，分别解方程组可得答案； （3）过P作于H，过H作轴，过D作于K，过P作于T，由，直线轴交于M，作直线交l于N，可得，故有，是等腰直角三角形，即可证，设，得，解方程组可得． 【详解】（1）解：把代入得， ∴ 设直线的函数表达式为， 将C点坐标，代入得： ， 解得 ， ∴直线的函数表达式为； （2）解：在中，令得，令得， ∴， ∵ 当时，，则 可得， 设， ①若为对角线，则的中点重合， ∴ 解得， ∴； ②为对角线， 则， 解得， ∴； ③为对角线， 则，， 解得； ∴； 综上所述，点F的坐标为或或； （3）解：存在点P，使得无论直线l如何运动始终有与相似，理由如下： 过P作于H，过H作轴，过D作于K，过P作于T，如图： ∵， ∴， ∴， ∵直线轴交于M，作直线交l于N， ∴， 由可知，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 设， ∵， ∴，， 解得， ∴ 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形，等腰直角三角形，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 80．（19-20九年级上·四川成都·阶段练习）图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于点C，且△ABC面积为10． （1）求点C的坐标及直线BC的解析式； （2）如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作长形FGQP，且FG：GQ＝1：2，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标； （3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足S△AMB＝S△AOB，点E为直线AM上一动点，在x轴上是存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不在，请说明理由． 【答案】（1）C（3，0），y＝﹣x+4；（2）（，）；（3）存在，点D的坐标为：（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）． 【难度】0.4 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、相似三角形——动点问题 【分析】（1）直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，4），△ABC面积＝×AC×OB＝AC×4＝10，解得：AC＝5，故点C（3，0）， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式，即可求解； （2）证明△GNQ∽△FMG，则，即，故点Q（2m﹣4，m﹣2），即可求解； （3）分BC是平行四边形的边、BC是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，4）， △ABC面积＝×AC×OB＝AC×4＝10，解得：AC＝5，故点C（3，0）， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：y＝﹣x+4…①； （2）设点E（m，m+），点D（n，0），点F为线段AB中点，则点F（﹣1，2）， 过点G作x轴的平行线MN，过点F、Q分别作y轴的平行线分别交MN于点M、N， ∵∠MGF+∠GFM＝90°，∠MGF+∠NGQ＝90°，∴∠NGQ＝∠GFM， ∠GNQ＝∠FMG＝90°， ∴△GNQ∽△FMG， ∴，即， 故：GN＝2m﹣4，QN＝2，故点Q（2m﹣4，m﹣2）， 将点Q的坐标代入y＝﹣x+4并解得：m＝， 故点Q（，）； （3）S△AMB＝S△AOB，则OM∥AB， 则直线OM的表达式为：y＝2x…②， 联立①②并解得：x＝，故点M（，）， 同理直线AM的表达式为：y＝x+， 设点E（m，m+），点D（n，0）， ①当BC是平行四边形的边时， 点B向右平移3个单位向下平移4个单位得到C， 同样点E（D）向右平移3个单位向下平移4个单位得到D（E）， 则m+3＝n，m+﹣4＝0或m﹣3＝n，m++4＝0， 解得：n＝或n＝﹣； ②当BC是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：m+n＝3，m++4＝0， 解得：n＝﹣， 故点D的坐标为：（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 81．（2022·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接 (1)求k，b的值. (2)当的面积为3时，求点P的坐标. (3)设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标. 【答案】(1) (2) (3)或， 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将点B代入求得进而求得将A点坐标代入求得n； （2）表示出的长，根据求得进而得出点P的坐标； （3）分为是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及为对角线．当为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作轴，作，证明，进而得出，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得． 【详解】（1）∵直线过点， ∴， ∴， ∵直线过点， ∴， ∴， ∵过点， ∴； （2）∵点P的横坐标为t， ∴， ∴ ∴， ∵， 又， ∴， ∴， ∴； （3）如图1， ∵，， ∴ 当是边，点D在x轴正半轴上， 作于F，作于G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去）， ∴ 如图2， 当点D在x轴的负半轴上时， 由上知：， ∴， ∴， 当是对角线时， 当是对角线时，点D在x轴负半轴上时， 可得：， ∴， ∴， ∴， 如图4， ， ∴， ∴，（舍去）， 当时，， ∴， 综上所述： 或，. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系． 82．（21-22九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），点B在线段AO上，且AB＝2BO，若点P在x轴的负半轴上，连接BP，过点P作PQ⊥PB． （1）如图1，点E是射线PQ上一点，过点E作EC⊥x轴，垂足为点C． ①求点B的坐标；②求证：△BOP∽△PCE． （2）在（1）的条件下，如图2，若点C坐标为（﹣4，0）．过点A作DA⊥y轴，且和CE的延长线交于点D，若点C关于直线PQ的对称点C′正好落在线段AD上，连接PC′，求点P的坐标． （3）如图3，若∠BPO＝60°，点E在直线PQ上，EC⊥x轴，垂足为点C，若以点E，P，C为顶点的三角形和△BPE相似，请直接写出点E的坐标． 【答案】（1）①；②见解析；（2）或；（3）或或或 【难度】0.4 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①根据，即可求得点的坐标； ②先根据直角三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）设点的坐标为，先根据（1）中相似三角形的性质可得，从而可得，过点作于点，根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，从而可得的长，然后根据建立方程，解方程即可得； （3）先根据直角三角形的性质和勾股定理求出，再分①和两种情况，每一种情况中再分点在轴上方和点在轴下方两种情况，然后利用相似三角形的性质、直角三角形的性质求解即可得． 【详解】证明：（1）① ②轴轴，轴, ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）由题意得：四边形是矩形， ， ， ， 设点的坐标为，则， ， ， 由（1）已证：， ， 即， 解得， ， 由对称性得：， 如图，过点作于点，则， ， ， 在和中， ， ， ，即， 解得， ， ， 整理得：， 解得或， 经检验，和均是所列方程的解， 故点的坐标为或； （3）在中，， ， 解得（负值已舍去）， 轴， ， 由题意，分以下两种情况： ①当时，则， 在中，， （Ⅰ）当点在轴上方时， 在中，， ， 则此时点的坐标为； （Ⅱ）当点在轴下方时， ， 此时点的坐标为； ②当时，则， 在中，， 解得（负值已舍去）， （Ⅰ）当点在轴上方时， 在中，， ， 则此时点的坐标为； （Ⅱ）当点在轴下方时， 同理可得：此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确考虑到所有可能的情况是解题关键． 83．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，点为点关于轴的对称点，连接． (1)求直线的解析式； (2)点为直线上一动点，且满足，求点的坐标； (3)点为直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)或 (3)或 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、几何问题(一次函数的实际应用)、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，一次函数与几何图形综合； （1）先求得直线的解析式，进而得出，根据轴对称的性质求得点的坐标，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意，设，进而分点在第一象限和第二象限，分别讨论，即可求解； （3）根据菱形的性质，结合坐标系，根据轴对称的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线交轴于点， ∴ 解得：， ∴，, ∵点为点关于轴的对称点，， ∴ 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：依题意， 设， ∵，， ∴， 当时， ∴，解得：； 当时， ∴，解得：， ∴或； （3）解：①当在的延长线上时，点和点的横坐标相等都为， ∴关于对称轴， ∴； ②当与点重合时，关于轴对称， ∴ 综上所述， 或． 84．（21-22八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴交于点，与交于点，，，直线：交直线于点． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)如图1，为直线上一动点且在第一象限内，为轴上的动点，在右侧且，当时，求最小值； (3)如图2，将沿着射线方向平移，平移后三点分别对应三点．当过点时，在平面内是否存在点，在直线是否存在点，使得以四个点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为，点的坐标为 (2) (3)或或或 【难度】0.15 【知识点】因式分解法解一元二次方程、几何问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）直线交轴交于点，与交于点，，，可求出点的坐标，由此即可求出直线的解析式，根据直线：交直线于点，联立方程组求解即可求出点的坐标； （2）求的最小值，如图所示，点在直线上，设，由可求出点的坐标，作点关于轴的对称点，当点在一条直线上时，值最小，根据点求出点的坐标，点的坐标，由此即可求解； （3）以四个点为顶点的四边形为菱形，分类讨论：以，为邻边；以，为邻边，以为对角线；由此即可求解． 