5.2 解一元一次方程 同步检测题2024-2025学年人教版数学七年级上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第5章 5.2 解一元一次方程 同步检测题（原卷版） 一、单选题 1．方程移项后正确的是（　　） A． B． C． D． 2．将方程去分母得到，错在（    ） A．分母的最小公倍数找错 B．去分母时，分子部分没有加括号 C．去分母时，漏乘了分母为1的项 D．去分母时，各项所乘的数为各分母的最小公倍数12 3．下列算式，运算正确的是（  ） A． B． C． D． 4．已知规定一种新运算：；，例如：；．若的值为17，且，则x的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D． 5．把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 6．下面是嘉淇同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并回答相应的问题． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 解得． 以上解题步骤中，开始出错的一步是（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 7．若代数式和的值相同，则x的值是（   ） A．9 B． C． D． 8．按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是，则输出y的值为；若输出 y 的值为，则输入x的值是（    ）    A．1 B． C．1或 D．无法确定 9．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较小的数，例如．按照这个规定，那么方程的解为（    ） A． B． C．1 D．或1 10．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ） A． B． C． D． 11．若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 12．已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．当 时，代数式与的值互为相反数． 14．已知，，那么的值等于 ． 15．在等式的两个“”内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且等式成立，则第一个“”内的数是 ． 16．已知方程和方程有相同的解，则的值为 ． 17．设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算，当时，求代数= 18．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 三、解答题 19．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．下面是小青同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的问题． 解方程：． 解：．………………第一步 ．………………第二步 ．………………第三步 ．………………第四步 ．………………第五 (1)填空：①以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是________； ②第________步开始出错，这一步错误的原因是________； ③请直接写出该方程的正确解为________． (2)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议． 21．方程可以有多种不同的解法，观察此方程，设． (1)原方程可变形为，解方程得： ，从而可得 ．(2)上述解法所用到的数学思想是 ．(3)利用上述方法解方程： 22．已知a、b为有理数，且，若关于x的一元一次方程的解为，则此方程为“合并式方程”．例如：，∴此方程为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为，求a、b的值． 23．观察下列关于x的方程，并回答问题．①的解是；②的解是；③的解是；… (1)猜想方程的解为______； (2)根据观察得到的规律，直接写出第2024个方程的解______； (3)根据观察得到的规律，写出解为的方程是____________． 24．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题 (1)判断：方程______（“是”或“不是”）“和解方程”． (2)关于x的一元一次方程是“和解方程”，求t的值． (3)关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求m、n的值． 25．定义，例如：，． 请完成下列问题：(1)_________，_________． (2)已知，求的值． (3)当时，求的值． 26．定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对1进行2次“”运算，由于1是奇数，因此，第一次运算的结果为，由于第一次运算的结果6是偶数，故第二次运算的结果为，所以的运算结果是3．据此回答下列问题： (1)求的运算结果． (2)若为奇数，且的运算结果为6，求的值． (3)若为奇数，且的运算结果为4，直接写出的值． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第5章 5.2 解一元一次方程 同步检测题（解析版） 一、单选题 1．方程移项后正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据等式的性质把含未知数的项移到方程左边，把常数项移到方程右边即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 故选：D． 2．将方程去分母得到，错在（    ） A．分母的最小公倍数找错 B．去分母时，分子部分没有加括号 C．去分母时，漏乘了分母为1的项 D．去分母时，各项所乘的数为各分母的最小公倍数12 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程——去分母，解题关键是掌握解一元一次方程的步骤．根据去分母法解一元一次方程进行判断即可． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， ∴去分母时，分子部分没有加括号，故B符合题意． 故选：B． 3．下列算式，运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了去括号．根据去括号法则解答，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 4．已知规定一种新运算：；，例如：；．若的值为17，且，则x的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程以及有理数混合运算．先计算出，根据求得a的值，代入列出关于x的方程，解之可得． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 5．把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，方程利用分数的基本性质化简，整理即可得到结果． 【详解】解：把方程的分母化为整数的方程是， 故选：D． 6．下面是嘉淇同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并回答相应的问题． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 解得． 以上解题步骤中，开始出错的一步是（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 【详解】去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 ∴第二步开始出错， 故选：B． 7．若代数式和的值相同，则x的值是（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程．根据题意得到一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得，． 故选：C． 8．按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是，则输出y的值为；若输出 y 的值为，则输入x的值是（    ）    A．1 B． C．1或 D．无法确定 【答案】A 【分析】考查了代数式求值，根据“输入x的值是，输出y的值为”求出a的值，再分两种情况：①当时，②当时y的值为，分别求出x的值即可． 【详解】解：， 把代入，得， 解得：， 或 当输出y的值为，分两种情况， ①当时，，解得：， ②当时，，解得：（舍去）， 输出y的值为时，输入x的值是1， 故选：A． 9．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较小的数，例如．按照这个规定，那么方程的解为（    ） A． B． C．1 D．或1 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的方法，解题的关键是分两种情况列出方程求解．根据题意，当时，；当时，，根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可． 【详解】， 有两种情况： ①当， 即时， 方程变为： ， 解得： ， 此时， 舍去； ②当， 即时， 方程变为， 解得：， 综合上述：． 故选：A． 10．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次方程和数字的变化规律，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．设，知，据此可得，再进一步求解可得． 【详解】解：设， 则， ， 解得， ， ， 故选：A 11．若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为正整数推出是整数，进而得到解得或2或4；再根据多项式次数和项的定义得到且，据此得到所有满足条件的整数a的值为1，4，由此可得答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是正整数， ∴是整数，且 ∴或2或4， ∵是二次三项式， ∴， ∴且， ∴所有满足条件的整数a的值为1，4， ∴所有满足条件的整数a的值之积是， 故选：C． 12．已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，得到的解为，类比得到答案． 【详解】∵，得到， ∴的解为， ∵方程的解是， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键． 二、填空题 13．当 时，代数式与的值互为相反数． 【答案】 【分析】本题考查相反数的定义，解一元一次方程，解题的关键是掌握互为相反数的两个数之和为0．根据相反数的定义列式，解方程即可． 【详解】解：代数式与的值互为相反数 解得： 故答案为：． 14．已知，，那么的值等于 ． 【答案】27 【分析】本题考查了比例的性质；设，则，代入等式中可求得k的值，即可求得的值，代入中即可求解． 【详解】解：设， 则，代入中， 得：， ， ， ， 故答案为：27． 15．在等式的两个“”内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且等式成立，则第一个“”内的数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设第一个“”内的数是，根据题意，可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】设第一个“”内的数是， 则， 解得：， 故答案为：． 16．已知方程和方程有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程， 首先根据一元一次方程的解法求出方程的解； 然后把x的值代入方程，求解m的值即可,解题的关键是能够求解关于的方程，要正确理解方程解的含义． 【详解】解： ， ，代入得： ， ， 故答案为：． 17．设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算，当时，求代数= 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及代数式求值，利用题中的新定义运算方法求出x的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义运算方法得：， 去括号得：， 解得：， ∴ ． ∴代数式的值是． 18．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解方程可得，由“美好方程”的定义可得方程的解为，将方程变形为，可得，据此即可求解，利用同解方程的意义解答是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵方程与是“美好方程”， ∴方程的解为， 将方程变形为， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了解一元一次方程，步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）移项合并同类项，把系数化为1即可求出解； （2）去括号，移项合并同类项，把系数化为1即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1即可求出解； （4）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把系数化为1即可求出解． 【详解】（1）解：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （2）解：去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为1，得； （3）解：去分母，得 移项合并同类项，得 系数化为1，得； （4）解：原方程可化为 去分母，得 移项合并，得 系数化为1，得. 20．下面是小青同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的问题． 解方程：． 解：．………………第一步 ．………………第二步 ．………………第三步 ．………………第四步 ．………………第五 (1)填空：①以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是________； ②第________步开始出错，这一步错误的原因是________； ③请直接写出该方程的正确解为________． (2)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议． 【答案】(1)①等式的基本性质，乘法对加法的分配律；②三，移项时没有变号；③ (2)去分母时要防止漏乘 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，掌握相关求解步骤以及易错点是解题关键． 【详解】（1）解：①第一步是依据等式的基本性质进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是乘法对加法的分配律； ②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项时没有变号； ③移项： ； 合并同类项：； 化系数为： 故答案为：①等式的基本性质，乘法对加法的分配律；②三，移项时没有变号；③ （2）解：去分母：； 去括号：； 移项： ； 合并同类项：； 化系数为： 去分母时要防止漏乘（答案不唯一） 21．方程可以有多种不同的解法，观察此方程，设． (1)原方程可变形为，解方程得： ，从而可得 ． (2)上述解法所用到的数学思想是 ． (3)利用上述方法解方程： 【答案】(1)， (2)换元思想（整体思想） (3) 【分析】本题通过代换法的应用以及解一元一次方程，掌握换元思想是解题关键． （1）解出方程得到的值，进而得到的值即可； （2）解题方法用到了换元思想； （3）设，将原方程换成的方程，解出方程得到的值，进而得到的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴，解得， 故答案为：，． （2）上述解法用到的数学思想为换元思想或者整体思想． 故答案为：换元思想（整体思想）． （3）设，原方程变形为：， ， ， ， ， ∴， ∴． 22．已知a、b为有理数，且，若关于x的一元一次方程的解为，则此方程为“合并式方程”．例如：，∴此方程为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为，求a、b的值． 【答案】(1)不是合并式方程，理由见解析； (2)． 【分析】（1）根据“合并式方程”的定义进行计算即可； （2）由“合并式方程”的定义可得，解方程组即可． 本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，已知式子的值求代数值的值，理解一元一次方程的解的定义以及“合并式方程”的定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：依题意，一元一次方程的解为， 而， ∴一元一次方程不是“合并式方程”； （2）解： 关于的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为， ， 即， ∵，它的解为， ∴ 把代入 得 解得， 再把代入 解得， 答：． 23．观察下列关于x的方程，并回答问题． ①的解是； ②的解是； ③的解是； … (1)猜想方程的解为______； (2)根据观察得到的规律，直接写出第2024个方程的解______； (3)根据观察得到的规律，写出解为的方程是____________． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，解一元一次方程，根据已知方程及其解的特征总结规律是解题关键． （1）观察关于x的方程可得出第n个方程为，且其解为，再结合所给方程即得出答案； （2）根据（1）所得规律解答即可； （3）根据（1）所得规律，分析得出是第个方程的解，再写出这个方程即可． 【详解】（1）解：观察关于x的方程可得出第n个方程为，其解为， 因为，即， 所以该方程的解为； （2）解：由（1）可知第2024个方程的解； （3）解：因为， 所以由（1）可知，该解为第个方程的解， 所以这个方程是，即． 24．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题 (1)判断：方程______（“是”或“不是”）“和解方程”． (2)关于x的一元一次方程是“和解方程”，求t的值． (3)关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求m、n的值． 【答案】(1)是 (2) (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，理解“和解方程”的定义是解题关键． （1）先解方程，再根据“和解方程”的定义判断即可； （2）先解方程，再根据“和解方程”的定义列关于的一元一次方程求解即可； （3）根据“和解方程”的定义可得方程的解为，进而得到，得到方程，求出的值，再求出的值即可． 【详解】（1）解：方程的解为， 而， 则方程是“和解方程”， 故答案为：是 （2）解：方程的解为， 方程是“和解方程”， ， 解得：； （3）解：方程是“和解方程”， 方程的解为， 又它的解是， ， ， 将代入方程，可得， 将代入方程，可得：， 将代入，可得， 解得：． 25．定义， 例如：，． 请完成下列问题： (1)_________，_________． (2)已知，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)4；2 (2)10 (3)或2 【分析】本题主要考查定义新运算，根据运算法则进行计算是解答本题的关键． （1）根据定义新运算法则进行计算即可； （2）根据定义新运算法则列出方程，求出的值，再求的值即可； （3）根据定义新运算法则列出方程，求出的值，再求的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ； 故答案为：4；2； （2）解：∵， ∴， 解得，， ∴； （3）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，的值为或2． 26．定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对1进行2次“”运算，由于1是奇数，因此，第一次运算的结果为，由于第一次运算的结果6是偶数，故第二次运算的结果为，所以的运算结果是3．据此回答下列问题： (1)求的运算结果． (2)若为奇数，且的运算结果为6，求的值． (3)若为奇数，且的运算结果为4，直接写出的值． 【答案】(1)2 (2)7 (3)11 【分析】本题主要考查了新定义下的运算、代数式求值、解一元一次方程，数字类规律探索等知识，理解新定义的对正整数进行次“”运算是解题关键． （1）根据新定义的对正整数进行次“”运算求解即可； （2）根据是奇数，进行2次计算求解即可； （3）是奇数，可得第一次运算结果为，第二次运算结果为， 为偶数求解即可． 【详解】（1）解：依题意可得，表示对4进行1次“”运算， ， ； （2）若为奇数，且的运算结果为6， 第一次运算结果为， 为偶数， 第二次运算结果为， （3）若为奇数，且的运算结果为4， 第一次运算结果为， 为偶数， 第二次运算结果为， 为偶数，第三次运算结果为 解得：． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$