第1章 全等三角形 本章测试 2023--2024学年 苏科版数学八年级上册

13 苏科版八上数学 第1章 较难 + 困难 1．（2023下·江苏泰州）已知：如图①，纸片，．      (1)将沿着折叠，使得与重合，为折痕，展开后如图②所示．试判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，连接，过点M作，点E为垂足，如图③所示． ①将沿折叠，点B能与点C重合吗？请说明理由； ②图中与全等的三角形有______个； (3) 将图②中纸片沿剪开得，如图④所示，将另一张纸片与 拼接，边与边恰好重合(点O与点C重合)，若，且的面积与的面积相等，试探索与的数量关系，并说明理由． 2．（广东广州·广州四十七中校考期中）（1）如图1，中，，，，、分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系是______． （2）如图2，若在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角，试求此时两舰艇之间的距离．    3．（2023下·广东深圳）在中，，点是射线上一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上时，与有何数量关系，请说明理由； (2)在（1）的条件下，当时，那么___________度； (3)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整并直接写出此时与之间的数量关系． 4．（南山实验教育麒麟中）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D，求证：； （2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：； （3）如图3，已知的面积为15，且，，点D在边上，点E、F在线段上，，若与的面积之和是6，求的值． 5．（2023·北京西城·统考一模）如图，直线，交于点O，点E是平分线的一点，点M，N分别是射线，上的点，且． (1)求证：； (2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，，若，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 6．（2021上·江苏南通·八年级校考阶段练习）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 7．如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于D点，求证：，并写出和的数量关系； (2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点； (3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，求． 8．（2022上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）已知：中，，，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作于H，连接DE，求证：； (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M． 求证：； (3)当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若，则的值为______． 9．在正方形中，点E、F分别在边、上，且． (1)将绕点A顺时针旋转，得到（如图①），求证：； (2)若直线与、的延长线分别交于点M、N（如图②），求证：． 10．（1）如图1，，求的长度. （2）如图2，，探索的数量关系，并证明. （3）如图3，在中，，则______. 11．（2022上·福建泉州·八年级泉州五中校考期中）已知，在中，． (1)_________°； (2)如图1，若点D是线段AB上一点，连接CD，过点B作，连接和，若，求证：； (3)如图2，M为射线上一点，N为射线CA上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，求证：． 12．图1是小朋友荡秋千的场景．静止时场景平面图中，秋千位于铅垂线上，转轴中心B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若． (1)求证：； (2)求到的距离． 13．如图，是经过顶点的一条直线，，，分别是直线上两点，且． [数学思考] (1)若直线经过的内部，且，在射线上． 请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则　 ，　 ；（填“”、“”或“”） ②如图2，若，当与之间满足 　 　时，能够使得①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论． (2)[问题拓展]如图3，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要证明）． 14．（2022上·广西南宁·八年级校考期中）【问题情境】将一副直角三角尺和按图1所示的方式摆放，其中，，O是AB的中点，点D与点O重合，于点M，于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由． 【探究展示】小丽同学展示出如下正确的解法： 解：，理由如下： 连接CO，则CO是AB边上的中线，∵ ∴CO是的平分线（依据1） ∵， ∴（依据2） (1)上述理由的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：____________________________________；依据2：____________________________________． (2)你有与小丽不同的方法吗？请写出你的证明过程． (3)将图1中的沿着射线BA的方向平移至如图2的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线相交于点M，且，BC的延长线与DE相交于点N，连接OM，ON，如果，试判断线段OM，ON的数量关系和位置关系，并说明理由． 15．已知是四边形内一点，且，，是的中点. (1)如图，连接，，若，求证：； (2)如图，连接，若，求证：； (3)如图，若，，垂足为，求证：点，，在同一条直线上. 16．如图1、在△ABC中，E、D是BC边上的点，且AE是∠BAD的平分线，∠CAE+∠BEA=180° (1)若∠CAD=25°，∠C=38°，求∠DAE的度数 (2)当BE=AC时，请猜想线段AB、AD之间的数量关系；并证明你的猜想． (3)如图2，在（2）的条件下，过D作DF⊥AE，垂足为F，交AB于G，如果，请直接写出四边形AFDC的面积． 17．（2022上·福建莆田·八年级校考期中）如图，，且，，且 (1)如图1，连接、，求证：； (2)如图2，求证： (3)如图3，经过A点与交于G点，且于F点．求证：G为的中点． 18．（2022上·山西吕梁·八年级统考期中）如图，在RtABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB． (1)求∠AOE得度数； (2)求证：AC=AE+CD． 19．如图，已知正方形的边长为5，点E为边上一点（不与点C，D重合），将沿所在直线折叠得到，延长交边于点G，连接、，可得． (1)判断与是否相等，并说明理由； (2)若，求的长； (3)若，请直接写出的值． 20．（2022上·山西临汾）综合与探究 问题呈现： “智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解决，如图1，在正方形的边上任取一点E，以为边在与正方形的同侧作正方形． 探究结论： (1)连接，则与的数量关系是_________________，位置关系是_______________________. 探究发现： (2)如图2，在图1的基础上连接，，作的中点M，连接，判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 探究拓展： (3)“智慧”数学小组把“边上任取一点E”改成了“边的延长线上任取一点E”，其余条件不变，请在图3中补全图形，并直接写出（2）中的结论是否正确，若不正确，请直接写出正确的结论． 21．（2022上·重庆九龙坡·八年级重庆市杨家坪中学校考期中）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，请直接写出图中线段、、之间的数量关系______． （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，线段、、之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，并说明理由． 22．（2022上·河北唐山·八年级统考期中）问题背景： (1)如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段、、之间的数量关系，嘉琪同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_________． (2)探索延伸：①如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． ②如图2，若五边形的面积为30，，，直接写出点到的距离． 23．（2022上·福建泉州·八年级校联考期中）如图1，已知在四边形中，，点E、F分别是边上的点，连，． (1)直接写出、、三者之间的数量关系： ； (2)若，猜想线段、、三者之间有怎样的数量关系？并加以证明； (3)如图2，若点E、F分别是延长线上的点，且，其他条件不变时，猜想线段三者之间有怎样的数量关系？并加以证明 24．（2022上·全国·八年级专题练习）（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是　 　； （2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF； （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明． 25．（2022上·北京·八年级北京二中校考期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)连接，求证：． 26．（2022上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点，点，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接． (1)若， ①如图1，b＝1，直接写出点C的坐标； ②如图2，D为中点，连接，求证：平分； (2)如图3，若点，且，线段与线段交于点P，求的度数． 27．如图，在中， ，高AD、BE相交于点O，，且． (1)求线段AO的长； (2)动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； (3)在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 28．（2022下·四川成都）如图，在等腰中，，，平分．在线段上有一动点，连接，为直线上异于的一点，连接、． (1)如图，当点在射线上时，若，直接写出：______； (2)如图，当点在射线的反向延长线上时， 若（1）中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系，请证明； 若，且，，求的值． 29．（2021上·广东肇庆·八年级校考期中）已知：如图，点E在线段CD上，EA、EB分别平分和，，设，，且 (1)求AD和BC的长； (2)试说线段AE与BE有怎样的位置关系？并证明你的结论． (3)求证：点E为CD的中点． 30．（2022下·辽宁沈阳）【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为___________米． 【探索应用】如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是___________； 【拓展提升】如图3，在中，的延长线交于点F，求证：． 31．（2022下·山西运城·八年级校联考期末）如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F． (1)求证：． (2)若，请直接写出的度数． (3)过点A作于点H，求证：． 32．（福建省福州屏东中学）如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点．，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转得DF，连接AE，CF． (1)求证：． (2)若A，E，O三点共线，求点F到直线BC的距离． 33．已知：等腰和等腰中，，，． (1)如图1，延长交于点，若，则的度数为 　　； (2)如图2，连接、，延长交于点，若，点为中点，求证：； (3)如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，则的面积为 　　． 34．（2021上·江苏南京·八年级南京钟英中学校考期中）如图，在C中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当______时，与的面积相等；（直接写出答案） (2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求的度数； (3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段、的长度之和，即的值最小，则此时______．（直接写出答案） 35．（浙江·八年级校联考期中）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE． （1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC； （2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点． （3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果） 答案与解析 1．(1)，理由见解析 (2)①点B与点C重合，理由见解析；②3 (3)或，理由见解析 【分析】（1）根据折叠的性质可得，再根据得出，即可得出结论； （2）①通过证明，得出，，进而推出，即可得出结论；②根据折叠的性质和①的证明过程，即可得出结论； （3）根据题意进行分类讨论：①当为锐角三角形时，②当为钝角三角形时． 【详解】（1）解：∵与重合，为折痕， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 由（1）可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵与重合，为折痕， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴将沿折叠，点B能与点C重合； ②∵与重合，为折痕， ∴， 由①可得，， ∴，， 综上：图中与全等的三角形有3个， 故答案为：3． （3）解：①当为锐角三角形时， 过点B作于点G，过点Q作于点H， ∵， ∴， ∵与边恰好重合，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即；    ②当为钝角三角形时， 过点B作于点S，过点作于点T， ∵， ∴， ∵与边恰好重合，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即．    