浙江省杭州市2024-2025学年九年级上学期期中数学复习（圆的基本性质章节重难点近三年组题汇编）

浙江省杭州市2024-2025学年度九年级上学期期中数学复习（圆的基本性质章节重难点近三年组题汇编） 一、单选题 1．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A．平分弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B．三点确定一个圆 C．每条边都相等的多边形是正多边形 D．相等的圆心角所对的弧相等 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知⊙O的半径为5，，则点在（   ） A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．不能确定 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，是圆的内接锐角三角形，是圆的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，，，．将绕点逆时针旋转得，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知的半径为5，弦，且，，则弦和之间的距离为（    ） A．7或1 B．7 C．1 D．7或3 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长），拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为，则此桥拱的半径是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，将半径为的沿折叠，使得折痕垂直半径，当恰好经过的三等分点（靠近端点）时，折痕长为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（   ） A． B． C．4 D．3 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图,AB是半圆的直径,EF为⊙O的弦,为内一点,,,若点为弦的中点,连接QC．甲和乙分别得出一个结论:甲．;乙．．甲和乙所得结论正确的是（　　）． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲乙都正确 D．甲乙都不正确 10．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点为上一点，且，，则的长为 ． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，为⊙O的弦，，则弦所对的圆周角的度数为 ． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，圆铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形的弦长为，则该圆的半径为 ． 14．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，在矩形中，，，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A和点B有且只有一个点在内，则x的取值范围是 ． 15．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C在上， ，，则的半径为 ． 16．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，且，点为上半圆的一点，平分，弦，那么的面积是 ．    17．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形内接于圆，，点P在圆上且满足，，则点A到的距离为 ． 18．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，弦与弦相交于点，，，延长至点，连接，设，则的取值范围是 ． 19．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，AB是的直径，，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①；②；③；④的最小值是10． 上述结论中正确的个数是 20．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知圆的半径为3，圆心角，是圆周上的一个动点，分别以，为边作，连． （1）若点在圆周上，则 ； （2）在点的运动过程中，的最大值为 ． 三、解答题 21．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，、、． (1)在图上标出圆心M，圆心M的坐标为 ； (2)判断点与的位置关系，并说明理由． 22．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出绕点B按逆时针方向旋转后的； (2)在（1）的条件下，求点A旋转到点所经过的路线长（结果保留）． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知一座圆弧形拱桥，圆心为点O，桥下水面宽度为，过O作于点D，．    (1)求该圆弧形拱桥的半径； (2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请问，该货船能顺利通过吗？ 24．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点 (1)求证：； (2)若 ，的度数为，求的度数． 25．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的外接圆，平分，交于点F，交于点D，平分，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点A是的中点，求证：． 26．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知在圆中，弦垂直弦于点 (1)如图：若，求证：； (2)如图：若，，； ①求圆的半径； ②求弓形的面积． 27．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知是的直径，C点是的一点，于E，点D是的中点，交于点F，交于点G． (1)判断的形状，并证明； (2)若，． ①求的长； ②求阴影部分的面积． 28．