24.1.1 与圆有关的概念 课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册

24.1 圆的有关性质 24.1.1 与圆有关的概念 第二十四章 圆 教材分析 圆是在学习了直线图形的有关性质之后研究的一种特殊曲线图形。它是常见的几何图形，在初中数学中占据重要地位，在中考里也占有一定分值，并且与其他知识的综合性较强。例如在一些几何证明题或者与函数结合的综合题中常常会涉及圆的知识。本节课的内容对已学过的旋转及轴对称等知识起到巩固作用，同时也为后续探究圆的性质、圆与其他图形的位置关系、数量关系等知识奠定坚实的基础。 (1).能叙述圆的描述性定义和集合观点定义. (3).知道弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧的意义，并能结合图形描述它们. (2).了解半圆、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解各概念之间的区别. 核心素养目标 教学重难点 重点：圆的两种定义和圆的有关概念的学习。例如圆的集合定义较难理解，需要重点讲解。同时，能够运用圆的相关概念解释和解决一些生活中的实际问题，如圆形花坛的设计计算等也是重点内容。 为了让学生更好地掌握重点内容，可以通过大量的实例展示、图形分析以及课堂练习等方式进行巩固。 难点：圆的第二种定义（集合定义）。因为它比较抽象，学生较难理解。 为突破这一难点，可将抽象的文字叙述转化为图形，如设计学生自己动手画圆及观看老师演示等方法，最后辅之以相关练习题，使学生得以巩固。 学情分析 九年级学生在过去的生活和学习中对圆的知识已经有了一些认识。他们初步体会到圆在生活、工农业生产、交通运输、土木建筑等方面广泛存在。例如学生知道车轮是圆的，盘子是圆的等，这对进一步探究圆的定义及相关性质奠定了一定的基础。 然而，学生对于圆的概念的精确理解可能还存在不足，特别是对于一些抽象概念如等弧等的理解可能存在困难。 教法、学法分析 教法分析 根据《新课标》提出的要重视从学生的生活经验和已有的知识中学习数学、理解数学的要求，采用迁移法。通过展示生活中圆的图片，如摩天轮、圆形时钟等，把学生的思维带进有圆存在的场景，充分调动学生已有的知识。再运用引导法与导学案相结合，引导学生学习圆的定义及相关知识。 学法分析 引导学生采用动手操作、自主探究、合作交流等学习方法进行学习。例如让学生自己动手用圆规画圆，探究圆的形成过程从而理解圆的定义；在小组合作中讨论等弧的概念等，充分发挥学生的主体作用，使知识和能力得到内化。 下列图形中，有我们熟悉的图形吗？ 情境引入 观察与思考 【想一想】车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？ 情景1：马上到周末了，几个同学为了缓解一周以来紧张的学习气氛，准备进行一次自制车技比赛活动. 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心的距离都相等，当车轮在地面上滚动时，车轮中心与地面的距离保持不变，因此，坐车的人会感觉到非常平稳． 观察圆的形成过程，你发现了什么？ 观察与思考 · r 固定的端点O叫做圆心； 线段OA叫做半径； 以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”． 　圆的形成性定义(动态)：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭图形叫做圆． 注意： 1.“圆”指的是“圆周”，而不是圆面; 2.“圆上的点”指的是“圆周上的点”，而不是圆面上的点. 总结归纳 O A 思考1：A，B，C三点到圆心O的距离有什么特点？由此，你发现了什么？ 结论：圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）. 问题探究 A B C 如图所示，A，B，C是⊙O上的三个点， 结论：到定点O的距离等于定长r的所有点都在以O为圆心，r为半径的圆上. O O 有间隙吗？ 问题探究 思考2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 即：（1）圆上各点到定点（圆心O）的距 离都等于 ． （2）到定点的距离等于定长的点都 在 ． 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 定长r 同一个圆上 O · A C E r r r r r D 总结归纳 圆的集合性定义： 一是圆心，圆心确定圆的位置； 确定圆的要素： 问题1.以1cm为半径能画几个圆?以点O为圆心能画几个圆？ 无数个圆 无数个圆 问题2.以点O为圆心，1cm为半径能画几个圆？ 二是半径，半径确定圆的大小． 问题探究 只能画一个圆 例1 矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O. 求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的圆上. 证明： ∴ AO=OC，OB=OD. ∴ OA=OB=OC=OD. ∴ A、B、C、D在以O为圆心以OA为半径的圆上. ∵四边形ABCD是矩形， 又∵AC=BD， 分析：多点共圆的证明思路：根据圆的集合定义，到定点的距离等于定长的所有点都在同一个圆上，因此，只需证明这几个点到同一个点的距离相等即可. 典例精析 A B C D O 练一练 如图所示，若BD,CE都是△ABC的高． 求证：B，C，D，E 四点在同一个圆上． A E B C D 经过圆心的弦叫做直径，如图中的CD． 连接圆上任意两点间的线段叫做弦，如图中的AB． 与圆有关的概念 1.弦： 2.直径： 新知学习 想一想：半径是弦吗？ 【注意】1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. 　圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． C O A B 与圆有关的概念 3.弧： 4.半圆： 注意： 半圆是弧，但弧不一定是半圆. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 A、B 为端点的弧记作: ，读作“圆弧AB”或“弧AB”． 新知学习 5.优弧： C O A B 与圆有关的概念 6.劣弧: 大于半圆的弧(用三个字母表示，如图中的　　 )叫做优弧． 小于半圆的弧(如图中的 　)叫做劣弧． 7.等弧: 新知学习 在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧． A B O A B 💡想一想：长度相等的弧是等弧吗？？？ 