24.3 锐角三角函数（21大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第24章 解直角三角形 24.3 锐角三角函数（21大题型提分练） 题型一 正弦的概念辨析 1．把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 2．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 3．若，则锐角 锐角（填、或）． 4．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 ． 5．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 题型二 求角的正弦值 1．在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则的正弦值为 ． 4．在中，，则的值为 ． 5．如图，在中，，． (1)求作边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下求的值． 题型三 已知正弦值求边长 1．在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是电杆一根拉线，米，，则拉线长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．在中，，，，则 ． 4．在中，，，，则的长等于 ． 5．如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 题型四 求角的余弦值 1．在中，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 2．在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．若定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等腰三角形顶角的值，即，若等腰，，且，则 ． 4．在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果与x轴正半轴的夹角，那么的余弦值是 ． 5．黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中，千米， 千米，请据此解答如下问题：      (1)求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据，，） (2)求的余弦值． 题型五 余弦的概念辨析 1．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为锐角，则（    ）． A． B． C． D． 3．比较大小：   （1） ；（2） ． 4．当时，．在中，是斜边上的高，那么与的值相等的锐角三角函数是 ． 5．如图，在中，．请用尺规作图法在线段上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 题型六 已知余弦求边长 1．图1为某型号的“汤碗”，图2是从正面看到的一个“汤碗”的形状示意图．碗体部分为半圆，直径为，碗底与平行．如图3，倒汤时，碗底与桌面的夹角为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，，则约为（    ） A． B． C． D． 3．中，，，，则的长为 ． 4．在中，，如果，，则 ． 5．如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．    题型七 求角的正切值 1．在中，各边的长度都扩大倍．那么锐角的正切值（　　） A．扩大倍 B．扩大倍 C．保持不变 D．缩小倍 2．在Rt中，，则的正切值为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上．若，且，则的值为 ． 4．如图，已知正方形的边长为，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，那么等于 ． 5．计算：． 题型八 正切的概念辨析 1．如图，在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（　　） A． B． C． D． 2．在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为 ． 4．小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为 米． 5．如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 题型九 已知正切值求边长 1．如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 2．季华路文华公园里的电视塔是佛山城市中轴线的标志性建筑物．如图，在地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为度，且点A，C，D在同一直线上，若测得米，则塔高是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，，点是斜边的中点， ，，，则的值为 ． 4．在中， 则的长为 ． 5．如图，已知中，，， ，请你利用尺规在边上求作一点D，使点D到的距离为1．（保留作图痕迹，不写作法） 题型十 特殊三角形的三角函数 1．在中，，如果，，那么的长是（     ）． A． B． C． D． 2．中，，，则的值（ ） A． B． C． D． 3．直角坐标系内，如果函数的图象经过点，那么 ． 4．在中，，则 ． 5．特殊角的三角函数值在初中数学中有广泛的应用，请完成下表： 题型十一 特殊角三角函数值的混合运算 1．爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能（　　）（参考数据：，） A． B． C． D． 2．的值是（    ） A． B． C． D． 3．计算 ． 4．计算： ． 5．计算： (1) (2) 题型十二 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 1．在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 4．在中，若，则是 ． 5．中，． (1)如图， 求证： ； (2)如图， 点位置如图所示，，连接，求证：； (3)如图，在（）的条件下，点 在 上，连接，， 若 ，， 求的长． 题型十三 根据特殊角三角函数值求角的度数 1．在中，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 2．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 3．已知α为锐角， 且，则α等于 ． 4．已知α为锐角，且，则α等于 ． 5．若，，为的内角，试确定三角形的形状． 题型十四 给出三角函数值，用计算器求锐角度数 1．如图，在中，，，，用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（　　）    A． B． C． D． 2．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B．   C． D．   3．一个梯子斜靠在墙上，已知梯子长米，梯子位于地面上的一端距离墙壁米，则梯子与地面所成锐角的度数为 ．（用科学计算器计算，结果精确到分） 4．如果，则 (精确到) 5．根据下列条件用计算器求锐角α的度数（结果精确到）． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十五 已知角度比较三角函数值的大小 1．比较和的大小（   ） A． B． C． D．不确定 2．的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．比较大小： ． 4． （填“或”）． 5．（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 题型十六 根据三角函数值判断锐角的取值范围 1．若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 2．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．用“＜”连接下列各题中的锐角α，β，γ （1）若sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为 ； （2）若cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为 ． 4．如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB ∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”） 5．（1）计算：|-|+（-）-1-2sin45°+（）0 （2）先化简，再求值：（）÷，其中a=． 题型十七 利用同角三角函数关系求值 1．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 3．已知，则的值为 ． 4．已知是锐角，且，则 ． 5．综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示： （1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部和； （2）用皮尺度量和的长度； （3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度． 题型十八 求证同角三角函数关系 1．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，为上一点，作于，对于的大小，下列说法正确的是（ ） A．与点的位置有关 B．与的长度有关 C．与的大小有关 D．与点的位置和的大小都无关 3．下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 4．已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 5．如图，在中，，请验证的结论． 题型十九 互余两角三角函数的关系 1．在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，则的值（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定，与的值有关 3．如果是锐角，，那么的大小为 ． 4． （选填“＞”或“＝”或“＜”） 5．如果已知两个角的正弦值和余弦值，我们可以利用和的正弦公式来求已知两角的正弦值，其公式为：sin(+)= sincos + cossin ，请利用这个公式，解决下列问题： (1)计算sin75°的值； (2)利用公式证明：sin2=2 sin cos；并在已知sin=的条件下，求sin2的值． 题型二十 三角函数综合 1．在中，， 各边都扩大5倍， 则锐角A的三角函数值（     ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 2．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点B的坐标为 ． 4．如图，正六边形的边长为4，则线段的长为 ． 5．在东海一次军事演习中，某潜艇由西向东航行，到达处时，测得某岛上的假设敌方预警雷达位于它的北偏东方向，且与潜艇相距500海里，再航行一段时间后于当天晚上6：00到达B处，测得岛上的敌方预警雷达位于它的北偏东方向．上级要求潜艇以每小时20节(海里)速度继续航行，到岛的正南方向的处20分钟后使用舰对岸导弹攻击，摧毁假设敌方预警雷达，求发起攻击的时间．（参考数据：，，，，，） 题型二十一 用计算器求锐角三角函数值 1．某款科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（    ） A． B． C． D． 2．的值在（    ） A． B． C． D． 3．用计算器计算： ， （精确到． 4．计算： （精确到）． 5．用计算器求下列各式的值．（结果精确到） (1)； (2)； (3)． 1．蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，已知，则Q点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 3．在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1000m的C地去，先沿北偏东70°方向到达B地，然后再沿北偏西20°方向走了500m到达目的地C，此时小霞在营地A的（　　） A．北偏东20°方向上 B．北偏东30°方向上 C．北偏东40°方向上 D．北偏西30°方向上 5．如图，在直角梯形中，，，E为的中点，F为线段上的动点，连结，将沿折叠得到．在点F从点B运动到点C的过程中，若射线与上底相交于点P，则点P相应运动的路径长为（   ） A． B．5 C． D． 6．如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为 ． 7．小明对出自秦九韶《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走到达城堡边，再往前走到达树下，则该城堡的外围周长为 ． 8．如图，点、在反比例函数的图象上点在点的左侧，直线分别交轴，轴于点，，轴于点，轴于点，连结，，已知，与的面积之和是的面积的倍，则的值是 ． 9．如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则 ． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，则tanα＝ ． 11．如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 12．计算：. 13．我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示. （1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小. 14．计算： (1)； (2)． 15．用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）： (1)； (2)； (3)； (4)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 解直角三角形 24.3 锐角三角函数（21大题型提分练） 题型一 正弦的概念辨析 1．把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变． 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 2．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 3．若，则锐角 锐角（填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大即可得出答案，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大， ∴若，则锐角锐角， 故答案为：． 4．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 ． 【答案】 【分析】由已知的，根据垂直的性质得到，即三角形ADE为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到，将AD的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴， 则． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形及特殊角的三角函数值，菱形的性质等，深刻理解锐角三角函数的性质是解题关键． 5．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【答案】． 【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 【详解】解：如图，分别作，垂足分别为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 题型二 求角的正弦值 1．在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．由勾股定理得进而利用三角函数定义即可得解． 【详解】解：如图，根据勾股定理得， 故选．    2．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦：我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作进行计算即可．此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义． 【详解】解：，，， ∴， ， 故选：A． 3．如图，的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，如图： 在中，，， ， ， 故答案为：． 4．在中，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，先由勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，，． (1)求作边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下求的值． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查作图一基本作图、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义以及垂线的作图方法作图即可． （2）由等腰三角形的性质可得是的中线，则 ．利用勾股定理求出的长，再根据可得答案． 【详解】（1）如图，即为所作： （2）， 是的中线， ， ． 在中，， ． 题型三 已知正弦值求边长 1．在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦函数的定义即可直接求解，解题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【详解】解：如图， ∵， ∴设，， ∴由勾股定理得：， 解得：， ∴， 故选：． 2．如图，是电杆一根拉线，米，，则拉线长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．掌握正弦的定义并利用数形结合的思想是解题关键．根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：在中，， 米， 故选：A． 3．在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，根据，结合，设，则，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为6． 4．在中，，，，则的长等于 ． 【答案】15 【分析】本题考查了正弦的定义，根据计算即可得出答案，熟练掌握正弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点D，E，作直线，则直线l即为所求． （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得出，由等边对等角可得出，由三角形内角和得出，则得出为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出的长． 【详解】（1）解：如下直线l即为所求． （2）连接如下图： ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 题型四 求角的余弦值 1．在中，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形定理和求一个锐角的余弦值，根据三角形定理求出，再求出即可 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 2．在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是互余两角三角函数的关系，解题的关键是熟练的掌握互余两角三角函数的关系，根据互余两角三角函数关系直接解决即可． 【详解】解：如图，在中，，若，    ∴， 故答案选：B． 3．若定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等腰三角形顶角的值，即，若等腰，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．过点A作于，设，，根据等腰三角形的性质及勾股定理得，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点A作于， ， 设，则， ，， ， 根据勾股定理得，， ． 故答案为：． 4．在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果与x轴正半轴的夹角，那么的余弦值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握． 过点作轴于点，先通过勾股定理求出，再利用余弦的定义即可求解． 【详解】解：过点作轴于点 由题意得，， 则由勾股定理求得， ∴， 故答案为：． 5．黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中，千米， 千米，请据此解答如下问题：      (1)求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据，，） (2)求的余弦值． 【答案】(1)千米，平方千米 (2) 【分析】本题考查勾股定理及三角函数余弦的定义等知识点，理解并熟练运用勾股定理及三角函数的定义是解题的关键． （1）先后在和中求得和的长，即可求得周长和面积； （2）中，利用三角函数余弦的定义即可求出在中． 【详解】（1）解：千米，， ∴， ∴由勾股定理可得 千米． 又∵， ∴（千米） ∴周长为：（千米） 面积为：（平方千米） 故该岛的周长为55千米，面积为157平方千米． （2）在中，千米，千米， ∴． 故的余弦值为． 题型五 余弦的概念辨析 1．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 2．已知为锐角，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，化简二次根式，根据锐角的余弦值小于1化简二次根式，然后根据绝对值性质即可得到答案． 【详解】解：在直角三角形中，表示的邻边与斜边的比值，是小于1的， ， ， 故选：B． 3．比较大小：   （1） ；（2） ． 【答案】 【分析】（1）如图所示，在中，，证明越大，的值越小即可得到答案； （2）先证明，再根据（1）的结论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，在中，设， ∴， 当减小时，的值减小，而此时的度数在增大， ∴可知越大，的值越小， ∵， ∴， 故答案为：；    （2）如图所示，在中，设， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，熟知余弦和正弦的定义是解题的关键． 4．当时，．在中，是斜边上的高，那么与的值相等的锐角三角函数是 ． 【答案】，，， 【分析】根据题意作出相应图形，然后利用正弦和余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，，． 【点睛】题目主要考查正弦函数和余弦函数的定义，理解三角函数的基本定义是解题关键． 5．如图，在中，．请用尺规作图法在线段上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析（作法不唯一） 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，余弦的定义，等腰三角形的性质，根据题意只需作出的垂直平分线，得到为等腰三角形，利用等腰三角形的性质得，即． 【详解】解：如图所示，以点A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，交于两点，连接这两点班延长分别交于点E，D，点E为所求； 是的垂直平分线， ， ． 题型六 已知余弦求边长 1．图1为某型号的“汤碗”，图2是从正面看到的一个“汤碗”的形状示意图．碗体部分为半圆，直径为，碗底与平行．如图3，倒汤时，碗底与桌面的夹角为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，余弦三角函数；延长交的延长线于，连接，由平行线的性质得，由余弦函数得，即可求解；掌握性质及余弦函数是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于，连接， 是直径， ， ， ， ， ， ()； 故选：B． 2．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，，则约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一．先利用等腰三角形三线合一性质求出，然后利用等边对等角求出的度数，最后在中，利用余弦定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∵，， ∴ ∵，， ， 故选B． 3．中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形．利用三角函数值即可求出的长． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴． 故答案为：． 4．在中，，如果，，则 ． 【答案】16 【分析】通过，求出，进而得到，即可求解，本题考查了锐角三角函数，解题的关键是：熟练掌握锐角三角函数的定义与计算． 【详解】解：， 得：， 在中，， ，即：， ， 故答案为：16． 5．如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．    【答案】． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质．由已知条件可知：，，在中，，由此可以求出，然后根据勾股定理求出，最后在中，利用余弦函数的定义即可求出． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， ， ， 在中，，即， ， 根据勾股定理得：， 在中，，即， ． 题型七 求角的正切值 1．在中，各边的长度都扩大倍．那么锐角的正切值（　　） A．扩大倍 B．扩大倍 C．保持不变 D．缩小倍 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，根据锐角三角函数的定义得出，则，再得出选项即可，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义． 【详解】解：如图，在中，，则， ∵， ∴在中，各边的长度都扩大倍，那么锐角的正切值保持不变， 故选：． 2．在Rt中，，则的正切值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，根据勾股定理求出，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：，，， ， ． 故选：A． 3．如图，是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上．若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的正切值，等边三角形的性质，过点A作于点G，根据等边三角形的性质得出，证明，求出即可． 【详解】解：过点A作于点G，如图所示： 是边长为6的等边三角形， ， ， ， ， 在中， ∴． 故答案为：． 4．如图，已知正方形的边长为，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．先利用正方形性质和勾股定理求出的长，即的长，根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∴，， 由旋转得：， ∴， 故答案为：． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算零指数幂和特殊角三角函数值，再去绝对值后计算加减法即可． 【详解】解： ． 题型八 正切的概念辨析 1．如图，在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的定义．根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题． 【详解】解：∵中，，、、所对的边分别为a，b，c， ∴，即，则A选项不成立，B选项成立； ，即，则C、D选项均不成立； 故选：B． 2．在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边， ∴； 故成立的是选项B； 故选B． 3．如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求出，设，求出，在根据余弦的概念求出即可． 【详解】解：， ， ， 设， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，解题的关键是求出的长度． 4．小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为 米． 【答案】 【分析】由正切的定义分别确定的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案． 【详解】解：如图，CD为树高，点C为树顶，则，BD=AD-100 ∴依题意，有 由①得 将③代入②，解得 故答案为：． 【点睛】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列出方程组是解题的关键． 5．如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了三角函数的定义； （1）根据三角函数的定义进行证明即可； （2）根据（1）中的结论得出，即，然后代入求值即可． 解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，在一个中，，则，，． 【详解】（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 题型九 已知正切值求边长 1．如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 坐标与图形，过点A作轴于D，则，再解得到，即． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于D， ∵点在第一象限， ∴， ∵与x轴所夹锐角为，， ∴， ∴，即， 故选：C． 2．季华路文华公园里的电视塔是佛山城市中轴线的标志性建筑物．如图，在地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为度，且点A，C，D在同一直线上，若测得米，则塔高是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，锐角的正切的含义，先求解，由可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，， ∴米， ∴， ∴米； 故选C 3．如图，，点是斜边的中点， ，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，锐角三角函数的应用，先求解，证明，可得，再进一步建立方程求解即可． 【详解】解：∵，点是斜边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，经检验符合题意； 故答案为： 4．在中， 则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根据正切的定义得到，设，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中， ， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：6． 5．如图，已知中，，， ，请你利用尺规在边上求作一点D，使点D到的距离为1．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，作一个角的平分线，三角函数的定义，作的垂直平分线即可． 【详解】解：如图，点D即为所求． 过点D作于点E， 中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，，平分， ∴． 题型十 特殊三角形的三角函数 1．在中，，如果，，那么的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直角三角形的特征，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值；根据可得，则，再根据直角三角形的特征求解即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 故选：． 2．中，，，则的值（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据，，求出的值，即可求解． 【详解】解：如下图： ∵中，， ∴， ∴． 故选：C． 3．直角坐标系内，如果函数的图象经过点，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角函数的值，求反比例函数解析式，得到，代入函数解析式即可解答，熟练计算三角函数的值shi2解题的关键． 【详解】解：， ， 代入函数可得， 解得， 故答案为：． 4．在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊三角函数值，利用求出，则即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 故答案为：． 5．特殊角的三角函数值在初中数学中有广泛的应用，请完成下表： 【答案】见解析 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角形函数值填写表格即可，熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键． 【详解】解：填表格如下： 1 题型十一 特殊角三角函数值的混合运算 1．爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能（　　）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角三角函数值计算求解． 【详解】解： ， 故选：B． 2．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角三角函数值及二次根式的加减运算，将，代入，再进行加减运算即可．熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， ∴的值是． 故选：A． 3．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先根据乘方、开方、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值的意义化简，再算乘法，后算加减． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂和特殊角的三角函数值，由负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行化简，即可求出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 5．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先求出特殊角的三角函数值，再计算加减乘除混合运算即可； （2）先求出特殊角的三角函数值与零次幂，再计算加减乘除混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十二 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 1．在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 2．在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 3．在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 4．在中，若，则是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案． 【详解】根据题意，得 ，． 可得 ，． 则 ． 所以，． 所以，为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记，，的锐角三角函数值是解题的关键． 5．中，． (1)如图， 求证： ； (2)如图， 点位置如图所示，，连接，求证：； (3)如图，在（）的条件下，点 在 上，连接，， 若 ，， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（）过点作于，得到为等腰直角三角形，进而得到，，结合，得到，为等腰直角三角形，即可求证， （2）在上取，由，，得到为等腰直角三角形，进而得到，，，，进而得到，，结合，即可求证， （3）在上取，连接，作，由，结合，得到， 结合，，，得到，，设，，结合，得到，由，，得到，，，代入解得：，，，，，结合即可求解， 本题考查了，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． 【详解】（1）证明：如图，过点作于，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上取，连接， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，在上取，连接，作于， ∵， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 设， 在中，， ∵，由（2）得， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴，即：，即：， 整理得：，即：， ∴，解得：，或（舍）， ∴，，， ∴，， ∴． 题型十三 根据特殊角三角函数值求角的度数 1．在中，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．根据，，即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：C 2．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理等知识点，先由非负数的性质得出，，根据三角函数求得，的度数，然后根据三角形内角和定理，求得的度数，从而确定三角形的形状，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 故选：D． 3．已知α为锐角， 且，则α等于 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，由，α为锐角，得到，即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵，α为锐角， ∴， ∴， 故答案为：． 4．已知α为锐角，且，则α等于 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查特殊角度三角函数，根据求解即可． 【详解】∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 5．若，，为的内角，试确定三角形的形状． 【答案】为直角三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据非负数的性质得出，进而求得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由， 得， 则， 度． 为直角三角形． 题型十四 给出三角函数值，用计算器求锐角度数 1．如图，在中，，，，用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正弦三角函数的定义，及其用计算器求值．根据正弦函数的定义，可得，然后根据科学计算器的应用进一步计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 用科学计算器计算，按键顺序是  ． 故选：B． 2．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B．   C． D．   【答案】B 【分析】在直角三角形中，先根据与的关系找出所用的正弦三角函数，再利用科学计算器选项B按键顺序求角即可． 【详解】， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时， 按键顺序为   故选：B． 【点睛】本题考查用科学计算器求角度问题，掌握三角函数解直角三角形的方法，根据与确定使用的三角函数是解题关键． 3．一个梯子斜靠在墙上，已知梯子长米，梯子位于地面上的一端距离墙壁米，则梯子与地面所成锐角的度数为 ．（用科学计算器计算，结果精确到分） 【答案】 【分析】根据题意可以得到梯子与地面所成锐角的余弦值，从而可以求得梯子与地面所成锐角的度数． 【详解】设一个梯子斜靠在墙上，梯子与地面所成锐角为， ∵梯子长10米，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5米， ∴， 解得：. 故答案为. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解此题的关键在于熟练掌握用科学计算器计算角度. 4．如果，则 (精确到) 【答案】 【分析】本题考查用计算器求已知锐角三角函数值求锐角．熟练掌握用计算器求已知锐角三角函数值求锐角的按键方法是解题的关键． 首先按键，再按键，再输入0.8888，再按即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 5．根据下列条件用计算器求锐角α的度数（结果精确到）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了利用计算器根据已知的三角函数值求角度，熟练掌握计算器的操作方法是解决问题的关键． （1）先按“”键，接着按“”键，再输入“0.893 6”，然后按“”得出答案即可； （2）先按“”键，接着按“”键，再输入“”，然后按“” 得出答案即可； （3）先按“”键，接着按“”键，再输入“”，然后按“” 得出答案即可； （4）先按“”键，接着按“”键，再输入“”，然后按“” 得出答案即可． 不同品牌的计算器，按键顺序不同，以上仅供参考． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 题型十五 已知角度比较三角函数值的大小 1．比较和的大小（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，将余弦转化为正弦是解题的关键． 将余弦转化为正弦，根据正弦的锐角三角函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：∵，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大， ∴， ∴． 故选：A． 2．的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 3．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数定义，正弦定义，正切定义，根据分子相同，分母越大，分数越小，进行比较即可． 【详解】解：根据题意作图如下， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 4． （填“或”）． 【答案】 【分析】本题考查三角函数值大小的比较，掌握正切值随角度的增加而增加是解题关键． 利用正切的增减性解答． 【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加， ， ； 故答案为：． 5．（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． ∴； ． （2），． ∵， ∴． 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键． 题型十六 根据三角函数值判断锐角的取值范围 1．若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 2．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解：，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 3．用“＜”连接下列各题中的锐角α，β，γ （1）若sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为 ； （2）若cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为 ． 【答案】 α＜γ＜β β＜γ＜α 【分析】（1）根据正弦值随度数的增大函数值越来越大得出即可； （2）根据余弦值随度数的增大函数值越来越小得出即可． 【详解】解：（1）∵ sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678， ∴sinα＜sinγ＜sinβ， ∴ α＜γ＜β； （2）∵cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024， ∴cosα＜cosγ＜cosβ， ∴ β＜γ＜α． 故答案为：α＜γ＜β；β＜γ＜α． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，关键在于知道正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小． 4．如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB ∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【答案】= 【分析】根据tan∠AOB与tan∠COD的大小比较即可求解． 【详解】解：根据题意可知tan∠AOB＝2，tan∠COD＝2， ∴∠AOB＝∠COD， 故答案为＝. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键． 5．（1）计算：|-|+（-）-1-2sin45°+（）0 （2）先化简，再求值：（）÷，其中a=． 【答案】（1）-1；（2）． 【详解】试题分析：（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 试题解析：（1）原式=-2-2×+1=-1； （2）原式= = = = 当时，原式=． 考点：1．分式的化简求值,2．实数的运算,3．零指数幂,4．特殊角的三角函数值 题型十七 利用同角三角函数关系求值 1．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对原式左右两边进行平方计算，然后结合同角三角函数关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系，熟记并熟练运用基本结论是解题关键． 2．已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，可知，计算即可得出结果． 【详解】解：是锐角，， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了互余两角的三角函数的关系，解题的关键是掌握一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即． 3．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】分子分母同时除以，化成正切代入即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 4．已知是锐角，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义． 将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解； 【详解】， ∴原式 故答案为：． 5．综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示： （1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部和； （2）用皮尺度量和的长度； （3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 由“等角的余角相等”得到，继而，代入求解即可． 【详解】如图，由题意得，，， ，， ， ， ， ， 即， 设，可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：两栋楼的高度为． 题型十八 求证同角三角函数关系 1．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论． 【详解】解：如下图所示 在Rt中，=，故A不符合题意； 在Rt中，=，故B不符合题意； ∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90° ∴∠A=∠BCD ∴=tan∠BCD=，故C不符合题意； ≠，故D符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键． 2．如图，为上一点，作于，对于的大小，下列说法正确的是（ ） A．与点的位置有关 B．与的长度有关 C．与的大小有关 D．与点的位置和的大小都无关 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的关系可得答案． 【详解】∵， ∴的大小与角的大小无关，与P点的位置都无关. 故选D. 【点睛】本题主要了考查同角的三角函数关系：sin2+cos2=1. 3．下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 【答案】①③④ 【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①如图，在中， ∵，， ∴，故①正确； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 4．已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 【答案】 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论． 【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半， 规律为：. 故答案为. 【点睛】本题考点：同角三角函数的关系. 5．如图，在中，，请验证的结论． 【答案】见解析 【分析】本题考查同角的三角函数之间的关系，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．根据直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】证明：在中，， ∴ 题型十九 互余两角三角函数的关系 1．在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 2．在中，，则的值（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定，与的值有关 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的概念表示出，，所以；再根据三角形的三边关系进行分析． 【详解】解：设直角三角形中，的对边是，邻边是，斜边是． 根据锐角三角函数的概念，得 ，． 所以， 再根据三角形的三边关系，得， 故的值大于1． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，首先理解锐角三角函数的概念，再结合三角形的三边关系进行分析． 3．如果是锐角，，那么的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系，根据互余关系，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 4． （选填“＞”或“＝”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】本题考查了锐角三角函数； 根据，锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行判断即可． 【详解】解：， ∵锐角的正弦值随着角度的增大而增大， ∴，即， 故答案为：＞． 5．如果已知两个角的正弦值和余弦值，我们可以利用和的正弦公式来求已知两角的正弦值，其公式为：sin(+)= sincos + cossin ，请利用这个公式，解决下列问题： (1)计算sin75°的值； (2)利用公式证明：sin2=2 sin cos；并在已知sin=的条件下，求sin2的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将75°写成30°+45°，运用题中公式计算； （2）通过题中所给公式进行证明，然后根据sin=可得cos=，代入所证公式计算. 【详解】解：(1)sin75°= sin(30°+45°)= sin30°cos45° + cos30°sin45°= (2)sin2=sin(+)= sincos + cossin=2 sin cos ∵sin= ,∴ cos= ,   ∴sin2= 2sincos=. 【点睛】本题给出两角和的三角函数公式，进而推导二倍角公式，考查了三角函数的恒等变换等知识以及推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想． 题型二十 三角函数综合 1．在中，， 各边都扩大5倍， 则锐角A的三角函数值（     ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角的度数确定，锐角的三角函数值为定值，即可得出结果． 【详解】解：由题意，可知，各边都扩大5倍，锐角A的度数不变， ∴锐角A的三角函数值不变； 故选A． 2．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角三角函数，根据余割，正弦，余弦的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、，原说法正确，符合题意； D、，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与旋转规律问题，涉及了三角函数、勾股定理以及旋转的性质等知识点，作轴，求出；分别求出将绕点O逆时针旋转一次到六次之后点的坐标，即可找到规律求解． 【详解】解：作轴，如图所示： 由题意得：，， ∴ ∴ ∴， ∴ 将绕点O逆时针旋转一次之后，点与关于轴对称，此时； 将绕点O逆时针旋转二次之后，点落在轴的负半轴上，此时； 将绕点O逆时针旋转三次之后，点与关于原点对称，此时； 将绕点O逆时针旋转四次之后，点与关于轴对称，此时； 将绕点O逆时针旋转五次之后，点落在轴的正半轴上，此时； 将绕点O逆时针旋转六次之后，点回到原始位置，此时； …… 观察可知，六次一个循环， ∵ ∴经过次旋转后，点B的坐标为 故答案为： 4．如图，正六边形的边长为4，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】过点C作于点G，根据正六边形的边长为2，得到，继而得到，，结合解答即可． 本题考查了正多边形的性质，特殊角的三角函数值，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】过点C作于点G， ∵正六边形的边长为4， ∴， ∴，， ∴， ∴, 故答案为：． 5．在东海一次军事演习中，某潜艇由西向东航行，到达处时，测得某岛上的假设敌方预警雷达位于它的北偏东方向，且与潜艇相距500海里，再航行一段时间后于当天晚上6：00到达B处，测得岛上的敌方预警雷达位于它的北偏东方向．上级要求潜艇以每小时20节(海里)速度继续航行，到岛的正南方向的处20分钟后使用舰对岸导弹攻击，摧毁假设敌方预警雷达，求发起攻击的时间．（参考数据：，，，，，） 【答案】第二天凌晨时发起攻击 【分析】利用锐角三角函数得出CD和BD的值，即可求出到达点D的时间，即可得． 【详解】解：∵∠ACD=70°，cos∠ACD=， 则CD＝AC ·cos∠ACD=500×0.34=170， ∵∠BCD=37°， ∴， ∵tan∠BCD =， ∴BD=CD tan∠BCD=170×0.75=， ， 即第二天凌晨时发起攻击． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数． 题型二十一 用计算器求锐角三角函数值 1．某款科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用计算器计算锐角三角函数值，根据计算器计算出的结果即可得出答案． 【详解】解：使用计算器计算得：， ∴显示的结果在之间， 故选：B． 2．的值在（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角函数的计算，根据三角函数的计算求解即可． 【详解】解： ∴的值在． 故选：C． 3．用计算器计算： ， （精确到． 【答案】 0.57 0.81 【分析】利用计算器计算，再依据近似数确定结果即可得．本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能． 【详解】解：，， 故答案为：0.57，0.81． 4．计算： （精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数值的混合计算，分别用计算器求出正弦和余弦的结果，然后求和即可． 【详解】解：利用计算器可以算出：，， ∴， 故答案为：． 5．用计算器求下列各式的值．（结果精确到） (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查用计算器求三角函数的近似值，正确使用计算器是解题的关键． （1）运用计算器即可计算出题中各式中的三角函数值． （2）运用计算器即可计算出题中各式中的三角函数值． （3）运用计算器即可计算出题中各式中的三角函数值． 【详解】（1）； （2）； （3）． 1．蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，已知，则Q点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，由正六边形，可得，，则是等边三角形，，则，，，进而可得Q点坐标． 【详解】解：如图， ∵正六边形， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形的内角，等边三角形的判定与性质，正弦，点坐标等知识．熟练掌握正多边形的内角，等边三角形的判定与性质，正弦，点坐标是解题的关键． 2．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、正切函数，由菱形的对角线互相垂直平分可得，，结合求出，再利用勾股定理解可得答案． 【详解】解：菱形中，对角线、相交于点O，， ，， ， ， ， 故选C． 3．在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1000m的C地去，先沿北偏东70°方向到达B地，然后再沿北偏西20°方向走了500m到达目的地C，此时小霞在营地A的（　　） A．北偏东20°方向上 B．北偏东30°方向上 C．北偏东40°方向上 D．北偏西30°方向上 【答案】C 【分析】利用方位角的定义及已知转向的角度结合三角函数的知识进行解答即可. 【详解】解：如图： 由题意得：∠BAD=70°，∠EBC=20°， 又∵∠BAF=90°-∠DAB=90°-70°=20°， ∴∠1=90°-20°=70°， ∴∠ABC=180°-∠1-∠CBE=180°-70°-20°=90°. ∵AC=1000m，BC=500m， ∴sin∠CAB=500÷1000=， ∴∠CAB=30°， ∴∠DAC=∠BAD-∠CAB=40°. 故小霞在营地A的北偏东40°方向上. 故答案为C. 【点睛】本题考查了方位角的计算，解答本题的关键是从运动的角度、再结合三角函数的知识求解. 5．如图，在直角梯形中，，，E为的中点，F为线段上的动点，连结，将沿折叠得到．在点F从点B运动到点C的过程中，若射线与上底相交于点P，则点P相应运动的路径长为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】先证明，则，，由翻折得，，继而可得，则，故，因此，代入求解得，因此． 【详解】解：∵在直角梯形中，，，， ∵点E为中点， ∴， 由翻折得，， ∴， 当点P与点D重合时，此时点F的位置如图， 当点F与点C重合时，长即为点P的运动路径长，如图， 此时，连接， ∵，， ∴， ∴，， 由翻折得，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为 ． 【答案】/ 【分析】根据三角形的高得出，证明，继而证明，根据周长比等比相似比，结合，即可求解． 【详解】∵分别是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴与的周长比， ∵， ∴与的周长比， 故答案为：． 【点睛】本题考查了余弦的定义，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 7．小明对出自秦九韶《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走到达城堡边，再往前走到达树下，则该城堡的外围周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、锐角三角函数的定义、切线的性质、切线长定理等知识，设圆形城堡的圆心为，则切于点，切于点，连接，得出，， ，再求出，然后由勾股定理求出，由锐角三角函数的定义得出，求出，最后由圆周长公式即可得出结果，关键是理解题意，由锐角的正切求出的长． 【详解】解：如图，表示圆形城堡，连接， 由题意可知，切于点D，切于点C，则，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，即， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即， ∴，∴城堡的外围周长． 故答案为：． 8．如图，点、在反比例函数的图象上点在点的左侧，直线分别交轴，轴于点，，轴于点，轴于点，连结，，已知，与的面积之和是的面积的倍，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，三角形的面积，有一定难度．利用比例式得出和的关系是解题的关键． 设，，根据，得，利用三角函数得，设，则，，利用与的面积之和是的面积的倍，列式可得结论． 【详解】解：设，，则， ， ， ， ， 即，，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到，作于点，根据直角三角形性质得到，利用解直角三角形得到，最后根据三角函数即可解题． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形性质，三角函数综合，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，则tanα＝ ． 【答案】． 【分析】过C点作MN⊥BG，交BG于M，交EF于N，由旋转的性质可得∠ABC=∠GBE=90°，BA=BG=5，BC=BE=3，由勾股定理可求CG=4，由锐角三角函数可求CM的长，即可求BM的长，由题意可证四边形BENM是矩形，可求EN，CN的长，即可求解． 【详解】过C点作MN⊥BG，交BG于M，交EF于N， 由旋转变换的性质可知，∠ABC＝∠GBE＝90°，BA＝BG＝5，BC＝BE＝3， 由勾股定理得，CG＝＝＝4， ∵sin∠GBC＝， ∴ ∴CM＝， ∴BM＝＝ ∵MN⊥BG，∠GBE＝∠BEF＝90°， ∴四边形BENM是矩形， ∴MN＝BE＝3，BM＝EN＝， ∴CN＝3﹣＝， ∴tanα＝＝＝ 故答案为：． 【点睛】此题考查翻转变换的性质，锐角三角函数，矩形的性质，掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关键． 11．如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了正弦与余弦、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握正弦与余弦的概念是解题关键． （1）先根据余弦的定义可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得； （2）先求出，利用余弦可求出的长，从而可得的长，再在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 所以的长为5． （2）解：∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 所以的正弦值为． 12．计算：. 【答案】1 【分析】本题考查了实数的加减乘除混合运算，特殊角三角函数值,熟练掌握实数的加减乘除混合运算是解题的关键．先分别计算负指数幂运算，零指数幂运算，特殊角三角函数值，二次根式的化简，再求和，即得答案． 【详解】 ． 13．我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示. （1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小. 【答案】（1）锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大；（2）见解析 【分析】（1）根据概念结合图中几个锐角角，就能发现随着一个锐角的增大，它的对边在减小，邻边在增大，即可找到正余弦变化规律 （2）根据（1）中规律即可 【详解】解：（1）由题图可知，. ∵， ， ， 又∵，且， ∴， ∴ ∵，， ， 又∵， ∴， ∴． ∵， ， 又∵，， ∴. ∴. 规律：锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大. （2）； ； . 【点睛】本题考查锐角三角函数的求法以及比较大小，熟练掌握锐角函数的定义是解题关键 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用负整数指数幂法则，二次根式性质，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （2）利用零指数幂法则，二次根式性质，以及同角三角函数基本关系式计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ． 15．用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0.7314 (2)0.2164 (3)0.9041 (4) 【分析】利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题考查计算锐角三角函数值，熟练使用计算器是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$