精品解析：上海市宝山中学2024-2025学年 九年级上学期期中数学模拟试卷

2024学年第一学期期中检测 九年级数学试卷 （考试时间：100分钟 满分150分） 考生注意：请将所有答案写在答题卡上，写在试卷上不计分 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在中，，、、所对的边分别为，下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 长度为1的向量叫做单位向量 B. 如果，且，那么的方向与的方向相同 C. 如果是一个单位向量，是非零向量， D. 如果，其中是非零向量，那么 5. 已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如下表：当时，自变量的取值范围是（ ） … 0 2 4 5 … … 0 1 3 5 6 … … 0 －1 0 5 9 … A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，在中于点于点为边的中点，联结、、以下是甲、乙两位同学得到的研究结果： （甲）当为中点时，为等边三角形； （乙）为等边三角形． 对于甲、乙两位同学的结论，下列判断正确的是（ ） A. 甲正确乙错误 B. 甲错误乙正确 C. 甲、乙皆正确 D. 甲、乙皆错误 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 8. 如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应中线的比为__________． 9. 在锐角中，锐角A的正切值是，如果将这个三角形三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的余弦值是__________． 10. 如图，，它们依次交直线于点和点．如果，那么的值是__________． 11. 已知斜坡的坡比，则坡角＝________． 12. 如果抛物线在对称轴的左侧，的值随的增大而增大，那么的取值范围是__________． 13. 如图，点分别在边上，且．若的面积是，那么的面积是__________． 14. 如果抛物线向右平移一个单位后，顶点落在抛物线上，那么的值等于__________． 15. 如图，中，点D、点E分别是的中点，与交于点O．若，那么的值是______． 16. 如图，在边长为1的正方形网格中，四边形的顶点都在小正方形顶点的位置上，我们称这样的四边形叫做“格点四边形”．连接相交于点，那么的面积等于__________． 17. 梯形中，相交于点，过点作，交于点．若是直角三角形，那么__________． 18. 如图，中，．把绕点逆时针旋转（旋转角小于）点的对应点分别是，射线与交于点，若，则__________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 20. 如图，在梯形中，是的中点，且与交于点． （1）若，请用来表示； （2）在原图中直接在图中作出在方向上的分向量（不要求写作法，但要写出所作图中表示结论的向量）． 21. 如图，已知在梯形中，，对角线相交于点，． （1）求的值； （2）求的正切值． 22. 如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为11.2米，灯柱与灯杆的夹角为，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为14.7米，从、两处测得路灯的仰角分别为和，且，求灯杆的长度． 23. 如图，中，是斜边上的中点，是边上的点，与交于点，且． （1）求证：； （2）连接，如果点E是中点，求证：． 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．连接交对称轴于点E，点D为抛物线的顶点． （1）连接，若 ①求抛物线解析式； ②线段上一点F，，连接，求． （2）平移抛物线，使新抛物线顶点在射线上，新抛物线与y轴交于点．若平分，且，求新抛物线解析． 25. 中，，分别在上，，连接，作交于M，交于N，交于O． （1）如图1，． ①求的正弦值； ②若，求； （2）如图2，， ，连接，若四边形为梯形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期中检测 九年级数学试卷 （考试时间：100分钟 满分150分） 考生注意：请将所有答案写在答题卡上，写在试卷上不计分 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在中，，、、所对的边分别为，下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数；根据锐角三角函数，确定中各角的三角函数值，进行判断即可． 【详解】解：如图所示， A、由，可得，本选项不符合题意； B、由，可得，本选项不符合题意； C、由，可得，本选项符合题意； D、由，可得，本选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．据黄金分割的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，     ∵是线段的黄金分割点，且， ∴， A、，故该选项正确，不符合题意；        B、 ，故该选项不正确，符合题意；        C、 ，故该选项正确，不符合题意；        D、 ，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 3. 在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：当时，，A选项正确，符合题意； 当时，不能判定，B、C选项错误，不符合题意； 当时，不能判定，D选项错误，不符合题意． 故选：A． 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 长度为1的向量叫做单位向量 B. 如果，且，那么的方向与的方向相同 C. 如果是一个单位向量，是非零向量， D. 如果，其中是非零向量，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，根据平面向量的有关概念进行判断，熟练掌握平面向量的有关概念是解题的关键． 【详解】解：A、长度为1的向量叫做单位向量，说法正确，故选项不符合题意； B、如果且那么的方向与的方向相同，说法正确，故选项不符合题意； C、如果是一个单位向量，且与非零向量同方向，那么，原说法错误，故选项符合题意； D、如果，其中是非零向量，那么，说法正确，故选项不符合题意； 故选：C． 5. 已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如下表：当时，自变量的取值范围是（ ） … 0 2 4 5 … … 0 1 3 5 6 … … 0 －1 0 5 9 … A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题关键在利用表中数据得到直线与抛物线的交点为和，或时，，从而得到当时，自变量x的取值范围． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴直线与抛物线的交点为和， 而或时，， ∴当时，自变量x的取值范围是或． 故选：C． 6. 如图，在中于点于点为边的中点，联结、、以下是甲、乙两位同学得到的研究结果： （甲）当为中点时，为等边三角形； （乙）为等边三角形． 对于甲、乙两位同学的结论，下列判断正确的是（ ） A. 甲正确乙错误 B. 甲错误乙正确 C. 