2024—2025学年人教版数学九年级上册期中复习训练

2024——2025学年九年级数学（上册）期中测试题 一、单选题 1．下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的弦，延长线交过点的的切线于点，如果，则为（　　） A． B． C． D． 3．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．已知“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 4．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺10寸）．这根圆柱形木材的直径是（    ） A．6寸 B．寸 C．13寸 D．26寸 5．已知二次函数的图象经过点，且，则下列结论中正确的是（   ）A．， B．， C．， D．， 6．已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为（  ）A．或 B．或 C．或 D．或 7．如图，直角中，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是（   ）A． B． C． D．3 8．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（    ）A． B． C． D． 9．如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（   ） A．B．C． D． 10．如图，在中，，点D是平面内的一动点，且为的中点，在点D运动的过程中，线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是 ． 12．如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ． 13．将抛物线先向上平移3个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线解析式为 ． 14．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶时间（单位：s）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进了 ． 15．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且的延长线交于E，若，则的度数是 ． 16．如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长 ． 17．定义：若点A在某一个函数图象上，且点A的横纵坐标相等，称点A为这个函数的“美丽点”．若关于x的二次函数，当时有两个“美丽点”，则t的取值范围为 ． 18．如图，是的直径，C是上的一动点，以为边在其左侧作正方形，连接，则的最大值为 ． 三、解答题 19．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）. (1)画出关于点O中心对称的； (2)将绕点C顺时针旋转，画出旋转后的； (3)在（2）条件下，直接写出旋转过程中点B留下的路径长为 . 20．已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直接写出关于x的不等式的解集． 21．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 22．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)若点，均在该抛物线上，且，求点横坐标的取值范围． 23．如图，已知中，． (1)作一个圆，使圆心O在边上，且与所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求（1）中所作的的半径． 24．如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连接，，．延长，相交于点． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点， ，与y轴交于点C， 作直线， 点P 是抛物线上一个动点（点P不与点B，C 重合）， 连接，，以， 为边作平行四边形， 设平行四边形的面积为S，点P的横坐标为m． (1)求抛物线函数解析式； (2)当点P在第四象限，且时， 求点 P 坐标． (3)①求S与m之间的函数关系式． ②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况． 26．如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接，求证：． [初步探索]．小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： 根据小明的思路，若圆的半径为5，则的最大值为 ． [类比迁移]．如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接，若圆的半径为5，求周长的最大值． [拓展延伸]．如图3所示，等腰，点在圆上，，圆的半径为5，连接，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024——2025学年九年级数学（上册）期中测试题 一、单选题 1．下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心对称图形的识别，熟知中心对称图形定义：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2．如图，是的弦，延长线交过点的的切线于点，如果，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质．直接利用切线的性质得出度数，再利用等腰三角形的性质得出度数． 【详解】解：连接， 的延长线交过点的的切线于点， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．已知“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，把代入求解时间即可． 【详解】解：∵， 当时， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴“水火箭”升空的时间为， 故选：C． 4．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺10寸）．这根圆柱形木材的直径是（    ） A．6寸 B．寸 C．13寸 D．26寸 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得，由垂径定理可得，设半径，则，然后根据勾股定理列出方程解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， 是的半径， 设半径 则 在中：，即 解得： 木材的直径为寸 故选：D． 5．已知二次函数的图象经过点，且，则下列结论中正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系．根据二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：由题意得，， 将代入得，， ∴， ∵， ∴，， 故选：D． 6．已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键； 根据题意分两种情况讨论，当时，，解得；当时，在，，解得，即可求解； 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， 的最小值为， ， ， 当时，在，当时，函数有最小值， ， 解得； 综上所述：的值为或， 故选：B 7．如图，直角中，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点为点，连接，过点作，垂足为，在直角中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取的中点为点，连接，过点作，垂足为， ， ，，， ，， 点是的中点， ， ， 由旋转得：，， ， ， ， ， ， ， 当时，即当点和点重合时，有最小值，且最小值为3， 长的最小值是3， 故选：D 8．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，经过第2026次旋转后，顶点D在的位置，先求出点的坐标，再证明即可． 【详解】解：连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，    在正六边形中，，， ， ， 将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转， ，即8次旋转一周， 余2， ， 故经过第2026次旋转后，顶点D在的位置， ， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 9．