精品解析：上海市徐汇区南洋模范中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

南模初中2024学年九年级第一学期期中考试数学学科试卷 （考试时间100分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意； B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意； D、两个等腰梯形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意； 故选：C． 2. 在中，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出图形，再由锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：C． . 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是余弦的定义． 3. 已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行向量的定义“方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量”进行逐一判定即可． 【详解】A选项，由于，所以、的方向相同，由于，故、的方向相同，所以，不符题意； B选项，因为，所以和的方向相同，由于，所以、、的方向相同，所以，不符题意； C选项，因为，所以、的方向相反，故的，不符题意； D选项，因为，所以、的方向不能确定，故不能判定其位置关系，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查的是向量平行向量的定义，理解向量的定义是解决问题的关键． 4. 如图，在中，，垂足为点，以下条件中不能推出为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题根据直角三角形的定义和相似三角形的判定方法判断即可． 【详解】A. 因为 ，，所以，即为直角三角形，故A正确． B. 因为，而且，所以，那么，因为，所以，即为直角三角形，故B正确． C. 因为，而且，所以，那么，即为直角三角形，故C正确． D. ，而且，所以，因为，所以两三角形全等，只能说明为等腰三角形，无法说明是直角三角形，故D错误． 故选：D 【点睛】此题考查相似三角形，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 5. 上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于 A. 一个篮球场的面积 B. 一张乒乓球台台面的面积 C. 《中学生报》的一个版面的面积 D. 《数学》课本封面的面积 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题意知，按比例尺缩小后，其面积大约为，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，上海人民广场占地面积约为，按比例尺缩小后，其面积大约为，相当于《中学生报》的一个版面的面积， 故选：C． 6. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　） A. AB2＝AP2+BP2 B. BP2＝AP•BA C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义分别进行判断． 【详解】解：P为AB的黄金分割点（AP＞PB）可得AP2＝AB•PB或． 故选：D． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分18分） 7. 如果，那么的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．整体代入是解题的关键． 由题意知，，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 8. 已知线段b是线段a、c的比例中项，且，那么_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即．即可求解． 【详解】解：若b是a、c的比例中项， 即．则． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负． 9. 已知抛物线有最高点，那么a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线有最高点，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵抛物线有最高点， ∴， 解得，， 故答案为：． 10. 如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点都在横线上，且两点间的距离为4，那么两点间的距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求解即可． 【详解】解：如下图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点， 则，即， 解得 ． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理，找准等量关系是解题关键． 11. 若向量与单位向量的方向相反，且，则_____．（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答． 【详解】解：∵向量与单位向量的方向相反，且， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向． 12. 抛物线在对称轴的左侧部分是_________的（填“上升”或“下降”）． 【答案】下降 【解析】 【分析】根据二次函数的性质解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧部分随着的增大而减小． 故答案为：下降． 【点睛】本题主要考查抛物线的性质，熟记抛物线的性质是解题的关键． 13. 已知拋物线经过点，那么点A关于对称轴对称的点B坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，对称轴为直线，则点A关于对称轴对称的点B坐标为． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∴点A关于对称轴对称的点B坐标为， 故答案为：． 14. 如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则=____． 【答案】1． 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出AD=DC=AB=BC=1，DC∥AB，BC∥AD，根据平行线分线段成比例定理求出，再相加即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=DC=AB=BC=1，DC∥AB，BC∥AD， ∴， ∴， ∴ 故答案为：1． 15. 在中，，点G是重心，如果，那么________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了重心的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握重心的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 如图，是的中线，由G是重心，，可求，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，是的中线， ∵G是重心，， ∴，即， 解得，， ∴， ∵，是的中线， ∴， 故答案为：9． 16. 如图，在中，，正方形的边在的边上，顶点E、H分别在边、上，如果其面积为24，那么的值为 _______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形性质，相似三角形判定与性质等知识点，由正方形面积为24，可得，，又，即可得，故，有，进而即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键． 【详解】正方形面积为24， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 17. 如图，在中，，，D为边上一动点（不与点B重合），以为边作正方形，连接，则当的面积最大时，的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】作于H，于 G，作于M，由等腰三角形三线合一可得，再证，计算出，，设，通过证明，可得，从而用含x的二次函数表示出，化为顶点式即可求解． 【详解】解：作于H，于 G，作于M，如图： ∵，， ∴，， ∵ ，， ∴， ∴，即， ∴，， 设，， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴当时，最大， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形、相似三角形、正方形、二次函数求最值综合，寻找线段与角度之间的等量关系是解题关键，二次函数求最值通常化为顶点式求解． 18. 如图，已知在两个直角顶点重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，，，，，将绕着点C顺时针旋转，当点D恰好落在边上时，连接，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】利用含30度角的直角三角形的性质，分别求出的长，证明，得到，推出，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， 设，则：， ∴， 在中，，即：， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查含30度的直角三角形，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，第19－22每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查三角函数的混合运算，将各三角函数值代入计算即可，熟记各三角函数值是解题的关键． 【详解】解： ． 20. 已知二次函数 （1）用配方法把这个二次函数化为顶点式的形式，并写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）将这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位．