河南省商开大联考2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题

商开大联考2022一2023学年上学期期中考试·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1.C设直线1的倾斜角为0，则m0=6=25=一3，又9E[0,x),所以0-2票故选C 4-5 2A椭圆后+苦-1中-16，份-8，所以C-。-8-8,所以焦点坐标是(2反.0).(-22.0).放选入 3.B因为a⊥b,所以a·b=0,所以m一8十2(2m一1)=0，解得m=2.故选B 4.A因为圆心为（一2,3）的圆与直线x一y十1=0相切，所以r=d=一2-3+山=22，所以该圆的标准方程是 w√2 (x十2)2十(y-3)2=8.故选A 5.D直线4r一5y+10=0与坐标轴的交点为(-号，0小，(0,2)，当抛物线的焦点为(-号.0)时，其标准方程为了= 一10.x:当抛物线的焦点为(0,2)时，其标准方程为.x2=8y.故选D. 6.B因为4⊥l4,所以2×3+(-1)×a=0,解得a=6,因为b2∥1，所以3×2=ab.解得b=1,此时g,不重合，所以b =1.因此a-b=5.故选B. 7.D设公转轨道的长半轴长为a(万千米)，半焦距为c(万千米)，由题意知a十c=15210,a-c=14710,所以a=14960, =250,所以离心率一00-部6故选D 8.C在双曲线C中，a=3,b=√7，c=√a+F=4,F1(-4,0),F2(4,0),设A(6),因为FALF2A,所以x十 16,又号一兰=1，所以为=土子，即点A到x轴的距离为子故选C 9.B以点D为原点，DA,DC,DD分别为x轴、y轴、：轴建立空间直角坐标系，设AB=3,则D(0,0,0),B(3,3,0), E(0,3,1),A(3,0,3),所以D=(3,3,0),D元=(0,3,1)，AB=(0,3,-3),设平面BDE的法向量为m=(x,y,),则 m·Di=0,n13x+3y=0, 即 m·DE=0,3y十=0， 令x=1,则y=-1,z=3,所以m=(1,-一1,3)是平面BDE的一个法向量，设直线AB与 平面BDE所成角为0，所以sim0=cos(AB.m 万云=22.故选B 3v2X√1T 10.A设圆C的半径为r,则由题意得（一3）2+(7)2=2，解得r=4,所以圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=16.由 圆C上恰好有4个不同的点到直线l:y=x的距离为3，可知圆心到直线4y=kx的距离d<4一3=1，即2士3一 √1+k 1.所以3+12+8<0，解得-2-25<-2+2.所以长的取值范围为(-2-2写，-2+2号)，放选N 3 1L.C以O为原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系如图所示，则B(60.0),直线OA的方 程为y=是，直线AB的方程为y=3(r一60)，所以A(80,60).由题意，设Ca,60) （4<80),则CA=|80-a=60,解得a=20,即C(20,60),点E在圆(x-20)+(y-60)21 =400内（含边界），设点E,C到0A的距离分别为d,d,则d-20≤dKd6+20,又d山=180 B 50 =36,所以16≤d≤56，即E到OA的距离的取值范围是[16,56们.故选C. 12A双线C号-芳=1(o>0,6>0)的渐近线方程为y=士台，不妨设P(国，-合)，Q(,女)，F(c,0 (c-1=3(x2-c),x1=2c, 币-(-合-(-c,）由币-3得么弘 q y. 解得。2c又点F到直线r十y =3 【高二上学期期中考试·数学参考答案第1页（共4页）】 =0的距离1EF==6,0F=,所以1OE=VP-下=-a,则0Q=0E=a,又Q(答，瓷).所以 a 10Q-√（停）+（给）-需所以号-a,即。=25，名-号.所以双曲线C的渐近线方程为y=±号 x故 选A 13.-15圆C,C2的圆心分别为C(0,0),C(2,4),半径分别是n=√5，=√20+m,因为圆C,C外切，所以 |CC2=n十r2,即25=√5+20十m,解得m=-15. 1426 3 由题意，AB=(-1,2,0),AC=(-1,0,2),AD=(0,2,2),设平面ABC的一个法向量为m=(x,y,),则 AB·m=0, -x+2y=0, 即 AC.m=0. 一x十2x=0, 令x=2,则m=(2,11D,设点D到平面ABC的距离为，则6=市：ml=4 m√石 -26 31 16菁-苦-1x≠士2)由题意知A(-20,B2.0.设直线1为x=≠士2，B0.F) M,由A,E.M三点共线及B.FM三点共线，得中2十2产2一气两式相乘化简，得兰 又导+学=1，所以兰产：即听苦-1，义广-≠0，即≠士2所以点M的镜连方程为 若-苦=1时士2》 x2=8y, 16.88抛物线x2=8y的焦点坐标为(0,2)，设直线PQ的方程为y=k1x+2,由 得2-8kx-16=0,设 y=k1x+2 P(y),Q(x),所以1+x=8k,=-16,|PQ=√1+|五一|=√1十k·√(+2)-4x 1+√64k+64=8(1+),同理可得|MN|=8(1+号)，所以|PQ+|MN|=16+8(+k始)=16+ 8c好+)（信+是）-56+8（会+特）≥36+16√停·语-8，当且仅当5-2附-6时，等号成立.所以PQ+ MN|的最小值为88. x+3y+5=0, 17.解：(1)由已知，得 解得两直线交点为(1，一2)， …2分 3x-2y-7=0. 设直线1的斜率为k,因为直线1与x一y十5=0垂直，所以k×1=一1，解得k=一1，…4分 所以直线1的方程为y十2=一（x一1)，即x十y十1=0.…5分 (-2)2+(-b)2=产， (2)设圆C的标准方程为x2十(y一b)=r(<0),则由题意，得 解得b=一3或b=5(舍去)，… …8分 所以r-√I3,所以圆C的标准方程为x+(y十3)2=13. …10分 18解：1)由题意，双尚线C:后一苦-1。>0，>0的渐近线为y=士号，所以会- …2分 所以双线G的离心率=台-√+（公）= …5分 (2)抛物线C:心=2py的准线方程为1：y=一号，所以PF=2+号=3，解得p=2,所以C的方程为产=4，焦点 为F(0,1).… …8分 【高二上学期期中考试·数学参考答案第2页（共4页）】 少三22海A-69),B6.9,所以B=2.直线AB的方程为=9， 由 10分 x2=4y, 所以点F到直线AB的距离为8，所以△AFB的面积为S=号×12×8=48.… 12分 19.(1)证明：由题意知a·b=0,a·c=2,b·c=2,B武=-A亦+AC=一a十b,因为D为B,C的中点，所以AD= 合(AC+A)=2(Ai+AC+Ai=名(AB+AC-M)=号(a叶b-c).…3分 AD.-号(a+b-c)·(-a+b)=号(-g+ac+6-bc)=(-4+2+4-2)=0,所以A市1元，即 AD⊥BC. ……6分 (2)解：AC=b计c,BC--a+b-c,AC.BC--a·b+形-b·c-a·c+b…c-e--2,|AC|-+c+2b·c- 23,1BC=√a+b+c-2a…b-2b…c+2a…c=2W3,… …9分 设AG与B,C所成角为0，则cos0=|os(AC,BC1=AC,Bg-1 6 12分 IACBCI 20.()解：抛物线C:y=2px的焦点为F(专，0) 因为OP=PF,所以点P的横坐标为x=是，代人抛物线方程，得P(2,士2） …2分 又△OFP的面积为号，所以号×号×变号又p>0,解得p=2, 2 2 2 所以抛物线C的方程为y=4江.……5分 (2)证明：设直线1的方程为，x=my十n(m≠0)，A(为)，B(,), y=4x, 由 得y-4my-4n=0,△=16m2+16n>0,即m+n>0, x=my十n, 所以1十w=4m,y2=一4n. …7分 因为直线AQ.Q关于x轴对称，所以k十k如一牛十并2-0，即m十n干2十m平n干20，化简，得2mn 12 十(n十2)(y十y)=0,所以一8m十4m(n十2)=0，所以n=2,…10分 所以直线1的方程为x=my十2，恒过定点(2,0)，…12分 21.I)证明：取MA的中点G,连接FG,DG,因为点F是棱BM的中点所以FG∥AB,FG=号AB…1分 因为四边形ABCD为矩形，E是棱DC的中点，所以DE∥AB,DE=之AB,所以DE∥FG,DE=FG,所以四边形 DEFG为平行四边形，所以EF∥DG,…… …2分 又DGC平面MAD,EF吐平面MAD,所以EF∥平面MAD.… …4分 (2)解：取AD,BC的中点分别为O,O,连接MO,,,因为△MAD为正三角形，所以MO⊥ AD.又平面MAD⊥平面ABCD.平面MAD∩平面ABCD=AD,MOC平面MAD,所以MOL 平面ABCD,又OOC平面ABCD,所以MO⊥OO. 因为O.O分别为AD,BC的中点，四边形ABCD为矩形，所以OO⊥AD.…6分 以O为坐标原点，OA,O,OM的方向分别为x轴，y轴，x轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则A(1,0,0), B14.0.C-140.D-10.0,M(0.03).E-1.20,F(32,） 所以M=(-1,2-3),成-（号，0号）A=(-2,20. …7分 【高二上学期期中考试·数学参考答案第3页（共4页）】 M正.m=0, -x+2y-3x=0, 设平面MEF的一个法向量为m=(x,y,~),则 即 E求，m=0, 3 令x=1.则m=(1,-1,-√3)， …8分 AE·n=0, -2a+2b=0, 设平面AEF的一个法向量为n=(a,b,c),则 即 令a=1,则n=(1,1,-3),…9分 EF.n=0. 设平面MEF与平面AEF的夹角为0，所以cos0=|cos(m,m|=Tm·n=亏， m·n3 即平面MEF与平面AEF的夹角的余弦值为子. 12分 2.解：1)因为点A(0v2)且直线AF,的倾斜角为至， 所以直线AF的方程为y=x十√2，所以F(一√2,0)即c=√2，… …2分 又原点O到直线AF,的距商是1=号-名，所以a=2,所以公=心-C=2。 所以椭圆C的方程为号十号-1. …4分 (2)由题意知，直线1的斜率存在且不为0，设直线1的方程为y=kx十n(k>0,m>0),则直线PQ的方程为y +号 消去y.化简得(22+1).x2+4kmx+2m2-4=0. y=kx十m, 因为直线1与椭圆C相切，所以△=0，即(4km)一4(2k+1)(2m2-4)=0, 化简，得㎡=状+2，且切点为M(一货名)人 …6分 联立 消去y得(k+2)2-4k=0,解得x=±一2染 √k2+2 y=- kx, 所以P()o》 …7分 因为O为PQ的中点，所以△PMO与△QMO的面积相等， 又5aw0=品San0,所以Saw0=是Sae,所以Saw0=号SMN,即地=-号 2M…9分 所以二2 49 √k+2 义㎡=4+2.所以千2号2解得发=号 9 7 因为>0m>0,所以k=m3平，放直线1的方程为y=不+3平 7 7 …12分 【高二上学期期中考试·数学参考答案第4页（共4页）】2022-2023学年上学期期中考试 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答 题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在 答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题 卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知直线1经过A(4,2√3)，B(53)两点，则1的倾斜角为 A晋 B晋 c等 n 2椭圆后+苦-1的焦点坐标是 A.(22,0),（-22,0) B.(0,22),(0,-22) C.(23,0),(-25,0) D.(0,23),(0.-23) 3.已知向量a=(一1,4,2)，b=(-m,一2,2m一1)，若a⊥b,则实数m的值为 A.-2 B.2 C.-1 D.1 4.已知圆心为（一2,3）的圆与直线x一y十1=0相切，则该圆的标准方程是 A.(x+2)2+(y-3)2=8 B.(.x-2)2+(y十3)=8 C.(x+2)2+(y-3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=18 5.以坐标轴为对称轴，焦点在直线4x一5y十10=0上的抛物线的标准方程为 A.x2=10y或y2=-8x B.x2=-10y或y2=8x C.y2=10x或x2=-8y D.y2=-10.x或x2=8)y 6.已知直线l4:2x-y十1=0,2：3.x十ay十7=0,3：hx十2y-1=0,若4⊥2且l2∥1g,则a-b的值为 A.-5 B.5 C.-7 D.7 【高二上学期期中考试·数学第1页（共4页）】 7.2022年10月9日7时43分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁型运载火箭，成功将先进天基 太阳天文台“夸父一号”发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功.该卫星是我国综合 性太阳探测卫星，将聚焦太阳磁场、太阳耀斑和日冕物质抛射的观测，开启我国综合性太阳探测时代， 实现我国天基太阳探测卫星跨越式突破.“夸父一号”随着地球绕太阳公转，其公转轨道可以看作是一 个椭圆，若我们将太阳看做一个点，则太阳是这个椭圆的一个焦点，“夸父一号”离太阳的最远距离为 15210万千米，最近距离为14710万千米，则“夸父一号”的公转轨道的离心率为 A R c高 25 D.1496 8已知，B分别是双曲线C:号-号-1的左右焦点，点A是双偏线C上一点，且FALFA,则点A 到x轴的距离为 入警 B3v②3 4 c n号 .