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦与点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连． (1)求的长． (2)若，直接写出的长． (3)①若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：． ②若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求与满足的关系． 29．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是上一动点，连接，以为直径的交于点，连接并延长交于点，交于点，连接． (1)求证：点在上． (2)当点移动到使时，求的值． (3)当点到移动到使时，求证：． 30．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知的直径为10，为上一动点（不与、重合），连接、． (1)如图1，若，求的值； (2)如图2，弦平分，过点作于点，连接． ①当为直角三角形时，求的值； ②在点的运动过程中，请直接写出的最小值 参考答案 1．A 【详解】本题考查了垂径定理，确定圆的条件，正多边形的定义等，根据垂径定理、确定圆的条件、正多边形的定义等知识判断求解即可，熟记垂径定理等知识是解题的关键． 【解答】解：、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，故正确，符合题意； 、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，不符合题意； 、每条边都相等，每个角都相等的多边形是正多边形，故错误，不符合题意； 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意； 故选：． 2．C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种：设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上； ①点在圆内是解题的关键．根据的半径为和点到圆心的距离与圆与点的位置关系即可求解． 【详解】解：的半径为5，， ， 点在圆外． 故选：C． 3．C 【分析】本题主要考查圆周角定理，连接，如图，先根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出的度数． 【详解】解：连接，如图， 是圆的直径， ， ， ． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 根据旋转可得，，得出． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上， ，， ． 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．分两种情况进行讨论：①当圆心O在和之间时，②当圆心O不在和之间时，作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当圆心O不在和之间时，如图1，过点作交于点，交于点， ∵，，，， ， ， ； ②圆心O在和之间时，如图2，过点作于点，交于点， ∵，，，， ， ， ； 综上，弦和之间的距离为7或1， 故选：A． 6．B 【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．设圆心为，作于点，的延长线交圆弧为点，设半径为，根据垂径定理得，，由勾股定理得：，即可求出答案． 【详解】解：如图，设圆心为，作于点，的延长线交圆弧为点，则为优弧的中点，设半径为， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， 故选：B． 7．A 【分析】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，勾股定理，折叠的性质．根据点经过的三等分可求出、的长，延长交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长，根据垂径定理，勾股定理即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ， 为的中点， ，， ，，， ， ， 在中， ， ， ， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的=关系，垂径定理和三角形中位线性质． 作于，作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，再利用圆心角、弧、弦的关系得到，由，根据垂径定理得，可证为△的中位线，然后根据三角形中位线性质得到． 【详解】解：作于，作直径，连接，如图， ， 而， ， ， ， ， ， 而， 为△的中位线， ． 故选：D． 9．C 【详解】连接,,先证,设,则,,在中由勾股定理得,根据垂径定理及推论得,然后在中勾股定理得据此可得出,因此解出即可得的长． 【解答】解:连接,, ∵是的中点,, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, 即, ∴, 故甲的说法正确; 设,则,, 在中,,, 由勾股定理得: , ∵是的中点,点半圆的圆心, ∴, 在中,,, 由勾股定理得:, ∴, 整理得:, ∴（舍去负值）, ∴, 故乙的说法正确． 故选:C 10．D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求一点到圆上点距离的最值，正确作出辅助线是解题的关键．由于可知，点在以为直径的圆上，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小，根据正方形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：于， 点在以为直径的圆上，如图，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小， 正方形的边长为4， ，， ， ， 线段的最小值是， 故选：D 11．/ 【分析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是解题的关键．连接，得到圆心角为，根据弧长公式求解，即可解题． 【详解】解：连接， ， ， ， 故答案为：． 12．或 【分析】此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．首先根据，可得，然后根据三角形的内角和定理，求得，最后根据圆周角定理，求出弦所对的圆周角是多少即可． 【详解】解：， ， ， 弦所对的圆周角的度数是：； 弦所对的优弧的度数为：， 弦所对的圆周角的度数是：； 综上，弦所对的圆周角的度数是或， 故答案为：或． 13．50 【分析】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，连接，过点作交于点，利用垂径定理得出，再利用勾股定理得出，解方程即可得出答案． 【详解】解：如图所示：连接，过点作交于点， ∵， ∴ 设圆的半径为， 在中， ， 即， 解得：， 故答案为：50． 14． 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【详解】解：在直角中，，， ， ∵点A和点B有且只有一个点在内， 故答案为． 【点睛】此题考查点与圆的位置关系，解题关键在于确定点与圆的位置关系． 15． 【分析】过点A作交的延长线于点E，连接，先求出，则，利用等腰直角三角形的性质得到，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：过点A作交的延长线于点E，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 16．21 【分析】连接，，过点作于点，由角平分线定义得，则是等腰直角三角形，得出，再证是等腰直角三角形得，然后由勾股定理求出，得出，最后由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，   为直径， ， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为：21． 【点睛】本题考查了圆周角定理、角平分线定义、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键． 17．或 【分析】 本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 分两种情况讨论，当点在上方时，设与相交于点O，连接，过点A作，交延长的延长线于E，过点A作于，由勾股定理可求，的长，由“”可证，可得，，可求，当点在上方时，同理可求的值． 【详解】解：如图，当点在上方时， 设与相交于点O， 连接，过点A作，交延长的延长线于E，过点A作于， ∵四边形是正方形， ，， 又∵， ， 又，， ， ，， ， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 当点P在的下方时， 同理可求， 故答案为：或． 18． 【分析】连接，根据可得到，再根据三角形的内角和定理求得，然后根据三角形的外角性质得到可得到结论． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧、弦、圆周角的关系、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握弧与圆周角的关系以及三角形的外角性质是解答的关键． 19．2/2个 【分析】①根据等弧所对的圆心角所对得；根据圆的对称性得；故①正确；②根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得，故②错误；③根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得，再根据三角形内角和即可得；故③正确；④作C关于的对称点F，连接交于点N，连接交于点M，此时的值最短，即为长，连接，根据圆周角定理得，，再由三角形内角和得，再由圆周角定理得是的直径，即可得出的最小值，故④正确． 【详解】解：①∵， ∴； 又∵点E是点D关于的对称点， ∴；故①正确； ②∵，故②错误； ③由M为AB上动点，D为定点， ∴不一定垂直于CE；故③错误； ④作C关于的对称点F，连接交于点N，连接交于点M，此时的值最短，即为长，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故正确的个数为2个 故答案为：2． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，轴对称的应用—最短距离问题，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 20． 6 【分析】（1）如图：连接，可证得四边形是菱形，进而得出是等边三角形，推出、、三点共线，再运用勾股定理即可求得即可； （2）如图：连接，延长交于，连接，可以看作是沿方向平移，则点到点的距离始终等于点到点的距离，由点是上的定点，点的轨迹是一个圆，点是由点平移而来，得出点的轨迹也是一个圆，可以看作是向方向平移的长度，即以为圆心，为半径的圆，推出当点在的延长线上时，的值取得最大值，再运用直角三角形性质求解即可． 【详解】解：（1）如图，连接， 点在圆周上，四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， 、、三点共线， ，且为的直径， ， ， 故答案为：； （2）如图，连接，延长交于，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 以，为边作， 可以看作是沿方向平移，则点到点的距离始终等于点到点的距离， 点是上的定点，点的轨迹是一个圆，点是由点平移而来， 点的轨迹也是一个圆，可以看作是向方向平移的长度，即以为圆心，为半径的圆， 当点在的延长线上时，的值取得最大值， 这个点记为点，对应的点记为点，连接， ， ， ， ， 如图：连接， ， ， ， 是直角三角形，且， ，即的最大值为6． 故答案为：6 21．(1)见解析， (2)点D在上，理由见解析 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形性质和垂径定理，找出圆心的位置是解题的关键． （1）由网格得出的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为点；根据图形即可得出点的坐标 （2）用两点间距离公式求出圆的半径和线段的长，然后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】（1）如图，圆心M的坐标为； （2）圆的半径， 线段， 所以点D在上． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据图形旋转的作法，先确定各个点，然后顺次连接即可； （2）利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）由（1）知，点A旋转到点的圆心角为，半径为3， ∴路线长为： 【点睛】题目主要考查图形的旋转及弧长公式的计算，理解题意，作出旋转图形是解题关键． 23．