精品解析：浙江省浙北六校2024-2025学年八年级上学期期中学情调研数学试卷

2024学年第一学期浙北六校期中学情调研 八年级数学试题卷 考生须知：全卷分试卷和答卷．试卷共4页，有3大题，24小题，满分100分，考试时间90分钟． 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组长度的线段能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的，两根木条），这样做的依据是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 长方形是轴对称图形 D. 长方形的四个角都是直角 4. 能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（    ） A. B. C. D. 6. 如图，的周长为20，的垂直平分线交于点D、垂足为E，若，则的周长是（ ） A. 17 B. 15 C. 14 D. 12 7. 在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是网格上两个格点，如果点C也是图中的格点，那个使得为等腰三角形的格点C有（　　）个． A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 如图，的面积为，平分，于点P，连结，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，的平分线分别交、于点D、E，、相交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④点F到三边的距离相等；⑤．其中错误的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 12. 如图，已知，请你添加一个条件______，使得．（添一个即可） 13. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为_________． 14. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动，若，则的度数是__________． 15. 如图，三角形的面积为30，与交于点E，且，，则图中阴影部分的面积为__________． 16. 如图，已知，P是内一点，，M、N分别是、上的动点，则的周长的最小值是__________． 三、解答题（本题有8小题，17～22题，每题6分，第23、24题，每题8分，共52分） 17. 如图，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线 ，求∠ADB的度数． 18. 如图，点A，F，C，D在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 已知：如图，，，求证：． 小桐的证明方法如下框： 证明：连结． 在和中， ∵， ∴≌， ∴． 小桐的证明是否正确？若正确，请写出这两个三角形全等的理由；若错误，请写出你的证明过程． 20. 如图，在中，． （1）作的角平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的面积． 21. 如图，是等边三角形，是高线，延长至E，使． （1）求的度数； （2）求证：． 22. 如图，在与中，，，，连接，，且点B在上． （1）求证：； （2）和有何位置关系？请说明理由， 23. 在中，，，，点在边上，且，过点作射线（与在同侧），若动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点的运动时间为．连接、． （1）如图①，求证：当时，； （2）如图②，当，垂足为时，求此时的值． 24. 定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． （1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； （2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； （3）在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期浙北六校期中学情调研 八年级数学试题卷 考生须知：全卷分试卷和答卷．试卷共4页，有3大题，24小题，满分100分，考试时间90分钟． 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列各组长度的线段能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的和与较长线段的大小关系，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选C． 3. 工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的，两根木条），这样做的依据是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 长方形是轴对称图形 D. 长方形的四个角都是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定形，判断即可． 【详解】解：由题意，这样做的依据是：三角形具有稳定性； 故选A． 4. 能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查举反例，根据题意举出一个反例为一个钝角与一个锐角的差不是锐角，进行判断即可． 【详解】解：A、，差是锐角，不符合题意； B、不是钝角，不符合题意； C、，差是锐角，不符合题意； D、，差是钝角，不是是锐角，符合题意； 故选D． 5. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，原来已经有两条对应边相等，射线是两个三角形的公共边，故三边分别对应相等，即可证明，得到，据此可得答案． 【详解】在和中 ， ∴， ∴，即是这个角的平分线， 故选A． 6. 如图，的周长为20，的垂直平分线交于点D、垂足为E，若，则的周长是（ ） A. 17 B. 15 C. 14 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，，根据三角形的周长求出的长，再根据，推出的周长等于，即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D、垂足为E， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵的周长， ∴的周长是； 故选C． 7. 在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是网格上两个格点，如果点C也是图中的格点，那个使得为等腰三角形的格点C有（　　）个． A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】使得为等腰三角形，须分别讨论是以哪个边为腰的等腰三角形，分类讨论． 【详解】解：∵为等腰三角形， 当以为底的时候，没有合适的格点可以使为等腰三角形， 当以为腰的时候，可以分两种情况： 以点A为顶点时，此时有三个格点可以使为等腰三角形， 以点B为顶点时，此时有五个格点可以使为等腰三角形， 如图所示： 所以共有8个格点可以使为等腰三角形， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是根据题意分类讨论，数形结合． 8. 如图，的面积为，平分，于点P，连结，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的中线，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．延长，交于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据三角形的中线性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵平分于点， ∴， ∴， ∴， ， ， 则的面积为， 故选：C． 9. 如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，先求出，进而求出，求出，由三角形内角和定理和即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ，为的平分线， ． 又， ． 是的垂直平分线， ， ， ． 为的平分线，， 直线垂直平分， ， ， 点C沿折叠后与点O重合， ，， ， 在中，， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关知识来分析、判断． 10. 如图，在中，，，的平分线分别交、于点D、E，、相交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④点F到三边的距离相等；⑤．其中错误的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①当是等边三角形时才成立； ②利用三角形的内角和，角平分线的性质以及三角形的外角求出即可； ③当时，，所以③错误； ④根据角平分线上的点到角两边的距离相等可作判断； ⑤作辅助线，证明两对三角形全等：，，可得结论． 【详解】解：①，只有在是等边三角形时才成立，现有条件无法证明是等边三角形，所以①错误； ②， ， 平分，平分， ，， ， ，所以②正确； ③平分 当时， 而原不确定，所以③错误； ④，的平分线分别交、于点，，、相交于点， 为三角形的内心， 点到三边的距离相等正确．所以④正确； ⑤如图，在上截取， 平分， ， ， ． 由②知， ， ， 又平分， ， ． ， ， ，所以⑤正确． 故选B． 【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 可简说成“内错角相等，两直线平行”． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 12. 如图，已知，请你添加一个条件______，使得．（添一个即可） 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键，根据题中，，再添加，，等条件都可证明． 【详解】解： 由题可得：，， 若添加，则根据“”可得； 若添加，则根据“”可得； 若添加，则根据“”可得； 故答案为：（不唯一）． 13. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为_________． 【答案】18或21 【解析】 【分析】分边长为8的边为腰和底两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可． 【详解】解：当8的边长为腰时，三角形的三边长为：8、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为， 当5的边长为腰时，三角形的三边长为：5、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为， ∴这个等腰三角形的周长为18或21． 故答案为：18或21． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行判定是解题的关键． 14. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动，若，则的度数是__________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ， ，， ． 故答案为：． 15. 如图，三角形的面积为30，与交于点E，且，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查图形面积间的等积代换，解答此题的关键是先连接，然后根据三角形面积和线段间比的关系进行分析，进而得出结论． 连接，由，得的面积的面积，的面积的面积．由，得的面积的面积，因此的面积的面积的面积；的面积的面积、进而可求阴影部分面积等于的面积的面积． 【详解】解∶连接， ， 的面积的面积， 的面积的面积． ， 的面积的面积， 的面积的面积的面积； 的面积的面积， 的面积， 阴影部分面积等于的面积的面积； 故答案为：12． 16. 如图，已知，P是内一点，，M、N分别是、上的动点，则的周长的最小值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明是等边三角形是关键． 分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，的周长，然后证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，连，则，，，，，则的周长的最小值， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 的周长， ∴． ∴的周长的最小值是3． 三、解答题（本题有8小题，17～22题，每题6分，第23、24题，每题8分，共52分） 17. 如图，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线 ，求∠ADB的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的性质求出∠CAD的度数，利用三角形内角和求出∠C的度数，再根据三角形外角性质求出答案． 【详解】解：∵AD是△ABC的一条角平分线， ∴, ∵,∠BAC=68°，∠B=36°， ∴, ∴． 【点睛】此题考查三角形角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟记各角度的运算方法是解题的关键． 18. 如图，点A，F，C，D在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴； （2）14 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，推出，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 已知：如图，，，求证：． 小桐的证明方法如下框： 证明：连结． 在和中， ∵， ∴≌， ∴． 小桐的证明是否正确？若正确，请写出这两个三角形全等的理由；若错误，请写出你的证明过程． 【答案】不正确， 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，根据不能判定三角形全等，可知，小桐的证明是错误的，连接，等边对等角，得到，根据，得到，等角对等边，得到即可． 【详解】解：小桐的证明是利用证明三角形全等，而不能判定三角形全等，故小桐的证明不正确． 20. 如图，在中，． （1）作的角平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2）15 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）根据角平分线的性质，得到点到边的距离等于的长，再利用面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设点到的距离为， ∵是的角平分线，， ∴， ∴的面积． 21. 如图，是等边三角形，是高线，延长至E，使． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵是等边三角形，是高线， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质： （1）等边三角形的性质，得到，根据等边对等角结合三角形的外角，求出的度数； （2）根据三线合一，推出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形，是高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 22. 如图，在与中，，，，连接，，且点B在上． （1）求证：； （2）和有何位置关系？请说明理由， 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2） ，理由如下： 设交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质结合8字型图，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在中，，，，点在边上，且，过点作射线（与在同侧），若动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点的运动时间为．连接、． （1）如图①，求证：当时，； （2）如图②，当，垂足为时，求此时的值． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据垂直定义和同角的余角相等得到，进而利用全等三角形的判定“”可得结论； （2）先证明，进而证明，利用全等三角形的性质得到，进而可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 24. 定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． （1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； （2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； （3）在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数． 【答案】（1） 解：如图即为所求： （2） 如图即为所求： （3）的度数为或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，三角形的内角和与三角形的外角性质，解题的关键是数形结合、分类讨论． （1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求； （2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当，时，， ， ， ； 当，时，， ， ； 当时，， ， ， ； 当，时，，， ， ， 此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意； 综上所述，的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $