第1章全等三角形 单元练习 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

11 苏科版八上数学 第1章 较难 + 困难 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（江苏宿迁·八年级校考期中）如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AFB=60°；③BF=AH；④△ECF≌△DCG；⑤连CG，则∠BGC=∠DGC．其中正确的个数是 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（惠州市第八中）如中间图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（     ）A．4 B．3 C．2 D．1 3．（浙江湖州）如右上图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（     ）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 4．（2023上·福建莆田·八年级校考期中）如图，将纸片沿折叠使点A落在点处，且平分平分，若，则的大小为（　 　）    A． B． C． D． 5．（重庆大足）如中间图，在和中，，，，，连接，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（     ）   A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（河北张家口）如右上图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 7．如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 8．（2022上·全国）如图，中，，，三条角平分线、、交于O，于H．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论个数有（　 　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如中间图，在中，，，点D，E分别在边及其延长线上，，F为外一点，且，，则结论：①；②；③；④，其中正确的是（     ）A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①② 10．如右上图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（　　）A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 11．（2022上·湖南永州·八年级统考期中）如图，，，则下列结论错误的是（    ） A．≌ B．≌ C． D． 12．如中间图，在直角三角形中，，的角平分线相交于点O，过点O作交的延长线于点F，交于点G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）A．①②④ B．①③④C．②③④ D．①②③④ 13．（贵州黔东南）如右上图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 (     ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（        ） A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16 14．如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于 秒时，与全等． 15．如右上图，在Rt△ABC中， AB＝AC，点D为BC中点，点E在AB边上，连接DE，过点D作DE的垂线，交AC于点F．下列结论：①△BDE≌△ADF；②AE＝CF；③BE+CF＝EF；④S四边形AEDF＝AD2，其中正确的结论是 （填序号）. 16．（北京市十一学校）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当，时，可得到形状唯一确定的；②当，时，可得到形状唯一确定的；③当，时，可得到形状唯一确定的；④当，时，可得到形状唯一确定的，其中所有正确结论的序号是 ．    17．（2023上·北京大兴·八年级校考期中）如图，在和中，，，，，连接交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是 ．    18．（2023上·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学分校校考阶段练习）教材中有如下一段文字： 如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到．这个实验说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形 全等（填“一定”或“不一定”或“一定不”）． 小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法 （填“正确”或“不正确”）    19．（广东深圳·八年级校考阶段练习）如左下图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．    20．（2022上·上海静安·八年级校考期中）如上中间图，在中，，是的平分线，过点作的垂线交延长线于点，若，则的度数是   21．（2022上·湖北武汉·八年级校联考期中）如右上图，在直角三角形中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的结论是 ．（只填写序号）   22．（2022上·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如下图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是 ．（把正确结论的序号填在横线上）． 23．（长沙市雅礼实验中学）如上中间图，在四边形中：，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：①．②．③平分；④平分；⑤；⑥．其中正确的是： （填写正确的序号） 24．（厦门一中）如右上图，在平面直角坐标系中，已知点A、B分别为x轴和y轴上一点，且，过点B作于点E，延长至点D，使得，连接，若点C在第一象限，点C的坐标为，连接，与交于点F，则点D的坐标为 ． 25．（辽宁鞍山）在中，，点是外一点，连接，且交于点，在上取一点，使得，若，，则的度数为 ． 