直接写出平移后新抛物线的表达式：________． 【答案】（1），对称轴是直线，顶点坐标 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键． （1）先化为一般式，再配方化为顶点式，然后写出数图象的对称轴和顶点坐标； （2）按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴对称轴是直线，顶点坐标； 【小问2详解】 解：这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得 ． 21. 已知：如图，中，点D是AC边上一点，且AD：DC=2：1． (1)设，先化简,再求作： (直接作在图中)； (2)用 (x、y为实数)的形式表示． 【答案】（1）， 即为所求． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平面向量加减混合计算的顺序和法则，先化简,再作图； （2）首先求出，再根据AD：CD=2：1，求出，根据计算即可解决问题 【详解】解：（1）； （2）∵，AD：DC=2：1， ∴AD=AC， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平面向量，平面向量的加法法则，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答： （1）如图1，白天在阳光下，小彬将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段，并测量出光线与地面的夹角为．在同一时刻同一地点，将一根与长度相等的木杆直立于地面，请写出此时木杆在地面上影子的长度________； （2）如图2，夜晚在路灯下，小彬仍将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P； ②经测量木杆距离地面1，其影子的长为3，求路灯P距离地面的高度． 【答案】（1） （2）①解：由中心投影的性质作图，如图2，点即为所求； ②3 【解析】 【分析】（1）如图1，过作交于，则，即为木杆在地面上影子，根据，计算求解即可； （2）①根据中心投影的性质作图即可；②如图3，过作于，交于，则路灯P距离地面的高度为的长，证明，则，即，计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，过作交于， ∴，即为木杆在地面上影子， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ①略 ②解：如图3，过作于，交于，则路灯P距离地面的高度为的长， ∵， ∴，， ∴，即， 解得，， ∴路灯P距离地面的高度为3． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正切，平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的应用，正切，平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图，已知在中，，点、分别在边、的延长线上，且，的延长线交于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明：， ． 、分别是和的外角， ，， ， ． 又， ． （2） 证明：，， ． ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据三角形外角的定义得到，即可证明； （2）先证明得到，再根据证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）已知点与点都是抛物线上的点． ①求的值； ②如果，求点的坐标． 【答案】（1）．点的坐标为 （2）①；②点的坐标为， 【解析】 【分析】（1）将和点代入即可求解； （2）①过点作，垂足为点．求出，根据等腰直角三角形的性质可得，则，根据正切函数的定义即可求解； ②过点作轴，垂足为点．可证出，根据正切函数的定义以及二次函数图象上点的坐标特征即可求解． 【小问1详解】 解：将、代入得， ，解得， 该抛物线的表达式为． 当时，， 点的坐标为； 【小问2详解】 ①连接，过点作，垂足为点． 在上， ，， ，， ，，， ， ． ， ； ②由题意可知，点在第二象限．过点作轴，垂足为点． ， ， ． ， 设，则，． ， 将代入，得， 解得或0（舍去）， 点的坐标为，． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、锐角三角函数、以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握待定系数法以及锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 25. 如图1，点D为内一点，联结，，以为邻边作平行四边形，与边交于点F，． （1）求证：； （2）延长，交边于点G，如果，且的面积与平行四边形面积相等，求的值； （3）如图2，联结，若平分，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行的性质推导出，即可证明； （2）延长交于点H，由题意可得，，再由（1）可得，从而得到是等腰三角形，H是的中点，由，可得，则，即可求； （3）延长交AE于点N，交于点M，根据平行四边形的性质和角平分线的定义，可得，则，再由，可知N是的中点，M是的中点，求出，证明，则有，可求，再求，由此即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于点H， ∵的面积与平行四边形面积相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长交AE于点N，交于点M， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴N是的中点， ∵， ∴M是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质，中位线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南模初中2024学年九年级第一学期期中考试数学学科试卷 （考试时间100分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形 2. 在中，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（ ） A. ， B. ， C. D. 4. 如图，在中，，垂足为点，以下条件中不能推出为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于 A. 一个篮球场的面积 B. 一张乒乓球台台面的面积 C. 《中学生报》的一个版面的面积 D. 《数学》课本封面的面积 6. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　） A. AB2＝AP2+BP2 B. BP2＝AP•BA C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分18分） 7. 如果，那么的值是________． 8. 已知线段b是线段a、c的比例中项，且，那么_____． 9. 已知抛物线有最高点，那么a的取值范围是________． 10. 如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点都在横线上，且两点间的距离为4，那么两点间的距离为______． 11. 若向量与单位向量的方向相反，且，则_____．（用表示） 12. 抛物线在对称轴的左侧部分是_________的（填“上升”或“下降”）． 13. 已知拋物线经过点，那么点A关于对称轴对称的点B坐标为________． 14. 如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则=____． 15. 在中，，点G是重心，如果，那么________． 16. 如图，在中，，正方形的边在的边上，顶点E、H分别在边、上，如果其面积为24，那么的值为 _______． 17. 如图，在中，，，D为边上一动点（不与点B重合），以为边作正方形，连接，则当的面积最大时，的长为_________． 18. 如图，已知在两个直角顶点重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，，，，，将绕着点C顺时针旋转，当点D恰好落在边上时，连接，那么________． 三、解答题（本大题共7题，第19－22每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19. 计算： 20. 已知二次函数 （1）用配方法把这个二次函数化为顶点式的形式，并写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）将这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位．直接写出平移后新抛物线的表达式：________． 21. 已知：如图，中，点D是AC边上一点，且AD：DC=2：1． (1)设，先化简,再求作： (直接作在图中)； (2)用 (x、y为实数)的形式表示． 22. 小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答： （1）如图1，白天在阳光下，小彬将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段，并测量出光线与地面的夹角为．在同一时刻同一地点，将一根与长度相等的木杆直立于地面，请写出此时木杆在地面上影子的长度________； （2）如图2，夜晚在路灯下，小彬仍将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P； ②经测量木杆距离地面1，其影子的长为3，求路灯P距离地面的高度． 23. 如图，已知在中，，点、分别在边、的延长线上，且，的延长线交于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）已知点与点都是抛物线上的点． ①求的值； ②如果，求点的坐标． 25. 如图1，点D为内一点，联结，，以为邻边作平行四边形，与边交于点F，． （1）求证：； （2）延长，交边于点G，如果，且的面积与平行四边形面积相等，求的值； （3）如图2，联结，若平分，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $