四川省成都市双流区芯谷实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年四川省成都市双流区芯谷实验学校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各组数中，是勾股数的是(    ) A. 6、7、10 B. 12、16、20 C. 1、2、3 D. 4、5、8 2.下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是(    ) A. B. C. D. 3.下列四个实数中，属于无理数的是(    ) A. B. C. D. 4.平面直角坐标系中，点所在象限是(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5.是下面哪个二元一次方程的解(    ) A. B. C. D. 6.已知点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 不能确定 7.在中，，，，则的斜边AB上的高CD的长是(    ) A. B. C. 9 D. 6 8.若，则一次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 9.点到x轴上的距离是______. 10.的立方根是______，的平方根是______. 11.将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______. 12.若方程组的解是，则直线与直线的交点坐标是______. 13.如图，已知，，，数轴上点A表示的数是______. 14.的整数部分______，的小数部分______. 15.如图，在中，，AD平分，，，则BD的长是______. 16.定义一种新运算“※”，规定x※，其中a、b为常数，且1※，2※，则2※__________ 17.直线经过点，当时，y的最大值为6，则k的值为______. 18.正方形，，，…按如图所示方式放置，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是______. 三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题12分 计算下列各式的值. ； 请用代入消元法； 请用加减消元法 20.本小题8分 2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功，为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习.已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元，问甲、乙两种型号客车各租多少辆？ 21.本小题8分 如图，中，点，，在所给直角坐标系中解答下列问题： 在图中画出关于y轴对称的 求的面积是______. 在x轴上找一点P，使得的值最小，则点P的坐标为______. 22.本小题10分 葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？ 如图，如果树干的周长即底面圆的周长为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？ 如果树干的周长即底面圆的周长为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？ 23.本小题10分 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰，，点P为直线BC上一个动点． 点坐标为______，B点坐标为______； 求直线BC的解析式； 当时，求点P坐标． 24.本小题8分 甲、乙两人相约周末登山，甲、乙两人距地面的高度米与登山时间分之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： ______米； 求出甲距地面的高度y与登山时间x的关系式，并指出一次项系数的实际意义； 若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，则在整个爬山过程中，登山多长时间时，甲乙两人距离地面的高度差为70米？ 25.本小题10分 小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： 一一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； 二一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； 请回答下列问题： 归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果. ①______； ②______. 应用：求…的值. 拓广：直接写出的值. 26.本小题12分 如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过x轴负半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且≌ ______，______； 点是线段CD上一点，作交AB于点N，连接MN，则点N的坐标为______； 若为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选： 根据勾股定理即可判断． 本题主要考查勾股数的判断，掌握相关知识是解题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：根据函数的定义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以D选项符合题意． 故选： 函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； B.，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C.是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； D.是无理数，故本选项符合题意． 故选： 根据无理数的定义解答即可． 本题考查的是无理数和算术平方根，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：，， 点所在象限是第一象限． 故选： 根据点的横纵坐标的正负判断即可． 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限 5.【答案】A  【解析】解：把代入A，得，所以是二元一次方程A的解； 把代入B，得，所以不是二元一次方程B的解； 把代入C，得，所以不是二元一次方程C的解； 把代入D，得，所以不是二元一次方程D的解． 故选： 把解代入各个选项中，满足方程成立的符合条件． 本题考查了方程解的定义，掌握二元一次方程解的定义是解决本题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：， 随x的增大而增大， 又点，在一次函数的图象上，且， 故选： ，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合，可得出 本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：在中，，，， 由勾股定理得，， 的面积，即， 解得，， 故选： 根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 8.【答案】D  【解析】解：， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限． 故选： 先根据判断出与的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 9.【答案】3  【解析】解：点到x轴上的距离是 故答案为： 根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值可得答案． 本题主要考查点的坐标，根据点的纵坐标判断点到x轴的距离是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：的立方为，故的立方根为， ，故9的平方根为， 故答案为、 根据平方根和立方根的知识点进行解答，若，则，则，据此得到答案． 本题主要考查立方根和平方根的知识点，基础题，比较简单，但注意个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式 11.【答案】  【解析】解：将直线向下平移2个单位长度后所得直线的解析式是，即 故答案为： 直接根据“上加下减”的平移规律求解即可． 本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”． 12.【答案】  【解析】解：因为方程组的解是， 所以直线与直线的交点坐标是， 故答案为：， 根据两个函数图象的交点就是两个函数组成的方程组的解可得答案． 此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解． 13.【答案】  【解析】解：，，，， ； 点A在原点左侧，表示负数， 故点A表示的数是 故答案为： 根据勾股定理计算，结合数轴的意义计算数即可． 本题考查了勾股定理，数轴上表示数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 14.