甲、乙皆正确 D. 甲、乙皆错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，若当为中点，可得垂直平分，推出，即可判定甲；由题意得，，可推出，，据此即可判断乙； 【详解】解：若当为中点， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形，故甲正确； ∵，，为边的中点， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 故选：C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据比例中项的定义，若是，的比例中项，即．即可求解．本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负． 【详解】解：若是、的比例中项， 即． ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 8. 如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应中线的比为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据“两个相似三角形的相似比等于它们的周长比，也等于它们的中线比，”进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应边上的中线之比为， 故答案为：． 9. 在锐角中，锐角A的正切值是，如果将这个三角形三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的余弦值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，余弦的定义，勾股定理，解题的关键是掌握在直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．由于锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，根据余弦的定义得到锐角的余弦函数值也不变． 【详解】解：根据题意画出示意图，如图所示，过点C作于点D， ∵是锐角三角形，且， ∴， 设， 在中，， ∴ ∵将这个三角形三边的长都扩大为原来的2倍，得到锐角A的大小没改变，根据余弦的定义得到锐角的余弦函数值也不变， ∴ 故答案为：． 10. 如图，，它们依次交直线于点和点．如果，那么的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理求解即可，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 已知斜坡的坡比，则坡角＝________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答． 【详解】解：∵斜坡的坡角为α，则有， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查锐角三角函数值的应用，正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键 ． 12. 如果抛物线在对称轴的左侧，的值随的增大而增大，那么的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则可得，计算即可得到a的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴左侧，的值随的增大而增大， 抛物线开口向下， ， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，点分别在边上，且．若的面积是，那么的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的判定等知识，先得到从而证明，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 14. 如果抛物线向右平移一个单位后，顶点落在抛物线上，那么的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，先根据平移的规律：“左加右减，上加下减”求出平移后的抛物线的解析式，然后求出顶点坐标代入即可求得a的值． 【详解】解：∵将抛物线向右平移一个单位后得到， ∴顶点坐标为， ∵抛物线的顶点落在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，中，点D、点E分别是的中点，与交于点O．若，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，也考查了平行线的性质．解题的关键是证明三角形相似． 连接，根据、分别是的中点，可得，从而得到，进而得到，由，证明，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 分别是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在边长为1的正方形网格中，四边形的顶点都在小正方形顶点的位置上，我们称这样的四边形叫做“格点四边形”．连接相交于点，那么的面积等于__________． 【答案】1.5 【解析】 【分析】此题考查了网格中求三角形的面积，用到相似三角形的性质及判定，中线平分三角形的面积，利用网格的特点进行解答即可． 取格点E，连接，证明，进而可得是的中线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，连接， 可知， ， ， ， 是的中线， ， 故答案为：1.5． 17. 梯形中，相交于点，过点作，交于点．若是直角三角形，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，作于，求出，进一步得到，，再判断为直角三角形只有，根据求出的长，证明即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：作于，如图： ∴， ∵， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴为直角三角形只有， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 18. 如图，中，．把绕点逆时针旋转（旋转角小于）点的对应点分别是，射线与交于点，若，则__________． 【答案】2.8 【解析】 【分析】利用勾股定理求得，利用旋转的性质得到，推出 ，结合平行线性质推出，得到，得到四边形是平行四边形，得到；推导，证明，得到，得到，根据，可得，即可求出． 【详解】∵中，， ∴． 由旋转知，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：2.8． 【点睛】本题主要考查了直角三角形旋转．熟练掌握用勾股定理求边长，旋转的性质，平行四边形判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数的混合运算，二次根式的混合运算．将特殊角的三角函数值正确代入后，利用二次根式的性质化简运算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，在梯形中，是的中点，且与交于点． （1）若，请用来表示； （2）在原图中直接在图中作出在方向上的分向量（不要求写作法，但要写出所作图中表示结论的向量）． 