26．（南京市科利华中学）如上中间图，中，，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为、、、，若，则 ． 27．（成都七中）如右上图图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点M为x轴上方一动点，且，以点M为直角顶点构造等腰直角三角形，当线段AP取最大值时， ，点M的坐标为 ． 28．（2022上·湖北宜昌·八年级校考期中）如所示，平分，，于点，，，那么的长度为 ． 29．如右上图，正三角形△ABC和△CDE，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．成立的结论有 ．（填序号） 30．已知在数轴上，从左往右依次有四个点A，，，，其中点A，对应的数分别为和9．    　　   (1)利用直尺和圆规作图：如图1，已知线段，，，在数轴上方，求作，使得，（只保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，在数轴上找一点，直接作出直线，使得直线平分的周长； (3)如图2，在中，点为中点，过点的直线交于，交的延长线于，若，求证：直线平分的周长； (4)如图3，若，点在边上，点在边上，且平分的周长．请问线段的长是否为定值？若是定值，请说明理由；若不是定值，当与满足什么关系时，线段最短，说明理由． 参考答案： 1．B 【分析】运用等边三角形的性质和角的和差可得出条件，①△ACD≌△BCE；由∠ACB=60°，可得∠AFB=∠ACB+∠FBC＞60°，可知②错误；由△ACD≌△BCE可得出∠CBF=∠CAH，以及由题意得BC=AC,但找不到其他条件是，不能证明△BCF≌△ACH；在△BCF和△DCG中 ∠CEG=∠CDG，缺少其他条件,说明④错误；作CJ⊥BE,CK⊥AD，由△BCE≌△ACD，可得∠BGC=∠DGC. 【详解】解：∵ △ABC与△CDE都是等边三角形 ∴∠BCA=∠DCE=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ACE+∠DCE， ∴∠BCE=∠ACD， 在△BCE和△ACD中 BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD ∴△ACD≌△BCE（SAS），①正确； ∵∠ACB=60°， ∴∠AFB=∠ACB+∠FBC＞60°，可知②错误； ∵△ACD≌△BCE ∴∠CBF=∠CAH； 在△BCF和△ACH中 ∠CBF=∠CAH，BC=AC，缺少其他条件 故③错误； ∵△ACD≌△BCE ∴∠CEG=∠CDG； 在△BCF和△DCG中 ∴∠CEG=∠CDG，缺少其他条件,故④错误； 作CJ⊥BE,CK⊥AD， ∵△BCE≌△ACD， ∴CJ=CK， ∴GC平分∠BGD， ∴∠BGC=∠DGC，故⑤正确； 故选B. 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、等边三角形的性质以及四点共圆的相关知识，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键. 2．B 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断③；由全等三角形的性质可得，，进而可判断④． 【详解】解：∵在中，、分别平分、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴．故③正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴，故④不正确； 综上，正确的有①②③，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，角平分线与三角形内角和定理．根据三角形内角和定理以及角平分线定义，再由此证明，，是解决问题的关键． 3．C 【分析】由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点G，使，连接，先证明，得，由，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：∵E、F分别是上的任意点， ∴与不一定相等，故①错误； ∵于点于点D， ∴， ∵， ∴的另一个条件是， ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴， ∴平分，故③⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干信息矛盾，故④错误； 故选C 【点睛】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 4．C 【分析】由题意得，那么．如图，连接．根据三角形外角的性质，得，那么．欲求，需求，由三角形内角和定理得．由平分平分，得，那么，由，得，从而解决此题． 【详解】解：如图，连接． 平分平分 由题意得：． ． 故选：C．    【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质是解决本题的关键． 5．C 【分析】先由证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，可判断①正确；设交于点G，因为，所以，可判断②正确；作于点I，于点J，由得，则，即可证明平分，可判断④正确；假设，则，所以，由，，得，即可推导出，得，与已知条件相矛盾，可判断③错误，于是得到问题的答案． 【详解】∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； 设交于点G， ∴， 故②正确； 作于点I，于点J， ∵， ∴， ∴， ∴点A在的平分线上， ∴平分， 故④正确； 假设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，与已知条件相矛盾， ∴， 故③错误， ∴①②④这3个结论正确， 故选：C．    【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 6．C 【分析】根据可得出 , 利用判定,从而得出.则,即； 再利用判定 , 得出又因为所以 连接.因为是等腰直角三角形, 即.又因为,那么垂直平分.即.在中, 是斜边, 是直角边, 所以.即. 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，故①正确； 在和中， ∵,, 且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 在和中 ∵平分， ∴， 又∵,， ∴， ， 又由,知， ∴，故③正确； 连接，    ∵是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴垂直平分， ∴， 在中， ∵是斜边，是直角边， ∴， ∵， ∴，故④错误； 综上分析可知，正确的是①②③． 