【详解】（1）解：∵直线交轴交于点，与交于点，，， ∴，，设直线的解析式为， ∴，解方程得，， ∴直线的解析式为， ∵直线：交直线于点， ∴，解方程组得，， ∴点的坐标为， ∴直线的解析式为，点的坐标为． （2）解：已知直线：，，， 点在直线上，设， ∴，且， ∴，， ∴，解方程得，，即， ∴轴， 如图所示，作点关于轴的对称点， ∴，连接，过点作轴的平行线，过点作的平行线，两线交于点，则四边形为平行线， ∴， 当点在一条直线上时，值最小， ∵在右侧且， ∴，，设所在直线的解析式为， ∴，解方程组得，， ∴所在直线的解析式为，令，则， ∴，则， ∴，，， 在，中，，， ∴，即． （3）解：直线：，直线：，，，， ∴，，由（1）可知，， 将沿着射线方向平移得， ∴，， ∴，，则， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设点N的坐标为， 以，为邻边，此时， ∴， 解得：， ∴此时点N的坐标为或； 以，为邻边，此时，为对角线，则， ∴， 此时点N不在直线上； 当，以为对角线时，此时， ∴， 解得：或， ∴此时点N的坐标为或； 综上所述点N的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数以几何变换的综合，掌握一次函数图像的特点，几何变换中确定点坐标的方法，学会图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 85．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，直线：与坐标轴分别交于点A，B，与直线：交于点C． (1)求的面积； (2)如图2，若有一条垂直于x轴的直线以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线方向作匀速滑动，分别交直线，及x轴于点M，N和Q．设运动时间为，连接． ①当时，求t的值； ②试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)①或②存在点，使得以、、、为顶点的四边形构成菱形，此时的值为2或4或 【难度】0.4 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、几何问题(一次函数的实际应用)、已知两点坐标求两点距离、证明四边形是菱形 【分析】（1）先根据一次函数的解析式分别求出，，再利用三角形的面积公式求解即可得； （2）①先求出，，，从而可得，再根据建立方程，解方程即可得； ②先求出，再分三种情况：、和，分别建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：对于直线：， 当时，，即， 当时，，解得，即， 联立，解得，即， 则的面积为． （2）解：①由题意可知，， ， ，即， ， ， ， 解得或； ②， ， 如图，要使以、、、为顶点的四边形构成菱形，则有三种情况：、和， 当时，则，解得， 当时，则，解得或（此时点与点重合，舍去）， 当时，则，解得， 综上，存在点，使得以、、、为顶点的四边形构成菱形，此时的值为2或4或． ． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、菱形的判定、一元二次方程的应用、两点之间的距离公式等知识，较难的是题（2）②，正确分三种情况讨论是解题关键． 86．（22-23九年级上·黑龙江鹤岗·期中）直角三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，的长是方程的两个根（）．将绕原点O顺时针旋转得到，点的对应点为，连接．点E从点D出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点E运动的时间为t秒，过点E作轴于点F，以为斜边向左作等腰直角三角形，连接． (1)求点的坐标； (2)设的面积为，求S与t的关系式； (3)在平面内是否存在点H，使以C，D，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】坐标与图形、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）求出方程分别得出的长，根据旋转的性质得出，则结论可得； （2）根据题意可得、均为等腰直角三角形，设点E运动的时间为t秒， 则，，然后分时；时；根据三角形面积公式得出关系是即可； （3）先根据等腰直角三角形的性质得出点在射线上运动，然后分：当以C，D，G，H为顶点的正方形以为对角线时；当以C，D，G，H为顶点的正方形以为边时；两种情况进行讨论，根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质得出点的坐标，然后验证是否在射线上，若在，则点存在；若不在，则点不存在；据此解答即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ∵，的长是方程的两个根（）， ∴， ∴点， ∵将绕原点O顺时针旋转得到， ∴， ∴点； （2）∵， ∴为等腰直角三角形， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， 设点E运动的时间为t秒， 则，， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 综上所述：； （3）存在，点的坐标为或， 理由如下： ∵， ∴， 如图，过点作于点， 当时，点，则， ∴点， 当时，点，则， ∴点， 当时，点，则， ∴点， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 所以点在直线上， 由此可知点在射线上运动， 如图： 当以C，D，G，H为顶点的正方形以为对角线时， ， ∴， 过点作轴于点，过点作交延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点横坐标为，即，则， ∴在中，， 即， 解得：，（舍）， ∴， ∴点， ∵点在射线上， ∴此正方形存在， 过点作轴于， 同理可得：， ∴， ∴点的坐标为； 当以C，D，G，H为顶点的正方形以为边时， 过点作轴于点， 同理可得， ∴， ∴点， ∵点在射线上， ∴此正方形存在， 同理可得， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求一次函数解析式等知识点，灵活运用所学知识点解题是关键，注意分类讨论． 87．（21-22九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，AO＝2BO，点C（3，0）（A点在C点的左侧），连接AB，过点A作AB的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知△ABO≌△DAC，直线BD交x轴于点E． (1)求直线AD的解析式； (2)直线AD有一点F，设点F的横坐标为t，若△ACF与△ADE相似，求t的值； (3)如图2，在直线AD上找一点G，直线BD上找一点P，直线CD上找一点Q，使得四边形AQPG是菱形，求出G点的坐标． 【答案】(1)y＝2x﹣4 (2)1或 (3)G（，3﹣3）或G（，﹣3﹣3） 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（ 1）由△ABO≌△DAC，得到OC＝OA+AC＝OA+OB，再由已知求出AO＝2，OB＝1，即可得到A（2，0），D（3，2），用待定系数法求直线AD的解析式即可； （2 ）由题意可知只有△ACF∽△ADE和△ACF∽△AED两种情况，此时F点必在x轴下方，分两种情况求解即可； （ 3）设G（n，2n﹣4），P（m，m+1），Q（3，p），AP、GQ为菱形对角线，AG＝AQ，列出方程组，解得n＝或n＝． 【详解】（1）∵△ABO≌△DAC， ∴AC＝OB，AO＝CD， ∵C（3，0）， ∴OC＝3， ∵OC＝OA+AC＝OA+OB， 又∵AO＝2BO， ∴AO＝2，OB＝1， ∴B（0，1），A（2，0）， ∴CD＝2， ∴D（3，2）， 设直线AD的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线AD的解析式为y＝2x﹣4； （2）设BD的解析式为y＝ax+c， 把B（0，1），D（3，2）代入y＝ax+c，得 ， ∴， ∴BD的解析式为y＝x+1， 令y=0，则x+1=0 ∴x=-3 ∴E（﹣3，0）， ∴AE＝2+3=5，AD＝，ED＝2，AC＝1， ∵F点在直线AD上， ∴设F（t，2t﹣4）， ∴AF＝|t﹣2|， ∵∠DAC＝∠EDA+∠DEA， ∴△ACF与△ADE相似时，只有△ACF∽△ADE和△ACF∽△AED两种情况，此时F点必在x轴下方， ∴t＜2， ①当△ACF∽△ADE时，＝， ∴＝， ∴t＝3（舍）或t＝1； ②当△ACF∽△AED时，＝， ∴， ∴t＝或t＝（舍）； 综上所述：t的值为1或； （3）设G（n，2n﹣4），P（m，m+1），Q（3，p）， ∵四边形AQPG是菱形， ∴AP、GQ为菱形对角线，AG＝AQ， ∴， 解得n＝或n＝， ∴G（，3﹣3）或G（，﹣3﹣3）． 【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，三角形相似的判定及性质，分类讨论，准确地计算是解题的关键． 八、B卷-25题解答题其他-（最值 新定义） 88．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中中，矩形的边在轴上，边在轴上，点坐标为，反比例函数的图像交分别为． (1)当时，求的值； (2)将沿翻折，点对应点记为，问的值是否为定值，若是求出该值、若不是请用表示； (3)连接，作，并使，求过点的反比例函数解析式． 【答案】(1)； (2)是定值，定值为； (3)． 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、勾股定理与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】()根据点的坐标和已知条件求得点的坐标，然后把点的坐标代入函数解析式即可求出系数的值； ()根据折叠的性质得到，由反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质求得相关线段的长度，将其代入比例式即可求得答案； ()根据余角性质可得，由三角函数可得，然后利用勾股定理通过点即可求出该反比例函数的解析式． 【详解】（1）解：∵矩形的 边在轴上，边在 轴上，点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴的值是； （2）解：是定值． 理由如下： 在矩形中，点坐标为，点在反比例函数的图象上， ∴设,， ∴，， 由折叠的性质知， ∴， ∴， ∴的定值为； （3）解：如图，连接，，且，过点作轴于，则， ∵点坐标为， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 设，过点的反比例函数关系式为(是常数，且)， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴点的坐标为或， ∴， ∴该反比例函数解析式为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质以及翻折旋转的性质，利用待定系数法求解析式是解题的关键． 89．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，已知点，且a、b满足，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线经过C和D两点    (1)求k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形；试求满足要求的所有点P的位置． (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其范围；若不改变，求出其值并给出你的证明． 【答案】(1)8 (2)点P的坐标为：或 (3)不变， 【难度】0.4 【知识点】求反比例函数解析式、全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B，则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点将点的坐标代入反比例函数表达式，即可求解； （2）分是边和对角线两种情况，利用数形结合的方法，即可求解； （3）连，易证，故，，由此即可得出结论． 