第二十八章 锐角三角函数 课件 2024-2025学年人教版数学九年级下册

章末核心要点分类整合 第二十八章 锐角三角函数 结构必知 结构必知 1. 直角三角形的边角关系(a，b为直角边，c为斜边)： (1)三边之间的关系：a＝，b＝，c＝. (2)两锐角之间的关系：∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A. (3)边角之间的关系：a＝csin A，a＝ccos B，a＝btan A，b＝csin B，b＝ccos A，b＝atan B. 核心必读 2. 利用解直角三角形解决实际问题的步骤： (1)审清题意，将实际问题抽象为数学问题. (2)画出平面图形，转化为解直角三角形的问题. (3)根据条件，结合图形，选用适当的锐角三角函数解直角三角形，得到数学问题的答案. (4)得到实际问题的答案. 核心必读 专题 锐角三角函数 1 链接中考 >> 锐角三角函数的有关计算，主要是求锐角的三角函数值，解决这类问题的关键是看清锐角所在的图形以及该图形的性质. 这类问题一般属于中档题，多以填空题或选择题的形式考查. 知识必学 例 1 [中考·武汉]如图28－1，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD长为半径的弧恰好与BC 相切，切点为E，若＝，则sin C的值是( ) A. B. C. D. 知识必学 解题秘方：根据切线的性质构造直角三角形，利用切线长定理、勾股定理、等角对等边等知识求出线段DE与CD的比值． 知识必学 解：如图28－1，连接DB，DE，设AB＝m. ∵＝，∴ CD＝3AB＝3m. ∵ AD是⊙D的半径，AD⊥AB， ∴ AB是⊙D的切线． ∵⊙D 与BC相切于点E， ∴ BC⊥ DE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD. ∵ AB ∥CD，∴∠ABD＝∠CDB. 知识必学 ∴∠CBD＝∠CDB. ∴ CB＝CD＝3m. ∴ CE＝CB－EB＝3m－m＝2m. ∵∠CED＝90°， ∴DE＝＝＝ m. ∴ sin C＝＝＝． 答案：B 知识必学 专题 特殊角的三角函数值 2 链接中考 >> 一般情况下，求含有三角函数的代数式的值，要先将各角的三角函数值代入，再根据运算法则和运算律进行计算，注意最后结果要化简，这类题目常与零指数幂、负整数指数幂、乘方、开方等综合考查. 知识必学 [中考·达州]计算：(－)－2－＋2sin 60°－(π－2 024)0. 例 2 解题秘方：先将特殊角的三角函数值代入，再按照运算法则和运算顺序进行运算即可． 解：原式＝(－)－2－＋2×－(π－2 024)0＝4－ 3＋－1＝3－2. 知识必学 专题 解直角三角形 3 链接中考 >> 解直角三角形主要是在直角三角形中根据已知的边角条件求未知的边和角. 解决这类问题，关键是要结合图形的性质，灵活运用锐角三角函数，一般都是以解答题的形式考查. 知识必学 例 3 [中考·北京] 如图28－2，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC． 知识必学 (1)求证：四边形AFCD为平行四边形； 解题秘方：解决本题的关键是说明EF为△ABD的中位线； 证明：∵ E是AB的中点，∴ AE＝BE. 又∵ DF＝BF，∴ EF是△ABD的中位线. ∴ EF∥AD，即CF∥AD. ∵ AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形. 知识必学 (2)若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长． 解题秘方：紧扣条件中的边角关系，利用解直角三角形求线段长，关键是找出相应的直角三角形. 知识必学 解：由(1)知，EF是△ABD的中位线，∴ AD＝2EF＝2. ∵∠EFB＝90°，∴ tan∠FEB＝＝3， ∴ BF＝3EF＝3，∴ DF＝BF＝3. ∵ AD∥CE，∴∠ADF＝∠EFB＝90°. ∴ AF＝＝. ∵四边形AFCD为平行四边形，∴ CD＝AF＝13. ∵ DF＝BF，CE⊥BD，∴ BC＝CD＝. 知识必学 专题 解直角三角形的应用 4 链接中考 >> 利用解直角三角形解决实际问题是中考的热点，解题的关键是正确理解题意，将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后利用直角三角形的知识解决问题. 一般都是以解答题的形式考查. 知识必学 [中考·陕西]如图28－3，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1 600 m，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度. 他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角∠CAE＝42°，再在AE 上选一点B，在点B处测得C点的仰角α＝ 45°，AB＝10 m. 求山顶C点处的海拔 高度.(小明身高忽略不计，参考数据： sin 42 ° ≈ 0.67，cos 42°≈ 0.74，tan 42°≈ 0.90) 例 4 知识必学 解题秘方：解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用参数构建方程解决问题． 知识必学 解：如图28－3，过点C作CD⊥AE，交AE的延长 线于点D. 设BD＝x m ，∵ AB＝10 m， ∴ AD＝AB＋BD＝(x＋10)m. 在Rt△BCD中，∠CBD＝45°， ∴ CD＝BD·tan 45°＝x m. 在Rt△ACD中，∠A＝42°，∴CD＝AD·tan42°≈(0.90x＋9)m. ∴ x≈ 0.90x＋9，解得x≈ 90. ∴ CD≈ 90 m. ∵ 小山顶的水平观景台的海拔高度为1 600 m，∴ 山顶C点处的海拔高度约为1 600＋90＝1 690(m). 知识必学 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献. 为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图28－4是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位. 例 5 知识必学 经测量，∠ABQ＝60 °，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH是另一个车位的宽，GH⊥CD，所有车位的长宽相同，按图 示并列划定．根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1 m，参考数据： ≈ 1.73) 知识必学 (1)求PQ的长； 解：∵四边形PQMN是矩形，∴∠Q＝∠P＝90°. 在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m， ∴ AQ＝AB·sin∠ABQ＝ m，∠QAB＝30°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴ AD＝BC， ∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝90°. ∴∠CBE＝30°，∠BCE＝90°. 知识必学 ∴ BC＝＝m. ∴ AD＝m. ∵∠PAD＝180°－∠QAB－∠BAD＝180°－30°－90°＝60°， ∴ AP＝AD·cos∠PAD＝m. ∴ PQ＝AP＋AQ＝≈ 6.1 m. 知识必学 (2)该充电站有20 个停车位，求PN的长． 解：在Rt△BCE中，∵∠CBE＝180°－∠ABQ－∠ABC＝30°，∴BE＝＝3.2 m. 在Rt△ABQ中，BQ＝AB·cos ∠ABQ＝2.7 m. ∵该充电站有20个停车位， ∴易知QM＝QB＋20BE＝66.7 m. ∵四边形PQMN是矩形，∴ PN＝QM＝66.7 m． 知识必学 专题解读>> 在解决与角度、线段长度有关的实际问题时，通常构造含有已知边、角的直角三角形，建立常见的解直角三角形的模型，利用锐角三角函数进行计算求值，进而解决问题. 专题 建模思想 5 方法必会 【“子母” 型】[中考· 吉林] 图28－5 ① 中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”. 例 6 方法必会 某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB＝ 873 m，如图28－5 ②，从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37 °，看塔底D的俯角∠EAD＝45°， 求吉塔的高度CD(结果精确到0.1 m)． (参考数据：sin 37°≈ 0.60，cos 37°≈ 0.80，tan 37°≈ 0.75) 方法必会 解题秘方：通过作辅助线，将两个俯角放到两个直角三角形中，构造解直角三角形的基本模型——“子母”型，利用公共的直角边解直角三角形． 方法必会 解：如图28－5 ②，延长DC交AE于点G， 由题意得DG＝AB＝873 m，∠DGA＝90°. 在Rt△GAD中，∠EAD＝45°， ∴ AG＝＝DG＝873 m. 在Rt△GAC中， ∠EAC＝37°，∴CG＝AG·tan∠EAC≈873×0.75＝654.75(m). ∴ CD＝DG－CG≈ 873－654.75 ≈ 218.3(m). 答：吉塔的高度CD约为218.3 m ． 方法必会 【“背靠背”型】[中考·抚顺]小亮利用所学的知识对大厦的高度CD进行测量，如图28－6，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是30°， 测得大厦顶部的仰角是37°， 已知他家楼顶B处距地面的高 度BA为40 米(图中点A，B，C， D均在同一平面内)． 例 7 方法必会 解题秘方：过点B作BE⊥CD于点E，构造解直角三角形的基本模型——“背靠背”型，然后利用“背靠背”型中公共的直角边解直角三角形． 方法必会 (1)求两楼之间的距离AC(结果保留根号)； 解：如图28－6，过点B作BE⊥CD，垂足为E， 由题意，得CE＝AB＝40 米，BE＝AC， 在Rt△ BEC中，∠CBE＝30°， ∴ BE＝＝＝40(米).∴ AC＝BE＝40米. 答：两楼之间的距离AC为40米． 方法必会 (2)求大厦的高度CD(结果取整数)．(参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈0.80，tan 37°≈ 0.75， ≈ 1.73) 解：在Rt△BED中，∠DBE＝37°，∴ DE＝BE·tan 37°≈ 40×0.75 ≈40×1.73×0.75＝51.9(米). ∵ CE＝40 米， ∴ DC＝DE＋CE≈ 51.9＋40 ≈ 92(米). 答：大厦的高度CD约为92 米． 方法必会 专题解读>> 在解直角三角形及利用直角三角形的边角关系解决实际问题时，可依据题意设适当的未知数，再从题目的条件和要求的问题中寻求等量关系，构造出方程或方程组解决问题. 专题 方程思想 6 方法必会 [中考·深圳]如图28－7，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8 m 的测量仪EF测得顶端A的仰角 为45°，小军在小明的前面5 m处用高 1.5 m的测量仪CD测得顶端A的仰角 为53°，则电子厂的高度AB约为( ) (参考数据：sin 53° ≈，cos 53° ≈，tan 53°≈ ) A. 22.7 m B. 22.4 m C. 21.2 m D. 23.0 m 例 8 方法必会 解题秘方：利用锐角三角函数揭示的边角关系，列出方程求线段长. 解：由题意，得BM＝EF＝1.8 m ，BN＝CD＝1.5 m ，DF＝5 m ，EM＝BF，BD＝CN，EM⊥AB，CN⊥AB， 设BD＝CN＝x m ，∴ EM＝BF＝DF＋BD＝(x＋5)m. 在Rt△AEM中，∠AEM＝45°， ∴ AM＝EM·tan 45°＝(x＋5)m. 方法必会 在Rt△ACN中，∠ACN＝53°，∴ AN＝CN·tan 53°≈x m. ∵ AM＋BM＝AN＋BN＝AB，∴ x＋5＋1.8 ≈x＋1.5， 解得x≈15.9. ∴ AN≈x≈×15.9＝21.2(m). ∴ AB＝AN＋BN≈21.2＋1.5＝22.7(m). ∴电子厂的高度AB约为22.7 m. 答案：A 方法必会 专题解读>> 在解直角三角形和利用直角三角形的边角关系解决实际问题时，常常根据已知量和未知量之间的关系建立方程，将几何问题转化为代数问题求解，体现了数学的转化思想. 专题 转化思想 7 方法必会 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 例 9 方法必会 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1 尺，将它往前推进10 尺(5 尺为一步)，秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5 尺．(假设秋千的绳索拉的很直) 解题秘方：本题由《西江月》词牌引申出数学问题，关键是理解题意，构造直角三角形，将其转化为解直角三角形问题. 方法必会 (1)如图28－8 ①，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度； 方法必会 解：如图28－8 ①， 过点A′作A′B⊥OA于点B. 设秋千绳索的长度为x尺． 由题可知，OA＝OA′＝x 尺，AB＝5－1＝ 4(尺)，A′B＝10 尺， ∴ OB＝OA－AB＝(x－4)尺． 在Rt△OA′B中，由勾股定理得A′B2＋OB2＝OA′2， ∴ 102＋(x－4)2＝x2，解得x＝14.5． 答：秋千绳索OA的长度为14.5 尺. 方法必会 (2)如图28－8 ②，将秋千从与竖直方向夹角为α 的位置OA′释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β 的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h. 根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？ 如果能， 请用含α ，β 和h的式子表示； 如果不能，请说明理由． 方法必会 解：能． 由题可知，∠OPA′＝∠OQA″＝90°，OA′＝OA″＝OA． 在Rt△OA′P中，cosα＝，∴ OP＝OA′·cosα＝OA·cosα . 同理，OQ＝OA″·cosβ＝OA·cosβ . ∵ OQ－OP＝PQ＝h，∴ OA·cosβ －OA·cosα＝h. ∴ OA·(cosβ －cosα)＝h. ∴ OA＝． 方法必会 类型 巧用“构造法”构造直角三角形求锐角三角函数值 1 1. [中考·达州]如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD＝120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan∠BCD的值为(　　) A. 2 B. 2 C. D.3 B 好题必解 类型 巧用“化斜为直法”构造直角三角形求线段长度 2 2. 如图，在△ABC中，已知BC＝1＋，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB 的长. 好题必解 好题必解 类型 巧用“割补法”构造直角三角形求面积 3 3. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，AD＝5，求四边形ABCD的面积. 好题必解 好题必解 题型1：测高问题 4. [中考·广安]风电项目对于调整能源结构 和转变经济发展方式具有重要意义．某 电力部门在某地安装了一批风力发电机， 如图①，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量， 类型 巧用建模思想建立直角三角形模型解实际应用问题 4 好题必解 图②为测量示意图(点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥ BC). 已知斜坡CD长为20 m，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20 °，坡底与塔杆底的距离BC＝30 m，求该风力发 电机塔杆AB的高度．(结果精确到个位. 参考数据：sin 20°≈ 0.34，cos 20°≈ 0.94， tan 20°≈ 0.36，≈ 1.73) 好题必解 好题必解 好题必解 题型2：测距问题 5. 东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门 楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应. 如图，城门楼B在角楼A的正东方 向520 m处，南关桥C在城门楼B的 正南方向1 200 m处. 好题必解 在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31 ° 方向(点A，B，C，P四点在同一平面内)，求明珠大剧院到龙堤BC的距离(结果精确到1 m). (参考数据：sin 68.2°≈ 0.928，cos 68.2°≈0.371，tan 68.2°≈ 2.50，sin 56.31°≈ 0.832，cos 56.31°≈ 0.555，tan 56.31°≈ 1.50) 好题必解 好题必解 好题必解 题型3：堤坝问题 6. [中考·仙桃]为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4 是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比. 已知斜坡CD长度为20 米，∠C＝18 °，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1 米，参考数据：sin 18° ≈ 0.31，cos 18° ≈ 0.95，tan 18°≈ 0.32) 好题必解 好题必解 好题必解 题型4：航行问题 7. [中考·重庆]如图，A，B，C，D分别是某公园的四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向， 且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米. (参考数据：≈1.41，≈1.73， ≈ 2.45) 好题必解 (1)求BC的长度(结果精确到0.1千米)； 好题必解 好题必解 (2)甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为D－C－B，乙选择的路线为D－A－B. 请计算说明谁选择的路线较近. 好题必解 好题必解 好题必解 题型5：跨学科问题 8. [中考·安徽]科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处. 好题必解 已知BE与水平线的夹角α＝36.9°，点B到水面的距离BC＝1.20 m，点A处水深为1.20 m，到池壁的水平距离AD＝ 2.50 m. 点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内. 记入射角为β ，折射角为γ ，求的值(精确到0.1)．(参考数据：sin 36.9°≈ 0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈ 0.75) 好题必解 好题必解 好题必解 题型6：实践操作问题 9. [中考·枣庄] 【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离，如图①． 好题必解 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具. 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B. 测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米， ∠PAB＝79°，∠PBA＝64 °. 画出示意图， 如图② . 好题必解 【问题解决】(1)计算A，P两点间的距离． (参考数据：sin 64°≈0.90，sin 79°≈0.98，cos 79°≈ 0.19，sin37°≈ 0.60，tan 37°≈0.75) 解：如图，过点B作BH⊥AP于点H. ∵AB＝60米，∠PAB＝79°， ∴AH＝AB·cos 79°≈60×0.19＝11.4(米)， BH＝AB·sin 79°≈60×0.98＝58.8(米)． 好题必解 好题必解 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种 方案： 如图③，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E 在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP， 当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可． 好题必解 (2)乙小组的方案用到了_______．(填写正确答案的序号) ①解直角三角形； ②三角形全等. ② 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测 量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 好题必解 类型 巧用锐角三角函数解决教材变式问题 5 10. 【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85 页“拓广探索”第14题： 14. 如图，在锐角△ABC中，探究 ，，之间的关系． (提示：分别作AB和BC边上的高．) 好题必解 【得出结论】 ＝＝. 【基础应用】 在△ABC中，∠B＝75 °，∠C＝45 °，BC＝2，利用以上结论求AB的长． 好题必解 好题必解 【推广证明】 进一步研究发现，＝＝不仅在锐 角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且 还满足＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． 请利用图①证明：＝＝＝2R. 好题必解 好题必解 好题必解 【拓展应用】 如图②，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，CD＝4，∠B＝∠C＝90 °. 求过A，B，D三点的圆的半径． 好题必解 好题必解 好题必解 解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D. 设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tan B＝x·tan 60°＝x. 在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°－∠C＝45°. ∴∠C＝∠CAD.∴CD＝AD＝x. ∵BC＝1＋，∴x＋x＝1＋， 解得x＝1，即BD＝1.在Rt△ABD中， ∵cos B＝，∴AB＝＝＝2. 解：如图，延长AD，BC交于点E. ∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°. 在Rt△ABE中，AB＝4，∠E＝30°，∠A＝60°， ∴BE＝AB·tan A＝4，AE＝2AB＝8. ∴DE＝AE－AD＝8－5＝3. 在Rt△CDE中，CD＝DE·tan E＝.∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CDE＝AB·BE－CD·DE＝×4×4－××3＝. 解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H. 由题意得DC＝20 m，∠DCH＝60°， 在Rt△DCH中，∵cos 60°＝，sin 60°＝， ∴CH＝CD·cos 60°＝10 m，DH＝CD·sin 60°＝10≈17.3 m. ∵∠DFB＝∠B＝∠DHB＝90°， ∴四边形DFBH为矩形． ∴BH＝FD，BF＝DH≈17.3 m. ∵BH＝BC＋CH＝30＋10＝40(m)， ∴FD＝40 m. 在Rt△AFD中，＝tan 20°， ∴AF＝FD·tan 20°≈40×0.36＝14.4(m)． ∴AB＝BF＋AF≈17.3＋14.4＝31.7≈32(m)． 答：该风力发电机塔杆AB的高度约为32 m. 解：如图，过点P作PE⊥BC于点E，过点A作AD⊥PE于点D，则四边形ADEB是矩形， ∴DE＝AB＝520 m，AD＝BE. 设PD＝x m，则PE＝PD＋DE＝(x＋520)m. 在Rt△APD中，易知∠PAD＝68.2°， ∴AD＝≈＝(m)， ∴BE＝AD≈m.∴CE＝BC－BE≈m. 在Rt△PCE中，tan C＝tan 56.31°＝≈1.5，∴≈1.5， 解得x≈800， ∴PD≈800 m，∴PE＝PD＋DE≈800＋520＝1 320(m)． 答：明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1 320 m. 解：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E， 由题意得AF⊥BC，DE＝AF. ∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴＝. ∴设AF＝3x米，则BF＝4x米． 在Rt△ABF中，AB＝＝＝5x(米)， 在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米， ∴DE＝CD·sin 18°≈20×0.31＝6.2(米)． ∴AF＝DE≈6.2米．∴3x≈6.2，解得x≈. ∴AB＝5x≈10.3米． 答：斜坡AB的长约为10.3米． 解：过点B作BE⊥AC于点E，如图， 根据已知得∠DAB＝90°. 又∵∠DAC＝30°， ∴∠EAB＝60°，∴∠ABE＝30°. ∴AE＝AB＝1千米．∴BE＝AE＝千米． ∵C在B的北偏西15°方向， ∴∠EBC＝90°－30°－15°＝45°. ∴△EBC是等腰直角三角形． ∴CE＝BE＝千米，BC＝BE＝×＝≈2.5(千米)． ∴BC的长度约为2.5千米． 解：过点C作CF⊥AD于点F，如图， 由(1)知AE＝1千米，CE＝千米， ∴AC＝AE＋CE＝(1＋)千米． 在Rt△ACF中，∵∠FAC＝30°， ∴CF＝AC＝千米，AF＝AC＝千米． ∵D在C的北偏西60°方向，∴∠DCF＝30°. ∴DF＝＝千米．∴CD＝2DF＝千米． ∴AD＋AB＝DF＋AF＋AB＝＋＋2≈5.15(千米)， CD＋BC＝＋≈4.03(千米)．∴CD＋BC＜AD＋AB. ∴甲选择的路线较近． 解：如图，过点E作EH⊥AD于点H. 由题意可知，∠CEB＝α＝36.9°，BC＝1.20 m， ∴CE＝≈＝1.60(m)． ∴AH＝AD－DH＝AD－CE≈2.50－1.60＝ 0.90(m)．易知EH＝1.2 m， ∴AE＝≈＝1.50(m)． ∴sin γ＝≈＝0.60. ∵sin β＝sin∠CBE＝＝cos∠CEB＝cos α≈0.80， ∴≈≈1.3. ∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°， ∴∠APB＝180°－79°－64°＝37°. ∴tan∠APB＝tan 37°＝≈0.75. ∴PH≈＝78.4(米)． ∴AP＝AH＋PH≈11.4＋78.4＝89.8(米)， 即A，P两点间的距离约为89.8米． 解： ∵∠B＝75°，∠C＝45°， ∴∠A＝180°－∠B－∠C＝60°. 又∵∠C＝45°，BC＝2，＝， ∴＝，解得AB＝. 解：作AD⊥BC于点D，作CE⊥AB于点E，连接AO并延长交⊙O于点F，连接CF，如图①. ∵＝，∴a·csin B＝c·bsin∠BAC. ∴＝. 同理可证＝， ∴＝＝. ∵AF是⊙O的直径，∴∠ACF＝90°. ∵∠B＝∠AFC，∴sin B＝sin∠AFC＝＝， ∴＝2R， ∴＝＝＝2R. 解：连接DB，如图②.∵BC＝3，CD＝4，∠C＝90°， ∴BD＝＝＝5， ∴sin∠BDC＝＝. ∵∠ABC＝∠C＝90°，∴∠ABC＋∠C＝180°， ∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∴sin∠ABD＝. 如图②，作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE是矩形， ∴CE＝AB＝2，AE＝BC＝3，∴DE＝CD－CE＝2， ∴AD＝＝＝. 设过A，B，D三点的圆的半径为r， 则＝＝＝2r，∴r＝. ∴过A，B，D三点的圆的半径为. $$ 28.1 锐角三角函数 第二十八章 锐角三角函数 学习目标 知识点 锐角三角函数 知1－讲 1 1. 正弦、余弦、正切 名称 定义 符号语言 图示 正弦 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A，即sin A＝ 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝ 感悟新知 知1－讲 续表 名称 定义 符号语言 图示 余弦 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝ 在Rt△ABC 中，∠C＝ 90°，cos A＝ 感悟新知 知1－讲 续表 名称 定义 符号语言 图示 正切 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝ 在Rt△ABC 中，∠C＝ 90°，tan A＝ 感悟新知 知1－讲 注意 (1)正弦、余弦、正切都是在直角三角形中定义的，求值 时，要先找到角所在的直角三角形； (2)sin A，cos A，tan A反映了直角三角形的边与角的关 系，是两条边的比值，没有单位. 感悟新知 知1－讲 2. 锐角三角函数：∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数. 感悟新知 知1－讲 特别提醒 sin A，cos A，tan A都是一个完整的符号，不能写成sin·A，cos·A，tan·A. 感悟新知 知1－讲 特别说明 (1)定义理解：①由相似的知识可知，sin A，cos A，tan A的值与三角形的大小无关，只与∠A的大小有关； ②因为当∠A确定时，sin A，cos A，tan A都只有唯一确定的值与其对应，所以sin A，cos A，tan A都是以∠A为自变量的函数，统称为∠A的锐角三角函数. 感悟新知 知1－讲 特别解读 如图28.1－1， 在Rt△ABC中，sin A＝. 在Rt△AB′C′中，sin A＝. 易知△ABC∽△AB′C′，∴＝. ∴sin A的值与三角形的大小无关. 感悟新知 知1－讲 (2)取值范围：0<sin A<1 ，0<cos A<1，tan A>0. 特别解读 由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且正弦值和余弦值小于1. 感悟新知 知1－讲 (3)写法：①当锐角用一个大写字母或一个小写希腊字母表示时，习惯上省略角的符号“∠”，如：sin A，cos A，tan A，sin α ，cos α ，tan α 等； ②当锐角用三个大写字母或一个阿拉伯数字表示时，角的符号“∠”不能省略，如：sin∠ABC不能写成sinABC，cos∠1不能写成cos 1等. 感悟新知 知1－练 例 1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c. 已知a＝6，b＝8，求出∠A的三角函 数值. 解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义”求解. 感悟新知 知1－练 解：如图28.1－2，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，a＝6，b＝8， ∴ c＝＝＝10. ∴ sin A＝＝＝，cos A＝＝＝， tan A＝＝＝. 感悟新知 知1－练 方法点拨：已知直角三角形的任意两边长求某个锐角的三角函数值时，运用数形结合思想, 首先画出符合题意的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知的边长，最后结合锐角三角函数的定义求该锐角三角函数值. 感悟新知 知1－练 1－1. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． 已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos A的值为( ) A. B. C. D. 1－2. [中考· 滨州] 在Rt△ABC中， ∠C＝90 °，AC＝5，BC＝12，则sin A＝________． C 感悟新知 知1－练 在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B＝( ) A. B. C. D. 例 2 解题秘方：引入参数，用这个参数表示出三角形的三边长，再用定义求解. 感悟新知 知1－练 解：由sin A＝＝，可设BC＝4k(k>0)，则AB＝5k. 根据勾股定理，得AC＝3k， ∴ tan B＝＝＝. 答案：B 感悟新知 知1－练 技巧点拨：在直角三角形中，给出某一个锐角的三角函数值，求另一个锐角的三角函数值时，可以用设辅助 元，即引入“参数”的方法来解决，注意在最后计算时要约去辅助元. 感悟新知 知1－练 2－1. [期中·盐城射阳县]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，sin A＝，则cos A＝______，tan A＝______． 感悟新知 知1－练 例 3 如图28.1－3，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，如果2AB＝3BC，求∠B 的三个三角函数值. 解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义的前提是在直角三角形中”这一特征，用“构造直角三角形法”求解. 感悟新知 知1－练 解：过点A作AD⊥BC于点D，如图28.1－3， ∵ AB＝AC，∴ BD＝DC.∵ 2AB＝3BC，∴＝. 设AB＝AC＝3k(k>0)，则BC＝2k. ∴ BD＝CD＝k， ∴AD＝＝＝＝2k. ∴ sin B＝＝＝，cos B＝＝＝， tan B＝＝＝2. 感悟新知 知1－练 3－1. 如图，在锐角三角形ABC中，AB＝15，BC＝14， S△ ABC＝84，求： 感悟新知 知1－练 (1)tan C的值； 感悟新知 知1－练 (2)sin A的值． 感悟新知 知1－练 [中考·淄博] 如图28.1－4 是由边长相同的小正方形组 成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上. 线段AB，PQ相交于点M. 则图中∠QMB的正切值是( ) A. B. 1 C. D. 2 例 4 感悟新知 知1－练 思路引导： 感悟新知 知1－练 解： 如图28.1－4，过点P作PC∥AB，连接QB并延长，交PC于点C，则∠QMB＝∠QPC. 易知CP，CQ分别为两个正方形的对角线， ∴∠PCQ＝45°＋45°＝90°， ∴ tan∠QMB＝tan∠QPC＝＝2. 答案：D 感悟新知 知1－练 特别提醒：正方形网格的两个隐含条件 (1)任何格点之间所连的线段都是某个正方形或长方形的边或对角线，所以任何格点之间所连的线段长度都能求出；(2)利用正方形的性质，容易得到一些特殊的角，如45°角，90°角等. 感悟新知 知1－练 4－1. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在正方形网格的格点上，则∠AOB的正弦值是 (　　) A. B. C. D. B 感悟新知 知1－练 例 5 [期末· 淮安淮阴区] 如图28.1－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，则cos B的值为( ) A. B. C. D. 感悟新知 知1－练 解题秘方：紧扣“角相等则其三角函数值也相等”这一特征，用“等角转换法”将所要求的角的三角函数值转换为直角三角形中与该角相等的角的三角函数值． 感悟新知 知1－练 解：方法1：∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠ACB＝90°， ∴△ANM∽△ACB，∴∠B＝∠AMN． 在Rt△ AMN中，AN＝3，AM＝4， ∴ MN＝＝＝． ∴ cos B＝cos∠AMN＝＝． 感悟新知 知1－练 方法2：∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠ACB＝90°， ∴△ ANM∽△ ACB，∴＝. ∵ AN＝3，AM＝4，∴＝，∴＝． 设AC＝3k(k>0)，则AB＝4k，∴ BC＝＝k. ∴ cos B＝＝＝． 答案：D 感悟新知 知1－练 5－1.[期中·福州鼓楼区]如图，在⊙O中，直径AB＝6，AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则 cos D的值为_______． 感悟新知 知2－讲 1.同一锐角的三角函数之间的关系 (1)sin2 A＋cos2 A＝1. 证明：如图28.1－6， 由锐角三角函数的定义可知sin A＝， cos A＝，∴ sin2 A＋cos2 A＝＋＝. 又∵ a2＋b2＝c2，∴ sin2 A＋cos2 A＝1 . 知识点 锐角三角函数之间的关系(拓展) 2 感悟新知 知2－讲 (2)＝tan A. 证明：如图28.1－6，由锐角三角函数的定义可知 sin A＝ ，cos A＝，tan A＝. ∴＝ ÷＝·＝， ∴＝tan A. 感悟新知 知2－讲 深度理解 1. 锐角三角函数之间的关系都可用定义推理得出. 2. 锐角三角函数定义 速记口诀： 正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜， 正切等于对比邻，函数特点要牢记. 感悟新知 知2－讲 2. 互余两角的三角函数之间的关系 (1)在△ABC中，如果∠A＋∠B＝90°，那么sin A＝cos B，cos A＝sin B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. sin A=cos(90°－∠A)，cos A=sin(90°－∠A). 感悟新知 知2－讲 证明：如图28.1－6，由锐角三角函数的定义可知sin A＝ ，sin B＝，cos A＝，cos B＝，∴ sin A＝cos B， cos A＝sin B. 感悟新知 知2－讲 (2)在 △ABC中，如果∠A＋∠B＝90°，那么tan A·tan B＝1. 证明：如图28.1－6，由锐角三角函数的定义可知tan A＝，tan B＝，∴ tan A·tan B＝·＝1 . 感悟新知 知2－练 已知α 为锐角，且sinα＝，求cosα ，tanα的值. 例 6 解题秘方：紧扣“同一锐角的三角函数之间的关系”求解. 感悟新知 知2－练 解：∵ sin2α ＋cos2α＝1，sinα＝， ∴ cos2α＝1－sin2α＝1－＝. ∵α 为锐角，∴ 0＜cosα＜1 . ∴ cosα＝. ∴ tanα＝＝＝. 感悟新知 知2－练 6－1. 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，3sin A－＝0，则cos A的值为______，tan A的值为______． 感悟新知 知2－练 下列各式中，不成立的是( ) A. cos 60°＝2sin 30° B. sin 15°＝cos 75° C. tan 30°·tan 60°＝1 D. sin230°＋cos230°＝1 解题秘方：紧扣“sinα＝cos(90°－α)，tanα·tan(90°－α)＝1”进行判断． 例 7 感悟新知 知2－练 答案：A 解：A. cos 60°＝sin 30°，故该选项错误； B. sin 15°＝cos 75°，故该选项正确； C. tan 30°·tan 60°＝1，故该选项正确； D. sin230°＋cos230°＝1，故该选项正确. 感悟新知 知2－练 7－1. [期末·烟台莱州市] 若sin(α＋20°)＝cos 50°，则α 的度数可能是( ) A. 50° B. 40° C. 30° D. 20° D 感悟新知 知3－讲 知识点 特殊角的三角函数值 3 1. 30°，45°，60°角的三角函数值： 三角函数值 锐角α 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 感悟新知 知3－讲 特别提醒 1. 由左表可知特殊锐角的三角函数值，也可由特殊角的三角函数值求出相应的锐角. 2. 2sin 60°表示sin 60°的2倍，书写时省略2与sin 60°之间的乘号，且应将数字2放在前面，不要写成sin 60°·2，以免误以为是sin 120°. 3. 对于含有三角函数的计算题，应先把相应的三角函数值代入，将运算转化为实数的混合运算，然后根据实数的运算法则计算. 感悟新知 知3－讲 2. 特殊三角函数值的记忆方法 (1)三角板记忆法：如图28.1－7所示，可以借助直角三角板记忆. 感悟新知 知3－讲 (2)特点记忆法：按值的变化记忆30°，45°，60° 角的三角函数值，正弦、余弦值的分母都是2，正弦值的分子分别是1，，，余弦值的分子分别为，，1；正切值逐渐增大，分别为，，. 感悟新知 知3－讲 (3)口诀记忆法：正弦、余弦值可表示为的形式，正切值可表示为的形式，有关m的值可归纳成顺口溜：一、二、三、；三、二、一；三、九、二十七. 感悟新知 知3－练 (1) 已知α＝45 °， 求2 sin2α －2 sinα·tanα ＋tan2α . (2)计算：tan245°＋－3cos230°－. 解题秘方：能化简的先化简，然后代入计算即可. 例 8 感悟新知 知3－练 解：(1)原式＝(sinα －tanα)2 ＝(sin45°－tan 45°)2＝(×－1)2＝0. (2)原式＝×12＋－3×()2－ ＝＋4－－1＝1 . 感悟新知 知3－练 8－1. 计算： (1)cos 30°＋sin 45°＋sin 60°·cos 60°； (2)2cos 30°－tan 45°－． 感悟新知 知3－练 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且∠A，∠B满足 |sin A－|＋(－tan B)2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由. 例 9 感悟新知 知3－练 思路引导： 感悟新知 知3－练 解：△ ABC 是钝角三角形. 理由如下： ∵ |sin A－|＋(－ tan B)2＝0，∴ sin A－＝0，－tan B＝0. ∴ sin A＝，tan B＝. 又∵∠A，∠B均为锐角，∴∠A＝45°，∠B＝30°. ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－45°－30°＝105°. ∴△ABC是钝角三角形. 感悟新知 知3－练 方法点拨：已知三角函数值求角度，关键要注意两点：一要说明角是锐角；二要注意三角函数值与锐角之间是一一对应的关系. 感悟新知 知3－练 9－1. 在锐角三角形ABC中，若|sin A－|＋(1－tan B)2＝ 0，则∠C的度数是( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° C 感悟新知 知3－练 9－2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2，AC＝，则∠B的度数为_________. 60° 感悟新知 知4－讲 1. 利用计算器求锐角三角函数值的方法：(1)当锐角的大小以度为单位时，可先按 sin (或 cos 、tan )键，然后输入角度值(可以是整数，也可以是小数)，最后按＝键，就可以在显示屏上显示出结果；(2)当锐角的大小以度、分、秒为单位时, 要借助° ′ ″ 键计算，按键顺序是：sin (或 cos 、tan )、度数、° ′ ″ 、分数、° ′ ″ 、秒数、° ′ ″ 、＝. 知识点 利用计算器求锐角三角函数值 4 感悟新知 知4－讲 2. 已知锐角三角函数值求锐角的度数的方法：如果是特殊角的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；如果不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数. 求角的度数要先按 2nd F 键，将 sin 键、cos 键、tan 键转化成它们的第二功能键，当三角函数值为分数时，可先化成小数. 感悟新知 知4－讲 特别提醒 1.不同计算器的按键顺序不同，大体分两种情形：先按三角函数键，再按数字键；先输入数字，再按三角函数键. 2.用科学计算器进行计算时，输入的数字符号的顺序与书写时的顺序不一定相同，比如sin213°15′，输入时应为(sin 13°15′)2. 感悟新知 知4－练 用计算器求sin 16°，cos 42°，tan 85°，sin 72°38′25″ 的值. 例10 解题秘方：按计算器的使用说明依次按键即可. 感悟新知 知4－练 解：如下表： 按键顺序 显示结果 sin 16° 0.275 637 355 cos 42° 0.743 144 825 tan 85° 11. 430 052 3 sin 72°38′25″ 0.954 450 312 感悟新知 知4－练 10－1. 用计算器求下列各式的值(结果精确到0.000 1)： (1)sin 23°5′＋cos 66° 55′； (2)cos 14°28′－tan 42° 57′； (3)sin27.8°－cos 65°37′＋tan 49°56′. 解：原式＝sin 23°5′＋sin 23°5′＝2sin 23°5′≈2×0.392 07≈ 0.784 1. 原式≈0.968 29－0.930 88≈0.037 4. 原式≈0.018 42－0.412 84＋1.188 94≈0.794 5. 感悟新知 知4－练 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角的度数. (1)sin A＝0.516 8(结果精确到0.01°)； (2)cos A＝0.675 3(结果精确到1″). 解题秘方：按计算器的使用说明依次按键即可. 例11 感悟新知 知4－练 解：依次按键： ， 显示的结果为31.117 845 56，即∠A ≈ 31.12°. (2)依次按键： ，显示的结果为47° 31′ 21.18″， 即∠A ≈ 47° 31′21″. 感悟新知 知4－练 解法提醒：计算器直接计算出的角度的单位是度，而不是度、分、秒，因此, 若要得到用度、分、秒表示的角度，可以借助 2nd F 和 ° ′ ″ 键. 感悟新知 知4－练 11－1. 为了方便行人推车过天桥，市政府在10 m高的天桥一侧修建了一条40 m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角∠A的度数，具体按键顺序是( ) A. B. C. D. A 感悟新知 锐角三角函数 锐角 三角 函数 正弦 余弦 正切 定义 计算 特殊角的三角函数值 锐角的三角函数值 锐角的度数 课堂小结 题型 锐角三角函数与四边形综合 1 [中考·连云港]如图28.1－8，菱形ABCD的对角线 AC，BD相交于点O，E为AD的中点，AC＝4， OE＝2．求OD的长及tan∠EDO的值． 例12 解题秘方：根据特殊四边形的性质，结合勾股定理求出线段的长度，再利用锐角三角函数的定义求三角函数值. 综合应用创新 解: ∵四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，OA＝AC． ∵ AC＝4，∴ OA＝2. ∵ E是AD的中点，∴ OE＝AD． 又∵ OE＝2，∴ AD＝4，∴ OD＝＝＝2，∴ tan∠EDO＝＝＝． 菱形的对角线互相垂直且平分 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 综合应用创新 方法点拨 解决锐角三角函数与特殊四边形的综合应用题目时，要充分利用特殊四边形的边角关系，结合三角函数的定义直接求解. 综合应用创新 题型 锐角三角函数与一元二次方程综合 2 已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对 边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0 有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b. 例13 解题秘方: 根据一元二次方程根的情况确定三角形边的关系，进而判断三角形的形状，求出三角函数值. 综合应用创新 (1)判断△ ABC的形状； 解：将一元二次方程整理，得(c－a)x2＋2bx＋(c＋a)＝0. ∵方程(c－a)x2＋2bx＋(c＋a)＝0 有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2b)2－4(c－a)(c＋a)＝0. 整理得a2＋b2＝c2. ∴△ ABC为直角三角形，且∠C＝90°. 综合应用创新 (2)求sin A＋sin B的值. 解：由3c＝a＋3b，得a＝3c－3b. ∵ a2＋b2＝c2，∴(3c－3b)2＋b2＝c2，整理得(b－c)(5b－4c)＝0.∵∠C＝90°，∴ c>b，∴ b－c≠ 0. ∴ 5b－4c＝0，∴ b＝c. ∴ a＝c. 在Rt△ABC中，sin A＝＝， sin B＝＝，∴ sin A＋sin B＝＋＝. 综合应用创新 方法点拨 解决本题的关键是由一元二次方程根的判别式得到关于a，b，c的等式，从而判断三角形的形状.求三角函数值时，只需分析直角三角形中三边的比例关系即可. 综合应用创新 题型 锐角三角函数与一次函数综合 3 如图28.1－9，直线y＝x＋与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B. 例14 综合应用创新 解题秘方：利用两条直线的函数解析式构造方程组，解方程组得点B的坐标； (1)求点B的坐标； 解：解得 ∴ B(1，2). 综合应用创新 解题秘方：利用点A，B的坐标，根据锐角三角函数的定义求sin∠BAO的值. (2)求sin∠BAO的值. 综合应用创新 解：如图28.1－9，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C. 在y＝x＋中，当y＝0时，x＋＝0，解得x＝－3， ∴ A(－3 ，0). ∴ OA＝3. ∵ B(1，2)，∴ OC＝1，BC＝2. ∴ AC＝1 ＋3＝4. ∴ AB＝＝2. ∴ sin∠BAO＝＝＝. 综合应用创新 另解 设直线AB与y轴交于点D.对于y＝x＋，令y＝0，得x＝－ 3，令x＝0， 得y＝，∴ AO＝3，OD＝. ∴ AD＝＝.∴sin∠BAO＝＝. 综合应用创新 易错警示 本题容易忽略构造直角三角形，从而出现sin∠BAO＝的错误. 综合应用创新 题型 锐角三角函数与圆综合 4 [中考· 苏州]如图28.1－10，△ABC 中，AB＝4， D为AB的中点，∠BAC＝∠BCD，cos∠ADC＝，⊙O是△ACD的外接圆. 例15 综合应用创新 (1)求BC的长； 思路引导： 综合应用创新 解：∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B， ∴△BAC∽△BCD. ∴＝. ∵ AB＝4，D为AB的中点，∴ BD＝AD＝2. ∴ BC2＝16，∴ BC＝4(负值已舍去). 综合应用创新 (2)求⊙O的半径． 思路引导： 综合应用创新 解：如图28.1－10，过点A作AE⊥CD于点E，连接CO并延长交⊙O于点F，连接AF. ∵在Rt△AED中，cos∠CDA＝＝，AD＝2， ∴ DE＝1 . ∴ AE＝＝. ∵△BAC∽△BCD， ∴＝＝＝. 综合应用创新 设CD＝x，则AC＝x，CE＝x－1 . ∵在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2， ∴(x)2＝(x－1)2＋()2，即x2＋2x－8＝0， 解得x1＝2，x2＝－4(舍去). ∴ CD＝2，AC＝2. ∵∠AFC与∠ADC都是AC所对的圆周角， ∴∠AFC＝∠ADC. ︵ 综合应用创新 ∵ CF为⊙O的直径，∴∠CAF＝90°. ∴ sin∠AFC＝＝sin∠CDA＝＝. ∴ CF＝，即⊙ O的半径为． 综合应用创新 技巧点拨 在圆中利用锐角三角函数求线段长的方法： 若已知的锐角和要求的线段在同一个直角三角形中，则直接运用三角函数求解；若不在同一个直角三角形中，则可利用圆中相等的角进行转化. 综合应用创新 把Rt△ ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角 A的正弦值( ) A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3 倍 D. 不能确定 易错点 误认为三角函数值的大小与三角形的大小有关导致出错 1 例16 综合应用创新 错解：C 正解：锐角A的正弦值是直角三角形中锐角A的对边与斜边的比值. 当Rt△ ABC三边的长度都扩大为原来的3倍时，锐角A的对边与斜边的长度也都扩大为原来的3倍，故比值不变. 答案：A 综合应用创新 诊误区： 本题往往误认为锐角三角函数值会随边长的增大而增大，实际上，根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于对应边的比，其大小只与边的比值或角的大小有关. 综合应用创新 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，求 sin的值. 易错点 错误理解锐角度数与三角函数值的对应关系 2 例17 综合应用创新 错解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴ sin A＝＝＝，∴ sin＝×＝. 正解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴ sin A＝＝. ∴∠A＝60°，∴∠A＝30°. ∴ sin＝sin 30°＝. 综合应用创新 诊误区： 在直角三角形中不能用角之间的倍、分关系作为对应的三角函数值之间的倍、分关系.如60°=2×30°，但是sin 60°≠2sin 30°. 综合应用创新 如图28.1－11，在△ABC中，AC＝6，AB＝8，AD⊥ BC于点D，DC＝3，求tan B和tan C的值. 易错点 忽略锐角三角函数是在直角三角形中定义的而出错 3 例18 错解：tan B＝＝＝， tan C＝＝＝. 综合应用创新 正解：∵ AD⊥ BC，∴△ADC和△ADB都是直角三角形， ∴ 在Rt△ADC中，AD＝＝＝3， ∴ tan C＝＝＝. 在Rt△ADB中，BD＝＝＝， ∴ tan B＝＝＝. 综合应用创新 诊误区： 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中定义的，因此在解答有关锐角三角函数的问题时，往往要转化到直角三角形中解答，同时要明确哪个角是直角.若锐角所在的三角形不是直角三角形，应先构造直角三角形，再求锐角的三角函数值. 综合应用创新 [中考·云南] 如图28.1－12，在△ABC中，若∠B＝ 90°，AB＝3，BC＝4，则tan A＝(　　) A. B. C. D. 考法 利用定义求锐角的三角函数值 1 例19 中考风向标 试题评析：本题考查正切的定义，找准∠A的对边与邻边是解题的关键. 答案：C 解：∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴ tan A＝＝. 中考风向标 [中考·成都]计算：＋2sin60°－(π－2 024)0＋ |－2|. 解：原式＝4＋2×－1＋2－＝4＋－1＋2－＝5. 考法 利用特殊角的三角函数值进行计算 2 例20 试题评析：本题考查了有关特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 中考风向标 [中考·宿迁] 如图28.1－13，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶 点称为格点. 点A，B，C三点都 在格点上，则sin∠ABC＝______. 考法 网格中的锐角三角函数 3 例21 中考风向标 试题评析: 本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 解：如图28.1－13，连接AC，由勾股定理得 AB2＝22＋42＝20，BC2＝12＋32＝10，AC2＝ 12＋32＝10，∴ BC2＋AC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°. ∴ sin∠ABC＝＝＝． 中考风向标 [中考·雅安] 如图28.1－14，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F，若AB＝6，BC＝8，则cos∠ABF的值是 _________． 考法 折叠中的锐角三角函数 4 例22 中考风向标 试题评析：本题综合考查了矩形的性质、余弦的定义及折叠的性质，利用勾股定理构造方程是解题的关键. 中考风向标 解：由折叠的性质得∠DBC＝∠DBF. ∵四边形ABCD是矩形，∴ AD∥BC. ∴∠ADB＝∠DBC. ∴∠DBF＝∠ADB. ∴ BF＝DF. ∴ AF＝AD－DF＝8－BF. 在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，∴ 62＋(8－BF)2＝BF2，解得BF＝. ∴ cos∠ABF＝＝. 中考风向标 [中考·湘西州] 如图28.1－15，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D. 若AB＝10，PC＝12，则sin∠CAD等于(　　) A. B. C. D. 考法 圆中的锐角三角函数 5 例23 中考风向标 试题评析：本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，灵活运用这些知识是解题的关键． 解：如图28.1－15，连接OC，OD， CD，CD交PA于点E. ∵ PC，PD与⊙ O相切，切点分别为C，D， ∴ OC⊥ CP，PC＝PD，PO平分∠CPD. ∴ OP⊥ CD，∴ CE＝DE. 中考风向标 又∵ OC＝OD，∴∠COB＝∠DOB＝∠COD. 又∵∠CAD＝∠COD，∴∠COB＝∠CAD. ∵ AB＝10，∴ OC＝5 . ∵OC＝5，PC＝12，∴在Rt△OCP中，OP＝＝＝13. ∴ sin∠COP＝＝.∴ sin∠CAD＝． 答案：D 中考风向标 1. [中考·天津]cos45°－1的值等于( ) A. 0 B. 1 C. D. －1 A 综合素养训练 2. [中考·陕西]如图，在6×7 的网格中，每个小正方形的边长均为1. 若点A，B，C都在格点上，则sin B的值为( ) A. B. C. D. A 综合素养训练 3. [中考· 汕头] 在△ABC中，tan A＝1，cos B＝，则△ABC的形状( ) A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 无法确定 A 综合素养训练 4. 如图，一座厂房屋顶的人字架的跨度AC＝12 m，上弦AB＝BC，∠BAC＝25°. 若用科学计算器求上弦AB的 长，则下列按键顺序正确的是( ) B 综合素养训练 5. [中考· 云南] 在△ABC中，∠ABC＝90°. 若AC＝100， sin A＝，则AB的长是( ) A. B. C. 60 D. 80 D 综合素养训练 6. [中考·深圳]爬坡时坡面与水平面夹角为α ，则每爬1 m耗能(1.025－cosα)J，如图，若某人爬了1 000 m，该坡角为30°，则他耗能(参考数据：≈1.732，≈1.414)( ) A. 58 J B. 159 J C. 1 025 J D. 1 732 J B 综合素养训练 7. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4 个全等的直角三角形拼成正方形(如图)，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”． 若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝( ) A. 2 B. C. D. A 综合素养训练 8. [中考· 常州]如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD.若BD＝CD，＝，则tan B＝_____. 综合素养训练 9. 如图，已知两条平行线l1，l2，点A是l1上的定点，AB⊥ l2于点B，点C，D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD，连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为_______． 综合素养训练 10. [中考· 北京] 计算：(π－5)0＋－2sin30°＋|－|． 综合素养训练 11. [中考·北京]如图，在□ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF． 综合素养训练 (1)求证：四边形AECF是矩形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF，∴AD－DF＝BC－BE，即AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 又∵AC＝EF，∴平行四边形AECF是矩形． 综合素养训练 (2)若AE＝BE，AB＝2，tan ∠ACB＝，求BC的长． 综合素养训练 12. [中考·武汉]如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点． 综合素养训练 (1)求证：AB与半圆O相切； 证明：如图，连接OD，OA，作OH⊥AB于点H. ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC. ∵AC与半圆O相切于点D， ∴OD⊥AC. 结合OH⊥AB，易得OH＝OD，∴AB与半圆O相切． 综合素养训练 (2)连接OA， 若CD＝4，CF＝2， 求sin∠OAC的值． 综合素养训练 13. [中考·上海]在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝ (k为常数且k ≠ 0)上有一点A(－3，m)，且与直线y＝－2x＋4 交于另一点B(n，6)． 综合素养训练 (1)求k与m的值； 综合素养训练 (2)过点A作直线l∥x轴与直线y＝－2x＋4交于点C，求sin∠OCA的值. 综合素养训练 14. 综合与实践：在学习《锐角三角函数》这一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究． (1)【初步尝试】填空：我们知道：tan 60°＝3，tan 30°＝，发现tan A________2tan(A)(填“＝”或“≠”)． ≠ 综合素养训练 (2)【实践探究】在解决“如图①，在Rt△ABC中， ∠C＝ 90°，AC＝4，BC＝3，求tan(A)的值”这一问题时，小明想构造包含∠A的直角三角形，延长CA到点D，使DA＝AB，连接BD，易得∠D＝∠BAC，故问题转化为求∠D的正切值. 请按小明的思路 求tan(A)的值． 综合素养训练 综合素养训练 (3)【拓展延伸】如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，AC＝3，tan A＝，请模仿小明的思路或者用你的新思路，试着求一求tan 2A的值． 综合素养训练 综合素养训练 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D. ∵S△ABC＝BC·AD＝84，BC＝14， ∴×14×AD＝84，解得AD＝12. 在Rt△ABD中，AB＝15，∴BD＝＝＝9. ∴CD＝CB－BD＝14－9＝5.∴tan C＝＝. 解：如图，过点B作BE⊥AC于点E. 在△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝12，CD＝5， ∴AC＝＝＝13. 又∵S△ABC＝AC·BE＝84， ∴BE＝. ∴sin∠BAC＝＝＝. 解：原式＝×＋×＋×＝. 原式＝2×－1－|1－|＝－1－(－1) ＝－1－＋1＝0. 解：原式＝1＋2－2×＋＝3. 解：∵四边形AECF是矩形，∴∠AEC＝∠AEB＝90°. 又∵AE＝BE，∴△ABE是等腰直角三角形． ∵AB＝2，∴AE＝BE＝AB＝. 又∵tan∠ACB＝＝，∴EC＝2AE＝2， ∴BC＝BE＋EC＝＋2＝3，即BC的长为3. 解：由(1)知OD⊥AC，在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝ OF＋CF＝OD＋2，OD2＋CD2＝OC2，∴OD2＋42＝ (OD＋2)2，解得OD＝3. ∴OC＝5.∴cos C＝＝. 在Rt△OCA中，cos C＝＝，∴sin∠OAC＝＝. 解：∵点B(n，6)在直线y＝－2x＋4上， ∴－2n＋4＝6，解得n＝－1，∴B(－1，6)． ∵B(－1，6)在反比例函数y＝的图象上，∴k＝－6， ∴反比例函数的解析式为y＝－. ∵点A(－3，m)在反比例函数y＝－的图象上，∴m＝－＝2. 解：如图，在函数y＝－2x＋4中， 当y＝2时，x＝1， ∴C(1，2)，∴OC＝， ∴sin∠OCA＝＝. 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝＝5. ∴AD＝AB＝5，∴∠D＝∠ABD，CD＝AD＋AC＝9， ∴∠BAC＝2∠D，∴tan＝tan D＝＝＝. 解：如图，作AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE， 易知AE＝BE，∠A＝∠ABE，∴∠BEC＝2∠A， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tan A＝， ∴BC＝1.设AE＝x，则EC＝3－x， 在Rt△EBC中，BE2＝EC2＋BC2，即x2＝(3－x)2＋1， 解得x＝，∴EC＝.∴tan 2A＝tan∠BEC＝＝. $$ 满分题溯源 第二十八章 锐角三角函数 重点题型 解直角三角形常见应用举例 课时导入 利用锐角三角函数解决实际问题，关键是构造直角三角形，在构造时，依据角( 视角和方向角等) 或线进行构造，一般都是作垂线构造一个甚至多个直角三角形. 满分题溯源 类型 “一角一线”型(构造一个直角三角形) 1 例 1 [中考·吉林]如图1，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝43°．求飞机A与指挥 台B的距离(结果取整数).(参考数据： sin 43°≈ 0.68， cos 43°≈ 0.73， tan 43°≈ 0.93) 满分题溯源 解题秘方：本题考查的是俯角的概念，结合图形利用锐角三角函数解直角三角形. 解：根据题意，得∠ACB＝90°，∠ABC＝α＝43°，AC＝ 1 200 m. 在Rt△ABC中，∵ sin∠ABC＝， ∴ AB＝＝≈≈1 765(m). 答： 飞机A与指挥台B的距离约为1 765 m. 满分题溯源 类型 “一角两线”型(构造一个直角三角形和一个矩形) 2 [中考· 长春]如图2，为了测量长春解放纪念碑的高度AB，在与纪念碑底部B 相距27 米的C处，用高1.5 米的测角仪DC 测得纪念碑顶端A 的仰角为47° . 求纪念碑的高度(结果精确到0.1 米).(参考 数据：sin 47° ≈ 0.731，cos 47 ° ≈ 0.682，tan 47°≈ 1.072) 例 2 满分题溯源 解题秘方：解题的关键是作辅助线，构造含已知角的直角三角形，通过解直角三角形解决问题. 解：如图2，过点D作DE⊥AB于点E. 由题意，得DE＝BC＝27 米，BE＝DC＝1.5 米，∠ADE＝47°. 在Rt△ADE中，AE＝DE·tan ∠ADE ≈27×1.072＝ 28.944(米)，∴ AB＝AE＋BE ≈ 28.944＋1.5 ≈ 30.4(米). 答：纪念碑的高度约为30.4 米. 满分题溯源 类型 “两角一线”型 3 例 3 [中考·兰州]如图3 ① 是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”，“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸. 满分题溯源 某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑高度的实践活动，具体过程如下，如图3 ②，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m．求“龙”字雕塑CD的高度(B，C，D三点共线，BD⊥AB，结果精确到0.1 m). (参考数据：sin 38 ° ≈ 0.62，cos 38°≈ 0.79， tan 38°≈ 0.78，sin 53°≈0.80，cos 53°≈ 0.60， tan 53°≈ 1.33) 满分题溯源 解题秘方：在两个直角三角形中，通过解直角三角形解决问题. 满分题溯源 解：在Rt△ABC中，AB＝18 m，∠BAC＝38°，tan∠BAC＝，∴BC＝AB·tan∠BAC＝18·tan38°≈18×0.78＝14.04(m). 在Rt△ABD中，AB＝18 m ，∠BAD＝53°，tan∠BAD＝， ∴BD＝AB·tan∠BAD＝18·tan 53°≈ 18×1.33＝23.94(m). ∴ CD＝BD－BC≈ 23.94－14.04＝9.9(m)． 答：“龙”字雕塑CD的高度约为9.9 m ． 满分题溯源 方法点拨：“两角一线”型的解直角三角形，可用两个角分别与该线构造直角三角形，转化为两个“一角一线”型来解决. 满分题溯源 类型 “两角两线”型 4 [中考·武威]习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030 年前实现碳达峰，2060 年前实现碳中和. 甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速. 某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常 重要，它的高度是一个重要的设计参数. 于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动． 例 4 满分题溯源 如图4，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6 m，点C与点E相距182 m(点C，H，E在同一条直线上)，在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53 °，求风电塔筒AH的高度. (参考数据：sin 53°≈ ，cos 53°≈， tan 53°≈) 满分题溯源 解：如图4，连接DF交AH于点G， 由题意，得CD＝EF＝GH＝1.6 m， DF＝CE＝182 m，DF⊥ AH， 设DG＝x m ，则FG＝DF－DG＝(182－x)m. 在Rt△ADG中，∠ADG＝45°，∴ AG＝DG·tan 45°＝x m. 在Rt△AFG中，∠AFG＝53°， ∴ AG＝FG·tan 53°≈(－)x m. 满分题溯源 ∴ x≈－x，解得x≈ 104. ∴ AG≈ 104 m. ∴ AH＝AG＋GH ≈ 104＋1.6＝105.6(m). 答：风电塔筒AH的高度约为105.6 m ． 满分题溯源 $$ 28.2 解直角三角形及其应用 第二十八章 锐角三角函数 28.2.2 应用举例 学习目标 知识点 解直角三角形在实际中的应用 知1－讲 1 1. 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤 (1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题； (2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 感悟新知 解直角三角形在实际中的应用 知1－讲 2. 解决实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示 图形 关系式 AC＝BC·tanα，AG＝AC＋BE 图形 关系式 BC＝DC－BD＝AD·(tanα－ tanβ) 感悟新知 解直角三角形在实际中的应用 知1－讲 续表 图形 关系式 AB＝DE＝ AE·tanβ ， CD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋ tanβ) 图形 关系式 BD＝BC－DC＝ AC·(－)，AG＝AC＋CG＝AC＋BE＝AC＋DF 感悟新知 解直角三角形在实际中的应用 知1－讲 续表 图形 关系式 BC＝BD＋DC＝AD·(＋) 图形 关系式 BC＝BE＋EF＋CF＝BE＋AD＋CF＝AD＋h·(＋) 感悟新知 知1－讲 特别解读 1. 当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解. 2. 在解直角三角形时，若相关的角不是直角三角形的内角，应利用平行线的性质或互余、互补的角的性质等将其转化为直角三角形的内角，再利用解直角三角形的知识 求解. 感悟新知 知1－讲 3. 问题中涉及的图形有两个或两个以上的直角三角形，当其中一个直角三角形不能求解时，可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的关系式，运用方程 求解. 感悟新知 知1－练 例 1 [中考·河南] 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30 cm，顶点A处挂了一个铅锤M. 如图28.2－12是测量树高的示意图，测高仪上的点D， A与树顶E在一条直线上，铅垂线 AM交BC于点H. 经测量，点A距地 面1.8 m，到树EG的距离AF＝11 m， BH＝20 cm. 求树EG的高度(结果精确到0.1 m)． 感悟新知 知1－练 解：由题意可知∠BAE＝∠MAF＝90°，FG＝1.8 m， ∴∠EAF＋∠BAF＝∠BAF＋∠BAH＝90°. ∴∠EAF＝∠BAH. ∵ AB＝30 cm，BH＝20 cm，∠ABC＝90°， ∴ tan∠BAH＝＝. 解题秘方：将实际应用问题转化为解直角三角形问题． 感悟新知 知1－练 ∴ tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝. ∵ AF＝11 m，∴＝. ∴ EF＝m. ∴ EG＝EF＋FG＝＋1.8 ≈ 9.1(m)． 答：树EG的高度约为9.1 m ． 感悟新知 知1－练 1－1. [中考·十堰] 如图，小明利用一个锐角是30°的三角尺测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15 m，AB为1.5 m(即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度是( ) A. (15＋) m B.5 m C. 15 m D. (5＋)m D 感悟新知 知1－练 某工程队承包了一段铁路的施工，该铁路要经过某一隧道，如图28.2－13，已知隧道口分别为D，E. 为了如期完工，需测量出DE的长度，为此，该工程队在山的一侧选取适当的点C，测得BC＝200 m，∠ABC＝105°，∠C＝45°，AD＝18 m， BE＝32 m，且A，D，E，B 在同一 条直线上，已知该工程限定时间为10天， 该工程队平均每天至少需要施工多少米？ 例 2 感悟新知 知1－练 解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜为直法”解含公共直角边的直角三角形问题. 解：如图28.2－13，过点B作BF⊥AC 于点F. ∵∠ABC＝105°，∠C＝45°， ∴∠A＝180°－∠ABC－∠C＝30°. 在Rt△BFC中，∵ sin C＝， 感悟新知 知1－练 ∴ BF＝BC·sin C＝200×＝100(m). 在Rt△AFB中，∵∠A＝30°，∴ AB＝2BF＝200m. 又∵ AD＝18m，BE＝32m， ∴ DE＝AB－AD－BE＝200－18－32＝150(m). 150 ÷10＝15(m). 答：该工程队平均每天至少需要施工15m. 感悟新知 知1－练 2－1.[中考· 青海]为了方便观测动物的活动情况，某湿地公园要铺设一段道路. 计划从图中A，C两处分别向B处铺设，现测得AB＝1 000 m，∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，求B，C两点间的距离(结果取整数，参考数据：sin 14 ° ≈ 0.24，cos 14°≈ 0.97，tan 14°≈ 0.25). 感悟新知 知1－练 解：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D. ∵∠BAC＝30°，∠ABC＝136°， ∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝14°. 感悟新知 知2－讲 1. 仰角和俯角的定义 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. 知识点 解直角三角形在仰角和俯角问题中的应用 2 感悟新知 知2－讲 2. 示图(如图28.2－14) 感悟新知 知2－讲 特别提醒 1. 仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”. 2. 当实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形中或转化到直角三角形中，注意确定水平线. 感悟新知 知2－练 [中考·天津] 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度(如图28.2－15 ①)． 例 3 感悟新知 知2－练 某学习小组设计了一个方案：如图28.2－15 ②，点C， D，E依次在同一条水平直线上，DE＝36 m，EC⊥ AB，垂足为C. 在D处测得桥塔顶部B的仰角(∠CDB)为45 °，测得桥塔底部A的俯角(∠CDA)为6°， 又在E处测得桥塔顶部B的仰角 (∠CEB)为31°． 感悟新知 知2－练 (1)求线段CD的长(结果取整数)； 思路引导： 感悟新知 知2－练 解：设CD＝x m，∵DE＝36 m，∴CE＝CD＋DE＝(x＋36)m．∵EC⊥AB，∴∠BCE＝∠ACD＝90°.又∵∠CDB＝45°，∴BC＝CD＝x m．在Rt△BCE中，∵tan∠CEB＝，∠CEB＝31°，∴ BC＝CE·tan∠CEB＝(x＋36)·tan 31°m， ∴ x＝(x＋36)·tan 31°，∴ x＝≈＝54. 答：线段CD的长约为54 m． 感悟新知 知2－练 (2)求桥塔AB的高度(结果取整数). (参考数据：tan31°≈ 0.6，tan6°≈ 0.1) 思路引导： 感悟新知 知2－练 解：在Rt△ACD中，∵ tan∠CDA＝，∠CDA＝6°， ∴ AC＝CD·tan∠CDA≈ 5 4×tan6°≈54×0.1＝5.4(m)． ∴ AB＝AC＋BC≈5.4＋54≈59(m)． 答：桥塔AB的高度约为59 m． 感悟新知 知2－练 3－1. “科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，他新入手一台无人机． 如图，在一次航拍时，数据显示，从无人机A处看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C 的俯角为60 °，无人机A到该建筑物BC的水 平距离AD为10 m，求该建筑物BC的高度 (结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41， ≈1.73)． 感悟新知 知2－练 解：由题意知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，AD⊥BC. ∵AD⊥BC，∴∠BDA＝∠ADC＝90°. ∴∠BAD＝∠ABD＝45°. ∴BD＝AD＝10 m. 感悟新知 知3－讲 知识点 解直角三角形在方向角问题中的应用 3 1. 方向角的定义 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90° 的角叫做方向角. 特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，变化范围为0°~360°，而方向角的变化范围是0°~ 90°. 感悟新知 知3－讲 2. 示图 如图28.2－16 ，目标方向线OA，OB，OC的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°， 其中南偏东45° 习惯上又叫做东南方向，北 偏东45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45° 习惯上又叫做西北方向，南偏西45°习惯上 又叫做西南方向. 感悟新知 知3－讲 特别解读 1. 解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解. 2. 观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助此性质进行角度转换. 感悟新知 知3－练 [中考·包头]为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织了一次定向越野拉练活动．如图28.2－17，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别 为B点和C点，行进路线为A→B→C→ A.B点在A点的南偏东25°方向3 km 处，C点在A点的北偏东80°方向，行进 路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°． 例 4 感悟新知 知3－练 解题秘方：建立数学模型后，作高AD，用“化斜为直法”，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解． 感悟新知 知3－练 解：由题意，得∠NAC＝80°，∠BAS＝25°， ∴∠CAB＝180°－ ∠NAC－∠BAS＝75°. 又∵∠ABC＝45°， ∴ ∠ACB＝180° －∠CAB－∠ABC＝60°，即行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°． (1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数； 感悟新知 知3－练 解：如图28.2－17，过点A作AD⊥BC，垂足为点D. 在Rt△ABD中，AB＝3 km，∠ABC＝45°， ∴ AD＝AB·sin45°＝3×＝3(km)， BD＝AB·cos45°＝3×＝3(km). (2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)． 感悟新知 知3－练 在Rt△ADC中，∠ACB＝60°， ∴ CD＝＝＝(km)， ∴ BC＝BD＋CD＝(3＋)km. 答：检查点B和C之间的距离为(3＋)km． 感悟新知 知3－练 4－1.[中考·郴州]如图，某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2 h后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45 °方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离 (参考数据：≈1.41，≈1.73， 结果精确到0.1km)． 感悟新知 知3－练 解：由题意得AB＝40×2＝80(km)，∠CAB＝30°，∠ABC＝45°. 如图，过点C作CD⊥AB于点D，则CD的长为该船在航行过程中与小岛C的最近距离． 感悟新知 知3－练 感悟新知 知4－讲 1. 坡角与坡度(坡比)的定义 (1)坡角：坡面与水平面所成的夹角， 如图28.2－18中的α . (2)坡度(坡比)：我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)(如图28.2－18所示)，坡度(坡比)也可写成i＝h∶l的形式，在实际应用中常表示成1∶x的形式. 知识点 解直角三角形在坡角、坡度问题中的应用 4 感悟新知 知4－讲 2. 坡度与坡角的关系 i＝＝tanα ，即坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也就越大. 感悟新知 知4－讲 特别提醒 1. 坡度是两条线段的比值，不是度数. 2. 表示坡度时，通常把比的前项取作1，后项可以是小数. 感悟新知 知4－练 如图28.2－19，李明在大楼30 m 高(即PH＝30 m)的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°. 已知该山 坡的坡度i 为1∶，点P，H， B，C，A 在同一个平面内， 点H，B，C 在同一条直线上， 且PH⊥HC. 例 5 解题秘方：将分散的条件集中到△ABP中求解. 感悟新知 知4－练 (1)山坡坡角的度数等于_______ °； 30 ∵山坡坡角为∠ABC， 坡度i＝1∶， ∴ tan ∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°. 感悟新知 知4－练 (2)求A，B 两点间的距离(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.732). 解：由题意，得∠PBH＝60°，∠APB＝60°－15°＝45°. ∵∠ABC＝30°，∴∠ABP＝180°－∠PBH－∠ABC＝90°.∴∠BAP＝∠APB＝45°. ∴ PB＝AB.在Rt△PHB 中， PB＝＝＝20(m).∴ AB＝PB＝20≈ 34.6 m. 答：A，B两点间的距离约为34.6 m. 感悟新知 知4－练 5－1.[中考· 天门]为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度 i＝3∶4 是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比. 已知斜坡CD长度为20 m，∠C＝18°，求斜坡AB的长(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 18°≈ 0.31，cos 18°≈ 0.95，tan 18°≈ 0.32). 感悟新知 知4－练 感悟新知 知4－练 感悟新知 应用举例 一般测量问题 仰角和俯角问题 解直角三 角形的应 用类型 方向角问题 坡角和坡度问题 课堂小结 题型 从同一点看不同位置测量高度 1 [中考·菏泽]无人机在实际生活中的应用越来越广泛. 如图28.2－20，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上 A点80 m，点A处的俯角为60°，楼顶C 点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距 离AB为70 m(点A，B，C，P在同一平 面内)，求大楼的高度BC(结果保留根号)． 例 6 综合应用创新 解题秘方：在同一点两条不同视线构成的直角三角形中，利用解直角三角形求出高度． 综合应用创新 解：如图28.2－20，过点P作PH⊥AB于点H，过点C作CQ⊥PH于点Q，易知四边形CQHB是矩形. ∴ QH＝BC，BH＝CQ. 由题意，得AP＝80 m，∠PAH＝60°， ∠PCQ＝30°，AB＝70 m， ∴在Rt△APH中，PH＝AP·sin60°＝80×＝40(m)， 综合应用创新 AH＝AP·cos60°＝80×＝40(m). ∴ CQ＝BH＝AB－AH＝70－40＝30(m). ∴在Rt△PCQ中，PQ＝CQ·tan30°＝10m. ∴ BC＝QH＝PH－PQ＝40－10＝30(m). 答：大楼的高度BC为30m. 综合应用创新 关键点拨 本题由平行线的性质将两个俯角转化为内错角放在两个直角三角形中，利用解直角三角形及矩形的性质解决问题． 综合应用创新 题型 从不同点看同一位置测量高度 2 为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈. 大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD(碑顶到水平地面的距离)，于是师生组成综合实践小组进行测量． 例 7 综合应用创新 如图28.2－21，他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝35m，测角仪的高度是1.5m(A，B，C在同一直线上)，根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD(≈1.732，结果保留一位小数)． 综合应用创新 解题秘方：先利用三角形外角的性质和等角对等边求出DN，再在Rt△DNE中利用正弦的定义求出DE，最后不要忘记加上CE. 综合应用创新 解：由题意，易得AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°. ∵∠DNE是△DMN的外角，∴∠MDN＝∠DNE－∠DMN＝30°，∴∠DMN＝∠MDN＝30°，∴ DN＝MN＝35 m. ∴在Rt△DNE中，DE＝DN·sin 60°＝35×＝ (m)， ∴ DC＝DE＋CE＝＋1.5≈＋1.5≈31.8(m)． 答：烈士纪念碑的通高CD约为31.8 m ． 综合应用创新 关键点拨 本题中过测角仪的顶端向纪念碑所作的垂线，构造出矩形和直角三角形，利用解直角三角形和矩形的性质解决问题． 综合应用创新 题型 从不同点看不同位置测量高度 3 [中考·盐城]如图28.2－22，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直 上升至距地面30m的点 P处，测得教学楼底端 点A的俯角为37 °， 例 8 综合应用创新 再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为_____m(精确到1 m，参考数据： sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80， tan37°≈ 0.75)． 17 综合应用创新 思路引导： 综合应用创新 解：如图28.2－22，令AB的延长线与PQ的延长线交于点C，则AC⊥PC. 由题意知AC＝30 m，PQ＝26.6 m， ∠APC＝37°，∠BQC＝45°， 在Rt△APC中，PC＝≈＝40(m)， ∴ QC＝PC－PQ≈ 40－26.6＝13.4(m). 在Rt△BQC中，易知BC＝QC≈ 13.4 m ， ∴ AB＝AC－BC≈ 30－13.4＝16.6 ≈ 17(m). 综合应用创新 关键点拨 本题关键是构造直角三角形，根据正切的定义求出相关线段的长，最后利用线段的差求解. 综合应用创新 易错点 在解直角三角形的应用题时，对方向角理解不清导致错误 如图28.2－23，在某一海域执行护航任务的某军舰正由东向西行驶，在航行到B处时，发现灯塔A在军舰的正北方向500 m处；当该军舰从B处向正西方 向行驶到达C处时，发现灯塔A在军 舰的北偏东60°的方向. 求该军舰 从B处行驶到C处的路程(计算过程 和结果均保留根号). 例 9 综合应用创新 错解：在Rt△ABC中，AB＝500 m，∠ACB＝60°. ∵ tan∠ACB＝， ∴ BC＝＝＝(m). 答：该军舰从B处行驶到C处的路程为m. 综合应用创新 正解：在Rt△ABC中，AB＝500 m，∠ACB＝90°－60°＝30°. ∵ tan∠ACB＝， ∴ BC＝＝＝500(m). 答：该军舰从B处行驶到C处的路程为500m. 综合应用创新 诊误区： 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角，本题因对方向角的概念理解不清而导致错误. 综合应用创新 [中考·烟台] 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义. 某电力部门在一处坡角为30 °的坡地新安装了一架风力发电机，如图28.2－24 ① . 考法 利用解直角三角形求物体的高度 1 例10 中考风向标 某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图28.2－24 ② 为测量示意图. 已知斜坡CD长16 米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45 °，利用无人机在点A的正上方53 米 的点B处测得P点的俯角为18 °，求该风力 发电机塔杆PD的高度(参考数据：sin18 ° ≈ 0.309，cos18 ° ≈ 0.951，tan18°≈ 0.325). 中考风向标 试题评析：本题考查了解直角三角形的应用及仰角和俯角问题，熟练掌握三角函数定义与解直角三角形的方法是解本题的关键． 中考风向标 解：如图28.2－24 ②，延长PD交AC于点F， 延长DP交BE于点G， 由题意易知PF⊥AF，DG⊥BE，AB⊥AF， ∴四边形ABGF为矩形， ∴ AB＝FG＝53 米，AF＝BG， 设AF＝BG＝x米，在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝ 16 米，∴ DF＝CD＝8 米. 中考风向标 在Rt△PAF中，∠PAF＝45°，∴ PF＝AF·tan45°＝x米. 在Rt△BPG中，∠GBP＝18°， ∴ GP＝BG·tan18°≈ 0.325x米， ∴FG＝PF＋PG≈ x＋0.325x＝1.325x(米)， ∴ 1.325x≈53 ，解得x≈40.∴ PF≈40米. ∴ PD＝PF－DF≈ 40－8＝32(米). 答：该风力发电机塔杆PD的高度约为32 米． 中考风向标 [中考·重庆]如图28.2－25，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资. 考法 利用解直角三角形解决航海问题 2 例11 中考风向标 甲货轮沿A港的东南方向航行40 海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港. 乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港． 中考风向标 试题评析：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握航海问题中的方向角在解直角三角形中的应用. 中考风向标 (1)求A，C两港之间的距离(结果保留小数点后一位). 解：如图28.2－25 ，过点B作BE⊥AC，垂足为点E. 在Rt△ABE中，∠BAE＝90°－45°＝ 45°，AB＝40 海里， ∴ AE＝AB·cos45°＝40×＝ 20(海里)，BE＝AB·sin45°＝40×＝20(海里). 中考风向标 在Rt△BCE中，∠CBE＝60°， ∴ CE＝BE·tan60 °＝20×＝20(海里). ∴ AC＝AE＋CE＝20＋20 ≈77.2(海里). 答：A，C两港之间的距离约为77.2海里. 中考风向标 (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B，D两港的时间相同)，哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．(参考数据：≈1.41， ≈ 1.73， ≈ 2.45) 解：甲货轮先到达C港.如图28.2－25所示. 由题意得∠CDF＝30°， DF∥AG， ∴∠GAD＝∠ADF＝60°. ∴∠ADC＝∠ADF＋ ∠CDF＝90°. 中考风向标 在Rt△ACD中，∠CAD＝90°－60°＝30°， ∴ CD＝AC＝(10＋10)海里， AD＝AC·cos30°＝(10＋30)海里. 在Rt△BCE中，∠CBE＝60 °，BE＝20 海里， ∴ BC＝＝＝40(海里). 中考风向标 ∴甲货轮航行的路程＝AB＋BC＝40＋40≈96.4(海里)， 乙货轮航行的路程＝AD＋CD＝10＋30＋10＋10＝20＋40≈105.4(海里). ∵ 96.4 海里＜105.4 海里， ∴甲货轮先到达C港． 中考风向标 [中考·苏州] 如图28.2－26 ① 是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆， 已知AB＝10 cm，BC＝20 cm，AD＝ 50 cm． 考法 利用解直角三角形解决实物中的计算问题 3 例12 中考风向标 试题评析：本题主要考查解直角三角形的实际应用，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 中考风向标 (1)如图28.2－26 ②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号)； 中考风向标 解：如图28.2－27 ，过点C作CE⊥AD， 垂足为点E. 由题意易得AB＝CE＝10 cm，BC＝AE＝20 cm. ∵ AD＝50 cm，∴ ED＝AD－AE＝50－20＝30(cm). ∴在Rt△CED中，CD＝＝＝10(cm)， ∴ 可伸缩支撑杆CD的长度为10 cm. 中考风向标 (2)如图28.2－26 ③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α ，且tanα＝(α 为锐角)时，求可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号)． 中考风向标 解：如图28.2－28，过点D作DF⊥BC，交BC的 延长线于点F，交AD′于点G， 由题意易得AB＝FG＝10 cm，AG＝BF， ∠AGD＝90°， 在Rt△ADG中，tanα＝＝， ∴设DG＝3x cm ，则AG＝4x cm ， ∴ AD＝＝＝5x(cm). 中考风向标 ∵ AD＝50 cm，∴ 5x＝50，解得x＝10， ∴ AG＝40 cm，DG＝30 cm， ∴ DF＝DG＋FG＝30＋10＝40(cm)，BF＝AG＝40 cm. ∵ BC＝20 cm ， ∴ CF＝BF－BC＝40－20＝20(cm)， ∴在Rt△CFD中，CD＝＝＝20 (cm)，∴ 此时可伸缩支撑杆CD的长度为20cm． 中考风向标 [中考·广元]小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α 的正弦值与折射角β 的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． 考法 利用解直角三角形解决跨学科问题 4 例13 中考风向标 试题评析：本题考查了解直角三角形的应用，理解折射率的定义是解题关键. 中考风向标 (1)若光从真空射入某介质，入射角为α ，折射角为β ，且cosα＝，β＝30°，求该介质的折射率； 中考风向标 解：如图28.2－30所示. ∵ cosα＝，∴设b＝x，则c＝4x. 由勾股定理得a＝＝3x， ∴ sinα＝＝＝. ∵β＝30°，∴ sinβ＝sin30°＝.∴折射率为＝＝． 中考风向标 (2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质，如图28.2－29 ①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出. 如图28.2－29 ②，已知α＝ 60 °，CD＝10 cm，求截 面ABCD的面积． 中考风向标 解：根据折射率与(1)中的材料相同，可得折射率为. ∵α＝60°，∴ ＝＝. ∴ sinβ＝． ∵ 四边形ABCD是矩形，点O是AD的中点， ∴ AD＝2OD，∠D＝90°.易知∠OCD＝β ， ∴ sin∠OCD＝sinβ＝. 中考风向标 在Rt△ODC中，设OD＝t，则OC＝3t. 由勾股定理得CD＝＝t， ∴ tanβ＝＝＝．又∵ CD＝10 cm，∴＝. ∴ OD＝5 cm. ∴ AD＝10 cm. ∴ 截面ABCD的面积为10×10＝100(cm2)． 中考风向标 [中考·湖南] 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 考法 利用解直角三角形解决实践活动问题 5 例14 活动 主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量 工具 皮尺、测角仪、计算器等 中考风向标 续表 活 动 过 程 模 型 抽 象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下： 中考风向标 续表 活 动 过 程 测绘 过程 与数 据信 息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；②过点E 作GH⊥CE，并沿EH 方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4 米；③ 在点F 处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°；④用计算器计算得：sin60.3°≈ 0.87，cos60.3 ° ≈ 0.50，tan60.3° ≈ 1.75， sin21.8° ≈ 0.37，cos21.8° ≈ 0.93，tan21.8°≈ 0.40. 请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)： 中考风向标 试题评析：本题考查了解直角三角形在实际测量活动中的应用，解题关键是构造直角三角形，利用锐角三角函数的知识求解． 中考风向标 (1)求线段CE和BC的长度； 解：∵ GH⊥CE，∠CFG＝60.3°， ∴ tan∠CFE＝tan 60.3°＝ ≈ 1.75. 又∵ EF＝4 米，∴ CE≈ 7 米. ∵∠BFG＝45°，∴ BE＝EF＝4 米. ∴ CB＝CE－BE≈ 3 米. 中考风向标 (2)求底座的底面ABCD的面积． 解：过点A作AM⊥GH于点M，如图28.2－31所示. ∵∠AFG＝21.8°， ∴ tan∠AFG＝tan21.8°＝≈0.40. 易知AM＝BE＝4 米，∴ MF≈ 1 0 米. ∴ AB＝ME≈ 10－4＝6(米). ∴底座的底面ABCD的面积约为3×6＝18(平方米)． 中考风向标 1. [中考·长春]学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示． 已知彩旗绳与地面形成25° 角(即∠BAC＝25°)，彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC＝ 32米)，则彩旗绳AB的长度为( ) A. 32sin25°米 B. 32cos25°米 C. 米 D. 米 D 综合素养训练 2. [中考·德阳]如图，某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° (AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上)， 则建筑物CD的高为(　　) A. 20 米 B. 15 米 C. 12 米 D. (10＋5)米 B 综合素养训练 3. [中考·十堰]如图，有一天桥高AB为5 米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30 °，则CD的长度约为(　　)(参考数据：≈1.414，≈1.732) A. 1.59 米 B. 2.07 米 C. 3.55 米 D. 3.66 米 D 综合素养训练 4. 当某航天飞船运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，示意图如图所示. 已知PF＝km，∠FOQ＝20°， cos20°≈ 0.9，则圆心角∠POQ所对的弧长 约为______km(结果保留π)． 综合素养训练 5. 如图，图①为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图②为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4 分米，OB＝12分米， ∠BOE＝60°，则点C到水平 线l的距离CF为________分米 (结果用含根号的式子表示)． 综合素养训练 6. [中考·孝感]综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30 米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼 高度CE为15 米，则尚美楼高 度DF为_________米(结果保留 根号). 综合素养训练 7. 一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12 海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是________海里． 综合素养训练 8. 无动力帆船是借助风力前行的． 如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400 N. 综合素养训练 根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力. 在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝AD＝400，则f2＝CD≈_______．(单位：N)(参考数据：sin40°≈ 0.64，cos40°≈ 0.77) 128 综合素养训练 9. [中考·河北]中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星 星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4 m，仰角为α；淇淇向前走了3 m 后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图． 综合素养训练 已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6 m，点P到BQ的距离PQ＝2.6 m，AC的延长线交PQ于点E.(注：图中所有点均在同一平面) 综合素养训练 (1)求β 的大小及tanα 的值； 综合素养训练 (2)求CP的长及sin∠APC的值． 综合素养训练 10.[中考•泸州]如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30° 方向 上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上. 已知A，C相距30 n mile．求C，D间的 距离(计算过程中的数据不取近似值)． 综合素养训练 综合素养训练 综合素养训练 11. 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动． 同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据． 综合素养训练 数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离． 航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4 °；然后沿CN方 向继续飞行，飞行方向与水平 线的夹角∠NCD＝37°，当到达 点A正上方的点E处时，测得AE＝ 9 米；…… 综合素养训练 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上. 请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长(结果精确到1 米． 参考数据：sin37° ≈ 0.60，cos37° ≈ 0.80，tan37° ≈ 0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈ 0.95，tan18.4°≈ 0.33). 综合素养训练 综合素养训练 综合素养训练 12.[中考·威海]某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角． 测量报告如下表(尚不完整)． 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 成员 组长：××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 竹竿，米尺 综合素养训练 续表 测量 示意 图 说明：AC是一根笔直的竹竿，点D 是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离. ∠α是要测量的倾斜角 测量 数据 …… …… 综合素养训练 (1)设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏． 解：a，c，e，f 综合素养训练 (2)根据(1)中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程. 综合素养训练 (3)假设sinα ≈ 0.86 ，cosα ≈ 0.52，tanα ≈ 1.66，根据(2)中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为_________． ① (本题选择数据不唯一) 综合素养训练 在Rt△ABD中，AB＝1 000 m，∠BAD＝30°， ∴BD＝AB＝500 m. 在Rt△BDC中，BC＝≈≈ 2 083(m)，即B，C两点间的距离约为2 083 m. 在Rt△ACD 中，CD＝AD·tan∠CAD＝AD·tan 60°＝10×＝10(m)．∴BC＝BD＋CD＝10＋10≈27.3(m)． 答：该建筑物BC的高度约为27.3 m. ∴∠ADC＝∠BDC＝90°. ∴AD＝CD，BD＝CD. ∵AB＝80 km，AB＝AD＋BD， ∴CD＋CD＝80 km，∴CD＝40－40≈29.2 km. 答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离约为29.2 km. 解：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E. 易知AF⊥BC，DE＝AF. ∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴＝. ∴设AF＝3x m，则BF＝4x m. 在Rt△ABF中，AB＝＝＝5x(m)． 在Rt△DEC中，∵∠C＝18°，CD＝20 m， ∴DE＝CD·sin 18°≈20×0.31＝6.2(m)．∴AF＝DE≈6.2 m. ∴3x≈6.2，解得x≈. ∴AB＝5x≈10.3 m. 答：斜坡AB的长约为10.3 m. π (6－2) (30－5) (6＋6) 解：由题意可得PQ⊥AE，PQ＝2.6 m，AB＝CD＝EQ＝1.6 m，AE＝BQ＝4 m，AC＝BD＝3 m， ∴CE＝4－3＝1(m)，PE＝2.6－1.6＝1(m)，∠CEP＝90°. ∴CE＝PE，tan α＝tan∠PAE＝＝. ∴β＝∠PCE＝∠CPE＝45°， 解：∵CE＝PE＝1 m，∠CEP＝90°，∴CP＝ ＝(m)．如图，过C作 CH⊥AP于H，∵tan α＝＝， ∴设CH＝x m，则AH＝4x m，∴x2＋(4x)2＝AC2. ∴x＝，∴CH＝m.∴sin∠APC＝＝＝. 解：如图，过点C作CH⊥AB于点H. ∵∠CAB＝90°－45°＝45°，AC＝30n mile， ∴AH＝CH＝15n mile. ∵∠CBH＝90°－30°＝60°， ∴BC＝＝＝10(n mile)． 过点D作DG⊥AB，交AB的延长线于点G， ∵∠DBG＝180°－60°－30°－60°＝30°， ∴∠BDG＝60°，∴∠CDB＝60°. ∵∠CBD＝30°＋60°＝90°，∴在Rt△BCD中，CD＝＝＝20(n mile)． 答：C，D间的距离为20n mile. 解：如图，延长CD交AB于点H. 由题意，得四边形CMBH为矩形， ∴CM＝HB＝20米． 在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，∠ACH＝18.4°， tan∠ACH＝， ∴CH＝＝≈. 在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝37°， tan∠ECH＝，∴CH＝＝≈. 设AH＝x米．∵AE＝9米，∴EH＝(x＋9)米，∴≈，解得x≈7.1，∴AB＝AH＋HB≈7.1＋20＝27.1≈27(米)． 答：纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长约为27米． 解：如图，过点A作AM⊥CB于点M，则∠AMB＝90°. ∵DE⊥CB，∴DE∥AM，∴△CDE∽△CAM， ∴＝，即＝， ∴AM＝，∴sin α＝＝＝. $$ 28.2 解直角三角形及其应用 第二十八章 锐角三角函数 28.2.1 解直角三角形 学习目标 知识点 解直角三角形 知1－讲 1 1. 解直角三角形的定义 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角. 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 感悟新知 知1－讲 特别提醒：(1)在直角三角形中，除直角外的五个元 素，已知其中的两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的三个未知元素(知二求三). (2)一个直角三角形可解，则其面积可求. 但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积. 感悟新知 知1－讲 深度理解 1. 已知两个角不能解直角三角形.若只有角的条件，则三角形边的大小不唯一，即有无数个三角形符合条件. 2. 已知一角一边时，角必须为锐角，若已知的角是直角，则不能求解. 感悟新知 知1－讲 2. 解直角三角形的常用关系式 元素 关系 图示 三边之间的关系 a2＋b2＝c2(勾股定理) 两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° 边、角之间的关系 sinA＝＝， cos A＝＝， tan A＝＝ 感悟新知 知1－练 例 1 根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是( ) ①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和 斜边. A. ②③ B. ②④ C. 只有② D. ②④⑤ 感悟新知 知1－练 解题秘方：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行解答. 解：①③④⑤能够求解，②不能求解. 答案：C 感悟新知 知1－练 1－1. 解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种： (1)已知两条边：一_______边和一________；两_______. (2)已知一条边和一个锐角：一_______和一_______；________和一_______. 直角 斜边 直角边 直角边 锐角 斜边 锐角 感悟新知 知2－讲 知识点 解直角三角形的类型与解法 2 图形 已知条件 解法 Rt△ABC 两边 两直角边 由tan A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝ 斜边、一直角边 (如c，a) 由sin A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝ 感悟新知 知2－讲 图形 已知条件 解法 Rt△ABC 一边 和一 锐角 一直 角边 和一 锐角 一锐角与邻边 (如∠A，b) ∠B＝90°－∠A；a＝b·tan A；c＝ 一锐角与对边 (如∠A，a) ∠B＝90°－∠A；b＝；c＝ 一锐角与斜边 (如∠A，c) ∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A；b＝c·cos A 续表 感悟新知 知2－讲 注意 解直角三角形时，求某些未知量的方法往往不唯一，选择关系式通常遵循以下原则：(1)尽量选择可以直接应用原始数据的关系式；(2)尽量选择便于计算的关系式；(3)能用乘法计算的要避免使用除法计算. 感悟新知 知2－讲 活学巧记 口诀记忆法：有斜求对乘正弦，有斜求邻乘余弦，无斜求对乘正切. “有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边长，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他的意思可类推. 感悟新知 知2－练 根据下列条件，解直角三角形： (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝20，c＝20； 例 2 思路引导： 感悟新知 知2－练 解：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝20，c＝20， ∴ sin A＝＝＝，∴∠A＝45°. ∴∠B＝90°－∠A＝45°. ∴∠A＝∠B，∴ b＝a＝20. 感悟新知 知2－练 (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝2，b＝2. 思路引导： 感悟新知 知2－练 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2， ∴ c＝＝＝4，tan A＝＝＝， ∴∠A＝60°. ∴∠B＝30°. 感悟新知 知2－练 2－1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝ 6，解这个直角三角形. 感悟新知 知2－练 感悟新知 知2－练 根据下列条件，解直角三角形： (1)在Rt△ABC中，∠C＝90 °，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠A＝30°，b＝12； 思路引导： 例 3 感悟新知 知2－练 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°－∠A＝60°. ∵ tan A＝，∴ ＝，解得a＝4. ∵∠A＝30°，∴ c＝2a＝8. 感悟新知 知2－练 (2)在Rt△ABC中，∠C＝90 °，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠A＝60°，c＝6. 思路引导： 感悟新知 知2－练 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝90°－∠A＝30°. ∵ sin A＝，∴ ＝，解得a＝3. 由勾股定理得b＝＝＝3. 感悟新知 知2－练 思路点拨：紧扣以下两种思路去求解 (1)求边时，一般用未知边比已知边(或用已知边比未知边)，去找已知角的某一个锐角三角函数. (2)求角时，一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个锐角三角函数(或用9 0°减去已知锐角的度数). 感悟新知 知2－练 3－1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解直角三角形： (1)c＝20，∠A＝45°； 感悟新知 (2)a＝8，∠A＝60°． 知2－练 感悟新知 知2－练 如图28.2－1，在△ ABC 中，AB＝1，AC＝，sin B＝，求BC的长. 例 4 解题秘方：紧扣“化斜为直法”，通过作高把斜三角形转化为两个直角三角形求解. 感悟新知 知2－练 解：如图28.2－1所示，过点A作AE⊥BC，垂足为点E. 在Rt△ABE中，∵ sin B＝＝，AB＝1， ∴ AE＝. ∴ BE＝＝. 在Rt△ACE中，AC＝，AE＝，∴CE＝＝ . ∴ BC＝BE＋CE＝. 感悟新知 知2－练 教你一招: 构造直角三角形解非直角三角形的方法 通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角. 在作垂线时，要充分利用已知条件， 一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，再利用解直角三角形的相关知识求解. 感悟新知 知2－练 4－1. 如图，在8×4的网格中，每个小正方形的边长都是 1，若△ABC的三个顶点都在图中相应的格点上，则 sin ∠ACB＝_______，BD＝_______． 感悟新知 知2－练 4－2. 如图，在△ABC中，∠A＝30 °，∠B＝45°，AC＝6，则△ABC的周长为_____________. 感悟新知 解直角三角形 定义 条件 解直 角三 角形 依据 三边关系 两锐角关系 边角关系 课堂小结 题型 利用解直角三角形求线段的长 1 如图28.2－2，在△ABC中，AB＝AC＝5，cos ∠ABC＝，点P为边AC上一点，则 线段BP的长的范围是_________． 例 5 ≤ BP≤ 6 综合应用创新 思路引导： 综合应用创新 解：如图28.2－2，过点A作AM⊥BC于点M， 过点B作BN⊥ AC于点N. 在Rt△ABM中， cos∠ABC＝＝，AB＝5， ∴BM＝×5＝3.∴ AM＝＝4．∵ AB＝AC， ∴ BC＝2BM＝6．易知S△ABC＝BC·AM＝AC·BN， ∴ BN＝＝＝. ∴≤ BP≤ 6. 综合应用创新 解题通法 解非直角三角形的方法： 运用“遇斜化直”的思想求解，先作三角形的高，构造直角三角形，然后利用已知条件分别解这两个直角三角形，即可得出要求的值. 综合应用创新 题型 利用解直角三角形求角的度数 2 如图28.2－3，将边长为2 cm的两个互相重合的正方形纸片中的一个按住不动，另一个绕 点B旋转一定的角度，使重叠部分的 面积为cm2，求这时旋转的度数. 例 6 综合应用创新 解题秘方：将求正方形旋转的度数问题转化为求直角三角形中角的度数问题. 综合应用创新 解：如图28.2－3 ，设A′D′与DC交于点E，连接BE. 在Rt△A′BE和Rt△CBE中， ∵ BE＝BE，A′B＝CB，∴ Rt△A′BE≌Rt△CBE. ∴ S△BCE＝S四边形A′BCE＝cm2. ∵ S△BCE＝BC·CE＝cm2，BC＝2 cm， 综合应用创新 ∴ CE＝cm. ∴ tan∠EBC＝＝. ∴∠EBC＝30 °. 易得∠A′BC＝2∠EBC＝60°. ∴∠C′BC＝30°，即这时旋转的度数是30°. 综合应用创新 知识储备 图形旋转的性质：旋转过程中，对应点到旋转中心的距离都相等；图形上每一点都绕旋转中心沿相同的方向旋转相同的角度，任意两组对应点与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；旋转中心在图形上时，它是唯一不动的点. 综合应用创新 特别解读 本题把求旋转角的度数问题转化为求Rt△CBE中角的度数问题，进而根据解直角三角形的相关知识求解，体现了转化思想的应用. 综合应用创新 题型 利用解直角三角形求面积 3 [中考·日照]如图28.2－4，□ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE． 例 7 解题秘方：连接平行四边形的对角线，将四边形问题转化为三角形问题进行求解． 综合应用创新 (1)求证：四边形ABCD是菱形； 证明：如图28.2－4，连接BD，交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴ BO＝OD. 在△ BOE与△DOE中， ∴△ BOE≌△DOE(SSS). ∴∠BOE＝∠DOE． 又∵∠BOE＋∠DOE＝180°， ∴∠BOE＝∠DOE＝90°，即AC⊥BD.∴□ABCD是菱形. 综合应用创新 (2)若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积． 解：在Rt△ABO中，∵ tan∠BAC＝＝2，∴设AO＝x，则BO＝2x.