陕西省宝鸡实验高级中学2025届高三上学期数学周末练习卷（8）

宝鸡实验高级中学2025届高三数学周末练习卷（8） 姓名：___________班级：___________ 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．欧拉恒等式（其中为虚数单位，为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】复数，进而得出共轭复数为z. 【详解】由题意，复数. 故选：A 2．设非空集合P，Q满足，则下列选项不正确的是（   ） A． B． C．，使得 D．“”是“”的必要条件 【答案】C 【分析】根据这个条件,用集合的交集概念以及元素与集合的关系、必要条件等概念逐个判断即可. 【详解】选项A,因为，这意味着中的所有元素都同时属于，即，，正确. 选项B,如果，由于中的元素都在中，那么肯定不在中，即，，正确. 选项C,由可知的元素都在中，不存在且的情况，不正确. 选项D,因为，所以时一定有，那么是的必要条件，正确. 故选：C 3．若单位向量满足，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位向量定义将等式平方可得，再由夹角公式计算可得结果. 【详解】依题意可知， 由可得，即，也即; 设的夹角为，可得， 又，可得. 故选：C 4．某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（    ） A．成绩在上的人数最少 B．成绩不低于80分的学生所占比例为 C．50名学生成绩的极差为50 D．50名学生成绩的平均分小于中位数 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图求出的频率，再结合各组频率及统计的相关概念逐项判断. 【详解】设这一组的频率为，则由各组频率之和为1， 得，解得， 各组频率依次为：， 对于A，这一组频率最小，即成绩在上的人数最少，A正确； 对于B，成绩不低于80分的学生频率为，成绩不低于80分的学生所占比例为，B正确； 对于C，极差为数据中最大值与最小值的差，而50名学生的成绩都在区间内， 但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是，则极差小于等于，但不一定等于50，C错误； 对于D，根据频率分布直方图，得50名学生成绩的平均数是 ，而50名学生成绩的中位数为80， 因此50名学生成绩的平均分小于中位数，D正确. 故选：C 5．已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点求斜率，即可列等量关系化简求解即可. 【详解】设动点， 由于，，根据直线与的斜率之积为． 整理得，化简得：． 故选：B 6．设函数在区间上恰有3个零点、2个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意确定，再代入求整体角的取值范围，得到3个零点、2个极值点的位置，解不等式求得结果. 【详解】当时，无法满足函数在区间上的零点比极值点多，所以，选项表示的区间也全部在正半轴． 函数在区间上恰有3个零点、2个极值点， 令，则相当于函数在区间上恰有3个零点、2个极值点． 如图，要使函数恰有3个零点、2个极值点， 则， 所以． 故选：B． 7．正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为正三棱锥的侧面都是直角三角形， 所以可以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 设， 因为分别是的中点， 所以， ， 设平面的法向量为， 则有， 所以与平面所成角的正弦值为：， 故选：C   【点睛】 8．设函数在区间上存在零点，则的最小值为（    ） A．0 B．e C． D．1 【答案】A 【分析】设零点为，则在直线上，根据的几何意义将问题转化为点到直线的距离问题，利用导数求解可得. 【详解】设零点为，则，在直线上， 的几何意义为点到原点距离的平方， 其最小值为原点到直线的距离的平方，， 设且，， 所以在单调递减，所以． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：关键在于利用几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后利用导数求解即可. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图像可由的图像向左平移个单位得到 B．图像关于点对称 C．在上值域为 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据三角恒等变换，化简函数，根据三角函数的图象性质判断A，B，C选项；利用同角三角函数关系与二倍角公式转化即可求的值，从而判断D选项. 【详解】， 对于A，将的图像向左平移个单位可得 函数的图象，故A不正确； 对于B，，所以图像关于点对称，故B正确； 对于C，当时，，则， 所以，故C不正确； 对于D，， 因为，所以，则， 故，平方得，则， 所以， 则， 所以，故D正确. 故选：BD. 10．已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（    ） A．曲线的轨迹方程为 B．若为曲线上的动点，则的最小值为5 C．过点，恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点 D．圆与曲线交于两点，与交于两点，则四点围成的四边形的周长为12 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出曲线的轨迹方程，再逐项分析判断即得. 【详解】对于A，依题意，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为，A正确； 对于D，直线交圆于点，而， 四边形是矩形，周长为，D正确； 对于B，显然共线，垂直于直线，令点到直线的距离为， 则，，当且仅当与点重合时取等号， 因此的最小值为，B正确； 对于C，过点与曲线仅只一个公共点的直线方程为， 由消去得，当时，直线与抛物线仅中一个公共点， 当时，，解得，显然直线与抛物线仅只一个公共点， 因此过点与曲线有且只有一个公共点的直线有3条，C错误. 故选：ABD 11．已知函数，则（    ） A．若，则有且仅有两个零点 B．若，则0为的极值点 C．当为定值时，曲线在处的切线在轴上的截距为定值 D．若，当且仅当时，曲线上存在关于直线对称的两点 【答案】ACD 【分析】将代入，利用因式分解求的零点可判断A选项；利用特殊情况，即用来判断В选项；利用导数求曲线在处的切线方程即可判断C选项；由曲线上存在关于直线对称的两点，可得即有非零的实根，进而转化为一元二次不等式，可判断D选项； 【详解】对于A：若， 有且仅有两个零点，故A正确； 对于B：若，当时没有极值点，故В错误； 对于C：，， 故切线方程为，在轴上的截距为，为定值，C正确； 对于D：曲线上存在关于直线对称的两点 即有非零的实根， 即， 化简得有非零的实根， 故有非零的实根， 故，得，由于每步都为充要条件，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．已知为等差数列的前项和，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由等差数列通项，求和公式可得答案. 【详解】设首项为，公差为d，由等差数列通项，求和公式： ，则. 故答案为：. 13．已知，，，则 . 【答案】 【分析】先由角的范围和题设和的值，求出和的值，再利用拆角变换展开后代入求值即得. 【详解】因，，， 故，， 故，， 则 . 故答案为： 14．有一个4行4列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得4行中所填数字之和恰好是各一个，4列中所填数字之和恰好也是1，2，3，4各一个（如图为其中一种填法），则符合要求的不同填法共有 种. 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 【答案】576 【分析】需要填入6个数字0和10个数字1，按顺序先填6个数字0，先找到一行并填入3个数字0，再选出一列需填入3个数字0把0填入，再填入最后一个数字0，最后填入所有的1，结合分步计数原理和组合数公式求解. 【详解】显然在符合要求的填法中，应该填入6个数字0和10个数字1， 按照下面的顺序填入这6个数字0. ①先找到一行并填入3个数字0，选出这样1行共有4种选法， 而从该行的4格中选出3个填入数字0，也有种填法. 因此这一步共有种不同的填法. ②选出一列填入3个数字0，以图为例，可知这一列必为已填入了一个数字0的列， 否则就没有一列的数字之和为4，从而选出这一列共有3种选法. 而该列中已经填入了一个数字0，所以填入另外两个数字0有种填法. 这一步共有种不同的填法. ③当完成前面两步后，最后一个数字0所在行与列都有两个0，只有4个位置可以选择. 最后剩下所有的格都填1，有1种填法. 因此，符合要求的不同填法共有种. 故答案为：576. 【点睛】思路点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 四、解答题:（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．如图，在平面四边形中，，，，，． (1)求边的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用正弦定理可得解； （2）在中，先由余弦定理得，进而得，最后利用面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，， 由正弦定理得． （2）在中，由余弦定理得 ． ∴． ∴． 16．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值，并求函数的单调区间； (2)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为,单调递减区间为. (2) 【分析】（1）由题可知在点处的切线的斜率为2，根据切线的几何意义即可求解的值，然后利用导数研究函数的单调性即可; （2）根据题意在上恒成立，只需，利用基本不等式即可求解最小值. 【详解】（1）,曲线在点处的切线与直线平行, , 当或时，,当时，, 函数的单调递增区间为,单调递减区间为. （2）由题可知在上恒成立， 只需即可, 因为，所以, 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宝鸡实验高级中学2025届高三数学周末练习卷（8） 姓名：___________班级：___________ 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．欧拉恒等式（其中为虚数单位，为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（    ） A． B． C． D． 2．设非空集合P，Q满足，则下列选项不正确的是（   ） A． B． C．，使得 D．“”是“”的必要条件 3．若单位向量满足，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（    ） A．成绩在上的人数最少 B．成绩不低于80分的学生所占比例为 C．50名学生成绩的极差为50 D．50名学生成绩的平均分小于中位数 5．已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．设函数在区间上恰有3个零点、2个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．设函数在区间上存在零点，则的最小值为（    ） A．0 B．e C． D．1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图像可由的图像向左平移个单位得到 B．图像关于点对称 C．在上值域为 D．若，则 10．已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（    ） A．曲线的轨迹方程为 B．若为曲线上的动点，则的最小值为5 C．过点，恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点 D．圆与曲线交于两点，与交于两点，则四点围成的四边形的周长为12 11．已知函数，则（    ） A．若，则有且仅有两个零点 B．若，则0为的极值点 C．当为定值时，曲线在处的切线在轴上的截距为定值 D．若，当且仅当时，曲线上存在关于直线对称的两点 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．已知为等差数列的前项和，若，则的值为 ． 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 13．已知，，，则 . 14．有一个4行4列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得4行中所填数字之和恰好是各一个，4列中所填数字之和恰好也是1，2，3，4各一个（如图为其中一种填法），则符合要求的不同填法共有 种. 四、解答题:（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．如图，在平面四边形中，，，，，． (1)求边的长； (2)求的面积． 16．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值，并求函数的单调区间； (2)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$