1.4.2.2用空间向量研究夹角问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时 用空间向量研究夹角问题 人教A版选择性必修第一册 思 问题引入 1. 空间中的角包括哪些? 2. 向量的夹角怎么求? 直线与直线所成的角 直线与平面所成的角 平面与平面的夹角. 用向量方法研究 思 新知探究 1.直线与直线的夹角 本质:两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角. l1 l2 l1 l2 O O 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90 ,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成角的大小. 例 1 4 思 新知探究 2.直线与平面的夹角 思考:若直线a的方向向量分别为,平面 的法向量为,则直线a与平面 所成角 与向量夹角<, >的区别与联系是什么? 思 例题解析 B A A1 B1 C1 C F x y z 例1:. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=AB,AB=AA1,∠BAA1=60 .若平面ABC平面AA1B1B,求直线A1C与平面BB1C1C所成的角的正弦值. O 证明垂直,建系 进行向量运算 回到图形问题 优化学案P63 如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA= AC= ,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别 为PB,BC的中点. (1)证明:CM⊥SN; 例 2 (2)求SN与平面CMN所成角的大小. 7 则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0), 8 设a=(x,y,z)为平面CMN的法向量, 9 设SN与平面CMN所成的角为 , 10 思 新知探究 二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面. 平面与平面的夹角的定义:平面 与平面 相交所形成的4个二面角中,把其中不大于90 的二面角称为平面 与平面 的夹角. 二面角 的范围是[0, ] 思 新知探究 3.平面与平面的夹角 l l 本质:平面与平面的夹角就是它们的法向量所成角或其补角. 思 例题解析 例2-1:. 如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直,AB=,AF=1,求平面ADF与平面BDF夹角的大小. x y z B A C D E F 优化学案P65 思 例题解析 例2-2:. 如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直,AB=,AF=1,试在线段AC上找一点P,使得PF与CD所成的角是. x y z B A C D E F 优化学案P65 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥DC,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD 的中点,M为PC的中点,PA=PD=2, (1)求证:PQ⊥AB. 跟踪训练 3 (2)求平面PQB与平面MQB夹角的余弦值. 15 在 PAD中,PA=PD,Q为AD的中点, 所以PQ⊥AD. 因为平面PAD⊥底面ABCD,且平面PAD∩ 底面ABCD=AD,PQ⊂平面PAD, 所以PQ⊥底面ABCD. 又AB⊂平面ABCD,所以PQ⊥AB. 16 Q为AD的中点,所以DQ=BC,DQ∥BC, 所以四边形BCDQ为平行四边形. 因为AD⊥DC,所以AD⊥QB. 由(1),可知PQ⊥平面ABCD,故以Q为坐标原点,建立空间直角坐标系Qxyz,如图所示, 17 因为AQ⊥PQ,AQ⊥BQ,PQ∩BQ=Q,PQ,BO⊂平面PQB,所以AQ⊥平面PQB, 因为M是棱PC的中点, 设平面MQB的法向量为m=(x,y,z), 18 19 思 方法小结 设直线与的方向向量分别为,,平面与平面的法向量分别为, 1、直线与直线所成角: 2、直线与平面所成角: 3、平面与平面所成角 二面角:先计算平面角再根据图分辨锐、钝二面角(肉眼观察),添加正负号 AB 设PA=1,以A为原点,,,分别为 x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图). 又AN=AB,M,S分别为PB,BC的中点, ∴N,M,S, =,=, ∴ = =0, ∴⊥,因此CM⊥SN. 由(1)知,=,=,=, ∴ a=0, a=0. 则 ∴取y=1,得a=(2,1,-2). ∵sin =|cos〈a,〉|==. ∴SN与平面CMN所成的角为. BC=AD=1, CD=. 在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=AD, 则Q(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,),C(-1,,0),B(0,,0), 则=(0,,0). 即为平面PQB的一个法向量,且=(1,0,0). 所以点M的坐标为, 所以=. 则即 所以可取m=(,0,1), 所以|cos〈,m〉|==. 所以平面PQB与平面MQB夹角的余弦值为. $$