第二十九章 投影与视图 课件 2024-2025学年数学九年级下册

章末核心要点分类整合 第二十九章 投影与视图 结构必知 结构必知 1. 投影包括平行投影和中心投影，而平行投影包括正投影. (1)在判断投影类型时，弄清楚物体与影子上的对应点的连线是平行还是相交； (2)在应用平行投影求物体的高度时，注意在同一时刻物体的高度与影长成正比. 核心必读 2. 三视图 名称 概念 性质 主视图 由几何体的前方向后进行正投影，在正面投影面上得到的视图称为主视图 1. 主视图、左视图、俯视图都是几何体向某个方向的正投影； 2. 从不同的方向观察几何体， 得到的三视图可能是不同的 左视图 由几何体的左侧向右进行正投影，在侧面投影面上得到的视图称为左视图 俯视图 由几何体的上方向下进行正投影，在水平投影面上得到的视图称为俯视图 核心必读 3. 在画三视图时, 要求主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等. 即： (1)主视图和俯视图的长要相等，主视图和左视图的高要相等，左视图和俯视图的宽要相等； (2)在画物体的三视图时，能看到部分的轮廓线画成实线，存在但看不到部分的轮廓线画成虚线. 核心必读 专题 平行投影 1 链接中考 >> 平行投影是由平行光线照射所形成的投影. 物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置的改变而改变. 同一时刻，不同物体的高度与影子的长度成正比. 通常可以利用相似三角形或锐角三角函数的有关知识解决此类问题. 知识必学 例 1 [中考·兰州]如图29－1，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高 度，一个小组的同学进行了 如下测量： 知识必学 某一时刻，在太阳光的照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长为2 米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长为3 米，落在地面上的影子DH的长为5 米. 依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度. 知识必学 解题秘方：太阳光可以看成平行光线，这样的光线所形成的投影是平行投影. 利用平行投影的知识可以计算电线杆的高度. 知识必学 (1)该小组的同学在这里利用的是________投影的有关知识进行计算的； (2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程. 平行 知识必学 解：如图29－1，过点E作EM⊥AB于点M，过点G作GN⊥ CD于点N，则MB＝EF＝2 米，ND＝GH＝3 米，ME＝BF＝10 米，NG＝DH＝5 米. 所以AM＝10－2＝8(米). 由平行投影可知，＝， 即＝， 解得CD＝7 米. 故电线杆的高度为7 米. 知识必学 专题 中心投影 2 链接中考 >>中心投影是由同一点发出的光线形成的投影. 当点光源与所照射物体的相对位置发生变化时，物体的中心投影发生变化. 一般情况下，等高的物体垂直于地面放置时，物体与点光源的距离越近，物体的影子就越短，反之就越长. 等长的物体平行于地面放置时，物体与点光源的距离越近，物体的影子就越长，反之就越短. 中心投影在现实中有很多应用，解决这类问题时，往往要利用相似三角形的知识. 知识必学 [中考·镇江]某兴趣小组开展课外活动，如图29－2，A，B 两地相距12 m，小明从点A 出发沿AB 方向匀速前进，2 s后到达点D，此时他(CD)在某一灯光下的影子为AD， 例 2 知识必学 继续按原速行走2 s到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2 m，然后他将速度提高到原来的1.5 倍，再行走2 s到达点H，此时他(GH)在同一灯光下的影子为BH(点C，E，G 在一条直线上). 知识必学 (1)请在图中画出点光源O的位置，并画出小明位于点F 时在这个灯光下的影子FM(不写画法)； 解：如图29－2，点O，线段FM即为所作. 知识必学 (2)求小明原来的速度. 解：设小明原来的速度为x m/s，则AD＝DF＝CE＝ 2x m，FH＝EG＝3x m，∴AM＝(4x－1.2)m， ∴ BM＝12－(4x－1.2)＝(13.2－4x)m. ∵ CG∥AB，∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB. ∴＝，＝. 知识必学 ∴＝，即＝. ∴ 2x2－3x＝0. 解得x1＝1.5，x2＝0(不合题意，舍去). 经检验，x＝1.5 是原方程的解. ∴小明原来的速度为1.5 m/s. 知识必学 专题 三视图 3 链接中考 >> 本专题是中考中的必考内容之一，主要考查能根据视图描述几何体的形状，由实物确定或作出视图，以及根据三视图判断构成几何体的小立方体的个数等问题, 题型多以选择题、填空题为主，有时也以解答题的形式出现. 知识必学 例 3 [中考·泸州] 如图29－3所示的几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是( ) 知识必学 知1－练 解：A. 主视图和左视图都为三角形，不符合题意； B. 主视图和左视图都为等腰三角形，不符合题意； C. 主视图和左视图都为矩形，符合题意； D. 主视图是矩形，左视图是三角形，不符合题意． 答案：C 知识必学 [中考·绥化]某几何体由完全相同的小正方体组合而成，如图29－4 是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是( ) A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 例 4 知识必学 知1－练 解：由三视图易得最底层有3个小正方体，第二层有2个小正方体，那么共有3＋2＝5(个)小正方体． 答案：A 知识必学 专题 根据三视图求几何体的表面积及体积 4 链接中考 >> 根据三视图的相关数据求几何体的表面积、体积，多以填空题或选择题的形式出现，偶尔也会出现解答题. 知识必学 例 5 根据三视图(如图29－5)，求出这个几何体的侧面积为( ) A. 200π B. 100π C. 100 π D. 500π 知识必学 知1－练 解题秘方：先根据三视图判断几何体的形状，然后根据其尺寸求得其侧面积即可． 解：由题意可知，这个几何体是圆柱，侧面积是π×10× 20＝200π． 答案：A 知识必学 专题 分类讨论思想 5 专题解读>> 分类讨论思想就是依据一定的标准对存在多种情况的问题分情况解决，最后综合得出结论的思想. 分类讨论实际上是一个“化整为零”“积零为整”的解题策略. 本章中若一个几何体(由相同的小正方体组成)只给出部分视图，在判断小正方体的个数时，由于条件比较宽松，往往需要分类讨论. 方法必会 [中考·牡丹江]由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图29－6所示，则搭建该几何体的方式有( ) A. 1 种 B. 2 种 C. 3 种 D. 4 种 例 6 方法必会 解：由主视图可知，左侧一列最高一层，右侧一列最高三层；由左视图可知，前一排最高三层，后一排最高一层，可知右侧一列前一排一定为三层，可得该几何体俯视图的可能情况如图29－7所示. 答案：C 方法必会 专题 方程思想 6 专题解读>>在解决数学问题时，有一种将未知转化为已知的手段，这就是设元. 设元后，寻找已知与未知之间的等量关系, 构造方程或方程组，然后求解方程或方程组完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想. 在解决有关平行投影与中心投影的问题时，往往由相似三角形的性质得到一个比例式，利用方程思想求解. 方法必会 如图29－8，某天晚上，李亮在广场上乘凉. 图中线段AB表示站立在广场上的李亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯. 例 7 方法必会 (1)请你在图中画出李亮在照明灯(P)照射下的影子； 解题秘方：直接连接点光源和物体顶端，形成的直线与地面的交点即是影子的顶端； 解：如图29－8 ，线段BC就是李亮在照明灯(P)照射下的影子. 方法必会 (2)如果灯杆高PO＝12 m，李亮的身高AB＝1.6 m，李亮与灯杆的距离BO＝13 m，请求出李亮影子的长度. 解题秘方：根据中心投影的特点可知△ CAB∽ △ CPO，利用其性质列方程即可得解. 方法必会 解：在△CAB和△CPO中， ∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠POC＝90°， ∴△CAB∽△CPO.∴＝. 设CB＝x m，则＝. 解得x＝2. 经检验，x＝2 是原方程的解，∴李亮影子的长度为2 m. 方法必会 专题 转化思想 7 专题解读>> 本章中， 对于三视图可以通过想象形成立体图形, 立体图形又可以通过三视图而转化为平面图形，实物的投影也是立体图形与平面图形的相互转化，这都体现了转化思想. 方法必会 [中考·包头]几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图29－9所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，则该几何体的主视图是(　　) 例 8 方法必会 解题秘方：通过几何体俯视图上标注的数字想象该几何体的形状，然后确定其主视图． 解：观察图形可知，该几何体的主视图有3列，从左到右小正方形的个数分别为1，2 ，2 ，即 ． 答案：D 方法必会 1. (1)如图，两棵树的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的？画出同一时刻木杆的影子. (用线段表示) 类型 利用投影的特征作图 1 好题必解 解：如图，过树和影子的顶端分别画两条光线AA1，BB1.观察可知，AA1∥BB1，故两棵树的影子是在太阳光下形成的. 过木杆的顶端C画AA1(或BB1)的平行 线CC1，交地面于点 C1，连接木杆 底端点O和点C1，则线段OC1即为同 一时刻木杆的影子． 好题必解 (2)[期末·酒泉玉门市]某公司的外墙壁贴的是反光玻璃，晚上两根木棒的影子如图(短木棒的影子是玻璃反光形成的)，请确定图中路灯灯泡所在的位置． 好题必解 解：如图，点O就是灯泡所在的位置． 好题必解 2. 日晷是我国古代较为普遍使用的计时仪器. 如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点(即BC与⊙O相切于点D). 点A在⊙O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与⊙ O相交于点E，与BC相交 于点B，连接AC，OC，BD＝ CD＝30 cm，OA⊥AC． 类型 利用投影解决实际问题 2 好题必解 (1)求∠B的度数； 解：如图，连接OD. ∵BC 与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC. 又∵BD＝DC，∴易得OB＝OC，∴∠OCB＝∠B. ∵OA⊥AC，OA为半径，∴CA与⊙O相切于点A，∠BAC＝90°. 又∵BC与⊙O相切于点D，∴∠ACB＝2∠BCO. 易知∠B＋∠ACB＝90°，∴3∠B＝90°，∴∠B＝30°. 好题必解 (2)连接CE，求CE的长． 好题必解 题型1：判断几何体的三视图 3. [中考·威海]下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的. 其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是 ( ) 类型 几何体与三视图 3 D 好题必解 题型2：利用三视图确定几何体的形状 4. [中考·安徽]某几何体的三视图如图所示，则该几何体为 ( ) B 好题必解 题型3：利用三视图求几何体的表面积 5. 如图是某几何体的三视图(单位：mm). (1)请画出此几何体； 解：如图． 好题必解 (2)根据此几何体的三视图的尺寸，求此几何体的表面积. 好题必解 题型4：利用三视图求几何体的体积 6. 如图是一个几何体的三视图，求该几何体的体积(π取3.14). 好题必解 好题必解 7. [中考·自贡]为测量水平操场上旗杆的高度，九(2)班各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图①，小张在测量时发现，自己在操场上的影长 EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组 同学测得旗杆AB的影长BC为11.3 m， 据此可得旗杆高度为_______m. 类型 测量方案中的投影问题 4 11.3 好题必解 (2)如图②，小李站在操场上E点处，在地面上水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A. 小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5 m，小李到镜面的水 平距离EC＝2 m，镜面到旗杆底端 的距离CB＝16 m(镜面大小忽略不 计). 求旗杆高度. 好题必解 好题必解 (3)小王所在小组采用图③的方法测量，结果误差较大. 在更新测量工具、优化测量方法后，测量精度明显提高.研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度. 方法如下： 好题必解 如图④，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面上的M，N两点始终处于同一水平线上． 如图⑤，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 好题必解 如图⑥，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交于点C，测得标高CG＝1.8 m， DG＝1.5 m. 将观测点D后移24 m 到D′处. 采用同样方法，测得C′G′＝1.2 m， D′G′＝2 m. 求雕塑高度(结果精确到 1 m). 好题必解 好题必解 解：由(1)易知∠ACO＝∠B＝30°， ∵CA，CD分别与⊙O相切于点A，D， ∴CA＝CD＝30 cm. ∴OA＝AC·tan 30°＝30×＝10(cm)，∴AE＝20 cm， ∴在Rt△ACE 中，CE＝＝＝10(cm)． 解：此几何体的表面积＝2××120＋80×120＋(35＋80＋35)×120＋2××(80＋35＋80＋35)×35×tan 60°＝ 44 400＋8 050(mm2)． 解：该几何体的体积＝V圆柱＋V长方体＝π·×32＋40× 30×25≈40 048(cm3)． 解：由题意易知∠DCE＝∠ACB. 又∵∠DEC＝∠ABC＝90°，∴△DEC∽△ABC， ∴＝，即＝，∴AB＝12 m. 答：旗杆高度为12 m. 解：∵∠CDG＝∠ADB，∠CGD＝∠ABD＝90°， ∴△DCG∽△DAB，∴＝. 设AB＝x m，BD＝y m，则＝，∴y＝x. 同理可得＝，∴＝，∴＝， 解得x＝28.8.经检验，x＝28.8是原方程的解，故AB≈29 m. 答：雕塑高度约为29 m. $$ 29.1 投影 第二十九章 投影与视图 学习目标 知识点 投影 知1－讲 1 1. 定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影. 照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面. 感悟新知 知1－讲 2. 