精品解析： 江苏省江阴市南闸实验学校2024-2025学年苏科版数学九年级上学期期中 复习试题

2024-2025学年第一学期初三数学期中复习试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列每组图形是相似图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似图形的定义一一判断即可． 【详解】解：选项B中两个五角星是相似图形． 故选：B． 【点睛】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个边数相同的多边形相似． 2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 3，6，4，7 B. 5，6，7，8 C. 2，4，6，8 D. 10，15，8，12 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、∵3×7 4×6，∴四条线段不成比例； B、∵5×8 6×7，∴四条线段不成比例； C、∵2×8 4×6，∴四条线段不成比例； D、∵8×15 = 10×12，∴四条线段成比例． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 4. 若方程中，满足和，则方程的根是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【详解】解：∵， 把代入得：， 即方程的一个解是， 把代入得：， 即方程的一个解是； 故选：A． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键． 5. 小明沿斜坡上行，其上升的垂直高度为20米，则斜坡的坡度（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，勾股定理，先由勾股定理得出，再由坡度的定义即可得出答案，熟练掌握坡度的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，，， ， 斜坡的坡度， 故选：C． 6. 如图，已知中，点E是边中点，连接，交于点F，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质对选项进行判断即可． 【详解】解：连接于交于点， ∵， 故A错误； ∵， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故B错误； ∵，， ∴，即， 故C错误； ∵， ∴， ， ∴， 故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 7. 关于下列一元二次方程，说法正确的是（ ） A. 的两根之和等于5 B. 的两根之积等于1 C. 两根不可能互为倒数 D. 中m=0时，两根互为相反数 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系进行判断即可求解． 【详解】A. 的两根之和等于，故该选项不正确，不符合题意； B. ，即方程的两根之积等于，故该选项不正确，不符合题意； C. ， ∵，， 解得， ∵，两根之积为， ∴方程两根之积不可能互为倒数，故该选项正确，符合题意； D. 中时，即，此方程无实根，故该选项不正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 8. 如图，是等腰直角三角形，，以斜边上的点O为圆心的圆分别与，相切于点D，E，与分别交于点G，H，且的延长线和的延长线交于点F，则的长为（　　） A 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，证明点是的中点，进而求得的长，证明，可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接，，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，是的切线， ∴，， 又， ∴四边形矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是的中点，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等比角对等边，正方形的性质与判定，求得是解题的关键． 9. 如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD＝BD，∠C＝70°，现给出以下四个结论：①∠A＝45°；②AC＝AB；③=；④2CE•AB＝BC2，其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】连结AD、BE，DE，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，则AD⊥BC，加上CD=BD，根据等腰三角形的判定即可得到AC＝AB；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠BAC=40°；由AB为直径得到∠AEB=90°，则∠ABE=50°，根据圆周角定理可判断；接着证明△CED∽△CBA，利用相似比得到，然后利用等线段代换即可判断④． 【详解】解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． ∵CD=BD， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴AC=AB，故②正确； ∵AC=AB， ∴∠ABC=∠C=70°， ∴∠BAC=40°，故①错误； 连接BE，DE， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵∠BAC=40°， ∴∠ABE=50°， ∴∠BAC≠∠ABE， ∴AE≠BE， ∴，故③错误； ∵四边形ABDE是圆内接四边形， ∴∠CDE=∠CAB， ∴△CDE∽△CAB， ∴， ∴CE•AC=CD·BC， ∴CE•AB=BC·BC， ∴2CE•AB＝BC2，故④正确． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键． 10. 如图，等边中，D、E分别在边上，且将绕点E顺时针旋转60°，得到，取中点G，连接，延长交于点H．若，则长是（　　） A. B. 9 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】在上截取，连接，则利用等边三角形的性质得，再根据旋转的性质得到，接着可证明，得到，则，所以平分；延长交于N，作于O，于P，根据等边三角形的性质得垂直平分，所以，利用平行线分线段成比例定理得到，则，，则，所以于是，然后利用得到，所以，易得，再利用进行计算即可． 【详解】 解：在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵将线段绕点E顺时针旋转60°，得到线段， ∴， ∴， 而， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 延长交于N，作于O，于P， ∵平分 ∴垂直平分，， ∴， ∴，即， ∵G点为的中点， ∴， ∴，即 ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的性质等知识，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，本题难度较大． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第二空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 若关于x的一元二次方方程的根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解： ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 12. 在一张比例尺为1∶200000的地图上，A、B两地间的图上距离为3厘米，则两地间的实际距离是_________千米． 【答案】6 【解析】 【分析】由比例尺的定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离． 【详解】解：设两地间的实际距离是x厘米 根据题意得， ∴ 600000厘米=6千米 答：A，B两地间的实际距离是6千米． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算． 13. 某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率相同，则二、三月份每月的平均增长率为_______． 【答案】20％ 【解析】 【分析】根据一元二次方程的增长率问题公式列出方程，解方程即可得到结论． 【详解】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意得 100（1+x）2=144， （1+x）2=1.44， 1+x=±1.2 解得x1=0.2，x2=-2.2（舍） 答：二、三月份每月的平均增长率为20％； 故答案为：20％． 【点睛】本题考查实际问题与一元二次方程中的增长率问题，找到等量关系列方程是解题的关键． 14. 如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝12，那么线段GE的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】由点G是△ABC重心， 可得CD AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长． 【详解】解：∵点G是△ABC重心，， ∴CD ∵GE∥BC， ∴△AEG∽△ACD， ∴ ∴GE 故答案：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形重心的性质．解题时注意：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 15. 如图，内接于，直径交于点E，若，则的度数为 ___°． 【答案】60 【解析】 【分析】连接，由等腰三角形的性质可得，利三角形的内角和定理可求解的度数，根据圆周角定理可得的度数，进而可求解． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，求解的度数是解题的关键． 16. 已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】将n2+2n-1=0变形为.据此可得m，是方程x2-2x-1=0的两根，由一元二次方程的根与系数的关系可得m+=2，代入可得． 【详解】由n2+2n-1=0可知n≠0． ∴1+-=0． ∴， 又m2-2m-1=0，且mn≠1，即m≠． ∴m，是方程x2-2x-1=0的两根． ∴m+=2． ∴=2+1=3， 故答案为3． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方程x2-2x-1=0的两根． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的取值范围是______． 【答案】4.5≤BM≤8.5 【解析】 【分析】取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN． ∵∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5， ∴AC＝＝13， ∵AN＝NC， ∴BN＝AC＝6.5， ∵AN＝NC，DM＝MC， ∴MN＝AD＝2， ∴BN﹣MN≤BM≤BN+NM， ∴6.5﹣2≤BM≤6.5+2， ∴4.5≤BM≤8.5， 故答案为：4.5≤BM≤8.5． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 18. 在中，，平分，平分，相交于点，且，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】【分析】由已知易得∠AFE=45°，过E作EG⊥AD，垂足为G，根据已知易得EG=FG=1，再根据勾股定理可得AE=，过F分别作FH⊥AC垂足为H， FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH，根据勾股定理可求出a=，继而可得CH=，由AC=AE+EH+HC即可求得. 【详解】如图，∵AD、BE分别平分∠CAB和∠CBA， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠C=90°，∴∠2+∠3=45°，∴∠AFE=45°， 过E作EG⊥AD，垂足为G， 在Rt△EFG中，∠EFG=45°，EF=，∴EG=FG=1， 在Rt△AEG中，AG=AF-FG=4-1=3，∴AE=， 过F分别作FH⊥AC垂足为H， FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH， 设EH=a，则FH2=EF2-EH2=2-a2， 在Rt△AHF中，AH2+HF2=AF2， 即+2-a2=16， ∴a=， ∴CH=FH=， ∴AC=AE+EH+HC=， 故答案为. 【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理的应用等，综合性质较强，正确添加辅助线是解题的关键. 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1） （2）． （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ， ， ∴或， ∴； 【小问3详解】 ， ， ∴或， ∴； 【小问4详解】 ， ∵， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法． 20. 已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0． ①不解方程，判别方程根的情况； ②若方程有一个根为﹣1，求m的值． 【答案】①此方程有两个不相等的实数根；②m＝0或m＝2 【解析】 【分析】①根据判别式Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m2﹣4m2+4＝4＞0可得答案； ②将x＝﹣1代入方程求解即可． 【详解】解：①∵△＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m2﹣4m2+4＝4＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根； ②将x＝﹣1代入方程，得：1﹣2m+m2﹣1＝0， 整理，得：m2﹣2m＝0， 解得m＝0或m＝2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了方程的解和解方程的能力． 21. 如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由矩形，证明 结合：，证明：，从而可得结论． 【详解】解： 矩形ABCD， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，掌握两个角分别对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 22. 关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“顾神方程”．请解决下列问题： （1）请写出一个“顾神方程”： ； （2）求证：关于x的“顾神方程”必有实数根； （3）如图，已知是半径为6的的两条平行弦，，且关于x的方程是“顾神方程”，请直接写出的度数． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由“顾神方程”满足的条件，即可写出一个“顾神方程”； （2）由一元二次方程根的判别式，即可判断； （3）由勾股定理，垂径定理，圆周角定理，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，写出一个“顾神方程”为：（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一） 【小问2详解】 证明：∵关于x的方程是“顾神方程”， ∴且， 当时， ， ∴方程有两个实数根， 当时，方程，，该方程有实数根； 综上所述，“顾神方程”必有实数根； 【小问3详解】 解：，理由如下： 作于E，延长交于F，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是“顾神方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查“顾神方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，关键是明白“顾神方程”的定义． 23. 桐华农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门，设． （1）若养殖场的面积为，求：关于的函数表达式； （2）若在直角墙角内点处有一水池，且与墙的距离分别是7米，21米，要将这个水池围在矩形养殖场内（含边界，不考虑水池的尺寸），则养殖场的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键． （1）先求出，再根据矩形面积计算公式求解即可； （2）根据题意得到方程，解方程得到或，再由题意得到，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴； 【小问2详解】 解：能，理由如下： 当养殖场的面积为时，则， 解得或， ∵在直角墙角内点处有一水池，且与墙的距离分别是7米，21米， ∴， ∴， ∴， ∴养殖场的面积能为，此时 ． 24. 如图，矩形中，，点从点出发沿向点移动（不与重合）．同时，点从点出发沿向点移动（不与重合），若有一点到达终点则两点都停止运动，设运动时间为． （1）若点均以的速度移动，当四边形为菱形时，求的值； （2）若点为的速度移动，点以的速度移动，当为直角三角形时，求的值． 【答案】（1）的值为 （2）t的值为或1或 【解析】 【分析】（1）易得四边形为平行四边形，当时，四边形是菱形，在中，由勾股定理建立方程即可求得t的值； （2）分两种情况考虑：当时，利用相似三角形的性质即可求得t的值；当时，由即可求得t的值，从而问题即可解决． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，， 由题意知：， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 解得： 即当四边形为菱形时，的值为； 【小问2详解】 解：当点F与点A重合时，， 即； ①当时，过点E作于G，如图， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或； ②当时，则四边形是矩形， ∴， ∴， 即， 显然，满足题意； 由于点F不与点B重合，则； 综上，满足题意的t值为或1或． 【点睛】本题是动点问题，考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质及平行四边形的判定，勾股定理，解方程等知识，有一定的综合性． 25. 如图，在中，，点为边上一点． （1）尺规作图：在边上找一点，使得； （2）在（1）的条件下以点为圆心，为半径的圆分别与交于点，且．求证：与相切． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点D即可； （2）由可知点P在圆上，由圆周角定理证明，证明得，进而可证结论成立． 【小问1详解】 如图， 点D即为所求； ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 如图，连接， 由作图可知：， ∴，P在上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切． 【点睛】本题考查了作图-作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，切线的判定，圆周角定理，平行线的判定与性质，掌握切线的判定定理是解题的关键． 26. 如图，惠畅中学准备设计一块边长为的正方形景观背景，该背景由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且．在，五边形三个区域用不同石材铺设，每平方米的石材成本分别是80元、80元、40元． （1）当时，小正方形铺设所需的费用； （2）当为何值时，大正方形背景墙所需的总费用是1680元？ 【答案】（1）460元 （2），大正方形背景墙所需的总费用是1680元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值及解一元二次方程的应用； （1）用代数式表示出，五边形三个区域的面积，则可表示出小正方形铺设所需的费用，再将x的值代入即可； （2）由（1）所得的代数式及已知，可得关于x的一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，正方形的边长为， 则，五边形三个区域的面积分别为：，，， 则小正方形铺设所需的费用为元； 当时，小正方形铺设所需的费用为（元）； 【小问2详解】 解：由（1）知可得方程： 解得：，（舍去） 即当为1时，大正方形背景墙所需的总费用是1680元． 27. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 28. 如图1，在平面直角坐标系中中，点，以为半径在轴的上方作半圆，交正半轴于点，点是该半圆周上一动点，连接、，并延长至点，使. （1）连接，直接写出的最大值为________； （2）如图2，过点作轴的垂线，分别交轴、直线于点、，点为垂足. ①若点的横坐标为，求线段的长； ②当点在运动过程中，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在，或或． 【解析】 【分析】（1）连接，求出，再由，点是该半圆周上一动点，得出当点与点重合时，，此时取得最大值，即可得出结论； （2）①连接，过点作轴于点，则，得，再求出，得，，，然后由圆周角定理得，则，，进而证，即可解决问题； ②分两种情况，1)当点在、之间时；2)当点在点的左侧时；由相似三角形的性质分别求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图1，连接， 点， ， 以为半径在轴的上方作半圆，交轴正半轴于点， ， ， ，点是该半圆周上一动点， 当点与点重合时，，如图， 此时取得最大值， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，连接，过点作轴于点， 轴， ， ， ， 点的横坐标为， ， ， ， ， ， ， 是半圆的直径， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 即线段的长为； ②存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下： 当的度数为时，点恰好与原点重合，不符合题意； 分两种情况： ①如图，连接，的度数时，点在、之间， 设， ， 当时，， ， ， ， 是斜边的中线， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， ， 点的坐标为； ②的度数时，点在点的左侧， 如图，若， 则， ， ，， ， ， ， ， ， 点的坐标为； 如图，若， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，存在以点、、为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、圆的性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形性质、勾股定理、平行线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期初三数学期中复习试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列每组图形是相似图形的为（ ） A B. C. D. 2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A 3，6，4，7 B. 5，6，7，8 C. 2，4，6，8 D. 10，15，8，12 3. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. C. D. ， 4. 若方程中，满足和，则方程的根是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 小明沿斜坡上行，其上升的垂直高度为20米，则斜坡的坡度（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知中，点E是边的中点，连接，交于点F，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于下列一元二次方程，说法正确的是（ ） A. 两根之和等于5 B. 的两根之积等于1 C. 两根不可能互为倒数 D. 中m=0时，两根互为相反数 8. 如图，是等腰直角三角形，，以斜边上的点O为圆心的圆分别与，相切于点D，E，与分别交于点G，H，且的延长线和的延长线交于点F，则的长为（　　） A. 1 B. C. D. 9. 如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD＝BD，∠C＝70°，现给出以下四个结论：①∠A＝45°；②AC＝AB；③=；④2CE•AB＝BC2，其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，等边中，D、E分别在边上，且将绕点E顺时针旋转60°，得到，取中点G，连接，延长交于点H．若，则长是（　　） A. B. 9 C. D. 3 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第二空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 若关于x的一元二次方方程的根是__________． 12. 在一张比例尺为1∶200000的地图上，A、B两地间的图上距离为3厘米，则两地间的实际距离是_________千米． 13. 某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率相同，则二、三月份每月的平均增长率为_______． 14. 如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝12，那么线段GE的长为_______． 15. 如图，内接于，直径交于点E，若，则的度数为 ___°． 16. 已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为_____． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的取值范围是______． 18. 中，，平分，平分，相交于点，且，则__________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1） （2）． （3） （4） 20. 已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0． ①不解方程，判别方程根的情况； ②若方程有一个根为﹣1，求m的值． 21. 如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：． 22. 关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“顾神方程”．请解决下列问题： （1）请写出一个“顾神方程”： ； （2）求证：关于x的“顾神方程”必有实数根； （3）如图，已知是半径为6的的两条平行弦，，且关于x的方程是“顾神方程”，请直接写出的度数． 23. 桐华农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门，设． （1）若养殖场的面积为，求：关于的函数表达式； （2）若在直角墙角内点处有一水池，且与墙的距离分别是7米，21米，要将这个水池围在矩形养殖场内（含边界，不考虑水池的尺寸），则养殖场的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 24. 如图，矩形中，，点从点出发沿向点移动（不与重合）．同时，点从点出发沿向点移动（不与重合），若有一点到达终点则两点都停止运动，设运动时间为． （1）若点均以的速度移动，当四边形为菱形时，求的值； （2）若点为的速度移动，点以的速度移动，当为直角三角形时，求的值． 25. 如图，在中，，点为边上一点． （1）尺规作图：在边上找一点，使得； （2）在（1）的条件下以点为圆心，为半径的圆分别与交于点，且．求证：与相切． 26. 如图，惠畅中学准备设计一块边长为的正方形景观背景，该背景由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且．在，五边形三个区域用不同石材铺设，每平方米的石材成本分别是80元、80元、40元． （1）当时，小正方形铺设所需的费用； （2）当为何值时，大正方形背景墙所需的总费用是1680元？ 27. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 28. 如图1，在平面直角坐标系中中，点，以为半径在轴的上方作半圆，交正半轴于点，点是该半圆周上一动点，连接、，并延长至点，使. （1）连接，直接写出的最大值为________； （2）如图2，过点作轴的垂线，分别交轴、直线于点、，点为垂足. ①若点横坐标为，求线段的长； ②当点在运动过程中，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$