(1) (2)可以顺利通过，见解析 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，利用半弦，半径和弦心距构造直角三角形，根据直角三角形中的勾股定理作为相等关系解方程求线段的长度是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 连接，设， 得： 解得：， ∴ 圆弧形拱桥的半径为； （2）∵， ， ∴，且，   ∴，. 连接，则，    ∴，即：， ∴该货船可以顺利通过． 24．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用，可得，再根据圆内接四边形性质可得，即可得到结论； （2）利用，可得，根据圆周角定理得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到的度数； 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 即： （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握垂径定理是是解决本题的关键． 25．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，得到，再利用角平分线平分角以及三角形外角的性质，得到，即可得证； （2）根据等弧对等弦，得到，证明，得到，再根据等角对等边，得到，即可得到． 【详解】（1）证明：如图 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， 即； （2）证明：∵点A是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，弧，弦，圆心角之间的关系，以及全等三角形的判定和性质．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，以及等弧对等弦，证明三角形全等，是解题的关键． 26．(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）连接、，如图，根据等腰三角形的性质由得，再根据圆周角定理得，，则，然后根据等腰三角形的判定即可得到结论； （2）①根据垂径定理得，，再根据勾股定理得，，，，即可求出圆的半径；②根据勾股定理求出，得，所以弓形的面积为扇形的面积减去三角形的面积即可． 【详解】（1）解：证明：连接、，如图， ， ， ，， ， ， ； （2）①连接，，，作于点，于点， 设圆的半径为，则，，， ，，， ， 解得， 圆的半径为； ②， ， ， ， 弓形的面积为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式等，解答本题需要我们熟练各部分的内容，一定要注意将所学知识贯穿起来，正确作出辅助线． 27．(1)是等腰三角形，证明见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的特征，勾股定理等； （1）由圆的基本性质可证，，从而可证，即可求证； （2）①由直角三角形的特征可求，再由即可求解；②连接，可求，，由勾股定理可求，由即可求解； 掌握相关的定理，扇形面积公式，表示出是解题的关键． 【详解】（1）解：是等腰三角形， 理由：是的直径， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：①， ， ， ， ， ， ； ②如图，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ； ， ． 28．(1)8 (2)5或8 (3)①证明见解析；② 【分析】（1）如图1，连接，由是的直径，弦，可得，勾股定理得，然后求解即可； （2）由题意知，分是直径，则重合；是不为直径的弦，则重合；两种情况求解即可； （3）①如图2，连接，由题意知，垂直平分，证明，则，由，可得，进而结论得证；②如图3，连接，同理①可得，，，由圆内接四边形可得，，进而可得． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵是的直径，弦， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴； （2）解：∵， ∴平分， 由题意知，分是直径，是不为直径的弦两种情况求解： ①当是直径，则重合， ∴； ②当是不为直径的弦，则重合， ∴， ∴的长为5或8； （3）①证明：如图2，连接， 由题意知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：； 如图3，连接， 由题意知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆内接四边形可得，， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．熟练掌握垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补是解题的关键． 29．(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质证明即可解决问题． （2）想办法证明即可解决问题． （3）首先证明，，，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ， ， 点在上； （2）解：连接． 为的直径， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：连接． ， 由（2）知， ， ， ， 等于， ， ， ， 是等边三角形， ， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 30．(1) (2)①5或；②的最小值为 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，再利用勾股定理求解即可； （2）①分当时和当时两种情况，根据等腰直角三角形的判定与性质，结合勾股定理求解即可； ②连接，，取、的中点，连接，，根据三角形的中位线性质和直角三角形的性质求得，，由三角形的三边关系得到，当点B、E、F共线时取等号，进而可求得的最小值． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴，又，， ∴； （2）解：①∵，弦平分， ∴， 当时，如图，连接，则, ∵， ∴， ∴点E和O重合，即为等腰直角三角形，则； 当时，如图， ∵， ∴， 则为等腰直角三角形，且， ∴， ∵，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， 综上，满足题意的的长为5或； ②连接，，分别取、的中点F、H，连接，，如图， 则，，，， ∴，，， ∴， ∵，F为的中点， ∴， ∵，当点B、E、F共线时取等号， ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$