24.1.3 弧、弦、圆心角（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第24章 圆 九年级数学上册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 24.1.3 弧、弦、圆心角 BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 现象一：一块圆形的蛋糕，糕点师只要过圆心点在互相垂直的两个方向上切两刀，不管糕点师站在哪里，分成的四块一定是均等的. 这个现象跟圆的哪个性质有关？ 现象二：机械式闹钟上钟时，每次只要转动发条上的钟钮 180°时，看上去跟没转动以前是一个样的.这个现象跟圆的哪个性质有关？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？ O A B O C D O E F O G H 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆心角 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. ① ② ③ ④ 圆内角 圆外角 圆周角（后面会学到） 圆心角 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 任意给圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弧 弦 思考：圆心角、弧、弦之间有什么关系？ O A B 圆心角 ∠AOB 所对的弦为 AB. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为 . BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 把圆绕圆心旋转任意的一个角度呢？ 剪一个圆形纸片，绕着圆心旋转180°，你发现了什么？ 你能得到什么结论？ O 180° 圆心就是它的对称中心. 圆是中心对称图形， O 30° 60° 120° 210° 所得的图形与原图形完全重合. 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形完全重合. BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线. 圆是中心对称图形， 对称中心为圆心. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：如图，在⊙O中，当圆心角∠AOB= ∠A'OB'时，它们所对的弧AB与A'B'，弦AB与弦A'B'相等吗？为什么？ O B' A B A' 由圆的旋转不变性，我们发现： 在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'， 那么弧AB与A'B'_______， 弦AB与弦A'B'_______. 相等 相等 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 事实上，我们把∠AOB连同AB绕圆心O旋转，使射线OA与OA'重合. O B' A B A' ∵∠AOB= ∠A'OB' ∴射线OB与OB'重合 ∵OA=OA',OB=OB' ∴点A与A'重合，点B与B'重合 因此点AB与A'B'重合，AB与A'B'重合 ） ） ∴AB=A'B' ） ） AB=A'B' BY YUSHEN BY YUSHEN 弧、弦与圆心角的关系定理 新知探究 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． ①∠AOB = ∠COD ③ AB = CD A B O D C ② BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 两个圆心角 两条弦 两条弧 知一求二 弧、弦、圆心角之间的关系 1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 3.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. BY YUSHEN BY YUSHEN 在同圆或等圆中 新知探究 圆心角相等 一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧. 弧相等 弦相等 关系 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 圆心角 弦、弧、圆心角的关系定理 在同圆或等圆中 顶点在圆心的角 应用提醒 ①要注意前提条件； ②要灵活转化. 圆心角 相等 弧 相等 弦 相等 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 在同圆中，下列四个命题： ①圆心角是顶点在圆心的角； ②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等； ③两条弦相等，它们所对的弧也相等； ④等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（ ） A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.②④ B BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么___________，________________． （2）如果 ，那么_________________，_____________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________． · C A B D E F O AB=CD AB=CD AB=CD ( ( ∠AOB= ∠COD ∠AOB= ∠COD AB=CD ( ( AB=CD ( ( BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ · C A B D E F O 解：OE=OF. 理由如下： BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD=BC，则AB与CD的大小关系为（ ） A.AB＞CD B.AB=CD C.AB＜CD D.不能确定 B BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 如图，在⊙O中： (1)若∠AOC=∠BOC，BC=5，则AC= . (2)若AC=BC，∠BOC=70°，则∠AOC= . C O A B · 5 70° 在同圆或等圆中，圆心角相等，则它们所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，弦相等，则它们所对圆心角的也相等. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图，在⊙O中， ，∠C75°，求∠A的度数. A O B C · 解：∵ ∴ABAC，△ABC是等腰三角形 又∵∠C75° ∴ ∠B∠C75° ∴∠A=180°(∠B∠C) =30° BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦， 且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数． 解：由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等， 连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC， ∵AB是直径， ∴∠BOD＝ ×180°＝120° BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 如图，AB，CD是⊙O的弦，M、N分别为AB、CD的中点且∠AMN=∠CNM，求证：AB=CD. 证明：∵M、N为AB，CD中点， ∴OM⊥AB，ON⊥CD. ∵ ∠AMN=∠CNM， ∴ ∠OMN=∠ONM. ∴OM=ON. 连接OB、OD，则OB=OD， ∴Rt△OMB≌Rt△OND(HL), ∴BM=DN， ∴AB=CD. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 如图，点O为半圆的圆心，C，D为半圆上的三等分点，AB为直径，则下列说法： ①AD=CD=BC； ②∠AOD=∠DOC=∠BOC； ③AD=CD=BC； ④△AOD沿OD翻折能与△COD重合. 其中正确的有___________.（填序号） ） ） ） ①②③④ △AOD,△COD, △BOC均为正三角形 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 ∴AC∥OD. 如图，AB是⊙O的直径，若BD=CD.求证：AC∥OD. ） 证明：连接OC. ∴∠BOD=∠COD. ∵OA=OC， ∵BD=CD， ） ） ∴∠A=∠C. ∵∠COB=∠A+∠C=∠COD+∠BOD， ∴∠A=∠C=∠COD=∠BOD， ） ） BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例8 如图，在⊙O中， = ，∠ACB=60°. (1)求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC； 解：(1)因为= ， 所以AB=AC. 又∠ACB=60° ， 所以△ABC是等边三角形， 所以AB=BC=CA， 所以∠AOB=∠BOC=∠AOC. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例8 如图，在⊙O中， = ，∠ACB=60°. (2)若D是的中点，求证：四边形OADB是菱形. 解： (2)连接OD，如图. 因为D是的中点，所以 AD= BD， 所以∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°. 又OD=OA，OD=OB， 所以△OAD和△OBD都是等边三角形， 所以OA=AD=OD，OB=BD=OD， 所以OA=AD=DB=BO，所以四边形OADB是菱形. BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 弧、弦、圆心角 弧、弦、圆心角之间的关系 圆心角 顶点在圆心的角,叫圆心角. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等,那么它们所对应的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，所对的弦相等． BY YUSHEN BY YUSHEN 2.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1=∠2，则下列结论中正确的有（ ） ①AB=CD；②BD=AC；③AC=BD；④∠BOD=∠AOC. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 当堂检测 1.下列图形中表示的角是圆心角的是（ ） A ） ） ） ） D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 4.如图，已知⊙O的半径OA=5 cm，弦CD=5 cm，则弦CD所对的圆心角的度数为_________. 60° 5.如图，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则AC与BC的大小关系是________. AC=BC BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 6.如图，AB为⊙O的弦，点C，D为弦AB上的两点，且OC=OD，延长OC，OD分别交⊙O于点E，F. 求证：AE=BF. ） ） 即∠AOE=∠BOF， 证明：∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC. 又∵OA=OB， ∴∠OAC=∠OBD， ∴∠OCD-∠OAC=∠ODC-∠OBD， ∴∠AOC=∠BOD， ∴AE=BF. ） ） BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7. 如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点P，且ABCD， 求证：ACBD. 证明：∵ABCD， ∴ 又∵ ， ∴ ∴ ACBD A O B C · D P BY YUSHEN BY YUSHEN $$