微专题35 对数函数26种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题35 对数函数26种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 对数函数的概念辨析及应用 题型2 对数函数求值问题 题型3 对数型函数的定义域问题 题型4 对数型函数的值域问题 题型5 对数（型）函数图象的变换 题型6 判断对数型函数的图象形状 题型7 根据对数型函数图象判断参数的范围 题型8 对数型函数图象过定点问题 题型9 对数函数图象的应用 题型10 判断对数型函数的单调性 题型11 对数型复合函数的单调性 题型12 由对数型函数的单调性求参数 题型13 由对数函数的单调性解不等式 题型14 比较对数式的大小 题型15 求对数型函数的最值 题型16 根据对数型函数的最值求参数或范围 题型17 恒成立与能成立问题 题型18 判断对数型函数的奇偶性 题型19 已知函数奇偶性求值 题型20 由函数的奇偶性求解析式 题型21 已知函数奇偶性求参数 题型22 函数的单调性和奇偶性的综合 题型23 求反函数 题型24 对数函数的实际应用 题型25 对数型函数性质的综合应用 题型26 对数函数中的新定义问题 1.对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). (3)特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作. 2.对数函数的图象与性质 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 3.不同底的对数函数图象的相对位置 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴． 4.判断一个函数是对数函数的方法 5.求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 6.对数函数应用题的解题思路 (1)依题意，找出或建立数学模型． (2)依实际情况确定解析式中的参数． (3)依题设数据解决数学问题． (4)得出结论． 7.对数函数图象的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称． 8.比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 9.对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 10.形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)． (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间． (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间． 11.对数型函数性质的综合应用 (1)已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系． (2)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解． 题型1 对数函数的概念辨析及应用 【例1】下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 【变式1】下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】函数是对数函数，则实数a＝ . 【变式4】函数为对数函数，则 ． 【变式5】已知对数函数过点，则其解析式为 ． 【变式6】若对数函数且）的图象经过点，则实数______. 题型2 对数函数求值问题 【例2】已知函数，则_______. 【变式1】已知函数 ，若 ，则实数_________ 【变式2】已知函数若，则实数___________. 题型3 对数型函数的定义域问题 【例3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【变式3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5】函数的定义域是 . 【变式6】下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式7】若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式8】若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 ． 题型4 对数型函数的值域问题 【例4】函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数． (1)求函数f（x）的值域； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【变式4】已知函数的值域为，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．9 D．27 【变式5】已知函数的值域为R，则实数的取值范围是(       ) A． B． C． D． 【变式6】已知函数，． (1)若函数过定点，求函数的定义域； (2)若函数值域为，求的取值范围． 题型5 对数（型）函数图象的变换 【例5】将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到的函数图像，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，其所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】作出下列函数的大致图像： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式4】若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A．   B． C．   D．   题型6 判断对数型函数的图象形状 【例6】如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 【变式1】函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式3】在同一坐标系中，函数与的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式4】当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（    ） A．B．C．D． 【变式5】若，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式6】已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7】如图所对应的函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 题型7 根据对数型函数图象判断参数的范围 【例7】已知函数的图象如图，则________． 【变式1】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3】【多选】已知函数(为常数，其中)的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 题型8 对数型函数图象过定点问题 【例8】已知函数（且）的图象过定点，则点的坐标为______． 【变式1】函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则（       ） A．9 B．8 C．6 D． 【变式2】已知函数的图象恒过点P，若点P在角的终边上，则_________． 【变式3】已知命题，命题：函数（且）过定点，则（    ） A．p和q都是真命题B．和q都是真命题C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【变式4】【多选】已知函数（且）的图象过定点，正数、满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5】【多选】若，且函数过点，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型9 对数函数图象的应用 【例9】【多选】设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 【变式1】【多选】已知函数，若a＞b＞c，且，则（    ） A．a＞1 B．b＞1 C．0＜c＜l D．0＜ac＜1 【变式2】【多选】已知函数，若，则的取值可能是（    ） A．