如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分两种情况讨论，首先证明出重合部分为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：当时，设，交于点M，过点M作于点N，如图所示， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 由平移得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分， ∴当时，； （2）当时，设，交于点P，过点P作于点Q，如图所示， 同理可得是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分， 即只有C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质与二次函数的图象与性质是解题的关键． 10．如图，在中，，点D是平面内的一动点，且为的中点，在点D运动的过程中，线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．作的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，然后在中根据三边关系即可求解． 【详解】解：作的中点，连接、． 在直角中，， 是直角斜边上的中点， ． 是的中点，是的中点， ． 在中，， 即． 故选：B 二、填空题 11．如图，圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，圆锥的侧面积，根据勾股定理先求解，再结合侧面积公式：，（为底面圆半径，为弧长），从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴圆锥侧面积：， 故答案为： 12．如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，先连接，根据旋转的性质得是等边三角形，再根据勾股定理求得，进而得出答案． 【详解】如图所示，连接， 根据旋转的性质得，， ∵， ∴是等边三角形， ∴, ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 13．将抛物线先向上平移3个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键．根据“上加下减，左加右减”求出新抛物线解析式，再改为一般式即可． 【详解】解：先将抛物线先向上平移3个单位，得到的新抛物线解析式为， 再向左平移3个单位后，得到的新抛物线解析式为． 故答案为： . 14．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶时间（单位：s）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进了 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数的解析式得出其顶点式，再利用二次函数的性质求出的最大值即可得出结论．利用配方法求出二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：， 汽车刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 15．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且的延长线交于E，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，圆的性质，先证明，则，由三角形外角的性质得到，则可证明，再由三角形外角的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长 ． 【答案】10 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2．设，，则，由，由此即可解决问题； 【详解】解：如图连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2． ∵的内切圆与分别相切于点D、E、F， ∴可以假设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 17．定义：若点A在某一个函数图象上，且点A的横纵坐标相等，称点A为这个函数的“美丽点”．若关于x的二次函数，当时有两个“美丽点”，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是根的判别式的灵活运用． 根据点A的横、纵坐标相等，称点A为这个函数的“美丽点”，得，然后根据判别式判断和根据区间列出不等式求解即可． 【详解】∵点A的横、纵坐标相等，称点A为这个函数的“美丽点”， ∴点A在直线上， ∵关于x的二次函数当时有两个“美丽点”， ∴与有两个根， 即， 整理，得：， ∴， ∴， 令二次函数， ∵当时，当时有两个“美丽点”， 在这个区间内函数z与x轴有两个交点，函数z开口向上，对称轴为直线， 当时，代入方程得：， 解得：， 当时，代入得：， ． 综合以上所有条件， t 的取值范围为． 18．如图，是的直径，C是上的一动点，以为边在其左侧作正方形，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】将绕点旋转，得到，连接，证明，得到，根据，得到当三点共线时，的值最大，此时的值最大，设的半径为，勾股定理，求出的长，进而求出的最大值，即可得出结果． 【详解】解：将绕点旋转，得到线段，连接，如图： 则：， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最大， 设的半径为，则：， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为：， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，半径相等，解题的关键是通过旋转，构造全等三角形，利用两点之间线段最短，求出的最大值． 三、解答题 19．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）. (1)画出关于点O中心对称的； (2)将绕点C顺时针旋转，画出旋转后的； (3)在（2）条件下，直接写出旋转过程中点B留下的路径长为 . 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了旋转图形作图，中心对称作图，弧长计算，数形结合，准确计算是解题的关键． （1）作出点A、B、C关于点O的中心对称点、、，然后顺次连接即可； （2）作出点A、B绕点C顺时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）根据弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：旋转过程中点B留下的路径长为：． 20．已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式的关系． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线与x轴交点坐标可得抛物线在x轴上和上方时x的取值范围即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴当时，， ∴不等式的解集为． 21．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】(1)； (2)此球一定能投中． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【详解】（1）解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 22．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)若点，均在该抛物线上，且，求点横坐标的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，函数的最大值为4，最小值为0； (3)或 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）配方成顶点式，即可求得； （2）根据抛物线开口方向及顶点坐标可得当时y取最小值，时y取最大值； （3）求得点关于直线对称的点的横坐标是1，数形结合可求解． 【详解】（1）解：， 顶点坐标为； （2）解：顶点坐标为， 当时，． ，函数图象开口向下，当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，函数的最大值为4，最小值为0； （3）解：因为对称轴为直线， 点关于直线对称的点的横坐标是1，且， ，函数图象开口向下， 所以或． 23．如图，已知中，． (1)作一个圆，使圆心O在边上，且与所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求（1）中所作的的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆，即为所求作； （2）过点O作于点H，根据角平分线性质得到，判定点H在上，是的切线，求出，根据，即可求得． 【详解】（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交于点D、E， 分别以点D、E为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F， 作射线交于点O， 以O为半径，以长为半径画圆， 即为所求作； （2）过点O作于点H， ∵， ∴， ∴是的切线， ∵平分， ∴， ∴点H在上，是的切线， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故的半径为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握基本作图，圆的切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积法求三角形高，是解决本题的关键． 24．如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连接，，．延长，相交于点． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5 【分析】（1）根据垂径定理的推理可知，由直径对直角可知，进而可证明； （2）连结，则，利用等腰三角形的性质可证，由平行线的性质可得，进而可证，设的半径r，由勾股定理可知，进而可得方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：延长交于F， 为的中点， ， ， 是的直径， ， ， ； （2）解：连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设的半径r，则， ， ， ， 整理得， 解得（舍去）， 的半径为． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是综合运用以上知识解决问题． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点， ，与y轴交于点C， 作直线， 点P 是抛物线上一个动点（点P不与点B，C 重合）， 连接，，以， 为边作平行四边形， 设平行四边形的面积为S，点P的横坐标为m． (1)求抛物线函数解析式； (2)当点P在第四象限，且时， 求点 P 坐标． (3)①求S与m之间的函数关系式． ②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况． 【答案】(1) (2)或 (3)①  ②当时，点P的个数有两个；当时，点P的个数有三个；当时，点P的个数有四个 【分析】（1）利用交点式求抛物线的解析式； （2）作轴交直线于，如图， 利用待定系数法求出直线的解析式为设 则，然后求出长，根据求出，代入数值即可解方程求得点P的坐标； （3）根据（2）得到时的解析式，当或时， 如图， 同理可得 ； （4）画出关于x的函数图象，然后根据函数的图象分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 则； （2）作轴交直线于， 如图， 设直线的解析式为， 把代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为 ， 设，则， 当时， 如图，， ， ∵， ∴， 解得：，， ∴点P的坐标为或； （3）①由（2）得当时，； 当 或时， 如图， ， ∴； 综上所述：； ②当时， ， 关于x的函数图象如图所示， ∴当时，点P的个数有两个； 当时，点P的个数有三个； 当时，点P的个数有四个． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质； 会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式； 理解坐标与图形的性质； 会运用分类讨论的思想解决数学问题． 26．如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接，求证：． [初步探索]．小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： 根据小明的思路，若圆的半径为5，则的最大值为 ． [类比迁移]．如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接，若圆的半径为5，求周长的最大值． [拓展延伸]．如图3所示，等腰，点在圆上，，圆的半径为5，连接，求的最小值． 【答案】[初步探索]证明见解析，10；[类比迁移]；[拓展延伸] 【分析】初步探索由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则；当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是10； 类比迁移先由证明是的直径，且圆心在上，则，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，的值最大，则，即可求得周长的最大值是； 拓展延伸连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明，得，所以，则的最小值为． 【详解】初步探索证明：由旋转得，，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ； 是的弦，且的半径为5， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大， 的最大值是10， 故答案为：10． 类比迁移解：如图2，，， 是的直径，且圆心在上， ，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， ， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大， ， 的最大值是， ， 周长的最大值是． 拓展延伸解：如图3，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接， ，， ， 连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学试卷分析 整体难度：一般 考试范围：图形的变化,图形的性质,函数,方程与不等式 试卷题型 题型 数量 单选题 10 填空题 8 解答题 8 试卷难度 难度 题数 容易 2 较易 12 适中 6 较难 6 细目表分析 题号 难度系数 详细知识点 一、单选题 1 0.94 中心对称图形的识别 2 0.85 切线的性质定理 3 0.85 其他问题(实际问题与二次函数) 4 0.85 用勾股定理解三角形；垂径定理的实际应用 5 0.85 y=ax²+bx+c的图象与性质；抛物线与x轴的交点问题 6 0.65 y=a（x-h）²+k的图象和性质；y=ax²+bx+c的最值 7 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；含30度角的直角三角形；根据旋转的性质求解 8 0.4 坐标与图形；正多边形和圆的综合；根据旋转的性质求解 9 0.4 图形运动问题(实际问题与二次函数)；等腰三角形的性质和判定；斜边的中线等于斜边的一半；利用平移解决实际问题 10 0.4 确定第三边的取值范围；与三角形中位线有关的求解问题；斜边的中线等于斜边的一半；判断点与圆的位置关系 二、填空题 11 0.85 用勾股定理解三角形；求圆锥侧面积 12 0.85 含30度角的直角三角形；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形；根据旋转的性质求解 13 0.94 二次函数图象的平移 14 0.85 其他问题(实际问题与二次函数) 15 0.85 三角形的外角的定义及性质；等腰三角形的性质和判定；圆的基本概念辨析 16 0.65 用勾股定理解三角形；应用切线长定理求解；直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 17 0.65 求一元一次不等式的解集；根据二次函数图象确定相应方程根的情况 18 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；用勾股定理解三角形；根据正方形的性质求线段长；圆的基本概念辨析 三、解答题 19 0.85 求某点的弧形运动路径长度；画旋转图形；画已知图形关于某点对称的图形 20 0.85 待定系数法求二次函数解析式；根据交点确定不等式的解集 21 0.85 投球问题(实际问题与二次函数) 22 0.85 y=a（x-h）²+k的图象和性质；根据二次函数的对称性求函数值；y=ax²+bx+c的最值 23 0.65 作角平分线(尺规作图)；用勾股定理解三角形；切线的性质定理；证明某直线是圆的切线 24 0.65 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求解其他问题；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角 25 0.4 利用平行四边形的性质求解；面积问题(二次函数综合) 26 0.4 等边三角形的判定和性质；圆周角定理；根据旋转的性质求解 知识点分析 序号 知识点 对应题号 1 图形的变化 1,7,8,9,12,19,26 2 图形的性质 2,4,7,8,9,10,11,12,15,16,18,19,23,24,25,26 3 函数 3,5,6,8,9,13,14,17,20,21,22,25 4 方程与不等式 17 难度分布 容易 较易 适中 较难 7.69 46.15 23.08 23.08 学科网（北京）股份有限公司 $$