【答案】3；   【解析】解：因为， 所以 所以的整数部分是 因为， 所以 所以，即 所以的小数部分是 故答案为：3， 先利用算术平方根确定、的范围，再确定、的整数部分、小数部分． 本题主要考查了无理数的估算，掌握算术平方根的求法及不等式的性质是解决本题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图，过点D作于点E， 平分， ， 又，， ≌， ，， ， 在中，由勾股定理得， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ， 解得， ， 故答案为： 过点D作于点E，由AAS证明≌，得出，，再由勾股定理求出BC的长，设，则，在中由勾股定理得出方程求解即可． 本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟记勾股定理是解题的关键． 16.【答案】11  【解析】【分析】 此题主要考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，掌握新定义的运算方法是解本题的关键． 由已知条件，根据所给定义可得到关于a、b的方程组，求得a、b的值，再代入计算即可． 【解答】 解：根据题意，得：， 解得：， 则x※， ※， 故答案为 17.【答案】或4  【解析】解：当时，直线经过点， 将，代入得：， 解得：， 的值为； 当时，直线经过点， 将，代入得：， 解得：， 的值为 综上所述，k的值为或 故答案为：或 分及两种情况考虑，当时，直线经过点，根据点的坐标，利用待定系数法，可求出k的值；当时，直线经过点，根据点的坐标，利用待定系数法，可求出k的值，综上所述，即可得出结论． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质，分及两种情况，利用待定系数法求出k值是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：当时，， 点的坐标为 四边形为正方形， 点的坐标为，点的坐标为 当时，， 点的坐标为 为正方形， 点的坐标为，点的坐标为 同理，可知：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…， 点的坐标为为正整数， 点的坐标为 故答案为： 利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点，，，，的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“点的坐标为为正整数”，再代入即可得出结论． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“点的坐标为为正整数”是解题的关键． 19.【答案】解： ； ， 把①代入②，得， ， 把代入①，得， ， 方程组的解为； ， 将①+②，得， ， 把代入②，得， ， 方程组的解为  【解析】分别计算绝对值、负整数指数幂、二次根式和零指数幂，从而得到结果； 把①代入②，解得y，再把y代入①从而求出x； 将①+②，解得x，再把把x代入②从而求出 本题考查了关于实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组． 20.【答案】解：设租用甲型车x辆，乙型车y辆， 根据题意得：， 解得， 答：租用甲型车5辆，乙型车10辆．  【解析】本题考查的是二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列方程组．设租用甲型车x辆，乙型车y辆，可得：，即可解得答案． 21.【答案】解：如图1，即为所求； ；   【解析】【分析】 本题考查了作图-轴对称变换，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，也考查了最短路径问题． 利用轴对称的性质找出A、B、C关于y轴对称的点、、，然后连线即可； 利用割补法与三角形的面积计算公式解答即可； 作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，根据两点之间线段最短判断P点满足条件，然后写出P点坐标． 【解答】 解：见答案； ； 故答案为4； 作点关于x轴的对称点，连接，交x轴于P，如图2， 则， 此时，最小， 设直线的解析式为，则： ， 解得：， 直线的解析式为， 令，得， 解得：， 点的坐标为 故答案为 22.【答案】解：如果树的周长为30cm，绕一圈升高40cm， 则葛藤绕树爬行的最短路线为：厘米； 如果树的周长为40cm，绕一圈爬行50cm， 则爬行一圈升高为：厘米， 如果爬行10圈到达树顶，则树干高为：厘米．  【解析】立体图形转化为平面图形，利用勾股定理解决问题即可． 本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23.【答案】  【解析】解：当时，， 解得：， 点A的坐标为； 当时，， 点B的坐标为 故答案为：； 过点C作轴于点E，如图所示． 为等腰直角三角形， ， ，， 在和中，， ≌， ，， ， 点C的坐标为 设直线BC的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 直线BC的解析式为 ，即， ， 当时，， 解得：， 点P坐标为； 当时，， 解得：， 点P的坐标为 当时，点P的坐标为或 分别代入，，求出与之对应的x，y的值，进而可得出点A，B的坐标； 过点C作轴于点E，易证≌，利用全等三角形的性质可得出点C的坐标，根据点B，C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式； 利用三角形的面积公式结合，即可求出点P的纵坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P坐标． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A，B的坐标；利用全等三角形的性质，求出点C的坐标；利用三角形的面积结合，求出点P的纵坐标． 24.【答案】30  【解析】解：由图象可得米， 故答案为： 设甲距地面的高度y与登山时间x的关系式， 由图象可得，过点、， ，解得， 甲距地面的高度y与登山时间x的关系式； 一次项的系数是表示甲登山的速度； 甲登山速度为米/分钟， 当时，；当时， 当时， 甲登山全程中，距地面的高度米与登山时间分之间的函数关系式为， 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得： 登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲乙两人距离地面的高度差为70米． 根据图象直接得到答案； 利用待定系数法解答； 求出甲登山速度，由此求出乙登山的函数解析式，列方程当时，解得，当时，当时，解方程即可． 此题考查了一次函数的图象，一元一次方程的应用，待定系数法求函数解析式，正确理解函数图象并应用解决问题是解题的关键． 25.【答案】解：①； ②； … … ；   【解析】【分析】 ①根据一中的解法解答即可； ②根据二中的解法解答即可； 根据平方差公式和分母有理化可以解答本题； 根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题． 本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式、分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解答本题的关键． 【解答】 解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； 见答案； 见答案. 26.【答案】  【解析】解：把代入得：， 点， ， 把代入得：， 点， ， ≌， ，， 故答案为：4，2； 设直线CD对应的函数表达式为：， ，， ，， 把，代入得： ， 解得， 直线CD对应的函数表达式为， ， ≌， ，， 又， ， 即， ， 即， ， ≌， ， 分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，如图1， ， ，， ≌， ，， 点N的坐标为， 故答案为：； 直线CD上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰三角形． 为直线AB上的点， ， ， ①当点P在点B下方时，如图2，连接DE，过点Q作，交DE的延长线于M点， ， 轴，，点M的纵坐标为2，， 是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ≌， ， 点的纵坐标为3， 把代入中得：， 点； ②当点P在点B上方时，如图3，过E点作轴，过点Q作于M点，过P点作交ME的延长线于N点． 则， 点的横坐标为1， 则， 是以E为直角顶点的等腰三角形， ，， ， ， ≌， ， ， 点的纵坐标为1， 点的纵坐标为1， 把代入中得：， ； 综上所述，直线CD上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或 先求出，，由全等三角形的性质可得，； 利用待定系数法可求直线CD的函数表达式，可得，由全等三角形的性质可得，，由“ASA”可证≌，可得，分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，由全等三角形的判定和性质即可求解； 分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点Q坐标． 本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$