4 B． C．5 D．6 【变式3】已知，是函数的图象上两个不同的点，则（     ） A． B． C． D． 【变式4】若，则下列不等关系一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 题型10 判断对数型函数的单调性 【例10】下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 题型11 对数型复合函数的单调性 【例11】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的单调增区间是______． 【变式2】“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式3】“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 题型12 由对数型函数的单调性求参数 【例12】已知在上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】“”是“函数在单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知，若在上单调，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5】若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围为________． 题型13 由对数函数的单调性解不等式 【例13】不等式的解集为 ． 【变式1】不等式的解集为 ． 【变式2】不等式的解集为 【变式3】已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式4】已知函数（且）的图象过点． (1)求a的值； (2)若函数，求的解集． 【变式5】已知是在定义域上的单调函数，且对任意都满足：，则满足不等式的的取值范围是________. 题型14 比较对数式的大小 【例14】若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，，则有（    ） A． B． C． D． 【变式2】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4】，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式5】设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式6】已知函数，若，，，则a，b，c从小到大排序是（   ） A． B． C． D． 题型15 求对数型函数的最值 【例15】函数的最小值是 ． 【变式1】设且，函数的图象过点． (1)求的值及函数的定义域； (2)求函数在区间上的最大值． 【变式2】已知． (1)设，求t的最大值与最小值； (2)求的值域． 【变式3】函数的最小值为______． 【变式4】函数的图像过点和 (1)求函数的解析式； (2)当的定义域为，求的最大值及取最大值时的值． 【变式5】对于任意实数，定义，设函，则函数的最小值是 ． 题型16 根据对数型函数的最值求参数或范围 【例16】已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 【变式1】若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【变式2】若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式3】若函数有最小值，则a的取值范围为______． 【变式4】已知函数若存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型17 恒成立与能成立问题 【例17】当时，，则a的取值范围是 A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) 【变式1】已知且，当时，，则的取值范围为 . 【变式2】已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【变式3】已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 【变式4】已知函数且. (1)若函数的图象过点，求的值； (2)当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式5】已知函数（且）. (1)求函数的定义域，并判断的奇偶性； (2)是否存在实数m，使得不等式成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由. 【变式6】已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， (1)求实数a的值以及函数的解析式； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【变式7】已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若不等式在上有解，求的取值范围. 题型18 判断对数型函数的奇偶性 【例18】已知函数=． (1)判断的奇偶性； (2)求在的值域． 【变式1】已知函数，其中． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求函数的值域． 【变式2】已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)设函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数m的取值范围. 题型19 已知函数奇偶性求值 【例19】函数为上的奇函数，时，，则（    ） A． B．2 C． D．6 【变式1】已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为（    ） A．4 B． C．7 D． 题型20 由函数的奇偶性求解析式 【例20】已知函数是上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求函数的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）； (3)若，求实数的取值范围. 【变式1】已知函数是定义在上的偶函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)解不等式. 题型21 已知函数奇偶性求参数 【例21】若函数是奇函数，则___________，___________. 【变式1】已知为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 题型22 函数的单调性和奇偶性的综合 【例23】已知偶函数在上单调递增，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数f (x)是偶函数，在上是减函数，若．则实数x的取值范围是（    ） A．(1，4) B． C． D． 【变式2】已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】【多选】已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（    ） A．的最小值为 B．在上单调递减 C．的解集为 D．存在实数满足 题型23 求反函数 【例24】函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】下列各对函数中，互为反函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若函数，其中，设是的反函数，则 ．（） 【变式3】求下列函数的反函数： (1)； (2)； (3)，. 【变式4】函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5】若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 题型24 对数函数的实际应用 【例25】2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍量指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的1600倍(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1600≈7.3778，ln6000≈8.6995. A．126 B．150 C．197 D．199 【变式1】我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（    ）（参考数据：） A．1559 B．3943 C．1579 D．2512 【变式2】大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型25 对数型函数性质的综合应用 【例26】【多选】已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（       ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则. 【变式1】【多选】关于函数，下列说法中正确的有（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是减函数 D．对任意，，都有 【变式2】【多选】已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．若的定义域为R，则 B．若的值域为R，则或 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则 题型26 对数函数中的新定义问题 【例27】对于任意实数，定义运算“”为 ，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】【多选】若定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件： ①对任意的，总有； ②； ③若，，，则有，就称为“A函数”. 下列定义在[0，1]上的函数中，是“A函数”的有（    ） A． B． C． D． 【变式2】定义：二阶行列式；三阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式，若元素1的余子式，则 ；记元素2的余子式为函数，则的单调减区间为 . 【变式3】对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的，均有不等式成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称为“不友好”的． (1)若，，则与在区间上是否“友好”； (2)现在有两个函数与，给定区间． ①若与在区间上都有意义，求的取值范围； ②讨论函数与与在区间上是否“友好”． $$2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题35 对数函数26种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 对数函数的概念辨析及应用 题型2 对数函数求值问题 题型3 对数型函数的定义域问题 题型4 对数型函数的值域问题 题型5 对数（型）函数图象的变换 题型6 判断对数型函数的图象形状 题型7 根据对数型函数图象判断参数的范围 题型8 对数型函数图象过定点问题 题型9 对数函数图象的应用 题型10 判断对数型函数的单调性 题型11 对数型复合函数的单调性 题型12 由对数型函数的单调性求参数 题型13 由对数函数的单调性解不等式 题型14 比较对数式的大小 题型15 求对数型函数的最值 题型16 根据对数型函数的最值求参数或范围 题型17 恒成立与能成立问题 题型18 判断对数型函数的奇偶性 题型19 已知函数奇偶性求值 题型20 由函数的奇偶性求解析式 题型21 已知函数奇偶性求参数 题型22 函数的单调性和奇偶性的综合 题型23 求反函数 题型24 对数函数的实际应用 题型25 对数型函数性质的综合应用 题型26 对数函数中的新定义问题 1.对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). (3)特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作. 2.对数函数的图象与性质 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 3.不同底的对数函数图象的相对位置 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴． 4.判断一个函数是对数函数的方法 5.求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 6.对数函数应用题的解题思路 (1)依题意，找出或建立数学模型． (2)依实际情况确定解析式中的参数． (3)依题设数据解决数学问题． (4)得出结论． 7.对数函数图象的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称． 8.比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 9.对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 10.形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)． (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间． (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间． 11.对数型函数性质的综合应用 (1)已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系． (2)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解． 题型1 对数函数的概念辨析及应用 【例1】下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】根据对数函数的定义进行判断即可． 【详解】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合. 故答案为：②. 【变式1】下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数定义直接判断即可. 【详解】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是， 对于A，满足，故A正确； 对于B，C，D，形式均不正确，均错误. 故选：A 【变式2】给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义，即可判断. 【详解】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数； ②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数； ④是对数函数． 故选：A 【变式3】函数是对数函数，则实数a＝ . 【答案】1 【分析】利用对数函数的定义知，，解出的值，验证底数即可. 【详解】由题意得， 解得或1， 又且， 所以 故答案为：1 【变式4】函数为对数函数，则 ． 【答案】3 【分析】利用对数函数的定义，列式计算即得. 【详解】函数为对数函数， 则，且，所以. 故答案为：3 【变式5】已知对数函数过点，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法，设出函数解析式，把点代入求解即可. 【详解】设对数函数解析式为（，且）， 因为对数函数过点， 所以，解得， 所以对数函数解析式为. 故答案为： 【变式6】若对数函数且）的图象经过点，则实数______. 【解析】将点代入得，解得 故答案为：2. 题型2 对数函数求值问题 【例2】已知函数，则_______. 【解析】由，得： . 故答案为：. 【变式1】已知函数 ，若 ，则实数_________ 【解析】当时，，所以（舍去）； 当时，，所以（符合题意）. 故答案为：. 【变式2】已知函数若，则实数___________. 【解析】，所以. 故答案为：2 题型3 对数型函数的定义域问题 【例3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据开偶次方根被开方数非负及对数真数大于零确定函数定义域. 【详解】由 得 ，所以函数的定义域为. 故选: B 【变式1】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】， 所以函数的定义域为， 故选：D 【变式2】函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合对数函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即， 解得，所以函数的定义域为. 故选：D. 【变式3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对数函数的真数大于0，然后解不等式得出答案. 【详解】由题意知，，即， 所以或. 故选：C. 【变式4】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式有意义，结合对数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即， 解得，所以函数的定义域为. 故选：B. 【变式5】函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据对数的真数大于，分式的分母不为，次幂的底数不为，即可求解定义域. 【详解】由已知可得，解得：且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式6】下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】AC选项，两函数定义域不同；B选项，两函数对应法则不同；D选项，两函数定义域与对应关系都相同. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 则与不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，， 则与不是同一函数，故B错误； 对于C，令，解得，故的定义域为， ，解得或，故的定义域为， 则与不是同一函数，故C错误； 对于D，与的定义域与对应关系都相同， 则与是同一函数，故D正确. 故选：D 【变式7】若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【解析】函数的定义域是[1，3]， ∴，解得． 又，且，∴． 故函数的定义域是． 故选：C. 【变式8】若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 ． 【答案】或． 【分析】根据对数函数的定义域为R，转化为不等式恒成立进行求解即可． 【详解】∵的定义域为R， ∴恒成立， 当，即或， 若，不等式等价为，此时，不恒成立，不满足条件． 若，不等式等价为，恒成立，满足条件． 当时，要使不等式恒成立， 则， 即或， 解得或， 综上可知，实数的取值范围是或． 故答案为：或． 题型4 对数型函数的值域问题 【例4】函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出在上单调递增即可求解． 【详解】， 在上单调递增， 在上单调递增， 当时，， 当时，， 在上的值域为， 故选：B． 【变式1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法和对数函数单调性即可求得函数的值域. 【详解】函数的定义域为R， 令，则， 又在上单调递增，则， 则函数的值域为 故选：B 【变式2】函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，根据二次函数的性质求出的值域，再根据对数函数的性质计算可得. 【详解】解：令，，则在上单调递增， 又，，所以， 又在上单调递增， 所以，即. 故选：A 【变式3】已知函数． (1)求函数f（x）的值域； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【解析】(1)因为定义域为， 则 设， 令， 所以值域为 (2)设， 因为 所以 即， 即，所以 则的两根为 整理得 因为 解得 再由韦达定理可得: 则          解得 综上， 【变式4】已知函数的值域为，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．9 D．27 【解析】因为函数的值域为，所以的最小值为，所以； 故选：C 【变式5】已知函数的值域为R，则实数的取值范围是(       ) A． B． C． D． 【解析】当， ∴当时，， ∵的值域为R，∴当时，值域需包含， ∴，解得， 故选：C. 【变式6】已知函数，． (1)若函数过定点，求函数的定义域； (2)若函数值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据函数过定点求出的值，再求其定义域即得； （2）将题意转化成函数的值域为，就参数进行分类讨论，结合二次函数的图象分析即得. 【详解】（1）因为函数过定点，则当时，，则，即，则， 由，得， 故函数的定义域为． （2）若函数的值域为，则可取到的所有值， 当时，，显然可以取到，故符合题意； 当时，只需，解得，则； 当时，不能取到的所有值，不合题意. 综上，的取值范围为． 题型5 对数（型）函数图象的变换 【例5】将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到的函数图像，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意，将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度， 可得. 故选：B. 【变式1】函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【解析】函数的定义域为，可以排除选项B、C； 由， 可知函数为偶函数，其图像应关于y轴轴对称，可以排除选项D. 故选：A 【变式2】如图，其所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【解析】设函数为，由图可知，，排除C,D，又，排除A. 故选：B. 【变式3】作出下列函数的大致图像： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据对数函数的图象，通过平移和翻折变化画出图象即可. 【详解】（1）的图象可由的图象向左平移个单位得到， （2）的图象可由的图象先根据轴对称，再向右平移个单位得到， （3）的图象可由的图象先根据轴对称，再向右平移个单位得到， （4）的图象由组成，其中的图象可由的图象根据轴对称得到， 【变式4】若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A．   B． C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意求出a的值，可得的具体表达式，判断其图象性质，结合选项，即可得答案. 【详解】由于函数，且的图象过点， 故， 则， 该函数为偶函数，图象关于y轴对称，且上单调递减，在上单调递增， 只有B中图象符合该函数图象特点， 故选：B 题型6 判断对数型函数的图象形状 【例6】如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 【解析】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b. 故选：D． 【变式1】函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【解析】的定义域为， ，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以AD选项错误. ，所以B选项错误. 故选：C 【变式2】函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由为偶函数，排除A；当时，，当时， ，排除BC，可得正确选项D. 【详解】的定义域为且，且，所以为偶函数，排除A； 当时，，，， 当时，，，，排除BC. 故选：D. 【变式3】在同一坐标系中，函数与的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【解析】由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增，在上单调递增，只有B满足. 故选：B. 【变式4】当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（    ） A．B．C．D． 【解析】的定义域为，故AD错误；BC中，又因为，所以，故C错误，B正确. 故选：B 【变式5】若，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【解析】对数函数定义域是，A错；C中指数函数图象，则，为减函数，C错；BD中都有，则，因此为增函数，只有B符合． 故选：B． 【变式6】已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A选项，函数的定义域为，不满足条件； 对于B选项，函数的定义域为，不满足条件； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数， 当时，，则，不满足条件； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数， 当时，，则，满足条件. 故选：D. 【变式7】如图所对应的函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例说明A错误，利用奇偶性并综合排除法判断BCD即可得解. 【详解】对于A，当趋于0时，趋于，对比题图可知，A不符合题意； 对于B，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于轴对称，与题图不符，B不符合题意； 对于D，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于轴对称，与题图不符，D不符合题意； 对于C，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于原点对称，与题图相符，经检验，C符合题意. 故选：C. 题型7 根据对数型函数图象判断参数的范围 【例7】已知函数的图象如图，则________． 【解析】由图像可得：过点和，则有：，解得． ∴． 故答案为：８． 【变式1】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解析】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 【变式2】已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【解析】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小． 由图易得，；取特殊点， ，．选A． 【变式3】【多选】已知函数(为常数，其中)的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【解析】由图象知，可以看作是向左移动个单位得到的，因此， 故选：BD． 题型8 对数型函数图象过定点问题 【例8】已知函数（且）的图象过定点，则点的坐标为______． 【解析】令，得，又 ． 因此，定点的坐标为． 故答案为： 【变式1】函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则（       ） A．9 B．8 C．6 D． 【解析】令，得，即时，， 点的坐标是； 幂函数的图象过点， 所以，解得； 所以幂函数为； 则． 故选：A． 【变式2】已知函数的图象恒过点P，若点P在角的终边上，则_________． 【解析】易知恒过点，即， 因为点在角的终边上，所以， 所以，， 所以， 故答案为：. 【变式3】已知命题，命题：函数（且）过定点，则（    ） A．p和q都是真命题B．和q都是真命题C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数性质，结合命题的否定判断即可. 【详解】由指数函数性质可知，恒成立，故为假命题，所以为真命题； 因为，所以过定点，为真命题. 故选：B 【变式4】【多选】已知函数（且）的图象过定点，正数、满足，则（    ） A． B． C． D． 【解析】在函数的解析式中，令可得，且， 所以，函数的图象过定点，，所以，所以A正确； 由重要不等式，可得，故， 当且仅当时取等号，所以B正确； 由基本不等式可得，，当且仅当，时取等号，故C错误； 又， 当且仅当，即时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 【变式5】【多选】若，且函数过点，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】过点，，即； 对于A，（当且仅当时取等号）， ，A错误； 对于B，，，， ，即，B正确； 对于C，（当且仅当时取等号），C正确； 对于D，（当且仅当时取等号），D正确. 故选：BCD 题型9 对数函数图象的应用 【例9】【多选】设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 【解析】作出函数图像如下： 又有三个不同的实数根， 所以函数与直线有三个交点， 由图像可得：. 故选：AB 【变式1】【多选】已知函数，若a＞b＞c，且，则（    ） A．a＞1 B．b＞1 C．0＜c＜l D．0＜ac＜1 【解析】，定义域为，在上单调递减，在上单调递增，因为a＞b＞c，且，结合函数图象可知，，且，则可能大于1，也可能大于0小于1，故AC正确，B错误；其中，则，故，D正确； 故选：ACD 【变式2】【多选】已知函数，若，则的取值可能是（    ） A．4 B． C．5 D．6 【解析】 如图所示：要使由 则 因为, 因为 所以 所以 所以，取值可能是，5. 故选：BC. 【变式3】已知，是函数的图象上两个不同的点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知两点的中点坐标及的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，即可得解. 【详解】如图所示，设，，的中点为， 点在的图象上，且轴，则， 由图知点在的左侧，即， 故选：B 【变式4】若，则下列不等关系一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，作出函数的图象，作出，变换的值即可得出答案. 【详解】因为， 则， 由，得，， 作函数的图象，同时作出， 如上图，变换的值可以发现，，均能够成立，不可能成立. 故选：B. 题型10 判断对数型函数的单调性 【例10】下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【解析】函数、、在上均为减函数， 函数在上为增函数. 故选：B. 【变式1】下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【解析】选项A：是偶函数，不符合题目要求； 选项B：是非奇非偶函数函数，不符合题目要求； 选项C：是奇函数，且在区间上单调递增，符合题目要求； 选项D：是奇函数，在单调递减，不符合题目要求. 故选：C 题型11 对数型复合函数的单调性 【例11】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题得函数定义域为， 函数或）的增区间为， 函数在定义域内是增函数，由复合函数的单调性得的单调递增区间为. 故选：A 【变式1】函数的单调增区间是______． 【解析】由，得， 所以函数的定义域为， 令，则， 因为在上递增，在上递减，而在上为增函数， 所以在上递增，在上递减， 故答案为： 【变式2】“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求函数在区间上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】二次函数图象的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，即， 若，则，但是，不一定成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A 【变式3】“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义及复合函数的单调性结合充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】由题意易知或， 且开口向上，且对称轴为， 结合复合函数的单调性知在上单调递增， 所以当时不能得出在上单调递增，即不满足充分性； 而函数在上单调递增可知， 显然成立，满足必要性. 故选：B 【变式4】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解. 【详解】函数，因为，解得． 所以函数的定义域为，且，． 因为函数在区间,上单调递增， 在区间,上单调递减，函数单调递增， 所以由复合函数的单调性知函数在区间,上单调递增， 在区间,上单调递减, 故选：A 题型12 由对数型函数的单调性求参数 【例12】已知在上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以为减函数，而当时，是增函数，所以是减函数，于是；由，得在上恒成立，所以. 故选：B 【变式1】已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数定义可知对任意的恒成立，解得且；再根据复合函数单调性结合对数函数以及二次函数单调性分析求解. 【详解】因为在上单调递减， 则对任意的恒成立，可得且； 且开口向下，对称轴， 当时，则对称轴，可知在内单调递减， 且在定义域内单调递减，所以在上单调递增，不合题意； 当时，因为在定义域内单调递增，可知在内单调递减， 则，解得； 综上所述：的取值范围是. 故选：C. 【变式2】“”是“函数在单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用对数函数与复合函数的单调性计算即可. 【详解】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知： 要满足函数在单调递增， 需要， 因为，所以“”是“函数在单调递增”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式3】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性可得且，解之即可求解. 【详解】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减， 所以且，解得． 即实数a的取值范围为 故选：B 【变式4】已知，若在上单调，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数和二次函数复合的函数的单调性求解即可. 【详解】令函数， 该函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，要使在上单调，则在上单调， 且时，，故，解得或. 故选：D 【变式5】若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围为________． 【解析】因为在上是严格减函数，所以要满足：，解得：，所以实数的取值范围是 故答案为： 题型13 由对数函数的单调性解不等式 【例13】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】由可得，解得， 故答案为： 【变式1】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】结合函数的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得不等式的解集. 【详解】由于函数在上递减， 所以解得， 所以原不等式的解集为， 故答案为： . 【变式2】不等式的解集为 【答案】 【分析】对原不等式整理可得，结合对数函数性质分析求解. 【详解】因为，且， 若，即， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式3】已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据确定其单调性，然后利用单调性求解不等式即可. 【详解】当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递减； 其中，所以在上单调递减； 因为，所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围或， 故选B. 【变式4】已知函数（且）的图象过点． (1)求a的值； (2)若函数，求的解集． 【解析】（1）由题意得，得， 解得或（舍去），故． （2）由题意得． 当时，，解得； 当时，，解得． 故的解集为． 【变式5】已知是在定义域上的单调函数，且对任意都满足：，则满足不等式的的取值范围是________. 【解析】由题意得为正常数，令，则， 且，解得， 原不等式为，可得，解得， 故答案为： 题型14 比较对数式的大小 【例14】若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解析】∵，，，∴， 故选：B． 【变式1】已知，，，则有（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意，， ， 是单调递增，，， ，， 是单调递增，，， ， ， 是单调递增，，， ，， 是单调递增，，， 综上所述，. 故选：D. 【变式2】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用中间值法，再结合指数函数和对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】由，，，知，， 又，所以，故， 又，故，所以， 因此可得. 故选：C. 【变式3】已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小. 【详解】因为在上递减，且， 所以，即， 所以， 因为在，且， 所以，即， 所以. 故选：D 【变式4】，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解析】，，. 因为在上为增函数，所以， 所以． 故选：C. 【变式5】设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解析】在同一坐标系中分别画出，， 的图象， 与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ， 与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出． 故选：C 【变式6】已知函数，若，，，则a，b，c从小到大排序是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接代入计算即可得结论. 【详解】由题可知：，，， 由函数在定义域中是单调递增的函数，所以. 故选：A. 题型15 求对数型函数的最值 【例15】函数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】利用整体换元，将复合函数的最值转化为对数函数的最值求解即可. 【详解】令，则，. 又在上单调递增， 所以，此时. 故答案为： 【变式1】设且，函数的图象过点． (1)求的值及函数的定义域； (2)求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)2； (2)2 【分析】（1）代入点的坐标求出的值，再根据对数函数的定义求出函数的定义域； （2）依题意可得，结合二次函数的性质及对数函数的性质计算可得. 【详解】（1）由函数的图象过点， 得，即，所以，解得或（舍）， 所以， 由，解得， 所以，函数的定义域为． （2）由（1）知， 又，所以当时取得最大值4，且函数在定义域上单调递增， 故函数在区间上的最大值 【变式2】已知． (1)设，求t的最大值与最小值； (2)求的值域． 【解析】（1）因为函数在区间[2，4]上是单调递增的， 所以当时，， 当时，． （2）令，则， 由（1）得，因为函数在上是单调增函数， 所以当，即时，；当，即时，， 故的值域为. 【变式3】函数的最小值为______． 【解析】由题意，函数 ， 令，可得， 当时，，即函数的最小值为. 故答案为：. 【变式4】函数的图像过点和 (1)求函数的解析式； (2)当的定义域为，求的最大值及取最大值时的值． 【解析】(1)解：由题得，，所以，. 所以 (2) ． 又因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则有所以，所以， 所以当，即时，． 所以当时，函数的最大值为22． 【变式5】对于任意实数，定义，设函，则函数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】结合对数函数画出分段函数的图象，结合图象可得答案. 【详解】由题意得， 因为函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 又， 所以点是两个函数的交点， 所以当时，，可得， 当时，，可得， 可得的大致图象，如下图， 故答案为：2. 题型16 根据对数型函数的最值求参数或范围 【例16】已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 【答案】2 【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，函数在区间上单调递增. 又对数函数在区间上的最大值比最小值大1， 所以，，解得. 故答案为：2. 【变式1】若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【答案】A 【分析】对参数的取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值. 【详解】由题意解得或（舍去）， ①当时，函数在定义域内为增函数， 则由题意得， 所以即，解得或（舍去）； ②当时，函数在定义域内为减函数， 则由题意得， 所以即，解得； 综上可得：或． 故选：A. 【变式2】若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则在上取得最小值为，根据题意有且，求解即可. 【详解】令，则， 故当时，在上取得最小值为， 又因为函数在上的最大值是2， 所以且，即，解得． 故选：C. 【变式3】若函数有最小值，则a的取值范围为______． 【解析】当时，外层函数为减函数，要使函数有最小值，对于内层函数，，又，所以； 当时，外层函数为增函数，要使函数有最小值，对于内层函数， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4】已知函数若存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】∵函数 ∴当时，的范围是；当时，，， 由题意存在最小值，则， 解得. 故选：D． 题型17 恒成立与能成立问题 【例17】当时，，则a的取值范围是 A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) 【解析】当时，显然不成立. 若时 当时，，此时对数，解得，根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，则有，如图选B. 【变式1】已知且，当时，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】按和分类讨论可得． 【详解】当时，. 当时，成立. 当时，若成立，是减函数，是增函数，则，解得，所以. 综上，的取值范围为. 故答案为：． 【变式2】已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解指数不等式，得到解集； （2）变形得到，结合，求出的值域； （3）转化为，求出，故，得到答案. 【详解】（1）由，得 整理得 解得， 的解集为 （2）， ， ， 即的值域为． （3）不等式对任意实数恒成立 ． ， 令，，， 设，， 当时，取得最小值，即， ，即， ，即，解得， 实数的取值范围为． 【变式3】已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）解：当时，令， 即，即，解得，所以的定义域为. （2）解：由对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 因为是单调递减函数，是单调递减函数， 所以在上单调递减，所以， 所以在上单调递减，所以， 所以，即的取值范围为. 【变式4】已知函数且. (1)若函数的图象过点，求的值； (2)当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【解析】(1)由已知得， ∴，解得，结合，且， ∴； (2)由已知得，当，时恒成立， 令，，且，，， ∵在，上单调递增，故， ∵是单调递增函数，故， 故即为所求，即的范围为． 【变式5】已知函数（且）. (1)求函数的定义域，并判断的奇偶性； (2)是否存在实数m，使得不等式成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由得.所以的定义域为， 因为函数的定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数. （2）①当时，在上为增函数，假设存在实数m，使得不等式成立，则，解得. ②当时，在上为减函数，假设存在实数m，使得不等式成立，则，解得. 综上，①当时，存在，使得不等式成立；②当时，存在，使得不等式成立. 【变式6】已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， (1)求实数a的值以及函数的解析式； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，得到，求得，再结合函数的奇偶性性，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合函数在为单调递减函数，求得其最小值，即可求解. 【详解】（1）解：因为当时，，可得， 又因为函数是上的奇函数，所以，即，解得， 即当，且时，， 由时，则，因为函数是上的奇函数， 可得， 所以函数的解析式为. （2）不等式在上恒成立， 等价于不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 因为和在为单调递减函数， 所以函数在为单调递减函数， 当时，的最小值为， 所以实数的取值范围为. 【变式7】已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若不等式在上有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）换元令，结合二次函数的性质求值域； （2）换元令，整理可得在上有解，根据存在性问题分析求解. 【详解】（1）因为， 由对数函数单调性可知，当时，， 令，，即可得，， 可知的开口向上，对称轴为， 由二次函数性质可知当时，，当时，， 所以可得当时，函数的值域为. （2）当时，可得，令，， 可得，即在上有解， 整理可得在上有解， 因为函数在上单调递增，当时， 所以的取值范围是. 题型18 判断对数型函数的奇偶性 【例18】已知函数=． (1)判断的奇偶性； (2)求在的值域． 【解析】(1)，则，的定义域为， ，故是奇函数 (2)，当时，， 故， 即在的值域为 【变式1】已知函数，其中． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求函数的值域． 【解析】(1)是偶函数，的定义域为R ∵， ∴，∴是偶函数． (2)∵，当且仅当时取等号， ∴ ∴的值域为． 【变式2】已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)设函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数m的取值范围. 【解析】(1)为偶函数 证明：， 故，解得 的定义域为，关于原点对称 ， 为偶函数 (2)若对任意的，总存在，使得成立 则 又，当且仅当，即取等号 所以 所求实数m的取值范围为 题型19 已知函数奇偶性求值 【例19】函数为上的奇函数，时，，则（    ） A． B．2 C． D．6 【解析】时，，故，又函数为上的奇函数，故. 故选：C 【变式1】已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为（    ） A．4 B． C．7 D． 【解析】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，当时，， 必有，解可得:， 则当时，，有， 又由函数是定义在R上的奇函数，则. 故选：D 题型20 由函数的奇偶性求解析式 【例20】已知函数是上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求函数的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）； (3)若，求实数的取值范围. 【解析】(1)因为是上的偶函数，所以. (2)当时，则，则， 故当时，， 故， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. (3)若，即，即 因为在单调递减，所以， 故或，解得：或， 即. 【变式1】已知函数是定义在上的偶函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)解不等式. 【解析】(1)设，则， 是定义在R上的偶函数， ， ； (2)由（1）知，时，， 与在上都是增函数， 在上为增函数，在上为减函数， ， 解得. 该不等式的解集为. 题型21 已知函数奇偶性求参数 【例21】若函数是奇函数，则___________，___________. 【解析】 因为函数是奇函数，故，即，即.又，故，即，恒成立，故，所以或，当时无意义.当时满足奇函数.故 综上，， 故答案为：1；0 【变式1】已知为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为为奇函数，且定义域为R，所以，解得：a=-1. 因为为偶函数，且定义域为R，所以，即，解得：. 所以. 所以. 故选：D 题型22 函数的单调性和奇偶性的综合 【例23】已知偶函数在上单调递增，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为为偶函数，且在上单调递增， 所以，且在上单调递减， 又因为， 所以， 又，所以 又在上单调递减， 所以，即. 故选：A 【变式1】已知函数f (x)是偶函数，在上是减函数，若．则实数x的取值范围是（    ） A．(1，4) B． C． D． 【解析】∵函数f (x)是偶函数，在上是减函数， ∴，， ∴， 解得. 故选：D. 【变式2】已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】∵是定义域为上的偶函数，且在区间上单调递减 ∴函数在区间上是单调递增函数， ∴不等式， 可化为，即， 则，又函数在区间上是单调递增函数， ∴，即， 解得. 