27.2.2相似三角形的性质 解答题专题训练 2024-2025学年人教版九年级数学下册

2024-2025学年人教版九年级数学下册《27.2.2相似三角形的性质》 解答题专题训练（附答案） 1．如图，在中，是斜边上的高． 求证：（1）； （2）． 2．如图，在中，，平分交于点D．    (1)在边上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 3．已知：如图，在中，平分交于D． (1)求证：； (2)延长至点E，联结、，如果，求证：． 4．如图，在中，，，的平分线交于点． (1)求证：； (2)若，①求的长；②求的长． 5．如图，在和中，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．如图，是的边上的一点，连接，已知． (1)求证： (2)若，，求线段的长 7．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点E．求证： （1）APB≌APD； （2）PD2＝PE•PF． 8．如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H． （1）求HD的长； （2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示） 9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D． （1）若∠BAD＝80°，求∠DAC的度数； （2）如果AD＝6，AB＝8，求AC的长． 10．如图，点是平行四边形的边延长线上一点，与相交于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 11．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，于点E； (1)求证：． (2)若，求的值． 12．如图，在锐角三角形中，于点E，点D在边上，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，已知，求． 13．如图，以为直径的经过的顶点，是的中点，连接、分别交于点、． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 14．如图，已知是的直径，点P在的延长线上，切于点D，过点B作，交的延长线于点C，连接并延长，交于点E． (1)求证：； (2)若，点A是的中点，求线段的长． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知，点B的坐标为． (1)求点A、B坐标； (2)求反比例函数和一次函数的解析式； (3)在y轴上存在一点P，使与相似，求P点的坐标． 16．如图，中，，于点D，于点E，M为的中点，连接交于点F，连接交于点N． (1)求证：； (2)求证： (3)若，求的值（用含k的代数式表示）． 17．如图，锐角中，，边上的高，矩形的边在上，其余两点、分别在、上，且交于点． (1)求的值； (2)设，矩形的面积为． 求与的函数关系式； 请直接写出的最大值为 ． 18．综合与实践 【问题发现】（1）如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点F，连接EF，求证：． 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值． 19．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交y轴于点，点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线于点F，交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求M点的坐标； (3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 20．【阅读与思考】 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 如图1，在中，中线相交于点G，连接， ∵D，E分别是边的中点， ∴①_____________________． ∴，且． ∴②______∽______，______∽______ ∴， 任务： (1)笔记中横线部分应填写①_____________；②______∽______，______∽______ (2)如图2，在中，点K，L分别在边上，连接交于点F．若，，猜测与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别是的中点，，，，求长． 参考答案： 1．证明：（1）∵∠A＝∠A，∠CDA＝∠ACB＝90°， ∴△ACD∽△ABC， ∴ ∴ （2）在与中 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 2．（1）解：如图所示，点E即为所求；    （2）解：由（1）在作图可得， ∵，平分 ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵ ∴， 即， 解得， ∴． 3．（1）证明：过点C作交的延长线于点H， ∵平分， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 4．（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴． ∵，， ∴； （2）解：①， ， ， ， ； ②∵，，， ∴，即， ∴（负值舍去）． 5．解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）得，， ∵， ∴， ∵， ∴． 6．解：（1），， ； （2）， ， 得， 解得， ， 即． 7．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC， 在△ABP和△ADP中， ， ∴△ABP≌△ADP（SAS）； （2）∵△ABP≌△ADP， ∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP， ∵ADBC， ∴∠ADP＝∠E， ∴∠E＝∠ABP， 又∵∠FPB＝∠EPB， ∴△EPB∽△BPF， ∴， ∴PB2＝PE•PF， ∴PD2＝PE•PF． 8．解：（1）∵平行四边形ABCD，BC=8， ∴，=8， ∴，， ∴，， ∵BE=EF=FD， ∴，， ∴BG=AD=4，HD=BG， ∴HD=2； （2）∵BE=EF， ∴=a， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴四边形AEFH的面积=-=． 9．解：（1）如图，连接OC， ∵DC切⊙O于C， ∴OC⊥CF， ∴∠ADC＝∠OCD＝90°， ∴ADOC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OAC， ∵∠BAD＝80°， ∴∠DAC＝∠BAD＝×80°＝40°； （2）连接BC． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°＝∠ADC， ∵∠DAC＝∠BAC， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∵AD＝6，AB＝8， ∴， ∴AC＝4． 10．（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 11．（1）证明：在正方形中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴． 12．（1）证明：∵， ， ， ， ， ； （2）证明：∵， ， ∵， ， ； （3）解：由（2）得， ， ， ， ， ， ． 13．（1）证明：点是的中点，过圆心， ，， 是直径， ， 又， ； （2）解：， ， 设，则， ，， ， ， ， ，， ， ， （负值舍去）， ， 的面积． 14．（1）证明：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：∵点A是的中点 ∴ ∵， ∴ 在中， ∴， ∵ ∴ ∴ 即 ∴ 15．（1）解：过点A作轴于E． ∵， 设， ∴， 又∵， ∴在中， 即， ∴， ∴点代入反比例函数表达式中得， ∴反比例函数为， 把点代入中， 得， ∴点； （2）解：由（1）得出反比例函数为， 依题意，把点分别代入中， 得， 可得， ∴一次函数的解析式为； （3）解：∵ ﹐ 令，得； 令，得， ∴点，点， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， 若， 则 即， ∴， ∴点 ∵点，点，点， ∴； 若． 则， 即， ∵， ∴点， 综上，点P坐标为或． 16．（1）证明：∵，M为的中点， ∴， ∴ 又，， ∴，， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴，， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； （3）解：连接交于点G． ∵， ∴， ∴ 又， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∵，， ∴， ∴，即． 17．（1）解：四边形是矩形， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得：， ， 四边形是矩形， ， 又， 四边形是矩形， ， ； ， ， 当时，有最大值， 故答案为：． 18．（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ∴，， 又， ， ∴； （2）解：， ， ∴， ， ， ， ； ∵在，，， ∴， ∴， ∴． 19．（1）解：∵抛物线过点，，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：设，则， 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，即当时，； （3）解：存在以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下： 设，则，． ∴， 如图，过点作轴于点，则， 由（1）可得：，，则 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点， ①当时，则，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴； ②当时，，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴ 综上所述，或 20．（1）证明：如图1，在中，中线相交于点G，连接， ∵D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∴②， ∴， （2）解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）解：如图，连接 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则 ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ 由勾股定理得，， 即， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$