精品解析：2024-2025学年北师大版数学九年级上册期中复习试卷（第1章～第3章）

2024-2025学年北师大版数学九年级上册期中复习试卷（第1章~第3章） 一、单选题 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天会下雨 B. 在一个只装有黑球的箱子里摸到白球 C. 圆内最长的弦是直径 D. 掷一枚硬币，正面朝上 2. 用配方法解方程时，原方程可变形为( ) A. B. C. D. 3. 如图，将沿翻折得到，连接，则下列结论错误的是（ ） A. 如果，那么四边形是菱形 B. 如果，那么四边形是菱形 C. 如果，那么四边形是矩形 D. 如果，那么四边形是正方形 4. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 5. 在一个不透明的盒子中装有个黑、白两种颜色的球，小明又放入了个红球，这些球大小都相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值大约为（ ） A B. C. D. 6. 已知：如图， O是矩形对角线的交点，平分，，（　　） A B. C. D. 7. 原价为元的某商品经过两次降价后，现售价元，如果每次降价的百分比都为，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 根据下列表格对应值： 由此可判断方程必有一个解满足(　　) A. B. C. D. 9. 如图，P是矩形的边上一个动点，矩形的两条边的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线和的距离之和是（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为边上的动点（不与端点重合），连接分别交对角线于点P，Q． 点E，F在运动过程中，始终保持，连接． 下列结论：①；的周长为4；③；④若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题 11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=5，AC=12，则AB边上的中线长为_________． 12. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，E为边中点，菱形的周长为28，则的长等于______． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________． 14. 有三张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字．把这三张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为a；不放回，在剩余的卡片中再随机抽取一张，记下数字为b，则方程有解的概率是___________． 15. 设，是的两个实数根，则的值是__________． 16. 如图是一张长、宽的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒，则的值为__________． 17. 如图，已知四边形是正方形，对角线、相交于，设、分别是、上的点，若，，则四边形的面积是___________． 18. 如图，在菱形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点G，E是对角线BD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60得到CF，连接EF，FG，在点E运动过程中，线段FG长度的最小值是___________． 三、解答题 19 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 20. 某班举行冬奥会有奖问答活动，筹备组印制了5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同，如图所示： 问答活动中，答对的同学可以随机抽取卡片作为奖品． （1）问答活动中，小明答对一题，可从5张卡片中任意抽取1张作为奖品，则恰好抽到“滑冰”项目的概率是______； （2）问答活动中，若答对两题，可从5张卡片中任意抽取2张作为奖品（抽取第1张后不放回再抽取第2张），请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2张都是“滑雪”项目的概率． 21. 某超市销售一种进价为每千克12元的水果.调查发现：当每千克售价为28元时，每天可售出160千克；若每千克降低1元，每天的销售量将增加40千克.超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，这种水果的销售价应为每千克多少元？ 22. 如图，在矩形中，的垂直平分线分别交，，于，，点，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求． 23. 已知关于的方程． 求证：不论为任何实数，此方程总有实数根； 若方程有两个不同的整数根，且为正整数，求的值． 24. 阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现，如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么由求根公式可以推出，；已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数满足：，，且，则______，______； （2）间接应用：在（1）条件下，求的值； （3）拓展应用：已知实数m，n满足： ，且 ，求的值． 25. 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形是边长为3的正方形，点是射线（除、外）的动点．，且交正方形外角的角平分线于点，请问“”是否成立？ 先考虑特殊情况，当是的中点时，经过思考，小明展示了一种正确解题思路：取的中点，连接，则，易证，所以．（无需证明） 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小亮提出：如图2，如果把“点是边的中点”改为“点是边上（除、外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小亮的观点正确吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由； （2）小颖提出：如图3，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （3）老师提出：连接交直线于点，连接，试探究线段、、之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论（无需证明）．当时，此时的面积为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学九年级上册期中复习试卷（第1章~第3章） 一、单选题 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天会下雨 B. 在一个只装有黑球的箱子里摸到白球 C. 圆内最长的弦是直径 D. 掷一枚硬币，正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】利用必然事件的定义依次进行判断即可． 【详解】解：A、∵明天会下雨是可能会发生也可能不会发生的， ∴不是必然事件，故该选项不符合题意； B、∵在一个只装有黑球的箱子里摸到白球是不可能事件， ∴该选项不符合题意； C、圆内最长的弦是直径，是必然事件，故该选项符合题意； D、掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上， ∴不是必然事件，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了必然事件的定义，我们把一定会发生的事件称为必然事件，解题关键是理解句子的含义，掌握必然事件、随机事件、不可能事件等概念． 2. 用配方法解方程时，原方程可变形为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法，先把变号后移到等号右边，再给方程两边同时加上，最后把方程写成的形式即可，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3. 如图，将沿翻折得到，连接，则下列结论错误的是（ ） A. 如果，那么四边形是菱形 B. 如果，那么四边形是菱形 C. 如果，那么四边形是矩形 D. 如果，那么四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、菱形的判定定理、正方形的判定定理、矩形的判定定理，由折叠的性质得出，，，再根据菱形的判定定理、正方形的判定定理、矩形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，， A、如果，则，那么四边形是菱形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴，则，那么四边形菱形，故此选项不符合题意； C、如果，不能推出四边形是矩形，故此选项符合题意； D、如果，则，那么四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”，将代入可得答案． 【详解】解：将代入，得：， ． 故选C． 5. 在一个不透明的盒子中装有个黑、白两种颜色的球，小明又放入了个红球，这些球大小都相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得摸到红球的概率为，据此利用概率计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右， ∴摸到红球的概率为， ∴， 解得， 检验，当时，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键． 6. 已知：如图， O是矩形对角线的交点，平分，，（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得：，又由平分，，即可求得是等边三角形，是等腰三角形，是等腰三角形，求得的度数，则问题得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 7. 原价为元的某商品经过两次降价后，现售价元，如果每次降价的百分比都为，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设平均每次降价的百分数为x%， 依题意，得两次降价后的售价为， 故选B． 8. 根据下列表格的对应值： 由此可判断方程必有一个解满足(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表中的数据可得时，，当时，，可判断当时，，即可求解． 【详解】解：根据表中的数据可得时，，当时， ∴时， 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的近似值，熟悉二次函数的图像是解题的关键. 9. 如图，P是矩形的边上一个动点，矩形的两条边的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线和的距离之和是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得AC=BD=5，△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF求得答案． 【详解】解：如图所示，连接OP， ∵矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4， ∴S矩形ABCD=AB•BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD==5， ∴OA=OD=， ∴S△ACD=S矩形ABCD=6， ∴S△AOD=S△ACD=3， ∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=××PE+××PF=（PE+PF）=3， 解得：PE+PF=． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 10. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为边上的动点（不与端点重合），连接分别交对角线于点P，Q． 点E，F在运动过程中，始终保持，连接． 下列结论：①；的周长为4；③；④若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． ①正确．证明，可得结论； ②正确．全等于，全等于，所以 ，，所以三角形的周长等于， ③错误．可以证明； ④正确．求出，，根据，可得结论． 【详解】解：如图，∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确， ∵全等于，全等于， ∴，， ∴三角形的周长等于， 故②正确， 将绕点B顺时针旋转90°得到，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误， 连接，， ∵，， ∴， ∴的最小值为，故④正确， 故选：B． 二、填空题 11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=5，AC=12，则AB边上的中线长为_________． 【答案】6.5 【解析】 【分析】先利用勾股定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得． 【详解】解：在中，， ， 则边上的中线长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． 12. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，E为边中点，菱形的周长为28，则的长等于______． 【答案】3.5 【解析】 【分析】根据菱形性质得出，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵E为边中点， ∴． 故答案为：3.5 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题关键是熟练掌握菱形的性质和直角三角形的性质． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】关于的一元二次方程有实数根 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；反之，亦成立． 14. 有三张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字．把这三张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为a；不放回，在剩余的卡片中再随机抽取一张，记下数字为b，则方程有解的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据列表法列出所有可能，根据一元二次方程有解的情况数，根据概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有9种等可能结果，其中的结果有3中， ∴方程有解的概率是 故答案为： 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 15. 设，是的两个实数根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，．利用整体代入法是本题的关键． 【详解】解：∵，是的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 如图是一张长、宽的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形纸板的长、宽，结合剪去正方形的边长可得出无盖纸盒的长、宽，根据矩形的面积公式结合无盖长方体纸盒的底面积为180cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的结果，即可得出结论． 【详解】解：∵纸板是长为20cm，宽为12cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形， ∴无盖纸盒的长为（20-2x）cm，宽为（12-2x）cm； 依题意，得：（20-2x）（12-2x）=180， 整理，得： x2-16x+15=0， 解得：x1=1，x2=15（不合题意，舍去）． 答：x的值为1． 故答案为1. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17. 如图，已知四边形是正方形，对角线、相交于，设、分别是、上的点，若，，则四边形的面积是___________． 【答案】8 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键．由正方形的性质得，，且，，则，，而，则，再证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，则，所以． 【详解】解：四边形是正方形，对角线、相交于， ，，且，， ，， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形的面积是8． 故答案：8 18. 如图，在菱形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点G，E是对角线BD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60得到CF，连接EF，FG，在点E运动过程中，线段FG长度的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，过作于，证明出，由性质得，即知线段长度最小即是线段长度最小，此时运动到，最小值即是的长度，根据是的中位线，即可得答案． 【详解】解：取的中点，连接，过作于，如图： 菱形中，， 是等边三角形， ，， ， 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 线段长度最小即是线段长度最小， 当运动到时，最小，即是最小，最小值即是的长度， 是中点，，而， 是的中位线， ， 最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形中的旋转问题、等边三角形、中位线，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 三、解答题 19. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用直接开方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，； 【小问3详解】 解： ，， ∴，； 【小问4详解】 解： ∴，． 20. 某班举行冬奥会有奖问答活动，筹备组印制了5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同，如图所示： 问答活动中，答对的同学可以随机抽取卡片作为奖品． （1）问答活动中，小明答对一题，可从5张卡片中任意抽取1张作为奖品，则恰好抽到“滑冰”项目的概率是______； （2）问答活动中，若答对两题，可从5张卡片中任意抽取2张作为奖品（抽取第1张后不放回再抽取第2张），请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2张都是“滑雪”项目的概率． 【答案】（1） （2）恰好抽到2张都是“滑雪”项目的概率是 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果数，找出抽到的卡片均是冰上项目图案的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得： 从5张卡片中任意抽取1张作为奖品，则恰好抽到“滑冰”项目的概率是； 故答案为； 【小问2详解】 解：假设越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台分别用字母A、B、C、D、E，则画树状图如下： 由图可知：共20种等可能的结果，其中恰好抽到2张都是“滑雪”项目的有6种， 则恰好抽到2张都是“滑雪”项目的概率是． 【点睛】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 21. 某超市销售一种进价为每千克12元的水果.调查发现：当每千克售价为28元时，每天可售出160千克；若每千克降低1元，每天的销售量将增加40千克.超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，这种水果的销售价应为每千克多少元？ 【答案】19元 【解析】 【分析】设这种水果的售价每千克x元，根据超市每天要获得销售利润3640元列出方程进行求解即可 【详解】解：设这种水果的售价为每千克x元， 根据题意，得， 解得， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴（元） 答：这种水果的销售价为每千克19元. 【点睛】本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 如图，在矩形中，的垂直平分线分别交，，于，，点，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求． 【答案】（1）见解析；（2）2.1 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出AD∥BC，求出∠AEO=∠CFO，根据全等三角形的判定得出△AEO≌△CFO，根据全等三角形的性质得出OE=OF，根据菱形的判定推出即可； （2）设AF=a，根据菱形的性质得出AF=CF=a，在Rt△ABF中，由勾股定理得出22+（5-a）2=a2，求出a即可得出BF的长． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AEO=∠CFO， ∵AC的垂直平分线EF， ∴AO=OC，AC⊥EF， 在△AEO和△CFO中 ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴OE=OF， ∵O A=OC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：设AF=a， ∵四边形AECF是菱形， ∴AF=CF=a， ∵BC=5， ∴BF=5-a， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2， ∴22+（5-a）2=a2， 解得：a=2.9， ∴FC=2.9, ∴BF=5-2.9=2.1． 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 23. 已知关于的方程． 求证：不论为任何实数，此方程总有实数根； 若方程有两个不同的整数根，且为正整数，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）m=1． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（3m-1）2≥0，由此即可证出：不论m为任何实数，此方程总有实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出方程的解，根据该方程有两个不等的整数根结合m为正整数，即可求出m的值． 【详解】（1）∵△=(3m+1)2－4×3m=9m2－6m+1=(3m－1)2． ∴不论m为任何实数时总有(3m－1)2≥0． ∴不论m为任何实数，方程总有实数根． （2）∵mx2+(3m+1)x+3=0． 解得 x1=－3，x2=． ∵方程mx2+(3m+1)x+3=0有两个不等的整数根，且m为正整数， ∴m=1． 【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法求出原方程的解． 24. 阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现，如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么由求根公式可以推出，；已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数满足：，，且，则______，______； （2）间接应用：在（1）条件下，求的值； （3）拓展应用：已知实数m，n满足： ，且 ，求的值． 【答案】（1）7；1 （2）的值为47 （3）的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，弄懂题干所给的例子，灵活应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由题意可知a、b是方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得，； （2）将所求式子变形为，再将（1）的代数式代入求值即可； （3）由题意可知、是方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，且， ∴a，b是方程的两个不相等的实数根， ∴，， 故答案为：7，1； 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴原式； 【小问3详解】 解：∵ ，且 ， ∴、是方程两个不相等的实数根， ∴． 25. 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形是边长为3的正方形，点是射线（除、外）的动点．，且交正方形外角的角平分线于点，请问“”是否成立？ 先考虑特殊情况，当是的中点时，经过思考，小明展示了一种正确解题思路：取的中点，连接，则，易证，所以．（无需证明） 在此基础上，同学们作了进一步研究： （1）小亮提出：如图2，如果把“点是边的中点”改为“点是边上（除、外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小亮的观点正确吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由； （2）小颖提出：如图3，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （3）老师提出：连接交直线于点，连接，试探究线段、、之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论（无需证明）．当时，此时的面积为_____． 【答案】（1）小亮的观点正确，证明见解析 （2）小颖的观点正确，证明见解析 （3）或；的面积为或． 【解析】 【分析】（1）在上取一点，使，连接，根据已知条件利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以． （2）在的延长线上取一点，使，连接，根据已知利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以． （3）分两种情形：如图3中，当点在线段上时，结论：．延长到，使得，则，再证明，可得结论；如图4中，当点在的延长线上时，结论，证明方法类似；结合前面结论分两种情形，解决问题即可． 【小问1详解】 解：小亮的观点正确： 证明：∵正方形， ∴，， 在上取一点，使，连接． ， ， ， 是外角平分线， ， ， ， ，， ， ， ． 【小问2详解】 小颖的观点正确： 证明：如图示，在的延长线上取一点，使，连接． ， ， 平分， ， ， 四边形是正方形， ， ， 即， ， ， ． 【小问3详解】 解：或；理由如下： 如图3中，当点在线段上时，结论：． 理由：延长到，使得，则， ，， ， ， ， ， ， ； 如图4中，当点在的延长线上时，结论 理由：在上截取，则， ，， ， ， ， ， ， ； 如图3中，当点在线段上时， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图4中，当点在的延长线上时，设， 同理可得：，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，熟悉相关性质，掌握类比的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$