注意： 等弧的长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧. 8.同心圆： 9.等圆： 圆心相同，半径不同的两个圆，叫做同心圆. 半径相同，圆心不同的两个圆，叫做等圆. O 与圆有关的概念 新知学习 同圆半径相等. 圆的基本性质： 等弧是全等的，必须在同圆或等圆中，而不仅仅是弧的长度相等 例题1：下列语句正确的有( ) ①直径是弦； ②弦是直径； ③半径相等的两个半圆是等弧； ④长度相等的两条弧是等弧； ⑤半圆是弧，弧不一定是半圆. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 典例精析 例2.如图所示，在⊙O中，________是直径，________是弦，劣弧有________，优弧有__________． AD AD, AC 3.若圆的半径为3，则弦AB的长度的取值范围是__________． 0＜AB≤6 ( AC, ( CD ( ADC, ( CAD A O D C B 典例精析 4.求证：直径是圆中最长的弦. C O A B · 证明： 连接OC, 在△AOC中，有： AO+OC>AC, 如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦.求证：AB>AC. ∵AO=OC, 又∵AB=2OA, ∴2AO>AC, ∴ AB>AC. 典例精析 当堂检测 1.填空： （1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍． （2）图中有 条直径， 条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条． 直径 半径 一 二 四 四 2.一个点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm,则这个圆的半径是 . 7cm或3cm A B C D O F E 当堂练习 3.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例. (1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是圆中最长的弦； (7)长度相等的弧是等弧. 当堂练习 4.已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD．求证：OC=OD． 证明： (等边对等角) 当堂练习 O C D ∵ OA=OB ∴∠A=∠ B 在△AOC与△BOD中，有： OA=OB ∠A=∠ B AC=BD 5.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°， 求证：A、B、C三点在同一个圆上. 证明： 取斜边AB的中点O， 连接OC， 即：A、B、C三点在以O为圆心，OC的长为半径的圆上. 当堂练习 圆的基本概念 圆的定义 与圆有关的概念 形成性定义： 集合性定义： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋 转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆. 圆心为O、半径为r的圆可以看成是平面内所有到定点O的距离等定长r的点的集合. 连接圆上任意两点的线段叫做弦. 直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧 都叫做半圆. 能够重合的两个圆叫做等圆， 大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧. 弦 直径 半圆 等圆 弧 等弧 优弧与劣弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 课堂小结 课后反思 一、教学中的不足 （一）部分学生理解困难 在概念的讲解过程中，可能会有部分学生对一些抽象的概念理解困难。例如，对于圆心是圆的中心这一概念，一些学生可能只是表面上理解，而没有深入到圆的本质特征中。这可能是由于在教学过程中没有充分考虑到学生的个体差异，没有对这部分学生进行更多的关注和辅导。 对于半径和直径的关系，有些学生可能只是机械地记住了公式​，但在实际应用中却容易出错。这反映出在教学时可能没有让学生充分理解概念之间的内在联系，只是单纯地记忆公式。 （二）教学节奏把握不当 在课堂教学中，可能会存在教学节奏把握不当的情况。例如，在学生自主探究概念的环节，如果给学生的时间过长，可能会导致后面的练习和总结环节时间仓促，无法对学生的学习成果进行充分的检验和巩固。相反，如果给学生自主探究的时间过短，又会影响学生对概念的深入理解，使自主探究流于形式。 （三）缺乏概念的拓展应用 在教学中可能过于注重概念本身的讲解，而忽视了概念的拓展应用。与圆有关的概念在很多实际问题中都有广泛的应用，如建筑设计、机械制造等领域。如果在教学过程中没有将这些实际应用引入课堂，学生可能会觉得学习概念比较枯燥，而且也不利于培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。 二、改进措施 （一）关注个体差异 针对理解困难的学生，可以采用个别辅导的方式。在课堂上，教师可以多巡视，及时发现这些学生的问题并给予指导。课后也可以安排一些有针对性的练习，帮助他们巩固所学概念。例如，对于圆心概念理解困难的学生，可以让他们通过更多的实例来感受圆心的位置，如在不同大小和位置的圆中寻找圆心。在讲解概念时，可以采用分层教学的方法。对于基础较好的学生，可以引导他们深入探究概念的本质和拓展应用；对于基础较弱的学生，则侧重于概念的基本理解和简单应用。 （二）合理把握教学节奏 在今后的教学中，要更加精心地设计教学环节，合理安排每个环节的时间。在学生自主探究之前，要明确探究的任务和要求，并且对学生可能出现的情况有一个预估，以便能够合理地把握时间。例如，可以在自主探究环节设置一个时间提醒，让学生和教师都能清楚地知道时间的进度。同时，也要根据学生的实际探究情况灵活调整教学节奏，如果学生探究进展顺利，可以适当提前进入下一个环节；如果学生遇到较多问题，可以适当延长探究时间。 （三）加强概念的拓展应用 在教学中增加概念的拓展应用环节。例如，引入一些实际生活中的案例，让学生运用所学的与圆有关的概念来解决问题。可以从简单的问题开始，如计算圆形花坛的半径、直径等，逐步过渡到复杂的问题，如设计一个圆形建筑的布局等。通过这样的方式，让学生感受到数学概念的实用性，提高他们学习数学的积极性。 Lavf57.62.100 Lavf57.83.100 $$