12.2三角形全等的判定同步练习2024-2025学年人教版数学八年级上册

全等三角形 基础练习 1.如图，点，，，在同一条直线上，，，求证：． 2.如图，，，，求证：≌． 3.如图，，是线段上两点，且，，求证：≌． 4.如图，已知，，． 求证：≌． 5.如图，在中，过点作，在上截取，上截取，连接，求证：． 6.如图，、、三点在同一条直线上，，，． 求证： 7.如图，，，，，垂足分别为，． 求证：． 8.如图，点在上，，求证：≌． 9.如图，和相交于点，，求证：≌． 10如图，点，，，在一条直线上，，过点，分别作，，连接，，，交于点，若． 求证： ≌； ． 11.如图，在中，，，平分交于点，交延长线于点求证：． 12.如图，为的高，为上一点，交于，且，． 求证：； ． 拓展练习 13.【初步探索】 如图：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先证明≌，再证明≌，可得出结论，他的结论应是______；    【灵活运用】   如图，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；    【拓展延伸】   如图，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 经过顶点的一条直线，，分别是直线上两点，且． 若直线经过的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题： 如图，若，，则______；填“”，“”或“”；，，三条线段的数量关系是：______． 如图，若，请添加一个关于与关系的条件______，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． 如图，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想并证明． 15.在中，，，直线经过点，且于点，于点． 当直线绕点旋转到图的位置时，求证：≌；； 当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； 当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． 16.如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动． 如图，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； 如图，将“，”为改“”，其他条件不变，若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能使与全等． 在图的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图，若点以中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 答案和解析 1.【答案】证明：，   在和中， ≌， ．  【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质有关知识， 由可证得，又有，，根据证得≌． 2.【答案】证明：，，，  在和中，≌．  【解析】略 3.【答案】证明：， ， 即， 在和中， ≌．  【解析】本题考查了全等三角形的判定，关键在于证出先求出，再利用“边角边”证明和全等即可． 4.【答案】证明：， ， 即， 在和中， ， ≌．  【解析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决此类问题的关键． 先证明，然后根据“”可证明≌． 5.【答案】证明：，，在和中，．  【解析】略 6.【答案】证明：， ，， ， ， 在和中 ≌．  【解析】首先根据，利用平行线的性质可得：，，再根据证出，再由，可根据三角形全等的判定定理证出≌． 此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定两个三角形全等的方法：、、、，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件， 7.【答案】证明：，，，在和中，  【解析】略 8.【答案】证明：，，  在和中，≌．  【解析】略 9.【答案】证明：在和中， ≌．   【解析】略 10.【答案】【小题】 证明：，，，，  即  在和中， ≌． 【小题】 ≌，  在和中， ≌．   【解析】 略  略 11.【答案】解：如图，延长交的延长线于点．     ，． 平分，． 又，≌． ． ， ，． ． 又，， ≌． ． ．  【解析】本题考查全等三角形的判定及性质延长交的延长线于点，根据三角形全等的判定和性质易得然后根据证明≌，可得，利用等量代换可得． 12.【答案】【小题】 证明：为的高，和都为直角三角形．在和中，； 【小题】 ，，．   【解析】 略  略 13.【答案】 仍成立，理由： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ≌， ，， ，， ≌， ； ． 证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ≌， ，， ，， ≌， ， ， ， ， 即， ．  【解析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 延长到点，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论； 延长到点，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出； 在延长线上取一点，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 解：理由： 如图，延长到点，使，连接， 根据可判定≌，进而得出，， 再根据可判定≌，可得出． 故答案为：； 见答案； 见答案． 14.【答案】 ，； ．  证明：如图中， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 当在的右侧时，同理可证， ； 结论：． 理由：如图中， ，， 又，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ．  【解析】解：如图中， 点在点的左侧， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 当在的右侧时，同理可证， ； 故答案为，． 时，中两个结论仍然成立； 故答案为． 证明见答案； 见答案． 【分析】 求出，，根据证≌，推出，即可； 求出，，根据证≌，推出，即可； 求出，，根据证≌，推出，即可． 本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型． 15.【答案】证明：， ，而于，于， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ；   ， 在和中， ， ≌， ，， ； 结论：． 同法可得≌， ，， ．  【解析】由，得，而于，于，则，根据等角的余角相等得到，易得≌，所以，，即可得到． 根据等角的余角相等得到，易得≌，得到，，所以． 、、具有的等量关系为：证明的方法与相同． 本题考查了三角形全等的判定与性质，难度较大． 16.【答案】【小题】 全等，理由如下： 当时，，， 又， 在与中， ， ， ， ， 线段与线段垂直． 【小题】 设点的运动速度， 若，则，， 解得 由于此时点的运动速度与点的运动速度相等，不合题意，故舍去此种情况； 若，则，， 解得 综上所述，当点的运动速度为时，能使与全等． 【小题】 ，分别是，中点，， ， 以中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动， 只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，设运动时间为秒， 列方程：， 解得：， 故经过，点与点第一次相遇．   【解析】  利用证得，得出，进一步得出，得出结论即可；   由，分两种情况：，，建立方程组求解后发现此时点的运动速度与点的运动速度相等，与题目不符，故舍去；，，建立方程组求得答案即可；   因为以中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$