性质： (1)光线是沿直线照射的，因此可以由物体与它的投影确定光线的方向. (2)不同时刻，物体的影子的方向和大小会发生变化；在投影线和投影面相同的情况下，不同形状的物体的投影一般不同. 感悟新知 知1－讲 特别提醒 形成投影应具备的条件： 1. 要有物体存在，且物体处于光源与投影面之间； 2. 要有光线； 3. 要有一个呈现投影的面, 即投影面(投影面应是平的). 感悟新知 知1－练 例 1 如图29.1－1，能近似反映冬季上午10时你所在学校的旗杆与其影子的位置关系的是( ) 感悟新知 知1－练 解题秘方：紧扣“投影的特征”，结合生活体验进行判断. 答案：C 解：冬季上午10时，北半球太阳光下物体的影子应大致在物体的西北方向. 感悟新知 知1－练 1－1.[期末·沂源县]每当晴天，小亮在早晨上学的路上和下午放学的路上，面朝前走时，都看不到自己的影子，那么小亮的家在学校的(　　) A. 东面 B. 西面 C. 南面 D. 北面 B 感悟新知 知2－讲 1. 定义：太阳光线可以看成平行光线，由平行光线形成的投影叫做平行投影. 例如，物体在太阳光的照射下形成的影子属于平行投影. 知识点 平行投影 2 平行投影的投影线都是平行的. 感悟新知 知2－讲 深度理解 平行投影中对应点的连线是互相平行的；若物体与其投影的对应点的连线互相平行，就说明是平行投影. 感悟新知 知2－讲 2. 特征：(1)同一时刻，在太阳光下，等高的物体垂直于地面放置时，它们的影子长度相等；等长的物体平行于地面放置时，它们的影子长度也相等，并且影子的长度等于物体本身的长度. (2)在太阳光下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体本身的高度与它们的影子长度成正比. 感悟新知 知2－讲 特别提醒 这一结论可以用相似三角形的性质得到，即＝. 感悟新知 知2－练 小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的影子不可能是图29.1－2 中的( ) 例 2 感悟新知 知2－练 解题秘方：紧扣“同一时刻，平行的边的平行投影是平行或重合的”这一特征解答. 解：矩形木框在地面上形成的影子应是平行四边形或一条线段，不会是梯形. 答案：A 感悟新知 知2－练 2－1. 在同一时刻，两根长度不等的木杆置于阳光之下，但它们的影长相等，那么这两根木杆可能的相对位置是(　　) A. 两根木杆都垂直于地面 B. 两根木杆平行斜插在地上 C. 两根木杆不平行斜插在地上 D.两根木杆都倒在地上 C 感悟新知 知2－练 如图29.1－3，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5 m，某一时刻AB 在阳光下的投影BC＝3 m. 例 3 感悟新知 知2－练 (1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影(用线段EF表 示)； 思路引导： 感悟新知 知2－练 解：如图29.1－4，连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于点F，则EF就是DE的投影. 感悟新知 知2－练 (2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m，请你计算DE 的长. 思路引导： 感悟新知 知2－练 解：∵在阳光下同一时刻物高与影长的比相等， ∴＝. ∵ AB＝5 m，BC＝3 m，EF＝6 m， ∴ DE＝＝10 m. 感悟新知 知2－练 3－1. 小明和小丽要利用树影来测量树高，小明在某一时刻测得长为1 m的标杆的影长为0.9 m，同时小丽测量树影，但因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面 上，有一部分影子在墙上(如图所示)，她 先测得留在墙上的影高为1.2 m，又测得 地面上的影长为2.7 m，那么树高是多 少米？ 感悟新知 知2－练 感悟新知 知3－讲 知识点 中心投影 3 1. 定义：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影. 如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影. 2. 特征：在中心投影的情况下，点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上. 这些直线相交于光源这一点. 感悟新知 知3－讲 3. 知识拓展：平行投影和中心投影的联系与区别 类型 项目 平行投影 中心投影 定义 由平行光线形成的投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影 区 别 光源 太阳光等 点光源(如蜡烛、路灯等) 投影线 平行 相交 投影方向 相同 由点光源与物体的相对位置确定 联系 都是投影现象，都是物体在光线下形成的影子 感悟新知 知3－讲 特别提醒 中心投影的光源是点光源，它的光线相交于一点，常见的点光源有手电筒、路灯、台灯等. 感悟新知 知3－练 图29.1－5中的投影不是中心投影的是( ) 解题秘方：紧扣“影子的位置情况”和“投影线的方向”进行辨识. 例 4 感悟新知 知3－练 解：A 选项，影子在异侧，属于中心投影； B，C 选项，影子在同侧，作投影线时相交于一点，属于中心投影； D 选项，影子在同侧，作投影线时平行，属于平行投影. 答案：D 感悟新知 知3－练 教你一招：判断是中心投影还是平行投影的方法 看图中的影子：若在同侧，则是平行投影或中心投影；若在异侧，则一定是中心投影. 作图：过不同物体的顶端及其影子的顶端作直线，若平行，则为平行投影；若相交，则为中心投影. 感悟新知 知3－练 4－1.[期末·烟台海阳市]如图，小明夜晚从路灯下的甲处走到乙处的过程中，他在地面上的影子(　　) A. 逐渐变长 B. 逐渐变短 C. 先变长后变短 D. 先变短后变长 D 感悟新知 知3－练 如图29.1－6，学习中心投影后，小光同学在灯光下观察自己的影子. 线段AB表示小光，线段CD表示此时的灯杆，点C为路灯所在位置. 例 5 感悟新知 知3－练 (1)画出小光在路灯C照明下的影子，并记为BE； 解题秘方：连接CA并延长，交直线BD于点E，线段BE即为所作； 解：如图29.1－7，线段BE即为所作. 感悟新知 知3－练 (2)如果小光身高1.8 m，他站在距离灯杆CD 5 m的B处时，测得自己的影长BE＝3 m，求灯杆CD的高度. 解题秘方：根据相似三角形的判定与性质得出＝，代入数据即可求出CD的长. 感悟新知 知3－练 解：由题意可知AB∥CD， ∴△EAB∽△ECD， ∴＝，即＝， ∴ CD＝4.8 m. 答：灯杆CD的高度为4.8 m. 感悟新知 知3－练 5－1. 如图，小明(记为AB)和小亮(记为FG)在同一路灯下，小明的影子是AC，路灯灯泡在线段DE上． 感悟新知 知3－练 (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下的影子； 解：如图，点O为灯泡所在的位置， 线段FH为小亮在灯光下的影子． 感悟新知 知3－练 (2)如果小明的身高为1.6 m，他的影长为1.4 m，且他到路灯的距离为2.1 m，求灯泡的高度． 感悟新知 知4－讲 定义：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影：如图29.1－8. 线段正投影的特征：平 行，长不变；倾斜，长缩短；垂直，成一点. 知识点 正投影 4 感悟新知 知4－讲 (2)平面图形的正投影：如图29.1－9. 平面图形正投影的特征：平行，形不变；倾斜，形改变；垂直，成线段. 感悟新知 知4－讲 (3)几何体的正投影：如图29.1－10. 几何体的正投影与它相对于投影面的位置有关，其正投影的形状、大小的特征服从线段和平面图形的正投影的特征. 感悟新知 知4－讲 知识链接 正投影与平行投影、中心投影的关系： 1. 正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影； 2. 正投影是光线与投影面之间的关系，与物体距投影面的距离无关； 3. 物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，一般分为物体与投影面平行、倾斜、垂直三种情况. 感悟新知 知4－练 把一个正六棱柱如图29.1－11 ①摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是图29.1－11 ②中的 ( ) 例 6 感悟新知 知4－练 解题秘方：紧扣“立体图形的正投影”的特征进行识别. 答案：A 解：由题可知正六棱柱的底面平行于投影面，所以它的正投影是与它的底面全等的正六边形. 感悟新知 知4－练 方法点拨：判断物体正投影的形状关键要把握两点 一是投影线的方向(一般在图中用箭头表示)；二是物体的形状(关键是正对投影线的面的形状). 感悟新知 知4－练 6－1. 如图，水杯的杯口与投影面平行，平行光线的方向如箭头所示，它的正投影是( ) D 感悟新知 知4－练 如图29.1－12，棱长为的正方体的侧棱与平面H平行， 其上、下底面的对角线AC，A1C1与平面H垂直. 例 7 感悟新知 知4－练 (1)作出正方体在平面H上的正投影； 思路引导： 感悟新知 知4－练 解：正方体在平面H上的正投影如图29.1－13所示， 为矩形MNPQ. 感悟新知 知4－练 (2)计算正投影的面积. 思路引导： 感悟新知 知4－练 解：如图29.1－13 ，连接BD， ∵正方体的棱长为，∴由勾股定理 得BD＝＝2，∴ MQ＝BD＝2. 又∵ MN＝BB1＝，∴正投影的面积为2×＝2. 感悟新知 知4－练 7－1. 已知一纸板的形状为正方形ABCD，如图所示， 其边长为10厘米，AD，BC与投影面β 平行，AB，CD与投影面β 不平行，正方形ABCD在投影面β上的正投影为四边形A1B1C1D1，若∠ABB1＝45°，求投影A1B1C1D1的面积. 感悟新知 知4－练 感悟新知 投影 物体的 投影 投影线 的特征 平行投影 投影线垂直 于投影面 正投影 中心投影 课堂小结 题型 投影与圆 1 在生活中需测量一些球(如足球、篮 球)的直径，某校研究性学习小组通 过实验发现下面的测量方法：如图29.1－14，将球放在水平的桌面上，在太阳光的照射下，得到球的影子AB，设光线DA，CB 分别与球相切于点E，F，则EF 为球的直径. 若测得AB＝40 cm，∠ABC＝30°，请你计算球的直径. 例 8 综合应用创新 解题秘方：紧扣“过两切点的光线间的距离即为球的直径”进行计算. 综合应用创新 解：如图29.1－14 ，过点A作AG⊥BC于点G，则∠AGF＝ 90°. ∵ CB切球于点F，DA切球于点E，EF为 球的直径，∴∠GFE＝90°，∠FEA＝90°. ∴四边形AEFG是矩形. ∴ EF＝AG. 在Rt△AGB中，AB＝40 cm，∠ABC＝30°， ∴ AG＝AB＝×40＝20(cm). ∴ EF＝20 cm. ∴球的直径为20 cm. 综合应用创新 知识储备 1. 平行线间的距离处处相等. 2. 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半. 综合应用创新 题型 投影与相似 2 [期中·济南历下区] 如图29.1－15，小树AB在路灯灯泡O的照射下形成投影BC． 例 9 解题秘方：紧扣“灯泡、树顶、影子外端在一条直线上”建立相似三角形模型，利用相似三角形的性质解题． 综合应用创新 (1)此光源下形成的投影属于_________(填“平行投影”或“中心投影”)； (2)若树高AB为2 m ，树影BC为3 m ，小树与灯泡的水平距离BP为4.5 m，求灯泡的高度OP． 中心投影 综合应用创新 解：∵ BC＝3 m ，BP＝4.5 m ，∴ PC＝BC＋BP＝7.5 m. ∵ AB⊥CP，PO⊥PC，∴ OP∥AB. ∴△ABC∽△OPC. ∴＝，即＝，解得OP＝5 m. 答：灯泡的高度OP为5 m． 小树与地面垂直. 综合应用创新 特别提醒 与中心投影有关的题，主要涉及两个方面，一是根据影子确定点光源，解题的关键是找到投影线的交点；二是建立几何模型，根据解直角三角形和相似的知识求影长、影距或物高. 综合应用创新 题型 投影与解直角三角形 3 如图29.1－16，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2 m的影子CE；当光线与地面的夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影 子F与墙脚C有25 m的距离(B， F，C 在一条直线上). 例10 综合应用创新 解题秘方：用建模思想建立解直角三角形的模型，利用三角函数的边角关系建立分式方程求解. 综合应用创新 解：如图29.1－16， 过点E作EM⊥AB，垂足是点M. 设AB的高度为x m，在Rt△ABF中，∠AFB＝45°， ∴BF＝AB＝x m. 易得ME＝BC＝(x＋25)m， AM＝AB－BM＝AB－CE＝(x－2)m. (1)求办公楼AB 的高度； 综合应用创新 在Rt△AME中，tan ∠AEM＝， ∴ tan 22 °＝，即≈ ，解得x≈ 20. 经检验，符合题意. 答：办公楼AB的高度约是20 m. 综合应用创新 技巧点拨 此处通过锐角三角函数的边角关系建立关于x的分式方程，通过解分式方程使问题得到解决，体现了方程思想. 综合应用创新 解：由(1) 可知，ME ≈ 45 m， 在Rt△AME 中， cos∠AEM＝，∴ cos 22°≈，即≈. ∴ AE≈ 48 m. 答：A，E之间的距离约是48 m. (2)若要在A，E 之间挂一些彩旗，请你求出A，E 之间的距离. (参考数据：sin 22°≈，cos 22°≈，tan 22°≈ ) 综合应用创新 解法提醒 本题是在投影知识的背景下，利用解直角三角形的知识来解决实际问题的综合题. 解题的关键是从题中获取所需要的数据，然后构造直角三角形，利用解直角三角形的知识求解. 综合应用创新 题型 投影与函数 4 夜晚，小明在路灯下散步. 已知小明身高1.5 m，路灯的灯柱高4.5 m. (1)如图29.1－17 ①，若小明(EF)在 相距10 m的两路灯AB，CD之间行走 (不含两端)，他前后的两个影子长分别为FM＝x m，FN＝y m. 试求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； 例11 综合应用创新 思路引导： 综合应用创新 解：由题意，知EF∥AB，则△MEF∽△MAB， 所以＝，即＝＝. 所以MB＝3x m，所以FB＝2x m. 同理可得FD＝2y m. 因为BD＝10 m，所以2x＋2y＝10，即y＝－x＋5 . 因为当EF接近AB时，影长FM接近0，即x>0； 当EF接近CD时，影长FN接近0，即y＝－x＋5>0， 所以x< 5，所以0<x<5 . 综合应用创新 另解 假设小明(EF)位于灯柱CD的位置，则影子FM如图29.1－18所示，由△MEF ∽△MAB， 得＝，代入数据解得FM＝5 m， 所以FM<5 m，即x<5. 综合应用创新 易错警示 实际问题中自变量的取值范围通常隐含在已知条件中，小明在两路灯之间行走(不含两端)，说明小明(EF)可以无限接近但不能到达灯柱AB 与灯柱CD，即自变量x 可以接近0 和5，但不能等于0和5，审题时切记结合图形理解题意. 综合应用创新 (2)常言道：“形影不离.”其原意为人的影子与自己紧密相 伴，无法分离. 但在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样的. 如图29.1－17 ②，若小明(EF)在灯柱PQ前朝着影子FR的方向以0.8 m/s的速度匀速行走，试求他的影子的顶端R在地面上移动的速度. 综合应用创新 思路引导： 综合应用创新 解：设运动t s后，小明(E′F′)的影子为F′R′，连接EE′，如图29.1－19所示，则EE′＝FF′＝0.8t m. 由EF∥PQ，得△REF∽△RPQ， 所以＝＝＝，所以＝. 由EE′∥RR′，得△PEE′∽△PRR′， 所以＝，即＝，所以RR′＝1.2t m. 综合应用创新 所以v影子＝＝1.2(m/s). 即小明的影子的顶端R在地面上移动的速度为1.2 m/s. 综合应用创新 技巧点拨 解决投影与相似三角形的综合问题的方法： 解决投影与相似三角形的综合问题要根据题意画出图形，结合投影的性质运用三角形相似的有关知识找出有关线段之间的长度关系，进而列式求解. 综合应用创新 易错点 混淆中心投影与正投影的特征而致错 在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长 (两人都是站立的)，那么在同一路灯下( ) A. 小明的影子比小强的影子长 B. 小明的影子比小强的影子短 C. 小明的影子与小强的影子一样长 D. 无法判断谁的影子长 例12 综合应用创新 答案：D 错解：A 正解：太阳光下的影子属于平行投影，遵循在同时同地的情况下，物高与影长成比例的规律；路灯下的影子属于中心投影，无法判断在同一路灯下谁的影子长. 综合应用创新 诊误区： 平行投影中，同时同地，物高与影长成正比，但中心投影中影长不仅与物高有关， 还与物体与点光源的位置有关. 综合应用创新 [中考·凉山州]如图29.1－20，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB∶ BB1＝2∶ 3，则△A1B1C1的面积是( ) A. 90 cm2 B. 135 cm2 C. 150 cm2 D. 375 cm2 考法 利用中心投影的特征计算 1 例13 中考风向标 试题评析：本题考查中心投影的特征，结合位似的性质进行计算是解题的关键. 答案：D 解：由题意可知，△ABC与△A1B1C1是位似图形，且相似比为＝， ∴ △A1B1C1的面积是60÷()2＝375(cm2). 中考风向标 [中考·陕西] 一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度，如图29.1－21， 当李明走到点A处时，张龙测得 李明直立时身高AM与其影子长 AE 正好相等； 考法 利用相似三角形求物高 2 例14 中考风向标 接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高为BN，其影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高(结果精确到0.1 m). 试题评析：本题考查相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而得到相似三角形. 中考风向标 解：设CD的长为x m， 由题意知AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝BN＝MA＝1.75 m，∴ MA∥CD∥BN，∠E＝45°. ∴ EC＝CD＝x m，△ABN∽△ACD. ∴＝，即＝. 解得x＝6.125 ≈ 6.1， 经检验，x＝6.125是原方程的解，∴路灯的高约为6.1 m. 中考风向标 [中考·黄石]如图29.1－22，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，测得BC＝5 米，CD＝4 米， ∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A 的仰角为45°，则电线杆AB的高度约 为______米．(参考数据：≈1.414， ≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数) 考法 利用解直角三角形解决斜坡投影问题 3 例15 10.5 中考风向标 试题评析：本题主要考查利用解直角三角形解决斜坡投影问题，解题的关键是将坡面上的投影转化到水平面上，利用解直角三角形解决. 中考风向标 解：如图29.1－22，延长AD交BC的延长线于 点E，过点D作DF⊥BE于点F. ∵∠BCD＝150°， ∴∠DCF＝30°. 又∵CD＝4 米，∴DF＝2 米， ∴ CF＝＝2米. 由题意得∠BEA＝45°，∴易得AB＝BE，EF＝DF＝2米. ∵ BC＝5米，∴ BE＝BC＋CF＋EF＝5＋2＋2＝ (7＋2)米. ∴ AB≈ 10.5 米. 中考风向标 1. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的是( ) C 综合素养训练 2. 若只增大物体与投影面之间的距离，则其正投影( ) A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 无法确定 C 综合素养训练 3. [中考·南京]如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地 面，纸板上方的灯(看成一个点)与这条对角线所确定的平面垂直于纸板. 在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是( ) D 综合素养训练 4. [中考•绍兴]如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板的一边长为8cm，则投影三角板的对应边长为( ) A. 20 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 3.2 cm A 综合素养训练 5. 如图，小亮居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小亮由A处径直走到B处， 他在灯光照射下的影长l与行走的路程S之 间的变化关系用图象刻画出来大致是(　　) B 综合素养训练 6. 《孙子算经》中有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸. 问竿长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺. 同时立一根一尺五寸的标杆，它的影长是五寸. 竹竿的长度是_______尺.(1 丈等于10 尺，1 尺等于10 寸) 45 综合素养训练 7. [中考·眉山]如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60° 时，大树在斜坡上的影子BE长为10 米，则大树AB的高为____________米. 综合素养训练 8. 如图①，② 分别是两根木杆及其影子的图形． (1)哪个图形反映了阳光下的情形？哪个图形反映了路灯下的情形？ 解：题图①为路灯下的情形，题图②为阳光下的情形． 综合素养训练 (2)请你画出图中表示小树影长的线段. 解：如图①所示，AB即为所求；如图②所示，CD即为所求． 综合素养训练 9. 如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC＝30°，已知窗户的高度AF＝2 m，窗台的高度CF＝1 m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8 m，求CP的长度(结果精确到0.1 m)． 综合素养训练 综合素养训练 10.[月考·临沂兰山区]如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1 米，继续往前走3 米到达E处时，测得影子EF的长为2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯A的高度AB是多少米？ 综合素养训练 综合素养训练 11.中国古代运用“土圭之法”判别四季． 夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探 索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直于地面，AB长8 尺. 综合素养训练 在夏至时，杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为 BC；在冬至时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD. 已知∠ACB＝73.4 °，∠ADB＝26.6 °，求春分和秋分时日影长度.(结果精确到0.1 尺；参考数据：sin 26.6°≈ 0.45，cos 26.6°≈ 0.89，tan 26.6°≈ 0.50，sin 73.4°≈ 0.96， cos 73.4°≈ 0.29，tan 73.4°≈ 3.35) 综合素养训练 综合素养训练 解：如图，过点D作DH⊥AB于点H， 则DH＝AC＝2.7 m，HA＝DC＝1.2 m. 由同一时刻太阳光下物高与影长成正比， 得＝，即＝， 解得BH＝3 m. 所以AB＝3＋1.2＝4.2(m)，即树高是4.2 m. 解：易知△ABC∽△DOC，∴＝， ∴＝，∴OD＝4 m. 答：灯泡的高度为4 m. 解：由题易知，投影A1B1C1D1为矩形，过点A作AH⊥BB1交BB1所在直线于点H. ∵∠ABB1＝45°，∴△ABH是等腰直角三角形． ∴AH＝AB＝×10＝5(厘米)． 易知A1B1＝AH＝5厘米，A1D1＝AD＝10厘米．∴矩形A1B1C1D1的面积＝A1B1·A1D1＝5×10＝50(平方厘米)． (4－2) 解：根据题图可知AD∥CP.又∵∠DPC＝30°，∴∠ADB＝∠DPC＝30°.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，AD＝0.8 m， ∴AB＝AD·tan∠ADB＝0.8×≈0.46 (m)．∵AF＝2 m，CF＝1 m，∴BC＝AF＋CF－AB≈2.54 m. 在Rt△BCP中，∠BPC＝30°，BC≈2.54 m，∴CP＝≈≈4.4 (m)． 答：CP的长度约为4.4 m. 解：易知当王华在C处时，Rt△DCG∽Rt△DBA， ∴＝，当王华在E处时，Rt△FEH∽Rt△FBA， ∴＝.∵CG＝EH＝1.5米，∴＝. ∵CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，∴＝，解得BC＝3米，∴BD＝4米．∵＝，∴＝， 解得AB＝6米，即路灯A的高度AB是6米． 解：在Rt△ABC中，AB＝8尺，∠ACB＝73.4°， ∴tan 73.4°＝≈3.35，∴BC≈≈2.4(尺)． 在Rt△ABD中，AB＝8尺，∠ADB＝26.6°， ∴tan 26.6°＝≈0.50，∴BD≈＝16.0(尺)． ∵＝9.2(尺)， ∴春分和秋分时日影长度约为9.2尺． $$ 满分题溯源 第二十九章 投影与视图 方法技巧 投影与视图的解题技巧 课时导入 视图和投影都是实现立体图形和平面图形的相互转化，解决问题时要把握基本要领：“长对正、高平齐、宽相等.”还要注意线条的虚实，看得见的部分的轮廓线应画成实线，看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 满分题溯源 技巧 由几何体确定三视图，即“由物画图” 1 例 1 斗拱是中国古典建筑上的重要部件． 如图1 是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为图2 中的( ) 满分题溯源 解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线. 答案：C 满分题溯源 技巧 根据三视图确定几何体的形状，即“由图想物” 2 [中考·呼和浩特]图3 是某几何体的三视图，则这个几何体是图4 中的( ) 例 2 满分题溯源 解：结合三视图发现：该几何体为圆柱和长方体的组合体，且圆柱的底面直径与长方体底面的宽相等. 答案：C 满分题溯源 技巧 根据三视图计算几何体的表面积或体积 3 例 3 如图5 是一个几何体的三视图. (1)写出这个几何体的名称； 解：这个几何体的名称是三棱柱. 满分题溯源 (2)画出这个几何体的表面展开图； (3)根据图中的数据，求这个几何体的侧面积. 解：这个几何体的表面展开图如图6. (答案不唯一) 这个几何体的侧面积是8×3×3＝72(cm2). 满分题溯源 $$ 29.2 三视图 29.3 课题学习 制作立体模型 第二十九章 投影与视图 学习目标 知识点 视图及相关概念 知1－讲 1 1. 视图 视图 当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图 正面、水平 面、侧面 用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对着我们的平面叫做正面，下方的平面叫做水平面，右边的平面叫做侧面 感悟新知 知1－讲 续表 三视图 对一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图 图示 感悟新知 知1－讲 2. 常见几何体的三视图 名称 图形 主视图 左视图 俯视图 正方体 长方体 圆柱 感悟新知 知1－讲 2. 常见几何体的三视图 名称 图形 主视图 左视图 俯视图 圆锥 球 感悟新知 知1－讲 拓展延伸 1. 三视图与以前学习的从三个方向看物体得到的平面图形是一致的，只不过现在是从投影的角度来认识这个问题，并且对三个方向作出明确的规定. 2. 主视图、俯视图和左视图都是相对于观察者而言的，位于同一物体不同方向上的观察者，他们所画的三视图可能不一样. 3. 三视图中的各视图，分别从不同方面表示物体的形状，单独一个视图难以全面地反映物体的形状，三者合起来才能较全面地反映物体的形状. 感悟新知 知1－练 例 1 [中考·自贡]下列几何体中(图29.2－1)，俯视图与主视 图形状相同的是( ) 感悟新知 知1－练 解题秘方：紧扣“三视图的定义”，根据各几何体正面、左面、上面的正投影的形状进行解答． 解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故A 选项不符合题意；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故B选项不符合题意；正方体的主视图和俯视图都是正方形，故C选项符合题意；棱台的主视图是梯形，俯视图是矩形，矩形内部有一个小矩形，故D 选项不符合题意． 答案：C 感悟新知 知1－练 速记口诀 视图来源正投影，三个方向实物成，从前向后主视图， 从上向下俯视图，从左向右左视图，统称物体三视图. 感悟新知 知1－练 1－1.[中考· 永州] 下列几何体中，其三视图中的主视图和左视图都为三角形的是(　　) D 感悟新知 知1－练 [中考·兴安盟]由7个完全相同的小正方体组成的几何体如图29.2－2所示，下列给出的四个平面图形中不属于该几何体三视图的是( ) 例 2 感悟新知 知1－练 思路引导： 解：主视图是D选项，左视图是A选项，俯视图是B选项. 答案：C 感悟新知 知1－练 2－1.[中考· 天津] 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(　　) B 感悟新知 知1－练 例 3 [中考·福建]如图29.2－3 是由长方体和圆柱组成的几 何体，其俯视图是( ) 感悟新知 知1－练 解题秘方：先分别判断长方体和圆柱的俯视图，再考虑两个俯视图的位置关系. 解：这个几何体的俯视图是圆，圆内部中间有一个矩形． 答案：C 感悟新知 知1－练 3－1.[中考· 江西] 如图所示的几何体，其主视图为(　　) B 感悟新知 知2－讲 1. 三种视图之间的关系： (1)位置关系：主视图在左上边，主视图的正下方是俯视图，左视图在主视图的右边，主视图反映物体的长和 高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽. (2)大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等. 知识点 由几何体画三视图 2 感悟新知 知2－讲 2. 三视图的画法： (1)确定主视图的位置，画出主视图； (2)在主视图的正下方画出俯视图，并且主视图与俯视图“长对正”； (3)在主视图的正右方画出左视图，与主视图“高平 齐”，与俯视图“宽相等”. 感悟新知 知2－讲 速记口诀 视图位置要摆明，画图规则要记清. 主俯视图长对正，左俯视图宽相等. 主左视图高平齐，实线虚线应分清. 图示(如图29.2-4)： 感悟新知 知2－练 画出图29.2－5 中几何体的三视图. 例 4 感悟新知 知2－练 思路引导： 感悟新知 知2－练 解：该几何体由一个长方体和一个三棱柱组合而成，依据三视图的定义，可得该几何体的三视图如图29.2－6所示. 感悟新知 知2－练 画法提醒：画几何体的三视图时，要仔细观察几何体，从要看的方向将几何体压缩到平面上，使几何体在这一方向上没有厚度，同时要特别注意三视图之间应遵循：主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等. 感悟新知 知2－练 4－1.[期末·景德镇乐平市] 如图是由7个小立方块搭成的几何体.请画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图. 解：作图如下． 感悟新知 知2－练 一种机器上有一个零件叫燕尾槽(如图29.2－7)，请画出它的三视图. 例 5 感悟新知 知2－练 解题秘方：紧扣三视图的画法画图，关键是分清实线和虚线. 解：这个燕尾槽的三视图如图 29.2－8所示. 感悟新知 知2－练 5－1.[期末·咸阳秦都区]画出如图所示几何体的三视图． 解：该几何体的三视图如下． 感悟新知 知3－讲 知识点 由三视图确定几何体 3 1. 由三视图确定几何体的方法 由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视 图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左面的形状，然后综合起来考虑整体形状. 感悟新知 知3－讲 2. 由三视图想象几何体形状的常用途径 (1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左面的形状. (2)根据实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线. (3)熟记一些简单几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助. 感悟新知 知3－讲 示例：由三视图确定几何体的形状(图29.2－9). 感悟新知 知3－讲 特别解读 几何体、三视图和展开图之间的关系： 1. 几何体的三视图和展开图是平面图形，一般情况下，几何体、三视图和展开图中，三者知其一，就能确定另外两种图形， 即三者之间可以互相转化. 2. 一个摆好的几何体的三视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性. 感悟新知 知3－练 [中考·资阳]某几何体的三视图如图29.2－10所示，则 该几何体是( ) A.长方体 B.棱锥 C.圆锥 D.球体 例 6 感悟新知 知3－练 解题秘方：紧扣“几何体与三视图之间的关系”进行识别. 解：由三视图可知该几何体是长方体，且底面是正方形. 答案：A 感悟新知 知3－练 6－1.[中考· 苏州]今天是父亲节，小东同学准备送给父亲一个小礼物． 已知礼物外包装的主视图如图所示，则该礼物的外包装不可能是( ) A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 三棱锥 D 感悟新知 知4－讲 1. 由三视图制作立体模型的一般方法： 观察三视图，并综合考虑各视图表达的含义以及视图间的联系，想象各视图表示的物体的形状，将平面图形制作成立体模型. 2. 制作工具：刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板、马铃薯(或萝卜)等. 知识点 由三视图制作立体模型 4 感悟新知 知4－讲 3. 一般步骤及操作： 步骤 操作 想象 由三视图想象立体图形的形状 制作 用材料制作平面部件 粘贴 将平面部件有序粘贴得到立体模型 感悟新知 知4－讲 特别说明 根据三视图制作立体模型时，一般以硬纸板作为主要材料. 感悟新知 知4－练 如图29.2－11所示(单位：cm)是某校升旗台的三视图. 例 7 解题秘方：根据三视图确定物体的形状，并结合三视图中的数据确定物体的数据. 感悟新知 知4－练 (1)画出升旗台的立体模型示意图； (2)计算出升旗台的体积. 解：立体模型如图29.2－12所示. 升旗台的体积为150×[40×20＋40×(20×2)＋40×(20×3)]＝150×4 800＝720 000(cm3). 感悟新知 知4－练 7－1.如图①是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型. (1)这个几何体模型的最确切的名称是 ________； 三棱柱 感悟新知 知4－练 (2)如图②是根据a，h的取值画出的该几何体的主视图和俯视图，图中的粗实线表示正方形(中间一条虚线)和三角形，请在网格中画出该几何体的左视图. 解：左视图如图所示． 感悟新知 三视图 课题学习 制作立体模型 三视图 主视图 左视图 俯视图 画法 应用 课堂小结 题型 确定小正方体的个数 1 用小正方体搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图29.2－13 所示，这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小正方体？ 最多需要多少个小正方体？ 例 8 综合应用创新 解题秘方：观察主视图，在俯视图对应的方格中填上小正方体的可能个数即可. 综合应用创新 解: 观察主视图可知，该几何体左边第1列有三层小正方 体，因此俯视图中左边第1列3个方格所在的位置，最少有5个小正方体，最多有9个小正方体；同理，俯视图中间一列3个方格所在的位置，最少有4个小正方体，最多有6个小正方体；俯视图右边一列的方格所在的位置只有1个小正方体. 综合应用创新 故符合要求的几何体不是只有一种，它最少需要10 个小正方体，如图29.2－14 ①(其中“3”“2”可在其所在列任意位 置)；最多需要16个小正方体，如图29.2－14 ②，图29.2－14 中的数字表示该位置上小正方体的个数. 综合应用创新 技巧点拨 “3”的位置既可以在第一列最上面，也可以在第一列中间，还可以在第一列最下面，其所对应几何体的主视图和俯视图都满足题意. 综合应用创新 题型 求几何体中的线段长 2 一个三棱柱(如图29.2－15①)的三视图如图29.2－15②所示，已知在△EFG 中，EF＝6 cm， ∠EFG＝45°，则AB的长 为( ) A. 6 cm B. 3 cm C. 3 cm D. 6 cm 例 9 综合应用创新 解题秘方：根据三视图的“长对正，高平齐，宽相等”的意义计算. 解：如图29.2－16 ，过点E作EQ⊥FG于点Q， 由题意可得出EQ＝AB. ∵ EF＝6 cm，∠EFG＝45°， ∴ AB＝EQ＝EF·sin45°＝6×＝3(cm). 答案：B 综合应用创新 特别警示 此题容易忽视三视图之间的关系，不会将求AB的长转化为求FG边上的高. 综合应用创新 知识储备 主视图、俯视图的长相等，主视图、左视图的高相等，俯视图、左视图的宽相等，本题中根据“俯视图、左视图的宽相等”得出FG边上的高与AB的长相等是解题关键. 综合应用创新 题型 求几何体的侧面积(表面积) 3 [中考·淮安]如图29.2－17所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是( ) A.12π B.15π C.18π D.24π 例10 综合应用创新 解题秘方：先由三视图还原几何体，再利用相关数据和几何体的侧面积公式进行计算． 解：由三视图可知此几何体为圆锥，∵圆锥底面圆的直径为6，高为4，∴圆锥的母线长为＝5，∴圆锥的侧面积为π××5＝15π． 答案：B 综合应用创新 知识储备 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则圆锥侧面积：S圆锥侧=πrl；圆锥的表面积：S表面积=πrl+πr2． 综合应用创新 题型 求几何体的体积 4 已知一个几何体的三视图如图29.2－18所示，则该几何体的体积为( ) A.720π B.780π C.(225＋25)π D.900π 例11 综合应用创新 解题秘方：紧扣“三视图”与“几何体”之间的关系解题. 答案：B 解：根据几何体的三视图可知该几何体是圆柱和圆锥的组合体，圆柱的体积为π×()2×20＝720π，圆锥的体积为×π×()2×5＝60π，所以该几何体的体积为720π＋60π＝780π. 综合应用创新 技巧点拨 由三视图求几何体表面积、体积的方法： 先由三视图还原出几何体，弄清三视图中各线段在几何体中对应的部分，然后根据三视图所标尺寸得到几何体的相关数据，再计算表面积或体积. 综合应用创新 易错点 画几何体的三视图时，混淆轮廓线的虚与实 在方格图(图29.2－19 ②)中画出如图29.2－19 ①所示(图中单位：cm)的几何体的主视图、左视图和俯视图，每个小 方格的边长代 表1 cm. 例12 综合应用创新 错解：如图29.2－20所示. 综合应用创新 正解：如图29.2－21所示. 综合应用创新 诊误区： 画三视图时，一定要遵循看得见的轮廓线用实线，被遮住看不见的轮廓线用虚线.本题错解中，画三视图时看不到的轮廓线错画成了实线，有时还可能漏掉这条线. 综合应用创新 [中考·随州]如图29.2－22所示的是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何体的三视图中完全 相同的是(　　) A. 主视图和俯视图 B. 左视图和俯视图 C. 主视图和左视图 D. 三个视图均相同 考法 单一几何体三视图的判断 1 例13 中考风向标 试题评析：本题考查了几何体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键． 答案：C 解：圆柱的三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为矩形，俯视图是一个圆． 中考风向标 [中考·烟台] 如图29.2－23所示的是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走(　　) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 考法 组合几何体三视图的判断 2 例14 中考风向标 试题评析：本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键． 解：若取走标号为① 的小正方体，则左视图为 ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A 符合题意． 答案：A 中考风向标 [中考·乐山]下列文物中，俯视图是四边形的是(　　) A. 带盖玉柱形器 B. 白衣彩陶钵 C. 镂空人面覆盆陶器 D. 青铜大方鼎 考法 利用反比例函数解跨学科问题 3 例15 中考风向标 试题评析：本题考查实物图的三视图，将实物图抽象成几何图形是解题关键. 答案：D 解：选项A 中的“带盖玉柱形器”的俯视图是圆，因此选项A 错误；选项B 中的“白衣彩陶钵”的俯视图是三个同心圆，因此选项B 错误；选项C 中的“镂空人面覆盆陶器” 的俯视图是两个同心圆，因此选项C错误；选项D中的“青铜大方鼎”的俯视图是四边形，因此选项D 正确． 中考风向标 [中考·安徽] 某几何体的三视图如图29.2－24所示，则该几何体为( ) 考法 根据三视图还原几何体 4 例16 中考风向标 试题评析：本题主要考查由三视图判断几何体的形状，掌握常见几何体的三视图是解题关键． 答案：D 解：观察三视图可知，该几何体的下半部分是圆柱，上半部分是圆锥. 中考风向标 [中考·济宁] 一个几何体的三视图如图29.2－25，则这个几何体的表面积是( ) A.39 π B.45 π C.48 π D.54 π 考法 根据三视图计算几何体的表面积 5 例17 中考风向标 试题评析：本题考查根据三视图计算几何体的表面积，解题的关键是判断出该几何体是圆锥和圆柱的组合体，再利用相应面积公式进行计算. 中考风向标 答案：B 解：由三视图可知，原几何体是由一个圆锥和一个圆柱组合成的几何体，其中圆柱底面圆的直径为6，高为4，圆锥底面圆的直径为6，母线长为4，所以这个几何体的表面积为π×()2＋6π×4＋×6π×4＝45π． 中考风向标 1. [中考•广元]一个几何体如图水平放置，它的俯视图是( ) C 综合素养训练 2. 葫芦在我国古代被看作吉祥之物． 如图是一个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是( ) A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图与俯视图都相同 A 综合素养训练 3. 下面是初中实验室常用的四个化学仪器，其中主视图是轴对称图形的仪器是( ) A. 量筒 B. 烧杯 C. 蒸发皿 D. 锥形瓶 D 综合素养训练 4. [中考·河北]如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是( ) D 综合素养训练 5. [中考·云南]某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的，其中一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是( ) A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 长方体 D 综合素养训练 6. [中考·包头]如图，正方形ABCD边长为2 ，以AB所在直线为轴，将正方形ABCD旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为( ) A. 8 B. 4 C. 8π D. 4π A 综合素养训练 7. [中考·菏泽]如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据，计算这个几何体的体积为( ) A.12π B.18π C.24π D.30π B 综合素养训练 8. [中考·黑龙江龙东地区]一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 C 综合素养训练 9. 如图所示是某几何体的表面展开图. (1)这个几何体的名称是______； (2)该几何体直立放置时，画出它的三视图； 圆柱 解：如图所示． 综合素养训练 (3)求这个几何体的表面积(π≈3.14). 综合素养训练 10. 如图是一个几何体的三视图. (1)写出这个几何体的名称； 解：圆锥． 综合素养训练 (2)如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B 出发，沿表面爬到AC 的中点D，请求出爬行的最短路程. 综合素养训练 综合素养训练 解：这个几何体的表面积为10π×20＋2×π×＝200π＋50π＝250π≈250×3.14＝785. 解：如图，将圆锥的侧面展开，连接BC，BD，线段BD的长即为所求的最短路程． 易得的长为×4π＝2π(cm)． 设∠BAC的度数为n°，则＝2π， 解得n＝60.∴∠BAC＝60°. 又∵AC＝AB，∴△ABC是等边三角形， ∵D是AC的中点，∴BD⊥AC， ∴BD＝AB·sin 60°＝3cm.∴爬行的最短路程为3cm. $$