【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质．全等三角形的判定方法有：． 2．（1）；（2）成立，理由见解析；（3）210海里 【分析】（1）如图1，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （2）如图2，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （3）如图3，连接，延长、相交于点，根据题意得到，，，根据图2的结论计算． 【详解】解：（1）如图1，， 理由如下：在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）如图2，（1）中的结论仍然成立，即． 理由：延长到点．使．连接，    在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图3，连接，延长、相交于点，    ，， ， ，， 符合（2）中的条件， 结论成立， 即（海里）． 此时两舰艇之间的距离为210海里． 【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 3．(1)，理由见解析 (2)90 (3)①，理由见解析；②图见解析， 【分析】（1）由题意易证，即可利用“”证明，即得出； （2）由全等三角形的性质得出．再根据，即得出，即； （3）①根据（1）同理可证，即得出．再根据，即得出，即；②根据题意补全图形，再同理可证，即得出．最后结合三角形外角的性质，即可求证出，即． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ，即． 在和中，， ， ； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：90； （3）①，理由如下： 由（1）同理可证， ． ， ， ； ②补全图形，如图所示， 同理可证， ． ∵，， ∴，即． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 4．（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）先根据同角的余角相等得出，再根据AAS证明即可； （2）先根据已知条件证明，，再根据AAS证明即可； （3）根据得出，再根据与的面积之和是6，的面积是15，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：对图标注如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴； （3）解：对图中的角进行标注， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与的面积之和是6，的面积是15， ∴，， ∵与等高，， ∴底边之比3：5， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 5．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先根据角的平分线的性质，过点E作，，垂足分别是H，K，得，再根据三角形全等的判定，证明即可得结论． （2）作辅助线，在线段上截取，连接EG1，先证明，得，，再证明，得，再推导得出结论． 【详解】（1）（1）证明：作，，垂足分别是H，K，如图．                 ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． ∴． 记与的交点为P， ∴． ∴． （2）（2）． 证明：在线段上截取，连接EG1，如图．                 ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 6．（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3） 或 或 【分析】（1）如图1，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）如图2，同理可得：； （3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：；如图4，作辅助线，同理证明和，可得新结论； 【详解】解：（1）如图1，延长到G，使，连接． 在与中， ， ∴． ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； （2）（1）中的结论仍然成立． 理由如下：如图2，延长到G，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）图2中，成立， 图3中，，理由如下： 在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴． 图4中，，理由如下： 在上截取，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段 之间的数量关系为： 或 或， 故答案为： 或 或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平角的定义等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 7．(1)见解析，； (2)见解析． (3)或． 【分析】（1）证，利用就“角角边”证明；由全等得出：，则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论； （2）过F点作于D点，根据（1）中结论可证明，可得，根据，可证，即可解题； （3）过F作的延长线交于点D，易证，由（1）（2）可知，，可得，即可求得的值，即可解题． 【详解】（1）证明：如图1，∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：（2）如图2，过F点作于D点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴＝2， ∴＝， ∵ ∴＝， ∴E点为中点； （3）当点E在CB的延长线上时，过F作的延长线交于点D，如图3， ∵，， ∴， 由（1）（2）知：， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴，   当点E在线段BC上时， ∵，， ∴， 由（1）（2）知：， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴． 综上所述：或． 【点睛】本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． 8．