【答案】（1）， （2） 过点作交于点，，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型． （1）利用平行向量的性质，以及三角形法则求解即可； （2）利用平行四边形法则画出图形即可． 【小问1详解】 解：，， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：略． 21. 如图，已知在梯形中，，对角线相交于点，． （1）求的值； （2）求的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点D作于点H，易证四边形是矩形，得到，由，易得是等腰三角形，进而求出，根据，证明，利用相似三角形的性质即可解决问题； （2）过点作垂线，交延长线于点，利用勾股定理求出，借助于面积法求出垂线段的长，再利用勾股定理求出，求出，即可解决问题． 【小问1详解】 解：过点D作于点H， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， 在中，． 过点作垂线，交延长线于点， 在中，． ， ， 在中，， ， 在中， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 22. 如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为11.2米，灯柱与灯杆的夹角为，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为14.7米，从、两处测得路灯的仰角分别为和，且，求灯杆的长度． 【答案】灯杆的长度为2.8米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形−仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则．设知、，由求得，据此知，再求得可得． 【详解】解：过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则， 由题意得． 设． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 答：灯杆的长度为2.8米． 23. 如图，中，是斜边上的中点，是边上的点，与交于点，且． （1）求证：； （2）连接，如果点E是中点，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵ ∴， ∴． ∵点D是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴； （2） 证明：如图， ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，直角三角形的性质． （1）先根据题意得出，再由直角三角形的性质得出，由可得出，进而可得出； （2）根据可得出，故可得出，再由点E是的中点可知，故，根据得出，进而可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．连接交对称轴于点E，点D为抛物线的顶点． （1）连接，若 ①求抛物线解析式； ②线段上一点F，，连接，求． （2）平移抛物线，使新抛物线顶点在射线上，新抛物线与y轴交于点．若平分，且，求新抛物线解析． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①求出点，再得到，利用待定系数法即可求解； ②先求出点，，再求得的长，证明，得到，过点作于点，作直线于点，求得 ，，即可求解； （2）先得到为中点，则，设，求得，，则新抛物线解析式为：，令，则，求得，因为，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：①令，则， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴点， 把点代入中，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为：； ②令，则， 解得：，， ∵点，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴，对称轴为直线， 如上图，作垂直于直线于点， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图： ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴为中点， ∵， ∴， 设， ∴，， ∴，， ∴新抛物线解析式为：， 令，则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴新抛物线解析式为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，函数的平移，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． 25. 中，，分别在上，，连接，作交于M，交于N，交于O． （1）如图1，． ①求的正弦值； ②若，求； （2）如图2，， ，连接，若四边形为梯形，请直接写出的长． 【答案】（1）①；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①分别过作的垂线，垂足为，首先根据三角形相似的判定得出，再得出，根据平行线的性质得四边形为矩形，结合题意得出，，根据全等三角形的判定得出，得出，再由勾股定理得出，最后由正弦函数的定义即可求得结果； ②过点作的垂线，垂足为点，设，得出，证出，得出，再由锐角三角函数的定义和勾股定理可得，，最后由勾股定理列方程求出，即可得出的值； （2）过于，证明为等腰直角三角形，根据相似三角形的性质和勾股定理证明，过点分别作的垂线于，得出，再过作交延长线于，求出的值． 【小问1详解】 解：①分别过作的垂线，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在四边形中，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ≌， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ②过点作的垂线，垂足为点， ， 设， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得， 当时，，舍去， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过于， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； ， ， 为等腰直角三角形， ； ， ； 设， 则， ； 在中，有， ， 解得， 其中，不符合题意，舍去， ， 当时，有， ； 设，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ； 过点分别作的垂线于， ， ， ； 设， ； 在中，有， ， ， ； ，， ， ； 设， 又为等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ； 过作交延长线于， 为等腰直角三角形， ， ， ， ； 当时, ， 又， 为等腰直角三角形， 则由以上可知，，， ； 综上可知或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，平行四边形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角函数，添加合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $