精品解析：上海市上南中学南校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2024-2025学年上海市浦东新区上南中学南校九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果两个相似三角形的周长之比为，那么它们对应边之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用相似三角形的性质求解作答即可． 【详解】解：由题意知，如果两个相似三角形的周长之比为，那么它们对应边之比为， 故选：B． 2. 已知中，D、E分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例判断作答即可． 【详解】解：由题意知，不能判断，故A不符合要求； 不能判断，故B不符合要求； 不能判断，故C不符合要求； 由可得，，故D符合要求； 故选：D． 3. 在下列命题中，真命题的个数有（ ） ①所有的等边三角形都相似； ②所有的直角三角形都相似； ③所有的菱形都相似； ④有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似； ⑤两个全等三角形一定相似； ⑥有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，真命题．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定进行判断作答即可． 【详解】解：①等边三角形的三个角都是，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以判定所有的等边三角形都相似，①是真命题，故符合要求； ②含的直角三角形与含的直角三角形不相似，因此所有的直角三角形不一定都相似，②不是真命题，故不符合要求； ③含的菱形与含的菱形不相似，因此所有的菱形不一定都相似，③不是真命题，故不符合要求； ④有一个锐角相等，再加上直角相等，根据两个角相等的三角形相似，可以判定有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似，④是真命题，故符合要求； ⑤全等三角形是相似比为的相似三角形，因此两个全等三角形一定相似，⑤是真命题，故符合要求； ⑥顶角是的等腰三角形与底角是的等腰三角形不相似，因此有一个锐角相等的两个等腰三角形不一定相似，⑥不是真命题，故不符合要求； 故选：B． 4. 如图，已知，求作，则下列作图正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先在射线上依次截取，，在射线上截取，连接，过作CE∥BD，交于，则即，再根据，即可得出结论． 【详解】如图，需要在射线上依次截取，，在射线上截取， 连接，过作CE∥BD，交于，则 ，即， 所以； 因为， 所以DE=x即即为所求． 故选：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的基本作图，熟练掌握定理是解题的关键． 5. 如图，在中，点、分别在边、上，平分，，与一定相似的三角形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求，即可证． 【详解】平分， ， 又 ，且 故选． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定解决问题是本题的关键． 6. 如图，中，，，被划分成三部分，则它们的面积比（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意得，，证明，，则，，可求，，则，，然后求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 7. 如果，那么的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知比例关系，设 ，（），再代入所求表达式进行化简． 【详解】解：由 ， 设 ，（）， 则 ． 故答案为：． 8. 已知线段厘米，厘米，则线段a和c的比例中项b是_____厘米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据题意，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵线段b是a、c的比例中项， ∴， 解得， 又∵线段的长度是正数， ∴． 故答案为4． 9. 在的地图上，量得A、B两地之间的距离为，则A、B两地实际距离是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了成比例的线段．熟练掌握成比例的线段是解题的关键． 设A、B两地实际距离为，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设A、B两地实际距离为， 依题意得，， 解得，， ∴， 故答案为：． 10. 已知点是线段的黄金分割点，厘米，则较长线段长是______厘米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割点的概念可得，代入即可求解。 【详解】∵点是线段的黄金分割点，且是较长线段， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．正确理解黄金分割点是解题的关键． 11. 已知向量与单位向量的方向相反，且长度为2，那么用表示______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的表示方法即可直接进行解答. 【详解】∵向量与单位向量的方向相反，且长度为2， ∴， 故填：. 【点睛】此题考查向量的表示方法，熟记方法即可正确解答. 12. 如图，竖立在点B处的标杆长2.1米，某测量工作人员站在D点处，此时人眼睛C与标杆顶端A、树顶端E在同一直线上（点D、B、F也在同一直线上），已知此人眼睛与地面的距离长1.6米，且米，米，求所测量树的高度为_____________米． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交于点，交于点，由题意可得，，求得的长度，即可求解． 【详解】解：过点作，交于点，交于点，如下图： ∵，， ∴， ∵，，，， ∴（米），（米），（米） ∴（米）， ∵， ∴， ∴，即， 解得（米）， （米） 故答案为： 【点睛】此题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意，作辅助线，构造出相似三角形． 13. 在和中，，，，，那么的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】由中，易求出，再根据可得到，从而可得． 【详解】∵，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴与是对应角，． 