24.4第2课时　解直角三角形的应用——仰角、俯角课件2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形的应用——仰角、俯角”，通过情景导入回顾解直角三角形的定义及所需条件，搭建旧知与新知的桥梁，引导学生从已有知识自然过渡到仰角俯角的概念学习。 其亮点在于以实际问题为载体，通过自主探究明确仰角俯角概念，合作探究中结合测量旗杆、隧道长度等范例，培养学生用数学眼光抽象现实问题、用数学思维推理计算的能力。课堂小结归纳四步解题流程，练习题融入马拉松、无人机测高等生活场景，助力学生用数学语言表达实际问题，提升应用意识，教师使用可高效落实重点，突破难点。

第24章　解直角三角形 24.4　解直角三角形 第2课时　解直角三角形的应用——仰角、俯角 【学习目标】 1．理解俯角和仰角的概念，并利用其解直角三角形； 2．综合利用仰角和俯角以及解直角三角形的知识，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力； 3．经历数学知识的挖掘与欣赏过程，近一步感受教学知识在图案设计中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣． 【学习重点】 理解仰角和俯角的概念，并运用解直角三角形． 【学习难点】 把实际问题转化为直角三角形求解． 情景导入 1.什么是解直角三角形？ 2．解直角三角形至少需要几个条件？ 自学互研 知识模块　仰角、俯角与解直角三角形 (一)自主探究 如图，在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角． 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 (二)合作探究 范例 如图：为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆 底部10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α＝52°，求旗杆BC的高．(精确到0.1米) 解：在Rt△CDE中． ∵CE＝DE×tanα＝AB×tanα＝10×tan52°≈12.80， ∴BC＝BE＋CE＝DA＋CE≈1.50＋12.8＝14.3(米) 答：旗杆BC的高度约为14.3米． 仿例 如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度， 已知在离地面1500m高的C处有一架飞机，飞机员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长．(精确到1m) 解：过C作CO⊥AB于O，则CO＝1500m，由题意知：∠CBO＝45°，∠CAO＝60°，在Rt△CBO中， 答：隧道AB的长约为634m. (方法二)过C作OC⊥AB于O， 由题意知：∠BCO＝45°，∠ACO＝30°， 在Rt△CBO中，OB＝OC·tan45°＝1500， 答：隧道AB长为634m. 变例 如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B(点B在AC上)处， 发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住．为了寻找这只老鼠，猫头鹰向上飞至树顶C处，DF＝4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观察F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M(点M在DE上)距D点3米．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) (1)猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？ (2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米？(精确到0.1米) 8 解：由题意得∠DFG＝37°. (1)在Rt△DFG中，DG＝DF·tan37°＝4×0.75＝3米＞2.7米， ∴猫头鹰能看到这只老鼠． (2)AG＝AD＋DG＝2.7＋3＝5.7， 在Rt△ACG中， 答：猫头鹰至少飞9.5米． 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: 1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案. 课堂小结 一、 选择题 1. 如图，从热气球 A 处看一幢楼底部 C 处的俯角是（　D　） A. ∠ BAD B. ∠ ACB C. ∠ BAC D. ∠ DAC 第1题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 2. ☆如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上与楼底点 O 相距30m的点 A 处，测得楼顶点 B 的仰角∠ OAB ＝65°，则这幢大楼的高度为（　D　） A. m B. 30 sin 65°m C. m D. 30tan65°m 第2题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 如图，小明在点 M 处用高1.5m（即 CM ＝1.5m）的测角仪测得旗杆 AB 顶端 B 的仰角为30°，将测角仪沿旗杆方向移动20m到点 N 处，测 得旗杆顶端 B 的仰角为60°，则旗杆 AB 的高度为（　D　） A. 11.5m B. 20m C. 10 m D. （10 ＋1.5）m 第3题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 二、 填空题 4. 2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事. 如图，某校数学兴趣小组在 A 处用仪器测得赛场一宣传气球顶部 E 处 的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离 BC 为20m，且距地面高度 AB 为1.5m，则气球顶部离地面的高度 EC 约是 m（结果精确到 0.1m，参考数据： sin 21.8°≈0.3714， cos 21.8°≈0.9285， tan21.8°≈0.4000）. 9.5　 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 如图，无人机在空中 A 处测得某校旗杆顶部 B 的仰角 为30°，底部 C 的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离 AD 为6m，则 该校旗杆的高度约为 m（结果精确到0.1m，参考数据： ≈1.73）. 13.8　 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践. 如图，无人机从地面 CD 的中点 A 处竖直上升30m到达点 B 处，测得博 雅楼顶部 E 的俯角为45°，尚美楼顶部 F 的俯角为30°.已知博雅楼 CE 的高度为15m，则尚美楼 DF 的高度为 m（结果保留 根号）. （30－5 ）　 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 三、 解答题 7. 在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜 像.某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜 像的高度.如图，在点 C 处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在 水平面的距离 CE 为32m，从点 C 处看铜像顶部 A 的俯角为45°，看铜 像底部 B 的俯角为63.4°.已知底座 BD 的高度为4m，求铜像 AB 的高度 （结果保留整数，参考数据： sin 63.4°≈0.89， cos 63.4°≈0.45， tan63.4°≈2.00， ≈1.41）. 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 解：∵ 易得四边形 BDEF 为矩形，∴ EF ＝ BD ＝4m.∵ CE ＝32m， ∴ CF ＝32－4＝28（m）.∵ tan∠ CBF ＝tan63.4°＝ ≈2，∴ BF ＝ 14m.∴ CG ＝ BF ＝14m.∵ ∠ GCA ＝45°，∴ AG ＝ GC ＝14m.∴ AB ＝ BG － AG ＝ CF － AG ＝28－14＝14（m）.∴ 铜像 AB 的高度约为 14m 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 8. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去 公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高 AB . 如图，当小明爸爸 站在点 D 处时，他在该景观灯照射下的影子长为 DF ，测得 DF ＝ 2.4m；当小明站在爸爸影子的顶端 F 处时，测得点 A 的仰角α为26.6°. 已知爸爸的身高 CD ＝1.8m，小明眼睛到地面的距离 EF ＝1.6m，点 F 、 D 、 B 在同一条直线上， EF ⊥ FB ， CD ⊥ FB ， AB ⊥ FB . 求该景 观灯的高 AB （参考数据： sin 26.6°≈0.45， cos 26.6°≈0.89， tan26.6°≈0.50）. 1 2 3 4 5 6 7 8 　第8题答案 第8题答案 解：如图，过点 E 作 EH ⊥ AB ，垂足为 H . 由题意，易得 EH ＝ FB ， EF ＝ BH ＝1.6m.设 EH ＝ FB ＝ x m.在Rt△ AEH 中，∠ AEH ＝26.6°，∴ AH ＝ EH ·tan26.6°≈0.5 x m.∴ AB ＝ AH ＋ BH ＝（0.5 x ＋1.6）m.∵ CD ⊥ FB ， AB ⊥ FB ，∴ ∠ CDF ＝∠ ABF ＝90°.∵ ∠ CFD ＝∠ AFB ，∴ △ CDF ∽△ ABF . ∴ ＝ .∵ CD ＝1.8m， DF ＝2.4m，∴ AB ＝ x m.∴ x ＝0.5 x ＋1.6，解得 x ＝6.4.∴ AB ＝ ×6.4＝4.8（m）.∴ 该景观灯的高 AB 约为4.8m 1 2 3 4 5 6 7 8 OB＝＝＝1500， OA＝＝＝500， ∴AB＝OB－OA＝1500－500≈634(m)， OA＝OC·tan30°＝500， ∴AB＝1500－500≈634(m)． CG＝＝9.5(米)． $