如图，在正方体ABCD-A,BCD,中，E为棱CC上一点且CE=CC,则直线 A:B与平面BDE所成角的正弦值为 A B222 11 c n是 10.已知圆C的圆心为(2，一3)，且截x轴所得弦长为2√7，若圆C上恰好有4个不同的点到直线1：y= kx的距离为3，则实数k的取值范围是 A(-2-25-2+2y) 3 &(0,号) c2-25.2+2 3 11.中国人民解放军于北京时间2022年8月4日12时至7日12时在台湾岛周边的六个海空域进行了 重要军事演训行动，并组织实弹射击.人民解放军某团在某岛进行军事演练，如图，O,A,B是岛上三 个军事基地，C为一个军事要塞，其中B在O的正东方向，C在OB的北方，在AB的西方.已知 tam∠AOB=},an∠0BA=-3,OB=60km,且C到OB的距离为60km, CA=60km.在以要塞C为圆心，半径为20km的圆内（含边界）有一个移动雷达 车E,则E到AO的距离的取值范围是 A.[20,60] B.[18,54] C.[16,56] D.[32,112] 12已知双周线C:导一芳-1(a>0,6>0)的右焦点为F,过点F的直线与两条渐近线的交点分别为P, Q两点，且PF=3F夜，又过点F作FE⊥OP于E(点O为坐标原点)，且OQ=|OE,则双曲线C 的渐近线方程为 Ay= 2 B.y=士√2x D.y=士2.x 【高二上学期期中考试·数学第2页（共4页）】 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若圆C:x2+y2=5与圆C2:.x2+y2一4x一8y一m=0外切，则m= 14.在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),D(1,2,2),则点D到平面ABC 的距离为 15,已知椭圆C的方程为+兰-1，其左右顶点分别为A,B,一条垂直于x轴的直线1交椭圆C于E, F两点，直线AE与直线BF相交于点M,则点M的轨迹方程为 16.过抛物线C:x2=8y的焦点F作直线PQ,MN分别与抛物线C交于P,Q和M,N,若直线PQ,MN 的斜率分别为1，，且满足房十待=1，则PQ+MN的最小值为 三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分10分) 已知直线I经过直线x十3y十5=0和3x-2y一7=0的交点，且与直线x一y十5=0垂直. (1)求直线1的方程； (2)若圆C过点（一2,0），且圆心C在y轴的负半轴上，直线1被圆C所截得的弦长为2√11，求圆C 的标准方程. 18.(本小题满分12分) 已知双曲线C:后-芳=1(a>0.6>0)的渐近线为y=土号，抛物线C:2=2py的焦点为R,点 P(x4,2)在抛物线C2上，且PF=3,抛物线C2交双曲线C的两条渐近线于O,A,B三点. (1)求双曲线C的离心率： (2)求△AFB的面积 19.(本不题满分12分) 如图，已知三棱柱ABC-A,B,C中，AB=AC=AA1=2,AB⊥AC,∠AAB=∠AAC=60°，设AB a.AC=b,AA=c. (1)若D为B1C的中点，求证：AD⊥BC: (2)求异面直线AC与BC所成角的余弦值， 【高二上学期期中考试·数学第3页（共4页）】 20.(本小题满分12分) 已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,P为抛物线上一点，|OP|=|PF|,且△OFP的面积为 受，其中0为坐标原点 (1)求抛物线C的方程； (2)已知点Q(一2,0)，不垂直于x轴的直线l与抛物线C交于A,B两点，若直线AQ,BQ关于x轴 对称，求证：直线1过定点并写出定点坐标. 21.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥M-ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=2AD=4,△MAD为正三角形，平面MAD ⊥平面ABCD,E,F分别是棱DC,BM的中点. (1)求证：EF∥平面MAD: (2)求平面MEF与平面AEF的夹角的余弦值. 22.(本小题满分12分) 已知椭圆C后+若-1(a>6>0)的左，右焦点分别为F,F,点A(02),直线AF,的倾斜角为子， 原点O到直线AF,的距离是74 (1)求椭圆C的标准方程： (2)已知直线（与椭圆C相切，切点M在第二象限，过点O作直线l的垂线，交椭圆C于P,Q两点（点 P在第二象限)，直线MQ交x轴于点N,若Sw0=品SaMe·求直线1的方程， 【高二上学期期中考试·数学第4页（共4页）】