∴ AB＝＝x＝10，解得x＝2. ∴ AO＝2，BO＝4． ∵四边形ABCD是菱形， ∴ AC＝2AO＝4，BD＝2BO＝8. ∴ S四边形ABCD＝AC·BD＝×4×8＝80． 综合应用创新 技巧点拨 作辅助线的技巧： 解四边形问题时，通常通过作辅助线将问题转化成解直角三角形问题，作辅助线时 注意： 1. 尽量不破坏题目中原有的已知角，特别是一些特殊角； 2. 尽量使已知的边作为构造的直角三角形的边，否则会给解题造成麻烦或不能求解. 综合应用创新 题型 利用解直角三角形解决与圆有关的问题 4 [中考·扬州]如图28.2－5，在△ABC中，∠ACB＝ 90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C，D两点． 例 8 解题秘方：利用圆的切线的判定和解直角三角形解题． 综合应用创新 (1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由； 解：直线AB与⊙O相切．理由：如图28.2－5，连接OD. ∵ OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC. ∴∠DOB＝∠OCD＋∠ODC＝2∠BCD. ∴∠BCD＝∠BOD． 又∵∠BCD＝∠A，∴∠BOD＝∠A． 综合应用创新 ∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°. ∴∠BOD＋ ∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，即OD⊥ AB． 又∵ OD是⊙ O的半径， ∴直线AB与⊙ O相切． 综合应用创新 (2)若sin B＝，⊙O的半径为3，求AC的长． 解：在Rt△OBD中，∵ sin B＝＝，OD＝3， ∴ OB＝5. ∴ BC＝OB＋OC＝8． 在Rt△ACB中，∵ sin B＝＝， ∴设AC＝3x，则AB＝5x. ∴ BC＝＝4x＝8. ∴ x＝2. ∴ AC＝3x＝6． 综合应用创新 技巧点拨 证明切线的方法通常是“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”，本题利用了“连半径，证垂直”，比较常规．本题第(2)问中求线段的长充分发挥了解直角三角形的优势，对于求AC的长，也可以利用相似三角形的性质，但稍微繁琐一点． 综合应用创新 如图28.2－6，在Rt△ABO中，∠AOB＝90 °，斜边AB＝1. 若OC∥ BA，∠AOC＝36°，则( ) A. 点B到AO的距离为sin 54° B. 点B到AO的距离为tan 36° C. 点A到OC的距离为sin 36°· sin 54° D. 点A到OC的距离为cos 36°· sin 54° 例 9 易错点 弄错直角三角形中各元素的对应关系而致错 1 综合应用创新 错解：D 正解：在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，即BO⊥AO， ∴点B到AO的距离就是BO的长. ∵ OC∥BA，∠AOC＝36°，∴∠BAO＝∠AOC＝36°. ∴根据锐角三角函数的定义得BO＝AB·sin 36°＝sin 36°， 故A，B选项错误. 综合应用创新 如图28.2－6 ，过A作AD⊥OC于点D， 则AD的长就是点A到OC的距离. ∵∠BOA＝90°，∠BAO＝36°，∴∠ABO＝54°. 根据锐角三角函数的定义得AD＝AO·sin 36 °，AO＝AB· sin 54°＝sin 54°， ∴ AD＝sin 36°· sin 54°. 答案：C 综合应用创新 诊误区： 在直角三角形中，所用的锐角不同，则同一条边的表示方法也不同. 错解没有找准合适的三角函数，弄错了各元素的对应关系. 在解决此类问题时，一定要找准对应关系，再列式求解. 综合应用创新 在△ABC中，AB＝4，AC＝，∠B＝60°，求BC 的长. 易错点 当三角形的形状不确定时，没有进行分类讨论而致错 2 例10 综合应用创新 错解：如图28.2－7，过点A作AD⊥BC，垂足为点D. 在Rt△ABD中，∠B＝60°，AB＝4， ∴ AD＝AB·sin B＝4×sin 60°＝4×＝2， ∠BAD＝90°－∠B＝30°. ∴ BD＝AB＝×4＝2. 在Rt△ACD中，AC＝，AD＝2， ∴ CD＝＝1.∴ BC＝BD＋DC＝2＋1＝3. 综合应用创新 正解：当△ABC为钝角三角形时，如图28.2－8， 过点A作 AD⊥ BC，交BC的延长线于点D. 在Rt△ABD中，∠B＝60°，AB＝4， ∴ AD＝AB·sin B＝4×sin 60°＝4×＝2， ∠BAD＝90°－∠B＝30°. ∴ BD＝AB＝×4＝2. 在Rt△ACD中，AC＝，AD＝2， 综合应用创新 ∴CD＝＝1. ∴ BC＝BD－CD＝2－1＝1 . 当△ ABC为锐角三角形时，同错解中的解题过程. 综上，BC的长为1 或3. 综合应用创新 诊误区： 在解非直角三角形问题时，若已知两边及一边的对角(锐角)，但题目中没有给出图形，我们要进行分类讨论，有时受思维定式的影响，往往只考虑锐角三角形，而忽略了钝角三角形的情况. 本题中三角形的形状不确定，所以求BC的长时，应该有两种情况. 错解只考虑了△ABC为锐角三角形的情况，而忽略了△ ABC为钝角三角形的情况. 综合应用创新 [中考· 浙江]如图28.2－9，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． 考法 利用解直角三角形求线段的长 1 例11 试题评析：本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键. 中考风向标 (1)求BC的长； 解：∵ AD⊥ BC，AB＝10，AD＝6， ∴ BD＝＝＝8. ∵ tan∠ACB＝1，∴ CD＝AD＝6 . ∴ BC＝BD＋CD＝8＋6＝1 4 . 中考风向标 (2)求sin∠DAE的值． 解：∵ AE是BC边上的中线，∴ CE＝BC＝7. ∴ DE＝CE－CD＝7－6＝1 . ∵ AD⊥ BC，∴ AE＝＝＝ . ∴ sin∠DAE＝＝＝． 中考风向标 [中考·扬州] 如图28.2－10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝ 30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的 对应点D落在该反比例函数的图 象上，则k的值为_______． 2 考法 利用解直角三角形解反比例函数问题 2 例12 中考风向标 试题评析：本题考查反比例函数和解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识，属于中考常考题型. 中考风向标 解：如图28.2－10，过点D作DE⊥x轴于点E． ∵点A的坐标为(1，0)，∴ OA＝1 . 设BC＝a，∵∠BAC＝30°，BC⊥x轴， ∴ AC＝a. ∴ B(1＋a，a). 由翻折可知AC＝AD＝a，∠DAB＝∠BAC＝30°， ∴∠DAC＝60°，∴∠ADE＝30°. ∴ AE＝a，DE＝a. 中考风向标 ∴ D(1＋a，a). ∵ 点B与点D都在该反比例函数的图象上， ∴ k＝a(1＋a)＝a·(1＋a)，解得a＝或a＝0(舍去). ∴ k＝2. 中考风向标 [中考· 宜宾] 如图28.2－11，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥ BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连接CD． 考法 利用解直角三角形求圆中的线段长 3 例13 试题评析：本题主要考查了切线的判定、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握这些知识点是解题的关键. 中考风向标 (1)求证：AE是⊙O的切线； 证明：如图28.2－11 ，连接AO并延长交BC 于点F，连接OC，则OB＝OC. ∵ AB＝AC，∴∠AOB＝∠AOC. ∴∠FOB＝∠FOC，∴ OF⊥BC，∴∠DFB＝90°. ∵ AE∥BC，∴∠OAE＝∠OFB＝90°，即AE⊥ OA. 又∵ OA是⊙O的半径，∴ AE是⊙O的切线． 中考风向标 (2)若tan∠ABE＝，求CD和DE的长． 解：∵ OB＝OA，∴∠BAF＝∠ABE. ∴＝tan∠BAF＝tan∠ABE＝. ∴ AF＝2BF. ∴ AB＝＝＝BF＝10 . ∴ BF＝2. ∴ AF＝4. ∵BF2＋FO2＝OB2，且OB＝OA＝4－FO， 中考风向标 ∴(2)2＋FO2＝(4－FO)2，解得FO＝. ∴ OD＝OB＝OA＝4－＝. ∵ OB＝OD，BF＝CF，∴ CD＝2FO＝2×＝3. ∵＝cos∠AOE＝cos∠FOB＝， 中考风向标 ∴OE＝＝＝. ∴DE＝OE－OD＝－＝. ∴ CD的长是3，DE的长是. 中考风向标 1. [中考·南充]如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x m到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距(　　) A. m B. m C. x·sinα m D. x·cosα m B 综合素养训练 2. 如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作 弧，交AB于点E，交AC于点F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于点 G，作射线AG交BC于点D． 若AC＝4，tan ∠BAD＝ ，则CD的长是( ) A. B. 1 C. D. 2 C 综合素养训练 3. [中考·乐山]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连接BD. 若tan A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为(　　) A. 2 B. 3 C. D. 2 C 综合素养训练 4. [中考·金华]一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6 m，∠ABC＝α ，则房顶A离地面EF的高度为(　　) A. (4＋3sinα) m B. (4＋3tanα) m C. (4＋) m D. (4＋) m B 综合素养训练 5. [中考·娄底]如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE 沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，若BC＝ 10 ，sin∠AFB＝，则DE＝________． 5 综合素养训练 6. [中考·广元]如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1 ，0)，点B(0，－3)，点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，则点C的坐标为______． 综合素养训练 7. [中考· 深圳]如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，tan ∠AOC＝，且点A落在反比例函数y＝的图象上，点B落在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k＝_______． 8 综合素养训练 8. [中考• 深圳] 如图，在△ABC中，AB＝BC，tan B＝．D为BC上一点，且满足＝，过D作DE⊥AD交AC的延长线于点E，则＝________． 综合素养训练 9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形： (1)b＝，c＝2； 综合素养训练 (2)a＋c＝12，∠B＝60°． 综合素养训练 10. [中考· 雅安]如图， 已知E，F是□ABCD对角线AC上两点，AE＝CF． 综合素养训练 (1)求证：△ABE≌△CDF； 综合素养训练 (2)若CH⊥AB交AB的延长线于点H，＝3，BC＝，tan ∠CAB＝，求ABCD的面积． 综合素养训练 综合素养训练 11. [中考· 成都]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF． 综合素养训练 (1)求证：BC·DF＝BF·CE； 综合素养训练 (2)若∠A＝∠CBF，tan ∠BFC＝，AF＝4，求CF的长和⊙O的直径. 综合素养训练 综合素养训练 综合素养训练 综合素养训练 综合素养训练 12. 我们定义：等腰三角形中底边长与腰长的比叫做顶角的正对(sad). 如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sad A，这时sad A＝＝. 容易知道一个角的大小与这个角的正对值是相互唯一确定的. 根据上述角的正对的定义，解决下列问题： (1)sad 60°＝________； (2)sad 90°＝________； 1 综合素养训练 (3)如图②，在Rt△ABC中，已知sin A＝，其中∠A为锐 角，试求sad A的值. 综合素养训练 综合素养训练 综合素养训练 13. 阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：如图①，sinα＝，cosα＝，tanα＝． 综合素养训练 一般地，当α ，β 为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sinα cosβ ＋ cosα sinβ ；sin(α－β)＝sinα cosβ －cosα sinβ． 例如：sin 15°＝sin(45° －30°)＝sin 45°·cos 30°－cos 45°· sin 30°＝． 任务：(1)计算：sin 75°＝_______； 综合素养训练 (2)如图②，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝45°，AC＝ 2－2，求AB和BC的长． 综合素养训练 综合素养训练 综合素养训练 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6， ∴AB＝＝4， tan B＝＝＝， ∴∠B＝30°.∴∠A＝90°－30°＝60°. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°， ∴∠B＝180°－90°－45°＝45°，∴∠B＝∠A， ∴a＝b. 又∵c＝20，∴a＝b＝10. 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠A＝60°， ∴∠B＝90°－60°＝30°，b＝＝＝， ∴c＝2b＝. 9＋3＋3 解：∵b＝，c＝2，∴a＝＝. ∵tan A＝＝＝1， ∴∠A＝45°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°. 解：∵∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°. ∴c＝2a. ∵a＋c＝12，∴a＝4，c＝8， ∴b＝＝＝4. 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS)． 解：∵＝3，∴CH＝3BH. ∵CH⊥AH，∴∠H＝90°， ∴BC2＝BH2＋CH2. ∵BC＝，∴()2＝BH2＋(3BH)2， 解得BH＝1(负值已舍去)，∴CH＝3. 在Rt△ACH中，∵tan∠CAB＝＝，∴AH＝4， ∴AB＝AH－BH＝4－1＝3，∴S▱ABCD＝AB·CH＝3×3＝9. 证明：∵BD是⊙O的直径，∴∠BFD＝90°. ∵∠C＝90°，∴∠BFD＝∠C.∵＝， ∴∠BEC＝∠BDF，∴△BCE∽△BFD， ∴＝，∴BC·DF＝BF·CE. 解：如图，连接DE，过点E作EH⊥BD于点H. ∵∠C＝90°，tan∠BFC＝， ∴＝，∴BC＝CF. ∵∠A＝∠CBF，∴90°－∠A＝90°－∠CBF，∴∠ABC＝ ∠BFC，∴tan∠ABC＝tan∠BFC＝，∴＝， ∴AC＝BC＝×(CF)＝5CF. ∵AF＝4，∴AC－ CF＝5CF－CF＝4，∴CF＝，∴BC＝CF＝5，AC＝5CF＝5，∴AB＝＝＝5. 由(1)知△BCE∽△BFD，∴∠CBE＝∠DBF， ∴∠CBE－∠FBE＝∠DBF－∠FBE，即∠CBF＝∠EBA. ∵∠A＝∠CBF，∴∠A＝∠EBA，∴AE＝BE，∴BH＝AH＝AB＝. ∵∠CBF＝∠EBA，∴∠BEH＝90°－∠EBA＝ 90°－∠CBF＝∠BFC，∴tan∠BEH＝tan∠BFC＝， ∴＝，即＝，∴EH＝. ∵BD是⊙O的直径，∴∠BED＝90°， ∴∠EDH＝90°－∠DEH＝∠BEH， ∴tan∠EDH＝tan∠BEH＝， ∴＝，即＝，∴DH＝， ∴BD＝DH＋BH＝＋＝3， ∴⊙O的直径为3. 解：∵sin A＝＝，∴设AB＝5a，则BC＝3a，∴AC＝4a. 在AB上取一点D，使AD＝AC＝4a，作DE⊥AC于点E，连接CD，如图所示， 则DE＝AD·sin A＝4a·＝a，AE＝AD·cos A＝4a·＝a，∴CE＝AC－AE＝4a－a＝a， ∴CD＝＝＝a， ∴sad A＝＝. 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，在BC上取一点E，连接AE，使BE＝AE. ∵∠C＝45°，∴∠DAC＝45°，sin C＝＝， ∴AD＝CD. ∵AC＝2－2，∴＝，∴AD＝CD＝－. ∵∠B＝15°，sin B＝，∴＝，∴AB＝4. ∵BE＝AE，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AED＝30°， ∴BE＝AE＝2AD＝2－2，tan∠AED＝＝， ∴＝，∴ED＝3－， ∴CB＝3－＋2－2＋－＝2. $$