对数的概念与运算常见题型总结训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

对数的概念与运算常见题型总结 题型一：对数的概念 1. 在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2. 使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 3. 有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 4. （多选）下列选项中错误的是（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以10为底的对数叫做自然对数 D．以e为底的对数叫做常用对数 5. （多选）对于a＞0，且a≠1，下列说法错误的是(　　) A．若M＝N，则logaM＝logaN B．若logaM＝logaN，则M＝N C．若logaM2＝logaN2，则M＝N D．若M＝N，则logaM2＝logaN2 6. 若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 7. 使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：指数式与对数式的互化 1. 若a>0，且a≠1，c>0，则将ab＝c化成对数式为(　　) A．logab＝c B．logac＝b C．logbc＝a D．logca＝b 2. 将化为对数式正确的是（    ） A． B． C． D． 3. 将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 4. 下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5. 已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n＝(　　) A．3 B． C．9 D． 6. 已知，，则 ． 7. 十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数，直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)，现在已知a＝log48，b＝log24，则4a＝________，a＋b＝________．(用最简结果作答) 8. 将下列指数式、对数式互化. (1)； (2)； (3)； (4). 9. 将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型三：对数的运算性质 1. 若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 2. 设，，则（　　） A． B． C． D． 3. 计算log525×log2＝________． 4. 计算100lg 9－lg 2＝________． 5. . 6. 计算： . 7. 化简下列各式： (1)； (2). 8. 计算下列各式的值； (1)； (2) 9. 已知，． (1)求，； (2)若，求x的值． 题型四：换底公式 1. 已知，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知，，用a，b表示为（    ） A． B． C． D． 3. 若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 4. 下列等式正确的是（    ） A． B． 5. 化简 . 6. 若，，则 . 7. 计算： (1)； (2)． 8. 设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 9. 已知． (1)分别求和； (2)若，且，求． 题型五：对数的实际应用 1. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）（附：） A. 22% B. 33% C. 44% D. 55% 2. 今年月日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上;有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时,;若时,.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要（    ）（参考数据:） A．年 B．年 C．年 D．年 3. 二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（    ）（参考数据：） A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年 4. 由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：，，. A. 2023年 B. 2024年 C. 2025年 D. 2026年 5. （多选）音乐是由不同频率的声音组成的，若音1（do）的频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中相邻两个音的频率比（后一个音比前一个音的比）是一个音到另一个音的音阶，上述音阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则下列关系式成立的是（参考数据：，）（     ） A． B． C． D． 6. （多选）声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），下列选项中正确的是（    ） A．闻阈的声强级为 B．此歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：） C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍 D．声强级增加，则声强变为原来的10倍 学科网（北京）股份有限公司 $$ 对数的概念与运算常见题型总结 参考答案 题型一：对数的概念 1. 在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【解析】B由对数的定义可知， 解得，且. 2. 使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【解析】C由式子有意义，则满足，解得且. 3. 有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】C根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确. 4. （多选）下列选项中错误的是（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以10为底的对数叫做自然对数 D．以e为底的对数叫做常用对数 【解析】BCD对于A：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A正确； 对于B：只有符合，且，才有，故B错误； 对于C：以10为底的对数叫做常用对数，故C错误； 对于D：以e为底的对数叫做自然对数，故D错误.故选：BCD. 5. （多选）对于a＞0，且a≠1，下列说法错误的是(　　) A．若M＝N，则logaM＝logaN B．若logaM＝logaN，则M＝N C．若logaM2＝logaN2，则M＝N D．若M＝N，则logaM2＝logaN2 【解析】ACDA中若M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立；B正确；C中M与N也可能互为相反数；D中当M＝N＝0时不正确． 6. 若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 【解析】根据真数大于0得，解得. 7. 使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】D 要使式子有意义， 则，即， 解得或， 所以x的取值范围是. 题型二：指数式与对数式的互化 1. 若a>0，且a≠1，c>0，则将ab＝c化成对数式为(　　) A．logab＝c B．logac＝b C．logbc＝a D．logca＝b 【解析】B 由对数的定义直接可得logac＝b. 2. 将化为对数式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】B 化为对数式为. 3. 将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【解析】A把对数式化成指数式，为． 4. 下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解析】C 根据指数式与对数式互化可知： 对于选项A：等价于，故A正确； 对于选项B：等价于，故B正确； 对于选项C：等价于，故C错误； 对于选项D：等价于，故D正确. 5. 已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n＝(　　) A．3 B． C．9 D． 【解析】D 由已知得am＝，an＝3， 所以am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝×32＝. 6. 已知，，则 ． 【解析】因为，， 所以，. 7. 十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数，直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)，现在已知a＝log48，b＝log24，则4a＝________，a＋b＝________．(用最简结果作答) 【解析】因为a＝log48，则4a＝8，即22a＝23，所以2a＝3，所以a＝，因为b＝log24，所以2b＝4，即2b＝22，所以b＝2，所以a＋b＝. 8. 将下列指数式、对数式互化. (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）由，得； （2）由，得； （3）由，得； （4）由，得. 9. 将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【解析】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 题型三：对数的运算性质 1. 若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 【解析】D由对数运算性质可得. 2. 设，，则（　　） A． B． C． D． 【解析】A ，，则 ， 即. 3. 计算log525×log2＝________． 【解析】设log525＝x，则5x＝25＝52，所以x＝2. 设log2＝y，则2y＝＝2－4，所以y＝－4. 所以log525·log2＝－8. 4. 计算100lg 9－lg 2＝________． 【解析】100lg 9－lg 2＝＝＝. 5. . 【解析】因为. 6. 计算： . 【解析】 . 7. 化简下列各式： (1)； (2). 【解析】（1）原式. （2）原式 . 8. 计算下列各式的值； (1)； (2) 【解析】（1）. （2） 9. 已知，． (1)求，； (2)若，求x的值． 【解析】（1）, ； ． （2）， 所以． 题型四：换底公式 1. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【解析】B . 2. 已知，，用a，b表示为（    ） A． B． C． D． 【解析】C因为，所以， . 3. 若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【解析】A 由， 所以 4. 下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】A对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，由，所以C错误； 对于D中，由，所以D错误． 5. 化简 . 【解析】原式 . 6. 若，，则 . 【解析】因为，，所以，， 所以，， 因此，. 7. 计算： (1)； (2)． 【解析】（1） ； （2） . 8. 设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【解析】（1）因为，所以命题得证. （2）因为，所以命题得证. （3）因为，所以， 故，即的值为. 9. 已知． (1)分别求和； (2)若，且，求． 【解析】（1）. ， 所以； （2）由，得，且，则 故，所以. 题型五：对数的实际应用 1. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）（附：） A. 22% B. 33% C. 44% D. 55% 【解析】C 由题意可知：大约增加了 . 2. 今年月日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上;有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时,;若时,.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要（    ）（参考数据:） A．年 B．年 C．年 D．年 【解析】B 由题意得:,解得, 所以, 当时,得,即, 两边取对数得, 所以, 即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要年. 3. 二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（    ）（参考数据：） A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年 【解析】A 由题意大约可以用万年， 则 ， 所以，即大约可以用万年. 4. 由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：，，. A. 2023年 B. 2024年 C. 2025年 D. 2026年 【解析】D 设2020年后第年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元， 由得， 两边同取常用对数，得，所以， 所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元. 5. （多选）音乐是由不同频率的声音组成的，若音1（do）的频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中相邻两个音的频率比（后一个音比前一个音的比）是一个音到另一个音的音阶，上述音阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则下列关系式成立的是（参考数据：，）（     ） A． B． C． D． 【解析】CD 由题意可知，相邻两个音的频率比分别为，，，，，，所以，， 对于A，，所以故A错误， 对于B，，所以B错误， 对于C，，故C正确． 对于D，，故D正确． 6. （多选）声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），下列选项中正确的是（    ） A．闻阈的声强级为 B．此歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：） C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍 D．声强级增加，则声强变为原来的10倍 【解析】BD 由题意，，则， 所以， 当时，，故A错误； 当时，即，则，当时，即，则， 故歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：），故B正确； 将声强为对应的声强级作商为，故C错误； 将，对应声强作商为，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $$