24.4 解直角三角形（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形（7大题型提分练） 题型一 解直角三角形的相关计算 1．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，， 则的长度为（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知中，，，求时，的长度为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为 ． 5．在菱形中，，，，求． 题型二 解非直角三角形 1．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 2．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 3．如图，在中，，，，则的长为 ． 4．已知锐角中，，，则的长为 ． 5．如图，在中，，，求． 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 1．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 2．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 3．△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是 ． 4．如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是 （，结果保留整数） 5．已学校操场边有一块不规则的四边形。八年级（1）班的数学学习小组想要求出它的面积，经过测量知：，请你根据以上测量结果求出不规则四边形的面积？ 题型四 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 1．两建筑物的水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长为．又在点处测得该楼的顶端的仰角是．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．某广场中心建有雕塑，某课外实践小组为测量雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，．已知测角仪DA的高度为1.5m．则雕塑BC的高度是 m． 4．如图，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选择M点位置作为观测点，从M点测得山顶 P的仰角为， 在比例尺为的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为，则山顶P的海拔高度为 m. 5．2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为，米．求的长． （参考数据：，，） 题型五 方位角问题(解直角三角形的应用) 1．渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 2．如图，东西方向上有A，C两点，点B在点A的北偏东方向上，在点C的北偏西方向上，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需要绕行地，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长 ．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 4．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时处与灯塔的距离为 ．（参考数据：，结果保留一位小数） 5．为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方向，；点C在点B的北偏东方向，在点D的北偏东方向，． （参考数据：，） (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？ 题型六 坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 1．小明沿着坡度为的山坡向上走了，则他竖直上升了（    ） A． B． C． D． 2．如图，有一斜坡的长为10，坡角，则斜坡的铅垂高度为（    ） A． B． C． D． 3．小张沿着某斜坡前进后，高度上升了，那么该斜坡坡比 ． 4．一个人沿坡面向上走了米，而升高了米，那么这个坡的坡比 ． 5．如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高米，坝顶宽米， (1)求大坝横截面的面积； (2)求大坝横截面的周长．（坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值） 题型七 其他问题(解直角三角形的应用) 1．某地受台风暴雨的影响，电力检修员发现，一根原来与水平地面垂直的电线杆发生了15°的倾斜，其抽象示意图如图所示，已知原来电线杆上接线点A到地面的距离，则现在接线点A到水平地面的距离约是（   ）m． A． B． C． D． 2．如图：小军要测量河内小岛到河岸的距离，在点测得，在点测得，又测得米，则小岛到河岸的距离为（　　）    A． B．5 C． D． 3．如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，，，，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 ．（结果精确到0.1cm）（参考数据：，，，） 4．光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线斜射到液面发生折射，折射光线为，折射角为，测得，，，则线段的长是 ．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 5．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿摆成如图所示．已知，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角．此时鱼线被拉直，鱼线．点O恰好位于海面，鱼线与海面的夹角．求海面与地面之间的距离的长．（结果保留一位小数，参考数据：，） 1．如图，在中，，，于点， ．若E，F分别为，的中点，则的长为（   ） A． B．2 C．3 D．2 2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 4．如图，在冬奥会滑雪场有一坡度为的滑雪道，滑雪道的长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，某建筑物直立于水平地面，米，，要建造阶梯，使每阶高不超过，则此阶梯最少要建（最后一阶的高不足时按一阶计算，）（    ） A．23阶 B．24阶 C．25阶 D．26阶 6．在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 7．如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 8．如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数据：，，） 9．如图，小华站在长江大堤上的点E处，看见江中有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角，若小华的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度，坡长为5米，点A，B，C，D，F，E在同一平面上，则此时小船C到岸边的距离的长是 米．（结果保留根号） 10．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 11．将一副三角尺如图叠放在一起，求的值．    12．某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 13．慈氏塔位于洞庭湖边西南，塔为楼阁式，八角七层，雄视洞庭湖，为“巴陵胜状”之一，一次数学综合实践活动中，智慧小组设计了如下方案测量慈氏搭的高度．如图，在地面C处测得塔顶A的仰角为，从C点沿水平地面向前走a米到达点D处后，在D处测得塔顶端A的仰角为，即过计算求得塔高．若测得的，，米，请你利用所测数据计算塔高．（结果精确到1米，参考数据：，，）    14．如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 15．好的座椅可以让人坐着更舒适．交大附中教师办公室座椅如图1所示，它的主要组成有支撑部分、座面和椅背，座面和椅背均可以进行调节．其纵截面如图2所示，支撑部分，与水平地面垂直，，，，． (1)求点D距离地面的高度； (2)相较于座面水平、椅背竖直的情况，座面稍向下倾斜，椅背与座面的夹角略大于时，坐起来更加舒适．已知当座椅的座面与水平面的夹角为，座面与椅背的夹角为时坐起来最舒适，求坐起来最舒适时点H距离地面的高度（小数点后保留1位小数）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形（7大题型提分练） 题型一 解直角三角形的相关计算 1．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的知识，勾股定理．先利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，在中，， 则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：C． 3．如图，已知中，，，求时，的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键． 根据角正切值可求得，，结合，列方程求解即可得出答案． 【详解】， 在中，，即， ， 在中，，即， 故， ． 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为 ． 【答案】 【分析】过点作，交轴于点，根据题意得出，即可求出；本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角正切值的定义是解题的关键． 【详解】过点作，交轴于点 点在第二象限 故答案为：． 5．在菱形中，，，，求． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形中三角函数的应用．根据，设出，则，，得出，根据，，求出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案． 【详解】解：， 设， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型二 解非直角三角形 1．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 2．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】B 【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是（，）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长． 3．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 4．已知锐角中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，设，根据正切值可得，勾股定理求得的值，进而求得的长． 【详解】如图，过点作于点， 设， ，, ， 故答案为： 【点睛】本题考查了解非直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． 5．如图，在中，，，求． 【答案】10 【分析】本题考查解非直角三角形，过点作，分别解，求出的长，利用，进行求解即可．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：过点作，则：， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴． 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 1．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案． 【详解】解：如图，分别作出两三角形的高 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键． 2．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【答案】A 【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度． 【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么， ∵坝高，CF⊥AB， ∴DE=CF=5cm 又斜坡的坡比为 ∴BF=12cm， 在RtBCF中 BC= = =13cm 【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义． 3．△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是 ． 【答案】60°或120°/120°或60° 【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC边上的高，再根据∠A的三角函数值可得∠A的度数，注意需要分情况讨论． 【详解】解：当∠A是锐角时， 如图，过点B作BD⊥AC于D， ∵AC＝5，△ABC的面积为5， ∴BD＝5×2÷5＝2， 在中，sinA＝＝＝， ∴∠A＝60°． 当∠A是钝角时， 如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D， ∵AC＝5，△ABC的面积为5， ∴BD＝5×2÷5＝2， 在Rt△ABD中，sin∠BAD＝sinA＝＝＝， ∴∠BAD＝60°． ∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°． 