故选：． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有:.在复杂的图形中有的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点. 7．D 【分析】易证，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据③可求得④正确． 【详解】解：为的角平分线， ， 在和中， ， ，①正确； ， ， ， ， ， ，②正确， ， ， ， ， ， ，③正确； 过作，交的延长线于点，   ，   平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和全等三角形对边角、对应边相等的性质是解题的关键． 8．C 【分析】由得，即可求得，可判断①正确； 由，而，可推导出，可判断②正确； 由，得，再由推导出，即可证明，可判断③错误； 在上截取，连接，由得，即要证明，再证明，得，则，所以，即可证明，得，所以，可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故①正确； ∵于H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③错误； 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键 9．A 【分析】根据全等三角形的性质，证明和全等，即可得到；连接如图见解析，证明和全等，即可得到；延长交于如图见解析，利用等腰直角三线合一的性质，，，可知，，，即可判断③；在和中，利用勾股定理以及等式的性质，即可判断④． 【详解】解：， 即 在和中 ，故①正确； 连接，如图： 在中， ， ，故②正确； 延长交于，如图： ， ， ，故③正确； 在中， ， ，故④正确， 综上所述，正确的有①②③④， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识． 10．D 【分析】先证得，从而推得①正确；利用及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明，得出，同理，得出，，则，证明，得出．则可得出④正确，由可得出结论③正确，根据全等三角形的性质即可得到⑤正确． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵与所交的对顶角相等， ∴与所交角等于，即等于， ∴，故②正确； 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故④正确， ∵， ∴． 故③正确． ∵，，， ∴，故⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 11．D 【分析】利用全等三角形的判定和性质逐一选项判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴≌（），故选项A正确，不合题意；     连接， ∵≌（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项C正确，不合题意； ∵，证不出， ∴选项D错误，符合题意； 在和中， ∴≌（），故选项B正确，不合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意作出适当的辅助线是解题的关键． 12．A 【分析】根据角平分线的定义、三角形外角的性质与直角三角形性质可以判断①是否正确；延长交于H，通过证明，，利用全等的性质来判断②是否正确；通过证明，利用性质判断③是否正确；根据同高的两个三角形的面积比等于它们的底边长之比，直接判断④是否正确；从而得解． 【详解】解：的角平分线相交于点O， ，， === 故①正确； 延长交于H，如图所示： ， 又， ， ， ， ， ，， ， 故②正确； ，， ， ， ， ， 又，， ， ， ， 故③错误； 同高的两个三角形面积之比等于底边长之比， ， 故④正确； 因此正确的有：①②④； 故选A． 【点睛】此题是直角三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、同高的两个三角形面积之比等于底边长之比等知识，熟练运用这些性质进行推理是解题的关键． 13．D 【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24﹣12＝12cm， ∴点E的运动时间为12÷3＝4（秒）； ②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24+12＝36cm， ∴点E的运动时间为36÷3＝12（秒）； ③当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE， ∵AB＝24cm， ∴BE＝24cm， ∴AE＝24+24＝48cm， ∴点E的运动时间为48÷3＝16（秒）， 综上所述t的值为： 4，12，16．共3种情况． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，分类讨论，找到所有符合题意的情况是解本题的关键． 14．2或或12 【分析】根据全等三角形的性质可得CP=CO，然后分不同情况求解关于t的方程即可． 【详解】解：∵△PEC≌△CFQ ∴PC=CQ 分以下五种情况： ①如图1，P在AC上，Q在BC上， ∵PE⊥l，QF⊥1， ∴∠PEC=∠QFC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°， ∴∠EPC=∠OCF， 要使△PEC≌△CFQ，则需PC=CQ， ∵PC=6-t,CQ=8-2t， ∴6-t =8-2t，解得：t=2； ②如图2，P在BC上，Q在AC上， ∵PC=t-6,CQ=2t-8， ∴t-6 =2t-8，解得：t=2； ③如图3:当P、Q都在AC上时， ∵CP=6-t,CQ=2t-8， ∴6-t=2t-8，解得：t=； ④当Q到A点停止，P在BC上时，PC=AC=6，QC=t-6 ∴6=t-6，解得：t=12； ⑤P和Q都在BC上的情况不存在 ∵P的速度是每秒1个单位每秒，Q的速度是2个单位每秒， ∴P和Q都在BC上的情况不存在． 故答案为: 2或或12． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理以及分类讨论思想成为解答本题的关键． 15．①②④ 【分析】由ASA证明，得出BE=AF，DE=DF，可判断出①②正确；再根据BE+CF=AF+AE,利用三角形两边之和大于第三边，即可判定③错误；根据全等三角形的面积相等可得，从而求出S四边形AEDF＝，判断出④正确. 【详解】∵在Rt△ABC中， AB＝AC，点D为BC中点 ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确 ∴ ∴，故②正确 ∴ ∵ ∴，故③错误 ∵ ∴S四边形AEDF＝，故④正确； 故答案为①②④ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，还涉及了等腰直角三角形的性质以及三角形的面积，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 16．②③④ 【分析】分别在以上四种情况下以为圆心，的长度为半径画弧，观察弧与直线的交点即为点，作出后可得答案． 【详解】解：如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的都符合题意，故不唯一，故①错误，不符合题意，     ； 如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的不符合题意，故唯一，故②正确，符合题意，     ； 如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的都符合题意，但是此时两个三角形全等，故形状相同，故唯一，故③正确，符合题意，   ； 如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的不符合题意，故唯一，故④正确，符合题意，   ； 综上所述，结论正确的是②③④， 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查全等三角形的判定方法的探究，关键是确定以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线的交点个数． 17．①②④ 【分析】由SAS证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ∴， ，①正确； ∴， 由三角形的外角性质得：， ，②正确； 作于，于，如图2所示：    则， 在和中， ， ， ， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的①②④； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．属于填空中的压轴题． 18． 不一定 正确 【分析】小明的说法正确，如图，和中，，，， ，，作于， 于，首先证明，推出，再证明，推出，由此即可证明． 【详解】有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，理由：        由题意可知： ，，， 通过观察图与不全等； 小明的说法正确，理由： 如图，和中，，，，，，    作于，于， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， (当和是锐角三角形时，证明方法类似) 故答案为：正确． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加辅助线构造全等三角形解决问题． 19． 【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，取最大值，即取最大值． 【详解】解：如图：延长，交点于，    平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，； ， ，即；   ， ， 当时，取最大值，即取最大值． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性质得到． 20．/53度 【分析】延长至点，使，先求得，进而证得，得到，结合即可求得答案． 【详解】如图所示，延长至点，使．    ∵，， ∴． ∴． ∵，是的平分线， ∴． ∴， ． ∴． 在和中 ∴．   ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、角平分线的定义、多边形内角和等，能根据题意作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 21．①③④ 【分析】根据角平分线的定义、三角形外角的性质与直角三角形性质可以判断①是否正确；延长交于H，通过证明，，利用全等的性质来判断③是否正确；通过证明，利用性质判断②是否正确；根据同高的两个三角形的面积比等于它们的底边长之比，直接判断④是否正确，从而得解． 【详解】解：∵的角平分线、相交于点O， ∴，， ， 故①正确； 延长交于H，如图所示：    ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故②错误； ∵同高的两个三角形面积之比等于底边长之比， ∴， 故④正确； 因此正确的有：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】此题是直角三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、同高的两个三角形面积之比等于底边长之比等知识，熟练运用这些性质进行推理是解题的关键． 22．①③④ 【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项不正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案； 【详解】解： ， 即： 在 和 中 ，本选项正确； 为等腰直角三角形， ，本选项不正确； 即, ∴，本选项正确； ，本此选项正确； 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 23．③⑤⑥ 【分析】由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误； 延长到点G，使，连接，先证明，得，由，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确,④错误；因为，所以，可判断⑤正确；由，且，得，可判断⑥正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵E、F分别是上的任意点， ∴与不一定相等， 故①错误； ∵于点于点D， ∴， ∵， ∴的另一个条件是， ∵与不一定相等， ∴与不一定全等， 故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴ 故③正确，⑤正确，④错误； ∵， ∴， 故⑥正确， 故答案为：③⑤⑥． 【点睛】此题重点考查三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 24． 【分析】如图，先证明再根据证明，即得，接着再证明，即可得出，从而求得结果． 【详解】解：过点D作轴于点K，过点C作于点L，与x轴相交于点H， 如图所示： ， ， 在中，， 在中，， ， ， 在和中， ， ， 又， ， 即， ， ， ， 在和 中， ， ， ， 点C的坐标为，即， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是会添加辅助线，构造全等三角形． 25．/40度 【分析】根据证明，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：； 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点． 26． 【分析】把图中四块阴影部分的面积转化为三角形面积，通过三角形全等即可转化为，即可得到答案． 【详解】解：连接，过点E作于点，记的交点为，的交点为， ∵，而， ∴， ∴， 故； 又∵， 而， ∴， ∴， ∴， 而，则， ∵， ∴， 而， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用（或）证明三角形全等是解本题的关键． 27． 或 【分析】以M为直角顶点，为直角边构造等腰直角三角形，连接，然后证明根，接着得到当N，A，B三点共线时，最大，即最大，最好利用等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，以M为直角顶点，为直角边构造等腰直角三角形，连接， 由题意 ， ∴， ∴， ∴， 当N，A，B三点共线时，最大，即最大，此时， 如图2，过M作轴，垂足为T， ∵， ∴， ∴ ∴的最大值， ∴ 当M在x轴下方时，同上，此时． 故答案为：，或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、利用了等量代换及转化的思想等知识点，熟练掌握相关判定与性质是解本题的关键． 28． 【分析】过C作的延长线于点F，由条件可证，得到．再由条件，由，由全等的性质可得，问题可得解． 【详解】证明：如图， 过C作的延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵cm，cm， ∴， ∴cm， ∴cm． 故答案为：3 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握常用的判定方法为： 是解决问题的关键． 29．①②③⑤ 【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD＝BE； ③由△ACD≌△BCE得∠CBE＝∠DAC，加之∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP＝BQ；故③正确； ②根据③△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ＝60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确； ④根据∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误； ⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE＝∠DEO，于是∠AOB＝∠DAC+∠BEC＝∠BEC+∠DEO＝∠DEC＝60°，可知⑤正确． 【详解】解：①∵等边△ABC和等边△DCE， ∴BC＝AC，DE＝DC＝CE，∠DEC＝∠BCA＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； 故①正确； ③∵△ACD≌△BCE（已证）， ∴∠CAD＝∠CBE， ∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证）， ∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°， ∴∠ACB＝∠BCQ＝60°， 在△ACP与△BCQ中， ， ∴△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴AP＝BQ； 故③正确； ②∵△ACP≌△BCQ， ∴PC＝QC， ∴△PCQ是等边三角形， ∴∠CPQ＝60°， ∴∠ACB＝∠CPQ， ∴PQ∥AE； 故②正确； ④∵AD＝BE，AP＝BQ， ∴AD﹣AP＝BE﹣BQ， 即DP＝QE， ∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°， ∴∠DQE≠∠CDE， ∴DE≠QE， ∴DP≠DE； 故④错误； ⑤∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝60°， ∵等边△DCE， ∠EDC＝60°＝∠BCD， ∴BC∥DE， ∴∠CBE＝∠DEO， ∴∠AOB＝∠DAC+∠BEC＝∠BEC+∠DEO＝∠DEC＝60°． 故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题综合考查等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力． 30．(1)图见解析； (2)图见解析； (3)证明见解析 (4)当时，最短． 【分析】（1）根据已知线段取，进而画出图形即可； （2）根据周长关系使，即可找出F点在数轴上1的位置； （3）延长至点F，使，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，进而利用线段关系解答即可； （4）延长至点N，使，过N作，且，连接，再根据全等三角形的判定和性质以及线段关系解答即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． （2）解：如图1，即为所求．    （3）解：如图2：延长至点F，使，连接，    ∵G为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分别上部长：，下部分长：， ∵G为的中点， ∴， ∵， ∴，即直线平分的周长．    （4）解：如图3：延长至点N，使，过N作，且，连接，    由（3）可知，， ∴， 在中，， ∴， ∴当M、P、Q三点共线时，即时，最短． 【点睛】本题主要全等三角形的判定和性质、数轴、尺规作图等等知识点，灵活利用证明三角形全等是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$