1.4.1.2空间直线、平面的平行课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时 空间直线、平面的平行 人教A版选择性必修第一册 导 复习引入 符号表示: 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行. 符号表示: 线线平行 线面平行 a b 1.直线与平面平行的判定定理 2.直线与平面平行的性质定理 导 复习引入 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行. 符号表示: b a P 简称:线面平行 面面平行 a b 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两天交线平行. 符号表示: 简称:面面平行 线线平行 3.平面与平面平行的判定定理 4.平面与平面平行的性质定理 思 新知探究 直线 平面 方向向量 法向量 位置关系 位置关系 立体几何 空间向量 直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量 思考:怎么用这些向量刻画空间直线、平面的平行、垂直关系? 思 新知探究 1.直线与直线平行 设 分别是直线 的方向向量 注意: (1)此处不考虑线线重合的情况. (2)证明线线平行的两种思路: ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明. ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示. 思 新知探究 2.直线与平面平行 设 u 是直线 l 的方向向量, n1 是平面 的法向量, l n1 u 注意: (1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)特别强调直线在平面外. 思 新知探究 3.平面与平面平行 设 分别是是平面 和平面 的法向量 n1 n2 注意:证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行. (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2,点M在棱BB1上,且BM=2MB1,点S在棱DD1上,且SD1=2SD,点N,R分别为棱A1D1,BC的中点.求证:MN∥RS. 例 1 思 典例解析 8 方法一 如图所示,建立空间直角坐标系, 所以MN∥RS. 9 又R∉MN, 所以MN∥RS. 10 思 典例解析 在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是正方形,侧棱PD垂直于底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.证明:PA∥平面EDB. 例 2 如图所示,建立空间直角坐标系,D是坐标原点, 设PD=DC=a. 连接AC,交BD于点G, 连接EG, 12 方法一 设平面BDE的法向量为n=(x,y,z), 又PA⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB. 13 方法二 因为四边形ABCD是正方形, 所以G是此正方形的中心, 而EG⊂平面EDB,且PA⊄平面EDB, 所以PA∥平面EDB. 14 方法三 假设存在实数 , 使得 所以PA∥平面EDB. 15 思 典例解析 例3:如图,在长方体中,.线段上是否存在点,使得平面? 分析: 是否存在P? 找到P 如何判断 P在哪儿? P在B1C上 如何表示 A1P//面ACD1 如何 确定 向量运算 确定存在 A C D B C1 D1 B1 A1 P 思 新知探究 x y z 例3:如图,在长方体中,.线段上是否存在点,使得平面? 法向量坐标法 思 新知探究 x y z 例3:如图,在长方体中,.线段上是否存在点,使得平面? 坐标法 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90 ,PA=AB=BC= =1.问:在棱PD上是否存在一点E,使得CE∥平面PAB?若存在,求出E点的位置,若不存在,请说明理由. 延伸探究 19 分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图. 则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0). 假设在棱PD上存在符合题意的点E, 设E(0,y,z), ∴-y-2(z-1)=0. ① 20 ∴(-1,y-1,z) (0,2,0)=2(y-1)=0. ∴E是PD的中点,即存在点E为PD的中点时,CE∥平面PAB. 21 如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′,求证:平面 AB′D′∥平面BDC′. 例 3 22 方法一 设该正方体的棱长为1,以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B′(1,1,1), 设平面AB′D′的法向量为n1=(x1,y1,z1), 23 令y1=1,则x1=-1,z1=-1, 可得n1=(-1,1,-1). 设平面BDC′的法向量为n2=(x2,y2,z2), 令y2=1,则x2=-1,z2=-1, 可得n2=(-1,1,-1). 所以n1=n2,所以n1∥n2, 故平面AB′D′∥平面BDC′. 24 又AD′⊄平面BDC′,AB′⊄平面BDC′,所以AD′∥平面BDC′,AB′∥平面BDC′. 又AD′∩AB′=A,且AD′⊂平面AB′D′,AB′⊂平面AB′D′,所以平面AB′D′∥平面BDC′. 25 方法三 由方法一得平面AB′D′的一个法向量 为n1=(-1,1,-1). 26 16.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO? 思 典例解析 例3:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形. 思 练习巩固 2. 如图, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E, F,G分别在棱A1A,A1B1, A1D1上,A1E=A1F=A1G=1;点P, Q,R分别在棱CC1,CD, CB上,CP=CQ=CR=1;求证:平面EFG//平面PQR. 课本P43 检 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容? 线面的 位置关系 向量的 位置关系 向量的运算 向量运算的 坐标表示 其中, 分别是直线 的方向向量; 分别是平面 的法向量. 根据题意得M, N(0,2,2),R(3,2,0),S. 则,分别为MN,RS的方向向量, 又=,=, 所以=,所以∥,因为M∉RS, 方法二 设=a,=b,=c, 则=++=c-a+b, =++=b-a+c. 所以=, 所以∥. 依题意得D(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a),E, B(a,a,0). 又=,=, 则有即即 令z=1,则所以n=(1,-1,1), 又=(a,0,-a), 所以n =(1,-1,1) (a,0,-a)=a-a=0. 所以n⊥. 故点G的坐标为, 所以=. 又=(a,0,-a), 所以=2,则PA∥EG. = + , 即(a,0,-a)= + , 则有解得 所以=-+,又PA⊄平面EDB, AD 则=(0,y,z-1),=(0,2,-1). ∵∥, ∵=(0,2,0)是平面PAB的法向量, =(-1,y-1,z), ∴y=1,代入①式得z=. 由CE∥平面PAB,可得⊥. D′(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C′(0,1,1),于是=(0,1,1),=(1,1,0), =(1,1,0),=(0,1,1). 则 则 方法二 由方法一知=(-1,0,1), =(-1,0,1),=(0,1,1),=(0,1,1), 所以=,=, 即AD′∥BC′,AB′∥DC′, 易知=(1,1,0),=(0,1,1). 因为n1 =(-1,1,-1) (1,1,0)=0,n1 =(-1,1,-1) (0,1,1)=0,所以n1也是平面BDC′的一个法向量,所以平面AB′D′∥平面BDC′. 证明:以点D为坐标原点,分别以eq \o(DA,\s\up16( )),eq \o(DC,\s\up16( )),eq \o(DD1,\s\up16( ))为正交基底建立空间直角坐标系. 不妨设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),E(0,0,1),C1(0,2,2),F(2,2,1), 所以eq \o(AE,\s\up16( ))=(-2,0,1),eq \o(FC1,\s\up16( ))=(-2,0,1),所以eq \o(AE,\s\up16( ))=eq \o(FC1,\s\up16( )), 所以eq \o(AE,\s\up16( ))∥eq \o(FC1,\s\up16( )),又因为F∉AE,F∉EC1, 所以AE∥FC1,又因为|eq \o(AE,\s\up16( ))|=|eq \o(FC1,\s\up16( ))| 所以四边形AEC1F是平行四边形. $$