故答案为60°或120°． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线． 4．如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是 （，结果保留整数） 【答案】20 【分析】过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，先解直角三角形求出的长，从而可得，再根据直角三角形的性质求出的长即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点， 由题意得：，， ， 在中，，， 在中，， ， 在中，， 即这架无人机的飞行高度大约是， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 5．已学校操场边有一块不规则的四边形。八年级（1）班的数学学习小组想要求出它的面积，经过测量知：，请你根据以上测量结果求出不规则四边形的面积？ 【答案】36 【分析】连接，构造直角三角形，用勾股定理即可． 【详解】解：如图，连接， 在△， 又∵在△ ∵， ∴ ∴△是直角三角形，， ∴ 【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，掌握构造直角三角形是解题的关键． 题型四 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 1．两建筑物的水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了利用三角函数解决有关仰角、俯角的计算问题．作于点，分别在和中，利用三角函数即可表示出与的长，根据即可求解． 【详解】解：如图，作于点， ，， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， 同理：． 米， 故选：D． 2．如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长为．又在点处测得该楼的顶端的仰角是．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，用计算器计算三角函数值，根据题意，得到，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：在中，，， ∴； 计算器的按键为  ； 故选A． 3．某广场中心建有雕塑，某课外实践小组为测量雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，．已知测角仪DA的高度为1.5m．则雕塑BC的高度是 m． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形实际应用．根据题意可知，利用正弦函数值即可求出，继而求得本题答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵的高度为， ∴， 故答案为：． 4．如图，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选择M点位置作为观测点，从M点测得山顶 P的仰角为， 在比例尺为的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为，则山顶P的海拔高度为 m. 【答案】2024 【分析】本题是跨学科综合题，看图理解题意是关键．考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 由比例尺易得实际长．利用相应的三角函数求得的高度差，加上点的高度即可． 【详解】解：在比例尺为的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为，则实际距离为． 由题意画出示意图，过点M作于点C， 从点测得山顶的仰角为， ∴， 高度差为：， 点的海拔为， 山顶的海拔高度为． 故答案为：2024． 5．2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为，米．求的长． （参考数据：，，） 【答案】8米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键．在中，根据余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得，， ∴， 在中，，米， ∴（米）， 答：的长为8米． 题型五 方位角问题(解直角三角形的应用) 1．渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，先根据题意画出图形，易得，再解直角三角形，运用三角函数即可求得渔船与灯塔的距离. 【详解】如图，由题意得：， ∵在直角三角形中，， 海里， (海里). 故选：D. 2．如图，东西方向上有A，C两点，点B在点A的北偏东方向上，在点C的北偏西方向上，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的计算，结合图象，得出相应的角度，然后依次判断即可 【详解】解：A、根据图象得， ∴，选项错误，不符合题意； B、根据图象得， ∴，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：B 3．如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需要绕行地，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长 ．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 【答案】/595千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中的方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形． 过点作于点，构造出两个直角三角形，在中利用锐角三角函数的定义求出及的长，再放在中求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于点， 地位于地北偏东方向，距离地， ， ， 在，，， 地位于地南偏东方向， ， 在，， ． 答：地到地之间高铁线路的长为， 故答案为：． 4．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时处与灯塔的距离为 ．（参考数据：，结果保留一位小数） 【答案】98.0 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于C，根据余弦的定义求出，再根据余弦的定义列式计算求解即可． 【详解】解：作于C，则，， 在中，， 则， 在中，， 则， 故答案为：． 5．为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方向，；点C在点B的北偏东方向，在点D的北偏东方向，． （参考数据：，） (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？ 【答案】(1)848米 (2)走点A经过点B到点C的路线较近 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键； （1）过点C作于点E，过点B作于点G，由题意易得，然后根据三角函数可进行求解； （2）由（1）可知，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点E，过点B作于点G， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 答：步道的长度约为848米． （2）解：小王从点A经过点B到点C较近，理由如下： 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴小王从点A经过点B到点C较近． 题型六 坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 1．小明沿着坡度为的山坡向上走了，则他竖直上升了（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的概念，根据题意，正确画出图形． 根据题意，画出图形，如下，根据坡比为，可设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，画出图形，如下： 由题意可得，， 设，则， 由勾股定理可得：，即 解得， 即，他升高了， 故选：C． 2．如图，有一斜坡的长为10，坡角，则斜坡的铅垂高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，， ，， ， 故选：B． 3．小张沿着某斜坡前进后，高度上升了，那么该斜坡坡比 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、坡度比的定义等知识点，理解坡度的定义成为解题的关键． 先根据勾股定理求得，再根据坡度的定义求解即可． 【详解】解：如图：∵, ∴． ∴该斜坡坡比． 故答案为：． 4．一个人沿坡面向上走了米，而升高了米，那么这个坡的坡比 ． 【答案】 【分析】本题考查了坡度的定义，利用勾股定理可求出行走的水平距离，根据坡度的定义即可得答案. 【详解】∵向上行走了10米，上升高度为6米， ∴行走的水平距离=米， ∴此斜坡的坡度， 故答案为： 5．如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高米，坝顶宽米， (1)求大坝横截面的面积； (2)求大坝横截面的周长．（坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值） 【答案】(1)2800 (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． （1）首先根据坡度的概念求出米，米，进而求解即可； （2）首先根据勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】（1）∵迎水坡的坡比为，米， ∴，即 ∴米； ∵背水坡的坡比为，米， ∴，即 ∴米 ∴大坝横截面的面积为； （2）∵，米，米， ∴米 ∵，米，米 ∴米 ∴周长为米． 题型七 其他问题(解直角三角形的应用) 1．某地受台风暴雨的影响，电力检修员发现，一根原来与水平地面垂直的电线杆发生了15°的倾斜，其抽象示意图如图所示，已知原来电线杆上接线点A到地面的距离，则现在接线点A到水平地面的距离约是（   ）m． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；过点A作于点B，由题意易得，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：过点A作于点B，如图所示： 由题意得：， ∴； 故选C． 2．如图：小军要测量河内小岛到河岸的距离，在点测得，在点测得，又测得米，则小岛到河岸的距离为（　　）    A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点为：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；等角对等边；一个角的正弦值等于这个角所在的直角三角形中对边与斜边之比．根据三角形外角的性质和等角对等边易得．那么利用的正弦函数可求得长，也就是小岛到河岸的距离． 【详解】解：，， ， 米， 由题意得 米． 故选：A． 3．如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，，，，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 ．（结果精确到0.1cm）（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是过点作交于点，过点作交的延长线于点，根据，求出，根据，求出，根据，，求出，根据该陶盉管状短流口距地面的高度为：，即可． 【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该陶盉管状短流口距地面的高度为：． 故答案为：． 4．光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线斜射到液面发生折射，折射光线为，折射角为，测得，，，则线段的长是 ．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形．在中，利用直角三角形的边角间关系可得结论． 【详解】解：， ， 在中， ， 故答案为：． 5．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿摆成如图所示．已知，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角．此时鱼线被拉直，鱼线．点O恰好位于海面，鱼线与海面的夹角．求海面与地面之间的距离的长．（结果保留一位小数，参考数据：，） 【答案】0.9m 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先作，并延长交于点E，根据矩形的性质得，在中，根据求出，在中，根据，求出，最后根据求出答案． 【详解】过点B作，交于点C，延长交于点E， ∴四边形是矩形， ∴． 根据题意可知， 在中，， ∴， 即， 解得． 在中，， ∴， 即， 解得， ∴（m）． 所以海面与地面之间得距离的长0．9m． 1．如图，在中，，，于点， ．若E，F分别为，的中点，则的长为（   ） A． B．2 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，由求出，由求出，继而求出由三角形中位线定理求出． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵E，F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 3．潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 4．如图，在冬奥会滑雪场有一坡度为的滑雪道，滑雪道的长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定义解应用题，涉及坡度定义，根据坡度定义得到，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：在冬奥会滑雪场有一坡度为的滑雪道， ， 设，则， 在中，，则由勾股定理可得，解得， ， 故选：B． 5．如图，某建筑物直立于水平地面，米，，要建造阶梯，使每阶高不超过，则此阶梯最少要建（最后一阶的高不足时按一阶计算，）（    ） A．23阶 B．24阶 C．25阶 D．26阶 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用，求出的长，除以每阶的高度，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，米，， ∴， ∵， ∴此阶梯最少要建26阶； 故选D． 6．在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线．作的高，，根据题意可得，，在中，根据三角函数可得，即，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，作的高，， 是锐角三角形， ，在的内部， ，， 在中，，， ， ， 又， ， 故答案为：． 7．如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键． 8．如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数据：，，） 【答案】58 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，根据题意可得：海里，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求的长． 【详解】解：由题意得：（海里）， 在中，海里， ∴（海里） （海里）， 在中，， ∴（海里）， （海里）， 即乙船向正东方向航行了58海里， 故答案为：58 9．如图，小华站在长江大堤上的点E处，看见江中有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角，若小华的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度，坡长为5米，点A，B，C，D，F，E在同一平面上，则此时小船C到岸边的距离的长是 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 把和都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点和点到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得长度即为长度. 【详解】过点作于点， 延长交于点， 得和矩形. 米， 米， 米， 米， 米， (米)， (米)， 在中， 米， 米， 又， 即 (米)， 故答案为： 10．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，作辅助线，构造直角三角形是解本题的关键．过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解． 【详解】解：过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E， 在中，，， ∵ ∴(cm)， 在中，，， ∵， ∴(cm)， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴(cm)． 点与桌面的距离约为， 故答案为：． 11．将一副三角尺如图叠放在一起，求的值．    【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．由题意，易证得，又由在中，，可得，然后由在中，，求得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 12．某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 【答案】(1)141米； (2)不够，见解析． 【分析】（１）如图，过点D作，垂足为点F，则，解，得（米）； （2）解，，，，从而，，计算（米），总造价，得出结论． 【详解】（1）如图，过点D作，垂足为点F，则 中， ∴（米）； （2）中，， ∴， 而 ∴ ∴ ∴（米） ∴总造价； ∴预算不满足需求． 【点睛】本题考查解直角三角形的运用，添加辅助线构造特殊角直角三角形是解题的关键． 13．慈氏塔位于洞庭湖边西南，塔为楼阁式，八角七层，雄视洞庭湖，为“巴陵胜状”之一，一次数学综合实践活动中，智慧小组设计了如下方案测量慈氏搭的高度．如图，在地面C处测得塔顶A的仰角为，从C点沿水平地面向前走a米到达点D处后，在D处测得塔顶端A的仰角为，即过计算求得塔高．若测得的，，米，请你利用所测数据计算塔高．（结果精确到1米，参考数据：，，）    【答案】米 【分析】此题考查了解直角三角形的实际应用．：设塔高米．在中，，在中，，由得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设塔高米． 在中， ∴， 在中， ∴， ∵，米， ∴ 解得，（米）， 答：塔高为米． 14．如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【答案】(1)的长度为米 (2)甲选择的路线较近 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，则，解直角三角形求出、的长，再结合计算即可得解； （2）解直角三角形，分别求出两条路线的长度，比较即可得解． 【详解】（1）解：如图：作于，则， ， 由题意得：米，米，，， ∴在中，，，米， ∴米，米， 在中，，， ∴米， ∴米， ∴的长度为米； （2）解：在中，，，米， ∴米， ∴米， 在中，，，米， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴甲选择的路线较近． 15．好的座椅可以让人坐着更舒适．交大附中教师办公室座椅如图1所示，它的主要组成有支撑部分、座面和椅背，座面和椅背均可以进行调节．其纵截面如图2所示，支撑部分，与水平地面垂直，，，，． (1)求点D距离地面的高度； (2)相较于座面水平、椅背竖直的情况，座面稍向下倾斜，椅背与座面的夹角略大于时，坐起来更加舒适．已知当座椅的座面与水平面的夹角为，座面与椅背的夹角为时坐起来最舒适，求坐起来最舒适时点H距离地面的高度（小数点后保留1位小数）． 【答案】(1)点距离地面的高度为 (2)点距离地面的高度 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （1）延长交于，则，在中，解直角三角形即可求解； （2）过点作，过点作，则，在，中，分别解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：延长交于，则， ∵， ∴， ∴， 则点距离地面的高度为； （2）过点作，过点作，则， ∴，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则， ∴点距离地面的高度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$