浙江省杭州市2024-2025学年九年级上学期期中数学复习（二次函数章节重难点近三年组题汇编）

浙江省杭州市2024-2025学年度九年级上学期期中数学复习（二次函数章节重难点近三年组题汇编） 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象上有，，，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数，当时，设此函数最大值为10，最小值为，则的值（   ） A．与，的值都有关 B．与无关，但与有关 C．与，的值都无关 D．与有关，但与无关 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）在下列函数图象上任取不同的两点，一定能使的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）点在二次函数的图象上，则的值是（    ） A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）一条抛物线的顶点为，，且与轴有两个交点，其中一个交点是，则对，，描述正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（a为常数，且），下列结论一定正确的是（    ） A．若，则时，y随x的增大而增大 B．若，则时，y随x的增大而减小 C．若，则时，y随x的增大而增大 D．若，则时，y随x的增大而减小 9．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）函数与的图象如图所示，有以下结论：；；当时，；当时，．其中正确的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 二、填空题 11．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）写一个实数 ，使二次函数，当时，随的增大而减小． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为 ． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如表： 0 1 2 3 8 3 0 0 则满足方程的解是 14．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）当时，函数(a为常数，且a小于0)的图象在轴上方，则的取值范围为 ． 15．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，若其图象抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是 ． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知点在抛物线上，当时，总有，当时总有，则的值为 ． 17．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的部分图象如图所示，则方程的解是 18．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为 19．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．则 ；若平移抛物线，使其顶点仍在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值是 ． 20．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）对于一个函数，自变量取时，函数值y也等于，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数． （1）若3是此函数的不动点，则m的值为 ． （2）若此函数有两个相异的不动点，，且，则m的取值范围为 三、解答题 21．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． (1)求，的值； (2)当时，求的最小值； (3)当时，求的取值范围． 22．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数，是常数，，部分对应值如下表： 0 1 2 5 0 (1)求该函数解析式； (2)求的解． 23．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为，面积为． (1)　　（用含的代数式表示）． (2)求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)饲养室长为何值时，占地面积最大？并求出的最大值． 24．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）今年双十一期间，某淘宝店铺《水浒传》一书的销售日益火爆，进价40元，规定销售单件不低于44元，且不高于52元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销量减少10本．现商家决定提价销售，设每天销售量为本，销售单价为元． (1)当售价定为50元时，求此时每天的销量和每本书的利润？ (2)请你求出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (3)当《水浒传》的销售单价定为多少元时，商家每天销售《水浒传》获得的利润最大？最大利润是多少元？ 25．（21-22九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，与轴交于点、（点在点左侧）． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求，两点的坐标，并根据图像直接写出当时，自变量的取值范围． 26．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数，，是实数）． (1)若函数经过点的图象经过点，求证：函数的图象经过点． (2)设函数和函数的最值分别为和，若且函数的图象和两点，求的值． 27．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数，其中是常数，且． (1)当时，试判断点是否在该函数图象上． (2)若函数的图象经过点，求该函数的表达式． (3)当时，随的增大而减小，求的取值范围． 28．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数． (1)若图象过点，求抛物线顶点坐标； (2)若图象与坐标轴只有两个交点，求的值； (3)若函数图象上有两个不同的点，且，求证：． 