【详解】（1）由题意得：，解得：， 则点A、B的坐标分别为：， 设点D的坐标为： ， 由点E是的中点，由中点坐标公式得：， 则点D的坐标为：， 由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B， 则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点 将点C、D的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：， 则点的坐标分别为：； 则； （2）∵由（1）知， ∴反比例函数的解析式为， ∵点双曲线上，点在y轴上， ∴设， ①当为边时： 如图1所示：若为平行四边形，    ∵，则， 解得， 此时； 如图2所示，若为平行四边形，    ∵，则， 解得， 此时； ②如图3所示，当为对角线时：，且；    ∵， ∴， 解得， ∴； 故点P的坐标为：或； （3）如图4，连接，    ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在与中， ∵ ∴， ∴， ∴， 四边形中，，而 所以，， 因为四边形内角和为， 所以． ∴， ∴． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式等知识，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键，当然除用中点坐标公式外，也可通过构造全等三角形来解决第（1）题和第（2）题． 90．（23-24九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，如图1，已知点，点在线段上，且，若点在轴的正半轴上，连接，过点作，点是射线上一点，过点作轴，垂足为点． (1)求证：； (2)如图2，连接，若与相似，请直接写出点的坐标； (3)如图3，若点坐标为．过点作轴，且和的延长线交于点，若点关于直线的对称点正好落在线段上．求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)或 【难度】0.4 【知识点】坐标与图形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先由垂直的定义得到，再根据三角形内角和定理得到，由此即可证明； （2）先求出，进而求出，再求出，再分当时，， 当时，，两种情况求出的长，进而求出的长即可得到答案； （3）如图中， 过点作 于， 延长交的延长线于，设，则，先证明，推出，由折叠的性质可得，，再证明，推出 进而推出，  在中，根据 ，构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ， ， ， ； 当时，， ∴， ， ， ∴； 综上所述，满足条件的点E的坐标为或； （3）解：如图2中， 过点作于， 延长交的延长线于F， ∵， ∴， 设， 则， ∵轴， ∴，   ∴，， ∴， ， ∴， 由折叠的性质可得，， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ∴， ∴，   在中， ， ∴ ， 解得 或， 或 ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会利用参数够关键方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 91．（22-23九年级上·四川成都·期末）已知直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线：与y轴交于点C，与直线交于点D．点P是线段上一动点（不与O，A重合），连接CP． (1)如图1，点D的横坐标为5. ①求直线的函数表达式； ②连接，若，求线段的长； (2)如图2，若，在线段上取点M，将线段绕点P顺时针旋转得到，点N恰好在直线上，且，求线段的长． 【答案】(1)①；②1； (2)． 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【详解】（1）①将点D的横坐标代入：得： ∴ 将点代入：得： 解得： ∴直线的函数表达式为： ②如图1，过点D作x轴垂线，垂足为H． ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则 代入得： 解得：， 又∵点P不与A重合， ∴线段的长为1． （2）如图2，过点N作x轴垂线，垂足为Q ∵由②可知， ∴ ∵，， ∴ 设，，则 ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ 又∵为直角三角形 ∴，解得 ∴． 【点睛】本题考查了代入法求函数解析式，相似三角形的证明和性质的应用；解题的关键是利用相似三角形的性质合理设未知数列方程求解． 92．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，平面直角坐标系中，点A，D的坐标分别为，以为边作菱形，点B在x轴上，点C在第一象限． (1)求直线的函数解析式； (2)点M为x轴上的动点，将点D绕点M顺时针旋转得到点N，连接，DN． ①当点M与点B重合时，在直线BC上找一点P，使得，求点P的坐标； ②试探究的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为或，②存在最小值，最小值为7 【难度】0.4 【知识点】坐标与图形、几何问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）根据菱形的性质求出两点坐标，直线的函数解析式为，代入两点坐标，可得； （2）①考虑点P在上、在延长线上两种情况； ②点M在x轴运动，，运动到点N在延长线上时，的值最小． 【详解】（1）解：由题意得 ∵点A，D的坐标分别为， ∴， 则， 由菱形得，， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 设直线的函数解析式为，代入B、C两点坐标， ， 解得：，， ∴直线的函数解析式为； （2）解：①点M与点B重合，即， ∵， ∴在中，，即， 过点N作轴于点E， ∴， 点D绕点M顺时针旋转得到点N，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， 设直线的函数解析式为，代入D、N两点坐标， ， 解得：，， 直线的函数解析式为， ∵， ∴点P在如图所示两种情况， 图1：点P即为与的交点， ， 解得：，，即点P的坐标为， 图2：设直线的函数解析式为， ∵， ∴， ∵过点， ∴， ∴， 此时与的交点即为点P， ， 解得：，，即点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或， ②如图所示，M运动到x轴负半轴、原点、正半轴处， 则， M运动到正半轴处，， 由此可见，点M运动到处时，点N在延长线上时，的值最小， 过N点作轴于点E，即， 设点M的坐标为，则， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即 ∵ ∴在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∵M在x轴正半轴， ∴，舍去， ∴点M运动到处，的值最小， ， 那么的值为， ∴存在最小值，最小值为7 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的几何问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的交点问题，难度大，综合性强，关键是注意分类讨论和动点问题． 93．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上是否存在一点P，使得与相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)现定义：平面内一点到三角形三边所在的直线距离之和等于该三角形周长的一半时，这个点称为此三角形的和谐点．在直线上是否存在的和谐点，若存在请求出和谐点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P坐标为或或或 (3)或 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、几何问题(一次函数的实际应用)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了一次函数与相似综合运用求点坐标问题、新定义求点坐标问题． （1）要求直线解析式，只需要求出点C坐标； （2）分类讨论相似，由相似对应边成比例求出边长，进一步求出点P坐标； （3）先借助“和谐点”概念求出点到直线距离，再进一步求点坐标． 【详解】（1）当时，，当时，， ∴， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）存在，点P坐标为或或或； ∵点P在直线上， ∴设， ∴， 由折叠得 ∴①若，则， 即， 解得， ∴， 解得 或 ， ∴点P的坐标为或； ②若， 同理可得或；， 综上所述，点P坐标为或或或； （3）∵， ∴， ∴， ∴“和谐点”到三边所在直线距离之和为12， ∵， 设直线的解析式为，则有， ， 解得，， ∴直线解析式为， ∵“和谐点”在直线上 ∴设“和谐点”坐标为， 则 过点Q作交于点M， 由折叠得， ∴， ∴， 即，解得 ∴“和谐点”到三边所在直线距离之和为， ①若，则，解得， 此时， ②若， 则，无解，舍去， ③若， 则，解得， 此时， 综上所述，“和谐点”坐标为或． 94．（23-24九年级上·四川成都·期中）我们定义：在内有一点，连结．在所得的中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上．请在图中的格点中，画出的相似心． (2)如图2，在平面直角坐标系中，点与点分别为轴负半轴，轴正半轴上的两个动点，连结，设的外角平分线交于点，延长分别交轴于点，交轴于点，连结． ①的度数是__________． ②求证：点为的相似心． (3)如图3，在（2）的条件下，若点在反比例函数的图象上，，若点为的相似心，连结，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 (3)或 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用相似三角形的判定，找出格点P即可； （2）①根据角平分线的定义和三角形外角的性质得，从而得出答案；②作轴，轴，垂足分别为Q、P、N，根据角平分线的性质定理以及逆定理可得平分，从而得到，可得到，即可； （3）延长至点F，由（2）得：，，可得，再由点M在上，可得，从而得到，进而得到，，，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解． 【详解】（1）解：如图1， ∵，， ∴， ∴点P为的相似心； （2）解：①根据题意得：， ∴， ∵的外角平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； ②作轴，轴，垂足分别为Q、P、N， ∵的外角平分线交于点， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴点O为的相似心； （3）解：如图，延长至点F， 由（2）得：，， ∴， ∴， ∵点M在上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， （Ⅰ）若， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 设，则， 过点G作，垂足为点D，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去），即； （Ⅱ）若， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， 与（Ⅰ）同理可得； 综上所述：或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了相似形的定义，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是对新定义概念的理解和运用，同时渗透了分类讨论的数学思想，难度较大． 九、B25-函数压轴-面积问题（求值、最值） 95．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上，如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为交直线于点交轴于点．    (1)当旋转角为多少度时，，请说明理由； (2)如图2，对角线交轴于点，交直线于点，连接．试判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，将与的面积分别记为与．设，，求关于的函数表达式． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明 【分析】（1）由正方形的性质可得，，证明得到，由题意得出，从而得出，由此求解即可； （2）证明、、、四点共圆，得到，即可得证； （3）过点作于，延长交于点，证明得到，，证明四边形是矩形，得到，，表示出，，从而得到，由等腰直角三角形的性质可得，从而即可得出答案． 【详解】（1）解：当时， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 正方形绕点逆时针旋转，旋转角为交直线于点， ， ， ， ， 当旋转角为时，； （2）解：是等腰直角三角形， 理由如下： 四边形是正方形， ， 对角线交轴于点，交直线于点， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，过点作于，延长交于点，   ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 由（2）可得：是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形，， ， 四边形是矩形， ，， 与的面积分别记为与， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 关于的函数表达式． 【点睛】本题考查了一次函数和正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，解题关键是会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 96．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）已知点在反比例函数的图像上，点在轴上，连接，如图1，将绕着点顺时针旋转至点，点正好落在轴上．    (1)求的值和点的坐标； (2)若点在反比例函数图像上，连接并延长至点，使得，连接、， ①如图2，连接并延长交轴于点，当轴时，试说明平分； ②如图3，连接交于点，将沿着翻折，记点的对应点为，若点恰好落在线段上，求与面积之比． 【答案】(1)， (2)①见解析；②2 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点M作轴于点A，由旋转性质得：，，可证得，得出，进而可得，求得，由，可得； （2）①过点E作轴于点F，过点H作于点G，则，由轴，可得，，由，可得，由，可得，再证得是等腰直角三角形，即，可得平分；②由折叠性质可得，，证得四边形是正方形，得出，，运用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组可得，进而得出，进而可得． 【详解】（1）如图1，过点M作轴于点A，则，    ∵将绕着点顺时针旋转至点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：如图2，过点E作轴于点F，过点H作于点G，则，    ∵，轴， ∴，， ∴， ∵连接并延长至点E，使得， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴平分； ②解：∵将沿着翻折，点H的对应点为恰好落在线段上， ∴，，      ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：（舍去），， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形、正方形的判定和性质，三角形面积，全等三角形的判定和性质，翻折变换的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 97．（23-24九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上． (1)求a的值及反比例函数的表达式； (2)如图1，一次函数的图象与的图象交于E，F两点，点M的横坐标与点E横坐标相同且纵坐标是点E的2倍；点N的横坐标与点F横坐标相同且纵坐标是点F的2倍．连接，，判断和的数量关系，并说明理由； (3)如图2，点A是反比例函数的图象上一动点，与的图象交于点B，作轴交的图象于点C，作交的图象于点D，连接，，在点A运动过程中，的值是否发生变化?若不变，求出其值；若变化，说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)的值不变化，且 【难度】0.15 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）由点，都在该反比例函数图象上得，可求得的值，再代入即可求得的值，即可求解； （2）令点、点的横坐标分别为，，则纵坐标分别为，，由题意可知，，且，，为方程的两个根，可得，可知，，可得，进而可得； （3）由题意设，进而可求得，的解析式为：，联立与，可求得，则，由，可求得的解析式为：，联立与，可求得，则，由，可知，进而可知，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，都在该反比例函数图象上， ∴，，则， 解得：（舍去）， 则， ∴， 则反比例函数的表达式为：； （2），理由如下： ∵一次函数的图象与的图象交于E，F两点， 令点、点的横坐标分别为，，则纵坐标分别为，， 由题意可知， ∵点、点为两函数的交点， ∴，，为方程的两个根， 变形为：， ∴，， ∵，， 则 ， 又∵， ∴， ∴，即：； （3）的值不变化，且 由题意设， 对于，当时，，即：， 设的解析式为：，代入，可得，则， ∴的解析式为：， 联立与，可得：，可得：（负值舍去）， 当时，， 则，则， ∵， ∴设的解析式为：， 将，代入可得，解得：， ∴的解析式为：， 联立与，可得：，可得：， 解得：（负值舍去）， 当时，，即：， ∴ ， ∵， ∴， 则 ， ∴的值不变化，且． 【点睛】本题考查反比例函数的综合，利用待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的特征，设出点的坐标，表示线段的长度，由，得是解决问题的关键． 十、B25-函数压轴-角度问题（等角、和差倍） 98．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知：平面直角坐标系中，，，，在正半轴有一动点（点在的右侧），连接，，，在轴负半轴取点，使，连接，，设． (1)如图1，当时，求线段的长度． (2)如图2，连接，当时，求的值． (3)如图3，延长交于点，在第四象限有一点，连接，当时，求直线PF的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.15 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据，得出，根据，，得出，求出的长即可求出结论； （2）根据，，得出，，根据，，用勾股定理计算，根据三角形面积计算，，根据已知，得，求出的值即可； （3）过点作于，过点作于，过点作于，过点作轴于．根据，，，证是等边三角形，利用证明，利用证，再证明，得出，设，则，，代入求出的值，计算、、、、，设，结合，推出，证明，得出，证明点为的中点，推出为中位线，得，根据，可得，根据，，，计算求值，即可得出点坐标，最后求解即可． 【详解】（1）， ， ，， ， ， ， ， ； （2），， ，， ，， ， ，， ， ， 解得； （3）如下图，过点作于，过点作于，过点作于，过点作轴于， ， ，，， ，， ，，， ， 是等边三角形， ，， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， 设，则，， 代入中，得：， 解得：， ， ， ，， ， 代入中，得：， 解得：， ，， ，， ， 设，则，， ， ，即， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ，即点为的中点， 又， 为中位线， 点为的中点， 又， ， 又， ， ， ，， ， ， 设直线PF的解析式为，则： ， 解得：， ∴直线PF的解析式为． 【点睛】本题主要考查了图形与坐标、求一次函数解析式、勾股定理、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等，综合性强、难度大，熟练掌握知识点、作出辅助线推理证明是解题的关键． 99．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．      (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①当的面积为5时，求点的坐标； ②连结，如图2，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或或或；②或 【难度】0.4 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）分别求出、、三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①设，则，，求出，再由，求出的值后即可求点坐标；②分两种情况讨论：当点在线段上时，利用角的关系推导出，再由勾股定理得，求出的值即可求点的坐标；当点在线段上时，同理可求点的另一个坐标． 【详解】（1）在中，令得， ， 令得， ， 点与点关于轴对称， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的函数解析式为； （2）①设， 轴， ，， ， ∵，， ∴， ， 整理：， 解得，或者， 的坐标为或或或； ②点在线段上运动， ， 设，即有， 当点在线段上时，如图：   点与点关于轴对称， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 解得， ； 当点在线段上时，如图：    同理可证明， ， 同理可得， 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 100．（23-24九年级上·四川成都·期中）对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则． (1)如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为、，求直线的解析式； (2)如图2，直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一个动点，点A、C的横坐标分别为m、n（），直线分别与x轴于点D、E； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连接EF，当时，求出线段的值（用含n的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点作轴的垂线段，利用等腰三角形的性质，求得点坐标，再利用待定系数法，即可解答； （2）①求出直线的解析式，再求得点的坐标，利用勾股定理求得，即可解答； ②过点作，交于点，证明，得到，再证明，利用勾股定理，建立方程，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作轴的垂线段， 直线PQ与直线PR为“等腰三角线”， ， ， ， ， 点P、Q的坐标分别为、， ， ， 设直线的解析式为， 把,代入，可得， 解得， 直线的解析式为； （2）①证明：直线与双曲线交于点A、B， 可得方程， 解得或， ， 设， 设直线的解析式为， 将代入可得， 解得， 直线的解析式为， 将代入解析式，可得， 同理可得直线的解析式为， 将代入解析式，可得， 根据勾股定理可得，， ， ， 直线与直线为“等腰三角线”； ②解：如图，过点作，交于点， ，直线与直线为“等腰三角线”，， 平分， 轴， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 可得方程， 解得， ． 【点睛】本题考查了新定义下的求解问题，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数，勾股定理，理解题意，灵活运用“等腰三角线”的性质，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$