(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由，得，根据余角的性质可证，根据证明即可； （2）作交的延长线于点F，先证明，得，再证明可证结论成立； （3）分当点D在的延长线上时和当点D在线段上时两种情况求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）如图，作交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∵． （3）当点D在的延长线上时，作交的延长线于点G，则， ∵， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴的值为； 当点D在线段上时，作于点G， 同理可证：，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可知，，证明可得结论； （2）延长CB到G使得，连接，，由(1)知，再由均为等腰直角二角形,得出，，，然后证明，，利用勾股定理得出等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵绕着点A顺时针旋转，得到， ∴，，，， ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：延长到G使得，连接，，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵ ∴、、均为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形． 10．（1）6；（2），证明见解析；（3）5 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形的内角和定理得到，根据全等三角形的性质得到，最后由即可解答； （2）根据等腰三角形的性质得到，求得，最后根据全等三角形的性质即可解答； （3）在内部作交于F，于是得到，求得，最后根据全等三角形的性质得到BD=EF=CF=2，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： ∵， ∴， ∴∠， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图：在△ABC内部作交于F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 11．(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据和三角形内角和即可求出． （2）过点C作交的延长线于T，连接，证明，再证明垂直平分线段，即可证明． （3）过点A作AQ⊥MN，交PC延长线于点Q，设BC与BM交点为H，首先证明，得出再证明，得出根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）∵， 又∵， ∴ （2）证明：如图1中，过点C作交的延长线于T，连接． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段，∴ （3）由（1）得 过点A作，交延长线于点Q，设与交点为H，如图， ∵AQ⊥AM，PC⊥BM， ∴ ∵ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∵CM＝AN， ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴． ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，通过作辅助线将已知条件联系在一起是解题关键． 12．(1)见解析 (2)到的距离是 【分析】（1）根据，得到，，即可得到答案； （2）作，垂足为F，易得，即可得到，再根据且，，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，作，垂足为F． ∵， ∴； 在和中， ， ∴； ∴ ∵且，， ∴， ∴， ∴， 即到BD的距离是． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质应用，解题的关键是根据垂直找到全等三角形的条件． 13．(1)①，；②，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）①首先证明，再根据全等三角形的性质，得到，，再根据线段之间的数量关系，结合等量代换，即可得出答案； ②证明和（1）类似，首先证明，再根据全等三角形的性质，得到，，再根据线段之间的数量关系，结合等量代换，即可得出答案； （2）根据三角形的内角和定理和平角的定义，得出，进而得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据线段之间的数量关系，结合等量代换，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：，． ②在图2中，当时，能够使得①中的两个结论仍然成立， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在证明． 14．(1)依据1为：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），依据2为：角平分线上的点到角的两边距离相等． (2)见解析 (3)  理由见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线性质得出即可； （2）证，即可得出答案； （3）求出，推出，，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：依据1为：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）， 依据2为：角平分线上的点到角的两边距离相等． （2）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴． ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴． （3）解：．理由如下： 如图2，连接，则是边上的中线， , ，， ， ， ， ， ， 易知，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15．(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【分析】证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论； 延长到点，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，并能得出：，则可得出结论； 连接，并延长到，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论. 【详解】（1）证明：在和中， ， （SSS）， ， ， ； （2）证明：延长到点，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， （SAS）， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （SSS）， ， ， ， ； （3）证明：连接，并延长到，使，连接， 由得， ， ， ， 在和中， ， （SAS）， ， ， ， ， ， 点在同一条直线上． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是善于构造全等并熟练掌握三角形全等的判定与性质． 16．(1)46° (2)AB=2AD (3) 【分析】（1）由题意可得，则有，求出，再求解即可； （2）再AB上截取，连接ME，先证明，再证明，可得，则有； （3）连接GE，可得到是等腰三角形，AE是GD的垂直平分线，过点C作交于点N，能够分别得到F是EN的中点，N是AE的中点，再由中线与三角形的面积关系求即可． 【详解】（1）（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）（2），理由如下： 在AB上截取，连接ME， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）（3）连接GE， ∵AE平分， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵AE是GD的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点C作交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形中线与三角形的关系是解题的关键． 17．(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）根据垂直可得，得出，根据全等三角形的判定证明，可得答案； （2）作交的延长线于M，作，进而可得，根据全等三角形的判定证明，进而得出，根据三角形的面积公式可得； （3）作交的延长线于M，作，先证明，再证，得出；再证明，得出，进而得出，再证明，即可得出答案． 【详解】（1）∵，， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ （2） 作交的延长线于M，作 ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ （3） 作交的延长线于M，作 ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴G为的中点． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，正确作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 18．(1) (2)见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴,， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． 19．(1)，理由见解析 (2)的长是 (3) 【分析】（1）先由是正方形，再根据可求得； （2）由，得到，由勾股定理可得，且，可求得； （3）由，得，又可证明，则，，可求得的值是． 【详解】（1），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠得，，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴． （2）如图1， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∴的长是． （3）如图2， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴的值是． 【点睛】此题考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，此题综合性强、难度较大． 20．(1)， (2)（或），，见解析 (3)正确，见解析 【分析】对于（1），根据“”证明≌，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（2），延长DA，使，再根据“”证明，可得，，然后根据三角形内角和定理判断，再根据三角形中位线的性质得出答案； 对于（3），仿照（2）解答即可． 【详解】（1），. ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴. 在和， ∴≌， ∴； 故答案为：，； （2）结论：（或），． 证明：如答图，延长DA到N，使，连接交于点Q，交于点P． ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴，． 在中，， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵点M是DE的中点，． ∴AM是的中位线． ∴， ∴，； （3）如图 ∴图为补全的图形． （2）中的结论正确． 延长DA到N，使，连接交于点Q，交于点P． ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴，． 在中，， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵点M是DE的中点，． ∴AM是的中位线． ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，三角形中位线的性质等，构造全等三角形是解题的关键． 21．(1) (2)成立，见解析 (3)不成立， 【分析】（1）延长到点G，使得，先证明，再证明即可． （2）延长到点G，使得，先证明，再证明即可． （3）在截取，使得，先证明，再证明即可． 【详解】(1) 线段、、之间的数量关系是，理由如下： 延长到点G，使得， 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． (2) 线段、、之间的数量关系是，理由如下： 延长到点G，使得， 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． (3) 结论不成立，，理由如下： 在截取，使得， 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了半角模型，三角形全等的判定和性质，猜想问题，熟练掌握半角模型的实质，活用三角形全等的判定和性质是解题的关键． 22．(1) (2)①成立，理由见解析②3 【分析】（1）由题意可直接得出； （2）①延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论；②利用①中的结论，再用三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解： ∴， ∵， ∴ 即 （2）解：①结论仍然成立 延长到点，使，连接， ∵，， ∴ 在和中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，． 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ②点到的距离即的高 由①可得，， 则， 解得， 即点到的距离为3 【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，构造全等三角形是解题的关键． 23．(1) (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）有，，即可求解； （2）延长到点，使，连接，证，得，，证，即可证明； （3）在线段上截取，使，连接．证，得，，证，即可证明； 【详解】（1）∵，， ∴； （2）． 证明：如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在与中， ∵ ， ，， ， ， ， 在与中， ∵， ， ， 又， ． （3）． 证明：如图，在线段上截取，使，连接． ，， ， 在与中， ∵ ， ，， ， ， ， 在与中， ∵， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形的全等证明综合应用，正确画出辅助线证构造全等三角形是解题的关键． 24．（1）1＜AD＜5；（2）见解析；（3）AF+EC=EF，见解析 【分析】（1）证明，推出CE=AB=4，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可． （2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．