29．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，其中． (1)若二次函数的图象经过，求二次函数表达式； (2)若该二次函数图象开口向下，当时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为5，求点M和点N的坐标； (3)在二次函数图象上任取两点，当时，总有，求a的取值范围． 30．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）在直角坐标系中，设函数（m，n是实数）． (1)当时，若该函数的图象经过点，求函数的表达式． (2)若，且当时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． (3)若该函数的图象经过，两点（a，b是实数）．当时，求证： 参考答案： 1．B 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减，上加下减”的规律求解，即可解题． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质．根据二次函数图象开口向下可得离对称轴越近的点值越大，进而求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，且对称轴为直线， ， ， 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数的最大值与最小值即可得到结论． 【详解】解：二次函数， 该抛物线的对称轴为直线，且， 当时，即， 当时，二次函数有最大值为：，即， ． 当时，二次函数有最小值为：，即，与有关但与无关． 当， 当时，二次函数有最大值为：． ． 当时，二次函数有最小值为：，即，与有关但与无关． 当时，即， 当时，二次函数取最小值为． 此时①若，即， 当时，二次函数的最大值为， ． ，与有关但与无关． ②若，即， 当时，二次函数的最大值为，即． ． ，与有关但与无关． 故选：D． 4．C 【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可． 【详解】解：A、中，，则当时，y随x的增大而增大， 即当时，必有， 此时，故本选项不成立； B、∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时y随x的增大而增大， ∴当时，当时，必有， 此时，故本选项不成立； C、∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，当时，必有， 此时，故本选项成立； D、∵中，， ∴y随x的增大而增大，即当时，必有， 此时，故本选项不成立． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，掌握各类函数的增减性是关键． 5．B 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关键． 根据所给函数解析式可得出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题知， 抛物线的对称轴是直线， 又， 则所给的两个点是关于直线对称的， 所以它们的纵坐标相等， 即． 所以． 故选：B． 6．D 【分析】根据图象，写出函数图象在轴上方部分的的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便． 【详解】解：由图可知，或时，． ∴则函数值时，的取值范围是或， 故选：D． 7．C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活二次函数的性质是关键． 依据题意，由抛物线的顶点为，可得，即，故，又抛物线过，则，进而可得，结合，最后可以判断，，的符号． 【详解】解：由题意，抛物线的顶点为， ，即． ． 又抛物线过， ， ． ． ， ． ，． ． 故选：C． 8．C 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，求出对称轴再结合a的符号判断范围是解题关键． 令，求出x进而求出对称轴，再根据a的符号判断即可． 【详解】 解：，解得或a， 对称轴为直线， A． 若，当时，时，y随x的增大而减小；时， 时，有y随x的增大而减小的情况，故此选项错误； B． 若，只有当时，则时，y随x的增大而增大成立，故此选项错误； C． 若，开口向下， ，图象完全在对称轴的左侧，则时，y随x的增大而增大，故此选项正确； D． 若，则时，y随x的增大而增大，故此选项错误； 故选：C． 9．A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与系数的关系，根据所给函数图象，利用数形结合的思想即可解决问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由所给函数图象可知， ∵抛物线与轴没有公共点， ∴， 即，故错误； ∵点在抛物线上， ∴，即，故正确； 根据函数图象可知，当或时，二次函数的图象在正比例函数图象的上方， 即，故错误； 当时， 即有时，函数有最大值，时，函数有最小值， 显然此时的函数值比小，故错误， 综上可知：正确的为，有个， 故选：． 10．C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与轴的交点，此类题目，要注意利用好特殊自变量的函数值的应用．①利用抛物线与轴有2个交点可进行判断；②根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④利用时，可进行判断；⑤根据抛物线与轴的交点即可判断． 【详解】解：①抛物线与轴有2个交点， ，所以①正确； ②图象开口向下，得， 对称轴， ， 图象与轴的交点在轴的上方，得， ，故②正确； ③抛物线的对称轴为直线， ， ，所以③正确； ④抛物线对称轴为直线，图象与轴的一个交点为， 图象与轴的另一个交点为， 当时，， ，故④错误； ⑤二次函数的图象过，， 方程的解是，，故⑤正确． 故选：C 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，进而求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， ， 解得， 故答案为：（答案不唯一）． 12． 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移法则解答即可． 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 则将此抛物线向右平移2个单位所得抛物线的表达式为， 再向上平移1个单位后所得抛物线的表达式为． 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，通过表格数据求出然后代入方程即可求解． 【详解】解：由表格可知抛物线经过， 抛物线解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 移项可得： 因式分解可得： 解得：． 14． 【分析】本题考查二次函数的图形和性质，解题的关键是能够求出时y的最小值．先求出二次函数图象的对称轴，再先求出y的最小值，令最小值大于0即可求解． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为：． ∵， ∴抛物线开口向下， 又，， 时，y取最小值，最小值为：， 图象在轴上方， ， 解得， ； 故答案为：． 15． 【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，再根据平移确定出新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标，然后根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，根据顶点坐标写出解析式即可． 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化解答抛物线的变化，准确找出新坐标系中顶点的坐标是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位， ∴新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为， ∴新坐标系下抛物线的解析式是． 故答案为． 16． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，依解析式可知顶点坐标，根据当时，总有，可知，由增减性可列不等式组，解出即可． 【详解】解：抛物线， 抛物线的顶点为， 当时，总有， 不可能大于0， 则， 时，随的增大而增大，时，随的增大而减小， 当时，总有，当时，总有，且与对称， 时，，时，， 当或7时，， ， ． 故答案为：． 17．， 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键是掌握抛物线与轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解．图象法求一元二次方程的解即可． 【详解】解：根据图像可知，二次函数解析式对称轴为， 故可得函数与轴交于， 故方程的解是，， 故答案为：，． 18．/8米 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可． 【详解】解：由题意可知，将代入， ， 解得（舍去）或， 故答案为：． 19． 1 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点在直线上；因为直线经过、和点，所以经过点的抛物线不同时经过、点，即可判断抛物线只能经过、两点，根据待定系数法即可求得、；设平移后的抛物线为，其顶点坐标为，，根据题意得出，由抛物线与轴交点的纵坐标为，即可得出，从而得出的最大值． 【详解】解：直线经过点， ，解得， 直线为， 把代入得， 点在直线上； 直线经过点，直线与抛物线都经过点，∴点，，在直线上， ∵直线与抛物线不可能有三个交点， ，两点的横坐标相同， 抛物线只能经过、两点， 把，代入，得 ． 解得，． ． 抛物线的解析式为， 设平移后的抛物线的解析式为，其顶点坐标为，， 顶点仍在直线上， ， ， 抛物线与轴的交点的纵坐标为， ， 当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为． 故答案为：1；． 20． 【分析】本题考查一元二次方程与二次函数结合． （1）根据不动点定义当，代入解一元一次方程即可得到答案； （2）根据不动点定义列方程解出一元二次方程的解，结合及判别式大于0即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 当，，代入可得， ， 解得：； 设函数不动点为n，由题意可得， ，且有两个解，， 解得：，， 且，解得：， ∵， ∴，， 解得：， 故答案为：； 21．(1) (2)有最小值 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数的图象和性质，解题的关键是待定系数法求出二次函数解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质，结合得到当时，取得最小值； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ， 解得； （2）由（1）知，， ，， 当时，有最小值； （3）如图， 当时，，解得或， 当时，，解得或， ∴时，的取值范围为或． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，解题关键是熟练掌握待定系数法和二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求得； （3）根据二次函数的性质即可求得． 【详解】（1）解：函数图象经过，， ， 解得， 该函数解析式为； （2）解：， 抛物线开口向上， 经过点，， 当时，， 故的解为． 23．(1) (2) (3)当时，最大，最大值 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）依据题意，由，从而，进而可以得解； （2）由（1）根据长方形的面积即可写出函数关系式，同时求出自变量取值范围； （3）根据（2）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积． 【详解】（1）解：由题意，， ． 故答案为：． （2）根据题意，得 ， ， ． 答：与的函数关系式为，值的取值范围是． （3）由题意，． ， 对称轴，开口向下， 当时，最大，最大值． 答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米． 24．(1)每天的销量为240本，每本书的利润为10元； (2)（）； (3)当《水浒传》的销售单价定为52元时，商家每天销售《水浒传》获得的利润最大，最大利润是2640元． 【分析】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）根据销售单价每上涨1元，每天销量减少10本，当售价定为50元时，在44元销售300本的基础上减少了60本，从而可得销量；用可得每本的利润； （2）根据销售量可得函数解析式，再根据销售单件不低于44元，且不高于52元，求出的取值范围； （3）根据每天的利润每本书的利润销售量，列出函数解析式，再由函数的性质和自变量的取值范围求函数最值． 【详解】（1）解：根据题意，当售价定为50元时， 每天的销量为：（本， 每本书的利润为：（元， 当售价定为50元时，每天的销量为240本，每本书的利润为10元； （2）解：根据题意得：， 与之间的函数关系式为； 销售单件不低于44元，且不高于52元， 自变量的取值范围为； （3）由题意得： ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为2640， 当《水浒传》的销售单价定为52元时，商家每天销售《水浒传》获得的利润最大，最大利润是2640元． 25．(1)，顶点坐标为 (2)；， 【分析】 （1）将点的坐标代入二次函数，求出，则可求出抛物线的解析式，由解析式可求出顶点坐标； （2）令，求出或，则可求出，两点的坐标，由图像可求出自变量的取值范围． 【详解】（1） 解：将代入得， ， 二次函数的解析式为， ， 顶点坐标为； （2） 解：令得， 解得，， ，， 当时，自变量的取值范围是． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点，解题的关键是确定函数图像与轴的交点． 26．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识点，掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）函数的图象经过点，可得，推出，把代入得，，即可证明结论； （2）依据题意，可得，，由，即可求得，得到，根据函数的图象经过点和两点的纵坐标相同，得到，从而得到，把点代入即可求得的值即可． 【详解】（1）证明：函数的图象经过点， ， ， 把代入得，， 函数的图象经过点； （2）解：由题意得，，， 又， ． ． ． 又函数的图象经过点和，且两点的纵坐标相同， ． ， ． 27．(1)点在该函数图象上 (2)或 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及待定系数法求函数解析式，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将的值代入，得出二次函数解析式，再将点的坐标代入验证即可． （2）用待定系数法即可解决问题． （3）利用分类讨论的思想即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式得，． 将代入二次函数解析式得，， 所以点在该函数图象上． （2）解：因为函数的图象经过点， 所以， 解得或， 当时， 该函数的表达式为； 当时， 该函数的表达式为； 所以该函数的表达式为：或． （3）解：由题知，二次函数的表达式可化为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 又因为当时，随的增大而减小， 则当时， ， 解得或， 所以． 当时， ， 解得或， 所以． 综上所述：的取值范围是或． 28．(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）把代入求出a值，从而得到解析式，再把解析式化成顶点式即可得出答案； （2）根据图象与坐标轴有两个交点，则图象与x轴只有一个交点，所以，求解即可； （3）把分别代入得，，则，再根据，所以，根据二次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：把代入得 ， 解得：， ∴， ∴抛物线顶点坐标为； （2）解：∵图象与坐标轴有两个交点， ∴与x轴只有一个交点， ∴， 解得：； （3）证明：把分别代入得 ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，有最小值为， 但是，∵，不同的点， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标交点问题，抛物线的性质，抛物线与一元二次方程关系，熟练掌握抛物线与一元二次方程关系是解题的关键． 29．(1) (2) (3)当时；当时， 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键． （1）把点的坐标代入函数解析式中求出m即可； （2）根据抛物线开口向下得m＜0，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出M点和N点的坐标； （3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论a的取值范围． 【详解】（1）解：把代入函数解析式得，， ∴， ∴函数解析式为：； （2）∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵， ∴抛物线对称轴为直线，顶点为，即最高点， ∵点M的纵坐标为5， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴最低点N的横坐标为2，此时， ∴； （3）①当时， 则有当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∵当时，总有， 此时， ∴， ②当时， 则有当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ∵当时，总有， 此时， 综上，当时；当时，． 30．(1) (2) (3)见详解 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）求得抛物线与的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可得出，即可求解； （3）把，两点代入，表示出和，然后将配方可得． 【详解】（1）解：当时，则， 把点代入得，， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴抛物线与轴的交点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴对称轴为直线， ∵抛物线开口向上且当时，随的增大而减小， ∴， ∴； （3）证明：∵函数的图象经过，两点（是实数）， ∴，， ∴ ， ∵， ∴，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$