故选：D 【变式3】【多选】已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（    ） A．的最小值为 B．在上单调递减 C．的解集为 D．存在实数满足 【解析】函数是定义在上的偶函数，当时，， 设，则，所以，因为是偶函数，所以， 所以， 所以， 函数图象如下所示： 可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故A正确； 在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 由或，解得或，综上可得的解集为，故C正确； 由，，即存在实数满足，故D正确； 故选：ACD． 题型23 求反函数 【例24】函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反函数的定义域就是原函数的值域求解即可. 【详解】因为函数在单调递增， 所以， 即， 因为反函数的定义域是原函数的值域， 所以反函数的定义域为， 故选：C． 【变式1】下列各对函数中，互为反函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据互为反函数的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，的反函数为，所以A正确， 对于B，的反函数为，所以B错误， 对于C，的反函数为，所以C错误， 对于D，的反函数为，所以D错误， 故选：A 【变式2】若函数，其中，设是的反函数，则 ．（） 【答案】 【分析】根据反函数的定义，在原函数中令函数值为，即可解出. 【详解】由题意，令， 则，， 解得，， 即. 故答案为：. 【变式3】求下列函数的反函数： (1)； (2)； (3)，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定函数的值域即为反函数定义域，把函数式中作为变量解方程，解出后，然后交换得反函数； （2）确定函数的值域即为反函数定义域，把函数式中作为变量解方程，解出后，然后交换得反函数； （3）确定函数的值域即为反函数定义域，把函数式中作为变量解方程，解出后，然后交换得反函数. 【详解】（1）的值域为， 所以，所以，所以. （2）, 由可得：，即， ∴． （3）当可得：， 由，可得：， ∴. 【变式4】函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算函数的值域，可求出原函数的反函数的定义域. 【详解】由对数函数的性质可得：函数的值域为， 则反函数的定义域为. 故选：D. 【变式5】若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可. 【详解】函数是函数的反函数,则. 故. 故选：B. 题型24 对数函数的实际应用 【例25】2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍量指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的1600倍(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1600≈7.3778，ln6000≈8.6995. A．126 B．150 C．197 D．199 【答案】A 【解析】建立关系式，由对数运算法则可求得解. 【详解】设经过天能达到最初的1600倍 故 故 故选：A 【变式1】我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（    ）（参考数据：） A．1559 B．3943 C．1579 D．2512 【答案】C 【解析】由题意可得的方程，再由对数的运算性质求解即可． 【详解】由题意得：， 则，， 故选：C 【变式2】大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由结合对数运算可求得的值，由于，可得出、，结合对数函数的单调性可出结论. 【详解】由题意，得， 则，因此， ，则， ，则. 故选：A. 题型25 对数型函数性质的综合应用 【例26】【多选】已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（       ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则. 【解析】由题,故. 对A,函数为增函数正确. 对B, 不为偶函数. 对C,当时, 成立. 对D,因为往上凸,故若，则成立. 故选：ACD 【变式1】【多选】关于函数，下列说法中正确的有（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是减函数 D．对任意，，都有 【解析】对于A，由得，故的定义域为，故A错误， 对于B，的定义域为，，则为奇函数，故B正确， 对于C，，由复合函数的单调性知在上是减函数，故C正确， 对于D，任意，，， ，，故D正确， 故选：BCD 【变式2】【多选】已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．若的定义域为R，则 B．若的值域为R，则或 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则 【解析】对于A，若的定义域为R，则在R上恒成立，所以，所以，所以A错误； 对于B，若的值域为R，则，所以或，所以B正确： 对于C，若，则，函数的定义域为，设，即求函数的减区间，由复合函数的单调性原理得函数的单减区间为，所以C错误； 对于D，若在上单调递减，则且，所以，所以D正确． 故选：BD 题型26 对数函数中的新定义问题 【例27】对于任意实数，定义运算“”为 ，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的新定义求出函数的解析式，再结合对数的运算和对数函数的单调性解答即可； 【详解】由对数函数的定义域可得， 令， 即，解得或（舍去）， 所以，由函数新定义可得， 所以当时，； 当时，， 所以函数的值域为， 故选：B. 【变式1】【多选】若定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件： ①对任意的，总有； ②； ③若，，，则有，就称为“A函数”. 下列定义在[0，1]上的函数中，是“A函数”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据“A函数”要满足的3个条件，即可结合选项逐一求解. 【详解】A中，，故不是“A函数”，故A错误； B中，若，，， 则 ，不满足③， 故不是A函数，故B错误； C中，显然满足①②，又， 所以是“A函数”，故C正确； D中，显然满足①②， 因为，， 所以， 又，所以，， 从而，因此，是“A函数”，故D正确. 故选：CD. 【变式2】定义：二阶行列式；三阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式，若元素1的余子式，则 ；记元素2的余子式为函数，则的单调减区间为 . 【答案】 / / 【分析】由，根据余子式定义转化为二阶行列式列方程可解出；利用余子式定义将转化为二阶行列式经过运算化简得解析式，再借助复合函数单调性同增异减求解减区间即可. 【详解】由三阶行列式根据题意得， 元素的余子式， 解得； 元素2的余子式 则函数 由解得，则定义域为， 令， 则当，函数单调递增，又单调递增， 所以由复合函数单调性可知在区间上单调递增； 当，函数单调递减，又单调递增， 所以由复合函数单调性可知在区间上单调递减； 故单调减区间为. 故答案为：；（填也正确）. 【变式3】对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的，均有不等式成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称为“不友好”的． (1)若，，则与在区间上是否“友好”； (2)现在有两个函数与，给定区间． ①若与在区间上都有意义，求的取值范围； ②讨论函数与与在区间上是否“友好”． 【答案】(1)与在区间上是“友好”的 (2)①；②答案见解析 【分析】（1）按照定义，只需判断在区间上是否恒成立； （2）①由题意解不等式组即可；②假设存在实数，使得与与在区间上是“友好”的，即，即，只需求出函数在区间上的最值，解不等式组即可. 【详解】（1）由题意可得：， 因为时，则，可知恒成立， 故与在区间上是“友好”的. （2）①与在区间上都有意义， 可得，解得， 且且，所以的取值范围为； ②假设存在实数，使得与与在区间上是“友好”的， 则，即， 因为，则，，所以在的右侧， 可知在上为减函数，在上为增函数， 由复合函数的单调性可得在区间上为减函数， 从而，， 所以，解得， 所以当时，与与在区间上是“友好”的； 当时，与与在区间上是“不友好”的. $$