证明，推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题． （3）结论：AF+EC=EF．延长BC到H，使得CH=AF．提供两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题． 【详解】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB， ∴(SAS)， ∴EC=AB=4， ∵6﹣4＜AE＜6+4， ∴2＜2AD＜10， ∴1＜AD＜5， 故答案为：1＜AD＜5； （2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH． ∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH， ∴(SAS)， ∴BE=CH， ∵FD⊥EH，又DE=DH， ∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH， ∵CH=BE，FH=EF， ∴BE+CF＞EF； （3）结论：AF+EC=EF．理由：延长BC到H，使得CH=AF． ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCH+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCH， ∵AF=CH，AD=CD， ∴(SAS)， ∴DF=DH，∠ADF=∠CDH， ∴∠ADC=∠FDH， ∵∠EDF= ∠ADC， ∴∠EDF=∠FDH， ∴∠EDF=∠EDH， ∵DE=DE， ∴(SAS)， ∴EF=EH， ∵EH=EC+CH=EC+AF， ∴EF=AF+EC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 25．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先由证明，从而得到； （2）首先证得，得到，然后证明，从而证得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：连接，如图所示： 由（1）的证明，得， ∴，，， ∴， 在和中， ∵， ∴（）， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出三角形全等的条件是解题的关键． 26．(1)①；②证明见详解； (2)． 【分析】（1）①过点C作轴于点H，然后证明，再利用全等三角形的性质即可得出答案； ②过点D作于点M，于点N，连接．然后再证，得，再根据垂直平分线的判定定理即可得解； （2）过点C作轴于点H，过点B作于点R，再证，得出，，然后根据三角形外角性质得出答案． 【详解】（1）① 解：如图1，过点C作轴于点H， 将线段绕点A顺时针旋转得到， ， ， 又， ， ， ，， ② 如图2，过点D作于点M，于点N，连接． ， ， ， ， 在和中， ， ，又， 平分． （2）解：将线段绕点A顺时针旋转到，连接，过点C作轴于点H， 由（1）可知：，， 过点B作于点R， 则， ， ，又， ， ， ， ， ． ． 【点睛】此题是图形旋转的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理和三角形的外角性质等知识，熟练掌握这些判定与性质是解此题的关键，添加适当的辅助线构造全等三角形是解此题的难点． 27．(1)5 (2) (3)存在，t=1或 【分析】（1）证明即可得到线段长； （2）分两种情况讨论：①如图1，当点在线段上时，；②如图2，当点在射线上时，，即可得出 的取值范围； （3）分两种情况讨论：①如图3，当时，；②如图4，当时，，即可求出值． 【详解】（1）、是的高， ， ，， ， ， 在和中 ， ， ； （2），， ，， 设，， ①如图1，当点在线段上时，， ， 的取值范围是， ②如图2，当点在射线上时，， ， 的取值范围是； （3）存在； ①如图3中，当时， ，， ， ， ， 解得： ； ②如图4中，当时， ，， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，或时， 【点睛】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质，三角形面积，灵活运用相关知识是解题关键． 28．(1) (2)①，证明见解析 ② 【分析】在上取一点，使得，连接，证≌，得，再证≌，得，进而得出结论； 在的延长线上取一点，使得，连接，先证≌，得，，再证明≌，得，即可得出结论； 由可知，，，则，设，则，得，，则，再由三角形面积关系即可得出结论． 【详解】（1）解：在上取一点，使得，连接，如图所示： ， ． 平分， ， ， ≌， ，． ，， ． ， ≌， ． ，， ， 故答案为：； （2）解：①若中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系为：，理由如下： 在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ，． ， ． ， ． ， ， ， ≌， ，． ，， ≌， ， ； 由可知：，， ， ， ． ，， 设，则，， ， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积、等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 29．(1)， (2)垂直，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据两个不小于0的数和为0，得：两者都为0，即可求解； （2），有 ，，，则=，即可求解 （3）在 上作点,使得 ,再由 ，即可求得 【详解】（1）由题知，解得； （2）∵EA，EB分别平分和， ∴，， ∵， ∴ ， ∴； （3）在AB上截取， ∵，， ∴ ， ∴ ，， ∵，又∵， ∴且， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴且， ∴，即E为CD中点， 【点睛】本题考查两直线平行的性质，三角形全等的判定．构造出全等三角形，熟记平行线的性质与等角关系为关键． 30．（1）100米；（2）1＜AD＜4；（3）见详解 【分析】（1）证明△ABC≌△DEC，由全等三角形的性质即可得AB＝DE； （2）延长到点E使，再连接，由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC＝BE＝3，由三角形三边关系可得1＜AD＜4； （3）在BC上截取BG＝AF，易证△ABG≌△ADF，可得DF＝AG和∠DFA＝∠BGA，即可求证△ACG≌△EAF，可得GE＝AF，即可解题． 【详解】（1）解：在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴DE＝AB=100米； 故答案为：100米 （2）延长到点E使，再连接 如图所示 ∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC≌△EDB（SAS） ∴AC＝BE＝3， ∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE ∴2＜2AD＜8， ∴1＜AD＜4， 故答案为：1＜AD＜4； （3）证明：在BC上截取BG＝AF， ∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝90° ∴∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠DAF＝90° ∴∠CBA＝∠DAF， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF，（SAS） ∴DF＝AG，∠DFA＝∠BGA， ∴∠EFA＝∠CGA， ∵在△ACG和△EAF中， ， ∴△ACG≌△EAF（AAS） ∴EE＝AG＝FD． ∴ 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 31．(1)见解析 (2)50° (3)见解析 【分析】(1)根据SAS可证得； （2）由，可得，故，即可得出的度数； （3）连接AF，过点A作于点J．由可得：，，即可得出．可证得，得：，由，可得出，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵． ∴． 在和中， ， ∴． （2）∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 故答案为：50°． （3）证明：如图，连接AF，过点A作于点J． ∵， ∴，， ∵，． ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等的证明和性质，掌握全等的证明和性质是解题的关键． 32．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得∠EDF＝90°，DE＝DF，由正方形的性质可得∠ADC＝90°，DE＝DF，可得∠ADE＝∠CDF，由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得AE＝CF； （2）过点F作FP⊥BC交BC延长线于点P，由勾股定理可求AO的长，可得AE＝CF＝3，通过证明△ABO∽△CPF，可得，即可求PF的长，即可求点F到直线BC的距离． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∵由旋转的性质可知， ， ∴，， ∴， ∴在△ADE和△CDF中， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点F作FP⊥BC交BC延长线于点P， 则线段FP的长度就是点F到直线BC的距离． ∵点O是BC中点，且AB＝BC＝4， ∴BO＝2， ∴AO＝＝10， ∵OE＝4， ∴AE＝AO﹣OE＝6. ∵△ADE≌△CDF， ∴AE＝CF＝6，∠DAO＝∠DCF， ∴∠BAO＝∠FCP，且∠ABO＝∠FPC＝90°， ∴△ABO∽△CPF， ∴， ∴， ∴PF＝， ∴点F到直线BC的距离为. 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明△ABO∽△CPF是本题的关键． 33．(1) (2)见解析 (3)16 【分析】（1）根据等角的余角相等解答； （2）延长至点，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，再证明，得出，证明结论； （3）延长至，使，连接、、，设交于点，证明，得到，，再证明，得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：， ，即， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图2，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图3，延长至，使，连接、、，设交于点， ， ， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ，， 在与中， ， ， ，， 点是的中点， ， ，， ， ，， ，， ， ，， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 34．(1)当时，与的面积相等 (2)45°或90°或67.5°或37.5° (3)5 【分析】（1）根据题意可知当CP=6时，证△PCD≌△BCD（SAS），即可得出结论； （2）根据题意由（1）得：∠PCD=45°，分两种情况：①点P在AC上，若PC=PD，则∠PDC=∠PCD=45°，则∠CPD=90°；若DP=DC时，∠CPD=∠PCD=45°，若CP=CD，则∠CPD=∠CDP=67.5°； ②点P在AD上时，存在DP=DC，则∠CPD=∠PCD，求出∠CDP=105°，由三角形内角和定理得∠CPD=37.5°即可； （3）由题意可知当M在CD上，且MP⊥AC时，MP最小，作MP'⊥BC于P'，则MP'∥AC，证△PCM≌△P'CM（AAS），得MP=MP'，CP=CP'，当点E、M、P'三点共线时，MP+ME的值最小，则EP'∥AC，由平行线的性质得∠BEP'=∠A=30°，由直角三角形的性质得BE=AB=6，BP'=BE=3，求出CP=CP'=BC-BP'=3即可． 【详解】（1）解：当时，与的面积相等，理由如下： ∵，∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（SAS） ∴与的面积相等． （2）由（1）得：， 分两种情况： ①点P在上，如图1所示： 若，则， ∴； 若时，则， 若， ∴； ①点P在上时，如图2所示： 存在， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为45°或90°或67.5°或37.5°. （3）当M在上，且时，最小，作于，如图3所示： 则， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴（AAS）， ∴，， 当点E、M、三点共线时，的值最小， 则， ， ∵，， ∴， ∵点E是斜边的中点， ∴ ∴ ∴. 故答案为：5. 【点睛】本题是三角形综合题目，考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°的直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质以及最小值问题等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关． 35．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或 【分析】（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论； （2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案； （3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵FD⊥AC， ∴∠FDA=90°， ∴∠DFA+∠DAF=90°， 同理，∠CAE+∠DAF=90°， ∴∠DFA=∠CAE， 在△AFD和△EAC中， ， ∴△AFD≌△EAC（AAS）， ∴DF=AC， ∵AC=BC， ∴FD=BC； （2）作FD⊥AC于D， 由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE， 在△FDG和△BCG中， ， ∴△FDG≌△BCG（AAS）， ∴DG=CG=1， ∴AD=2， ∴CE=2， ∵BC=AC=AG+CG=4， ∴E点为BC中点； （3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D， BC=AC=4，CE=CB+BE=7， 由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB， ∴CG=GD，AD=CE=7， ∴CG=DG=1.5， ∴AG=CG+AC=5.5， ∴， 同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$