故答案为： 【点睛】本题考查的是相似三角形判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14. 如图，如果，，，，，那么____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 15. 如图，中，是斜边上的高，是6，，则上的中线长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 设，则，证明，则，即，可求满足要求的解为，则，由，可知上的中线长是． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴上的中线长是， 故答案为：． 16. 如图，四边形是的内接矩形，，，，则矩形的周长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．根据平行可推导出，根据相似三角形的性质可得，代入数据可得结论． 【详解】解：， ， ，即， 解得， ， ∴矩形的周长为 ， 故答案为: ． 17. 如图，中，，如果F是的重心，那么____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了重心的性质，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握中线，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由F是的重心，，可得分别为的中点，则，，即；如图，连接并延长，交于，则，可求，然后求解作答即可． 【详解】解：∵F是的重心，， ∴分别为的中点， ∴， ∴，即； 如图，连接并延长，交于，则， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可求出，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足，进而可求此时，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵D为AB中点， ∴，即， 取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，， ∴， 在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则， ∵∠A=30°，∠B=90°， ∴∠C=60°，BC＝， ∵DE1∥BC， ∴∠DE1E2=60°， ∴△DE1E2是等边三角形， ∴DE1＝DE2＝E1E2＝， ∴E1E2＝， ∵， ∴，即， 综上，的值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据进行分情况求解是解题的关键． 三、计算题：本大题共2小题，共18分． 19. 已知：且，求的值 【答案】，，． 【解析】 【分析】设，则，，．结合题意可得出关于k的方程，解出k的值即可解答． 【详解】解：设， ∴，，． ∵， ∴， 解得：， ∴，，． 【点睛】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 20. 如图，点P是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点E，交的延长线于点 （1）求证：； （2）若菱形边长为8，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形 ∴，， ，， ， ∴． （2）16 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定及性质． （1）可由平行线分线段成比例定理进行求解； （2）由题中已知线段的长度，结合（1）中的结论，再证明，得到，代入计算即可得出结论． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：，， ， ∵， ， ∵， ∴，， ∴， ， 又∵， ． 四、解答题：本题共5小题，共38分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，, ，求证：． 【答案】 证明： 可变形为， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，根据得到，得到，通过平行线的性质得到，即可解答，看懂可变形为是解题的关键． 【详解】略 22. 如图，已知平行四边形中，点M、N分别在边、上，对角线分别交、于点E、F，且 （1）求证：； （2）设，，用关于、的线性组合表示． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴, 同理可得：, ∴, 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，平面向量的计算等相关知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由平行四边形的性质可得，，所以∽，则同理可得，根据相似三角形的判定得到，即可得到结论； （2）由向量的差可知，，可得所以 ，由此可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 由（1）知， ∴, ∴, 又∵， ∴， ， ． 23. 如图，已知，与相交于点O． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）2 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，，由，可得，即，计算求解即可； （2）设，则，，证明，则，即，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴的长为2； 【小问2详解】 解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的长为6． 24. 已知，如图，点D为内一点，E、F、G点分别为线段AB、AC、AD上一点，且， （1）求证：； （2）当时，求的值． 【答案】（1） ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． （1）先根据相似比的性质得出，，故可得出，由此即可得出结论； （2）先根据得出，再由得出，故可得出，同理可得，，故可得出根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 ， ， ， ， ，即， 同理可得，， ， ， ， ； 25. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC、BD交于点O，点E在AB延长线上，连接CE，AF⊥CE，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于点F、G、H（点F不与点C、E重合）． （1）当点F是线段CE的中点，求GF的长； （2）设BE＝x，OH＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BHG是等腰三角形时，求BE的长． 【答案】（1） （2）y＝（0＜x＜） （3）3或 【解析】 【分析】（1）首先利用勾股定理得出AC的长，证得△ACF≌△AEF，得出BE＝2，进一步得出△CBE∽△ABG，△CGF∽△CBE，利用三角形相似的性质得出CF、CG的长，利用勾股定理求得而答案即可； （2）作BM⊥AF，ON⊥AF，垂足分别为M、N，利用△ONH∽△BMH，△ANO∽△AFC，△BMG∽△CFG，建立BE、OH之间的联系，进一步整理得出y关于x的函数解析式，根据y＝0，得出x的定义域即可； （3）分三种情况探讨：①当BH＝BG时，②当GH＝GB，③当HG＝HB，分别探讨得出答案即可． 【小问1详解】 解：∵AB＝8，BC＝6， , ∴AC＝ 10， ∵AF⊥CE， ∴∠AFC＝∠AFE＝90°， ∵点F是线段CE的中点， ∴CF＝EF， 在△ACF和△AEF中， ∴△ACF≌△AEF， ∴AE＝AC＝10， ∴BE＝2， ∵∠CGF＝∠AGB，∠GFC＝∠ABG， ∴∠FCG＝∠GAB，∠CBE＝∠ABG， ∴△CBE∽△ABG， ∴＝， 即＝， BG＝， ∴CG＝ ， ∵∠GCF＝∠BCE，∠CFG＝∠CBE， ∴△CGF∽△CBE， ∴＝， 又CE＝2CF， ∴2CF2＝BC•CG， ∴CF＝， ∴GF＝＝； 【小问2详解】 如图， 作BM⊥AF，ON⊥AF，垂足分别为M、N， ∵AF⊥CE， ∴ONBMCE， ∴△ONH∽△BMH，△ANO∽△AFC，△BMG∽△CFG， ∴＝＝，＝，＝＝， ∴＝， 又∵△CBE∽△ABG， ∴＝，BE＝x， ∴BG＝x， ∴＝， 则y＝（0＜x＜ ）． 【小问3详解】 当△BHG是等腰三角形， ①当BH＝BG时， ∵ ， ∴△AHD∽△BHG， ∴＝， 由（1）知 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 由（2）知 时y＝ ，解得x＝3； ②当GH＝GB， ∵ABCD为矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴△GBH∽△OBC，同理解得x＝； ③当HG＝HB，得出∠HGB＝∠HBG＝∠OCB不存在． 所以BE＝3或． 【点睛】此题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，知识涉及的面广，需要多方位思考解决问题，渗透分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市浦东新区上南中学南校九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果两个相似三角形的周长之比为，那么它们对应边之比为（ ） A. B. C. D. 2. 已知中，D、E分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列命题中，真命题的个数有（ ） ①所有的等边三角形都相似； ②所有的直角三角形都相似； ③所有的菱形都相似； ④有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似； ⑤两个全等三角形一定相似； ⑥有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 如图，已知，求作，则下列作图正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点、分别在边、上，平分，，与一定相似的三角形为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，被划分成三部分，则它们的面积比（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 7. 如果，那么的值是________． 8. 已知线段厘米，厘米，则线段a和c的比例中项b是_____厘米． 9. 在的地图上，量得A、B两地之间的距离为，则A、B两地实际距离是____________． 10. 已知点是线段的黄金分割点，厘米，则较长线段长是______厘米． 11. 已知向量与单位向量的方向相反，且长度为2，那么用表示______. 12. 如图，竖立在点B处的标杆长2.1米，某测量工作人员站在D点处，此时人眼睛C与标杆顶端A、树顶端E在同一直线上（点D、B、F也在同一直线上），已知此人眼睛与地面的距离长1.6米，且米，米，求所测量树的高度为_____________米． 13. 在和中，，，，，那么的度数是______． 14. 如图，如果，，，，，那么____________． 15. 如图，中，是斜边上的高，是6，，则上的中线长是____________． 16. 如图，四边形是的内接矩形，，，，则矩形的周长是____________． 17. 如图，中，，如果F是的重心，那么____________． 18. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____． 三、计算题：本大题共2小题，共18分． 19. 已知：且，求的值 20. 如图，点P是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点E，交的延长线于点 （1）求证：； （2）若菱形边长为8，，，求的长． 四、解答题：本题共5小题，共38分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，, ，求证：． 22. 如图，已知平行四边形中，点M、N分别在边、上，对角线分别交、于点E、F，且 （1）求证：； （2）设，，用关于、的线性组合表示． 23. 如图，已知，与相交于点O． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，求的长． 24. 已知，如图，点D为内一点，E、F、G点分别为线段AB、AC、AD上一点，且， （1）求证：； （2）当时，求的值． 25. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC、BD交于点O，点E在AB延长线上，连接CE，AF⊥CE，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于点F、G、H（点F不与点C、E重合）． （1）当点F是线段CE的中点，求GF的长； （2）设BE＝x，OH＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BHG是等腰三角形时，求BE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $